serie dexercices limites et continuite - ts sunudaara

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Série d'exercices : Limites et continuité - Ts
Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction
Exercice 1
Déterminer l'ensemble de définition f dans chacun des cas suivants :
1) f : ↦√x2+ 2x+3−√x2− 3x− 4
2) f : x↦
x+2
√x+ 4 si x≤ 0
x+3−√x2+x− 2 si x> 0
3) f : x↦1 − 3x
x2+ 5x
4) f : x↦√1 + 3x
√x2+ 5x
5) f : x↦1
√x3− 12x+ 16
6) f : x↦√1 − xsq
|x− 3 | − 5
7) f : x↦
1 − √x
sinπx
8) f : x↦tanx
sin(x2−π2)
9) f : x↦√2sinx− 1
2sin2x− 1
Calculs de limites
Exercice 2
limite d'une fonction en x0
{
√
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Justifier les limites suivantes (en utilisant les limites de références du cours et les théorèmes sur les
opérations sur les limites finies) :
1) limx→ 1(x3− 3x+ 5) = 3 2) limx→ − 1(2x2+x− 2) = − 1 3) limx→ 2
3x+ 1
x− 3 = − 7
4) limx→ 3
x− 1
x2+ 1 =1
55) limx→ 1
2x2+x− 7
x2+ 3 = − 1 6) limx→π 6(3sinx+ 1) = 5
27) limx→ 5√x− 1 = 2
Extension de la notion de limite
Exercice 3
1) Déterminer la limite pour x↦+ ∞, et pour x↦− ∞, de la fonction f, dans les cas suivants :
a) f : x↦x2− 3x+ 1 b) f : x↦(x3−x)(x+ 1) c) f : x↦x2+ | x− 3 |
d) f : x↦2x2− | 5x+ 4 | e) f : x↦2x2−x
x+ 3 f) f : x↦x+ 1
x2+ 2
g) f : x↦x3− 3x
x3+x+ 2 h) f : x↦√x+ 1
√x− 1
2) Déterminer la limite quand x↦x0 de la fonction f dans les cas suivants :
a) f : x↦1
x− 1 , x0= 1 b) f : x↦−3
x2− 4 , x0= − 2 et x0= 2
c) f : x↦x2+x+ 3
(x+ 3)2(x− 2) , x0= − 3 et x0= 2 d) f : x↦tanx, x0= (2k+ 1)π
2
e) f : x↦2
1 + cosx, x0=πf) f : x↦3 1 + 2sinx, x0= − π 6
Exercice 4
Levée d'indétermination
Déterminer les limites des fonctions suivantes :
1) f : x↦x3+ 3x− 4
x− 1 en 1 , − ∞ , + ∞ 2) f : x↦x2+ 4x+ 4
x3+ 8 en − 2 , − ∞ , + ∞
3) f : x↦√1 + x2−x en − ∞ , + ∞ 4) f : x↦√3 + x− 2x
x− 1 en 1 , + ∞
5) f : x↦x3+ 6x+ 7
3x2−x− 4 en − 1 , − ∞ , + ∞ 6) f : x↦√1 + x−x en + ∞
7) f : x↦√x+ 3 − 2
x− 1 en 1 , + ∞ 8) f : x↦√x+ 1 − 2√x− 2 x− 3 en 3 , + ∞
9) f : x↦√3x+2−√11x− 6
x−√x+ 3 + 1 en 1 10) f : x↦√x2+x+ 3 − 3 x2+x− 6 en 2
11) f : x↦x2x
x+ 1 − 2x en − ∞ , + ∞ 12) f : x↦√x2− 1 + 3x x en + ∞
13) f : x↦√x2+ 4x+3−x en + ∞ 14) f : x↦√x2+ 4x+ 3 − (x+ 2) en + ∞
15) f : x↦√x2+ 4x+3+x en − ∞ 16) f : x↦√x2+ 4x+3+x+ 2 en + ∞
√

17) f : x↦√2x2− 3x+1−√x2+x− 1 en − ∞ , + ∞
18) f : x↦√x2−1−√x2+x+ 1 en − ∞ , + ∞
19) f : x↦x√x2+1−x en − ∞ , + ∞ 20) f : x↦
3√x− 1 − 2√x+ 4
√x2− 9 − 2√x− 1 en + ∞
Limite d'une fonction trigonométrique en 0
Exercice 5
Utiliser le résultat limx→ 0
sinx
x= 1 pour étudier la limite éventuelle en 0 des fonctions suivantes :
1) f : x↦sin5x
2x2) f : x↦x sin3x3) f : x↦sin5x sin4x4) f : x↦tanx x5) f : tan2x sinx
6) f : x↦sinx
√x7) f : x↦1 − cosx
x28) f : x↦sinx−x
cosx− 1
9) f : x↦sinx−x
cosx− 1 10) f : x↦sinx− tanx
3x3
11) f : x↦tan2x
√1 − cosx12) f : x↦1 − cosx
sin2πx
13) f : x↦√1 − cos4x
sin5x14) f : x↦
cos2x−√cosx
√cosx− 1 15) f : x↦sin(2x2+x)
x(x+ 1)
16) f : x↦√1 + sinx−√1 − sinx
x17) f : x↦1 − cosx
tan2x
18) f : x↦x(1 − cosx)
sin3x− 3sinx19) f : x↦2x− sinx 1 − cosx20) f : x↦x+ sinx+ sin2x
x(x2− 1)
Limite d'une fonction trigonométrique en x0
Exercice 6
Déterminer les limites éventuelles en x0 des fonctions suivantes :
1) f : x↦sin(2x−π)
tan(2x−π), x0=π 22) f : x↦sin6x
2cosx−√3, x0=π
6
3) f : x↦tanx
sin2x− 1 , x0=π 44) f : x↦
cos π
4−x− tanx
1 − sin π
4+x
, x0=π
4
5) f : x↦sinx
5cos2x+ sin2x− 4cosx, x0=π
36) f : x↦
sin π
6−x
1 − 2sinx, x0=π 6
7) f : x↦
tan x+π
2
sin2x− 2 + 2sinx− 2cosx, x0= − π 38) f : x↦sinx− cosx
x−π
4
, x0=π
6
9) f : x↦
sinx+√3cosx
−sin2x+√3cos2x, x0= − π
310) f : x↦
cosx−√3sinx
x−π
6
, x0=π
6
( )
( )
( )
( )
( )

11) f : x↦1 − sinx− cosx
1 − sinx+ cosx, x0=π 212) f : x↦cos3x 1 − 2sinx, x0
π
3
13) f : x↦
xsinx−π
2
cosx, x0=π 214) f : x↦sinx(1 − sinx) cosx, x0=π 2
Déterminer une limite par lecture graphique
Exercice 7
La courbe Cf ci-dessous représente une fonction f dans un repère orthonormé.
Déterminer graphiquement :
1) Le domaine de définition et de continuité de f
2) Les limites suivantes :
lim x→ 0 −f(x) ;
lim x→ 0 +f(x) ;
lim x→ + ∞f(x) ;
lim x→ − ∞f(x).
Exercice 8
Sur la figure ci-dessous, est tracée la courbe Cf représentative dans un repère orthonormé (0 , → i, → j)
d'une fonction f continue sur R∖0.
On sait de plus que :
∗ La droite Δ est une asymptote à la courbe Cf au voisinage de +∞.

∗ La droite d'équation y= 0 est une asymptote à la courbe Cf au voisinage de −∞. 
A partir du graphique et des renseignements fournis, déterminer les limites suivantes :
lim x→ + ∞f(x) ;
lim x→ − ∞f(x) ;
lim x→ 0 −f(x) ;
lim x→ + ∞
f(x)
x.
Exercice 9
La courbe ci-dessous est celle d'une fonction f définie sur R∗, la droite d'équation y=x est une
asymptote à la courbe au voisinage de +∞, la droite d'équation : y= 1 est une asymptote à la courbe au
voisinage de −∞ et l'axe des ordonnées est une asymptote verticale.
La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points ,l'un d'eux est d'abscisse −1 et l'autre d'abscisse α.
Déterminer les limites suivantes en utilisant le graphique :
a) lim x→ − ∞f(x) ; lim x→ + ∞f(x) ;
b) lim x→ 0 −f(x) ; lim x→ 0 +f(x)
c) lim x→ + ∞[f(x) − x]
d) lim x→α−
1
f(x); lim x→α+
1
f(x)
Utilisation de la limite d'une fonction composée
Exercice 10
Déterminer les limites éventuelles des fonctions suivantes au point considéré :
1) f : x↦cosπ(x+ 1)
x en + ∞ 2) f : x↦2x2− 1 x en + ∞ 3) f : x↦sin 1
√x en + ∞
4) f : x↦
1 − √|x|
2 + √|x| en − ∞ 5) f : x↦2x+ 1
x− 3 en + ∞
√
√