SIO1CoursProbabilitésI

cours de mathématiques approfondies, SIO1
Les Probabilités
I Vocabulaire
Expérience aléatoire : expérience dont l’issue dépend du hasard.
Evénements élémentaires : toutes les issues possibles de l’expérience.
Univers : l’ensemble de tous les événements élémentaires.
Evénement : partie de l’univers.
Evénements contraires : si l’un se réalise, l’autre n’est pas réalisé.
Evénements incompatibles : qui ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Exemple 1a
Événement certain : l’univers
L’événement impossible : l’ensemble vide
Intersection d’événements : (AB) est l’événement réalisé si les deux événements A et B se réalisent en même temps.
Réunion d’événements : (AB) est l’événement réalisé si l’un ou l’autre des événements A et B est réalisé.
Exemple 1b
II définition
Une probabilité est une fonction qui associe à chaque événement élémentaire, un nombre compris entre 0 et 1.
Ce nombre permet d’évaluer si cet événement a plus ou moins de chance de se réaliser.
La probabilité d’un événement A est la somme de tous les événements élémentaires qui le composent.
La somme de toutes les probabilités est 1.
Conséquences :
Si A et B sont deux événements, P  A∪B=P  AP  B−P  A∩B
P =1 ; P ∅=0 ; P( A )1 P(A)
Exemple 1c
III Loi équirépartie
Définition
La loi de probabilité d’une expérience aléatoire est la donnée des probabilités de tous les événements élémentaires de l’univers.
Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit que la loi de probabilité est équirépartie, ou encore qu’il y
a équiprobabilité.
Propriété
Dans le cas d’une loi équirépartie , pour tout événement A :
P(A) nombred'élémentsdeA
nombred'élémentsde
.
IV Probabilités conditionnelles
Définition
Soit une expérience aléatoire d'univers (avec  ensemble fini), P une probabilité sur et B un événement ,
tel que P(B) 0.
L'application définie sur l'ensemble des parties de  dans [0 ; 1] définie par
P  A∩B
P B  A=
, pour tout événement A dans  , s'appelle la probabilité conditionnelle sachant B.
P  B
Remarques:
 P  A∩B=P  B×P B  A

La probabilité conditionnelle sachant a les mêmes propriétés que la probabilité P:
P B =1 ; P B ∅=0
P B  A1∪ A2= P B  A1P B  A2−P B  A1∩A2 
P B  A =1−P B  A

Les probabilités conditionnelles peuvent être calculées dans un arbre pondéré.
Formule des probabilités totales
Soit E un univers, et P une probabilité sur E, et A, B des événements quelconques.
Les événements B et B forment un système complet d’événements (partition de E)
et P(A) = P(A B) + P( A B )
Si B et B sont de probabilité non nulle on peut utiliser des probabilités conditionnelles pour
 .
calculer les probabilités d’intersections. Donc P(A) = P B  A×P  B + P B  A×P  B
Cette formule se généralise au cas d’un système complet d’événement :
Théorème (formule des probabilités totales) :
Soit E un univers, et P une probabilité sur E, et (Bi) 1 i n un système complet d’événements (partition de E ),
tous de probabilité non nulle. Alors, pour tout événement A, on a:
P(A) = P B  A×P  B1  + P B  A×P  B 2 + … + P B  A×P  B n .
1
2
n
Exemple 2: On dispose de deux pièces. L’une est honnête, l’autre a deux piles.
V Evénements indépendants
1 Indépendance de deux événements
Nous allons introduire la notion d’indépendance. Commençons par deux exemples où l’intuition de la notion
d’indépendance est évidente.
Exemple 3: On jette 2 pièces honnêtes.
Exemple 4: On tire 2 cartes.
Définition : Soient E un univers, P une probabilité sur E et A, B des événements.
A et B sont indépendants si et seulement si : P(A B) = P(A)P(B)
Il est très facile de vérifier que cette définition est compatible avec l’intuition donnée dans les
exemples précédents. Passons des exemples moins intuitifs.
Exemple 5 : Une famille a n enfants
Exemple 6 : On jette deux dés.
2. Indépendance de plusieurs événements
On prolonge la notion d’indépendance de deux événements au cas des suites d’événements.
Soit (Ai) 1 i N une suite d’événements.
Définition 1: On dit que les événements (Ai) 1 i N sont indépendants deux à deux si et
seulement si, pour tout (i, j) et i j, Ai et Aj sont indépendants.
VI Variables aléatoires réelles
Exemple 7a : on lance trois fois une pièce
Exemple 7b : on lance trois fois une pièce
Exemple 8a
Exemples 7c et 8b
Exemple 7d
VII Dénombrement
1. Permutations et arrangements
Exemple 9 : livres bien rangés
Définition : n ! = n (n­1) … 2 1 est le nombre de bijections (permutations) d’un ensemble à n éléments dans
un ensemble à n éléments.
2. Combinaisons (sans répétition)
Exemple 10 : club de probabilistes
Définition : pour 0 k n.,
n!
k
n
 C n = = n−k !×k ! est le nombre de sous­ensemble (ou combinaisons) à k éléments dans un ensemble à n
k
éléments.

Exemple 11 : poker
Exemple 12 : codes binaires

k
n
Application : nombre de codes binaires de longueur n contenant k fois « 1 », 0 k n: C n =
k
.
3. Propriétés des nombres de combinaisons (ou coefficients binomiaux)
k
k
Théorème : ∀ n∈ℕ , ∀ k ∈ℕ , k n , C n =C n− k , ou
 nk= n−kn 
.
Théorème : (Formule du binôme de Newton ):
n
∀ n∈ℕ , ∀ k ∈ℕ , k n , abn =∑ C kn a n−k b k
k=0
Exemple 13 : développements
Remarques :
En appliquant le théorème de Newton avec a = 1 et b = x ou b = ­x on obtient les deux
n
n
identités suivantes: 1x  =∑
k=0
C kn
k
n
n
x , 1−x  =∑ −1k C kn x k .
k=0
n
n
k =0
k=0
n
k
k
k
Pour x=1 ceci nous donne : 2 =∑ C n , 0=∑ −1 C n
La première identité signifie que le nombre total des sous­ensembles d’un ensemble à n éléments est 2 .
n
Exemple 14 : sous­ensembles de {a,b,c} .
Théorème (triangle de Pascal):
n = n−1  n−1
∀ n∈ℕ , ∀ k ∈ℕ , k n ,
.
k
k −1
k
  