Les probabilités conditionnelles peuvent être calculées dans un arbre pondéré.
Formule des probabilités totales
Soit E un univers, et P une probabilité sur E, et A, B des événements quelconques.
Les événements B et
.
Cette formule se généralise au cas d’un système complet d’événement :
Théorème (formule des probabilités totales) :
Soit E un univers, et P une probabilité sur E, et (Bi) 1 i n un système complet d’événements (partition de E ),
tous de probabilité non nulle. Alors, pour tout événement A, on a:
P(A) =
.
Exemple 2: On dispose de deux pièces. L’une est honnête, l’autre a deux piles.
V Evénements indépendants
1 Indépendance de deux événements
Nous allons introduire la notion d’indépendance. Commençons par deux exemples où l’intuition de la notion
d’indépendance est évidente.
Exemple 3: On jette 2 pièces honnêtes.
Exemple 4: On tire 2 cartes.
Définition : Soient E un univers, P une probabilité sur E et A, B des événements.
A et B sont indépendants si et seulement si : P(A B) = P(A)P(B)
Il est très facile de vérifier que cette définition est compatible avec l’intuition donnée dans les
exemples précédents. Passons des exemples moins intuitifs.
Exemple 5 : Une famille a n enfants
Exemple 6 : On jette deux dés.
2. Indépendance de plusieurs événements
On prolonge la notion d’indépendance de deux événements au cas des suites d’événements.
Soit (Ai) 1 i N une suite d’événements.
Définition 1: On dit que les événements (Ai) 1 i N sont indépendants deux à deux si et
seulement si, pour tout (i, j) et i j, Ai et Aj sont indépendants.
VI Variables aléatoires réelles