sunudaara Une vision numérique de l'école modèle ACCUEIL COURS EXERCICES DEVOIRS VIDÉO QCM NOUS CONTACTER NOUS SOUTENIR Accueil / Série d'exercices : Limites et continuité - Ts Série d'exercices : Limites et continuité - Ts Classe: Terminale Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction Exercice 1 Déterminer l'ensemble de définition f dans chacun des cas suivants : 1) f : ↦ √x2 + 2x + 3 − √x2 − 3x − 4 2) f : x ↦ 3) f : x ↦ 4) f : x ↦ 5) f : x ↦ 6) f : x ↦ 7) f : x ↦ 8) f : x ↦ 9) f : x ↦ { √ x+ 2 √x + 4 x+3− √x 2 + x − 2 1 − 3x x 2 + 5x √1 + 3x √x2 + 5x 1 √x3 − 12x + 16 √1 − xsq |x − 3| − 5 1 − √x sinπx tanx sin(x 2 − π 2) √2sinx − 1 2sin 2x − 1 Calculs de limites Exercice 2 limite d'une fonction en x 0 si x ≤ 0 si x > 0 Justifier les limites suivantes (en utilisant les limites de références du cours et les théorèmes sur les opérations sur les limites finies) : 1) lim x → 1(x 3 − 3x + 5) = 3 2) lim x → − 1(2x 2 + x − 2) = − 1 3) lim x → 2 4) lim x → 3 x−1 x2 +1 = 1 5) lim x → 1 5 2x 2 + x − 7 x2 +3 3x + 1 = −7 x−3 = − 1 6) lim x → π (3sinx + 1) = 6 5 2 7) lim x → 5√x − 1 = 2 Extension de la notion de limite Exercice 3 1) Déterminer la limite pour x ↦ + ∞, et pour x ↦ − ∞, de la fonction f, dans les cas suivants : a) f : x ↦ x 2 − 3x + 1 b) f : x ↦ (x 3 − x)(x + 1) c) f : x ↦ x 2 + | x − 3 | d) f : x ↦ g) f : x ↦ 2x 2 − | 5x + 4 | x 3 − 3x 2x 2 − x e) f : x ↦ x+3 h) f : x ↦ x3 + x + 2 f) f : x ↦ x+1 x2 + 2 √x + 1 √x − 1 2) Déterminer la limite quand x ↦ x 0 de la fonction f dans les cas suivants : a) f : x ↦ c) f : x ↦ e) f : x ↦ 1 x−1 , x0 = 1 x2 + x + 3 (x + 3) 2(x − 2) b) f : x ↦ −3 x2 − 4 , x 0 = − 2 et x 0 = 2 , x 0 = − 3 et x 0 = 2 d) f : x ↦ tanx , x 0 = (2k + 1) 2 , x0 = π 1 + cosx f) f : x ↦ π 2 3 π , x0 = − 1 + 2sinx 6 Exercice 4 Levée d'indétermination Déterminer les limites des fonctions suivantes : 1) f : x ↦ 3) f : x ↦ 5) f : x ↦ 7) f : x ↦ 9) f : x ↦ x 3 + 3x − 4 x 2 + 4x + 4 en 1 , − ∞ , + ∞ 2) f : x ↦ en − 2 , − ∞ , + ∞ x−1 x3 + 8 √ 1 + x 2 − x en − ∞ , + ∞ 4) f : x ↦ x 3 + 6x + 7 3x 2 − x − 4 √x + 3 − 2 x−1 11) f : x ↦ x √ x+1 x−1 en − 1 , − ∞ , + ∞ 6) f : x ↦ en 1 , + ∞ 8) f : x ↦ √3x + 2 − √11x − 6 en 1 x − √x + 3 + 1 2x √3 + x − 2x en 1 , + ∞ √1 + x − x en √ x + 1 − 2√ x − 2 10) f : x ↦ x−3 en 3 , + ∞ √x 2 + x + 3 − 3 x2 + x − 6 − 2x en − ∞ , + ∞ 12) f : x ↦ en 2 √x2 − 1 + 3x x +∞ en + ∞ 13) f : x ↦ √x2 + 4x + 3 − x en + ∞ 14) f : x ↦ √x2 + 4x + 3 − (x + 2) en 15) f : x ↦ √x2 + 4x + 3 + x en − ∞ 16) f : x ↦ √x2 + 4x + 3 + x + 2 en +∞ +∞ 17) f : x ↦ √2x2 − 3x + 1 − √x2 + x − 1 en 18) f : x ↦ √x2 − 1 − √x2 + x + 1 en 19) f : x ↦ x (√ −∞, +∞ −∞, +∞ ) x 2 + 1 − x en − ∞ , + ∞ 20) f : x ↦ 3√ x − 1 − 2√ x + 4 √ x 2 − 9 − 2√ x − 1 en + ∞ Limite d'une fonction trigonométrique en 0 Exercice 5 Utiliser le résultat lim x → 0 1) f : x ↦ 6) f : x ↦ 9) f : x ↦ sin5x 2x sinx sinx − x tan2x 16) f : x ↦ 18) f : x ↦ x sin3x √1 − cos4x sin5x 8) f : x ↦ x2 4) f : x ↦ tanx x 5) f : tan2x sinx sinx − x cosx − 1 sinx − tanx 3x 3 1 − cosx sin 2πx 14) f : x ↦ √1 + sinx − √1 − sinx cos 2x − √cosx √cosx − 1 19) f : x ↦ 15) f : x ↦ sin(2x 2 + x) x(x + 1) 1 − cosx 17) f : x ↦ x x(1 − cosx) sin3x − 3sinx sin5x sin4x 3) f : x ↦ 1 − cosx 12) f : x ↦ √1 − cosx 13) f : x ↦ = 1 pour étudier la limite éventuelle en 0 des fonctions suivantes : 10) f : x ↦ cosx − 1 11) f : x ↦ x 2) f : x ↦ 7) f : x ↦ √x sinx tan 2x 2x − sinx 1 − cosx 20) f : x ↦ x + sinx + sin2x x(x 2 − 1) Limite d'une fonction trigonométrique en x 0 Exercice 6 Déterminer les limites éventuelles en x 0 des fonctions suivantes : 1) f : x ↦ sin(2x − π) tan(2x − π) , x0 = π 2) f : x ↦ 2 sin6x 2cosx − √3 cos tanx π 3) f : x ↦ , x0 = sin2x − 1 4 4) f : x ↦ ( ) ( ) sinx 5cos 2x + sin 2x ( ) tan x + 7) f : x ↦ 9) f : x ↦ − 4cosx , x0 = π +x 4 sin π 3 π 6 π − x − tanx 4 1 − sin 5) f : x ↦ , x0 = 6) f : x ↦ , x0 = ( ) π 4 π −x 6 1 − 2sinx , x0 = π 6 π 2 sin2x − 2 + 2sinx − 2cosx sinx + √3cosx − sin2x + √3cos2x , x0 = − , x0 = − π 3 π 3 8) f : x ↦ 10) f : x ↦ sinx − cosx π , x0 = π 6 x− 4 cosx − √3sinx x− π 6 , x0 = π 6 11) f : x ↦ 1 − sinx − cosx π , x0 = 1 − sinx + cosx 2 xsinx − 13) f : x ↦ 12) f : x ↦ cos3x π , x0 1 − 2sinx 3 π 2 cosx , x0 = π 2 14) f : x ↦ sinx(1 − sinx) π , x0 = cosx 2 Déterminer une limite par lecture graphique Exercice 7 La courbe C f ci-dessous représente une fonction f dans un repère orthonormé. Déterminer graphiquement : 1) Le domaine de définition et de continuité de f 2) Les limites suivantes : lim x → 0 − f(x) ; lim x → 0 + f(x) ; lim x → + ∞f(x) ; lim x → − ∞f(x). Exercice 8 → → Sur la figure ci-dessous, est tracée la courbe C f représentative dans un repère orthonormé (0 , i , j ) d'une fonction f continue sur R ∖ 0. On sait de plus que : ∗ La droite Δ est une asymptote à la courbe C f au voisinage de + ∞. ∗ La droite d'équation y = 0 est une asymptote à la courbe C f au voisinage de − ∞. A partir du graphique et des renseignements fournis, déterminer les limites suivantes : lim x → + ∞f(x) ; lim x → − ∞f(x) ; lim x → 0 − f(x) ; lim x → + ∞ f(x) x . Exercice 9 La courbe ci-dessous est celle d'une fonction f définie sur R ∗ , la droite d'équation y = x est une asymptote à la courbe au voisinage de + ∞, la droite d'équation : y = 1 est une asymptote à la courbe au voisinage de − ∞ et l'axe des ordonnées est une asymptote verticale. La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points ,l'un d'eux est d'abscisse − 1 et l'autre d'abscisse α. Déterminer les limites suivantes en utilisant le graphique : a) lim x → − ∞f(x) ; lim x → + ∞f(x) ; b) lim x → 0 − f(x) ; lim x → 0 + f(x) c) lim x → + ∞[f(x) − x] d) lim x → α − 1 f(x) ; lim x → α + 1 f(x) Utilisation de la limite d'une fonction composée Exercice 10 Déterminer les limites éventuelles des fonctions suivantes au point considéré : 1) f : x ↦ cos 4) f : x ↦ π(x + 1) en + ∞ 2) f : x ↦ x 1 − √|x| 2 + √|x| en − ∞ 5) f : x ↦ √ √ 2x 2 − 1 1 en + ∞ 3) f : x ↦ sin en + ∞ x √x 2x + 1 en + ∞ x−3 6) f : x ↦ √ 2x + 1 x−3 en − 1 2 √ , puis en 3 7) f : x ↦ 1 x2 − 1 en + ∞ , − ∞ , − 1 , 1 ( ) πx − 1 2cos 3x + 3cosx − 5 8) f : x ↦ sin en − ∞ , + ∞ 9) f : x ↦ en 0 2x + 1 sin 2x Utilisation des théorèmes de comparaison Exercice 11 Déterminer la limite des fonctions suivantes : 1) f : x ↦ 1 + x 2 + sin 3) f : x ↦ sin 1 x + 1 x 1 en x 0 = 0 x en x 0 = 0 4) f : x ↦ 1 sinx −2 en + ∞ x x 9) f : x ↦ x 2cos 11) f : x ↦ 1 x en 0 sinx + 2 x en + ∞ et en − ∞ 6) f : x ↦ 1 + x 2sin 5) f : x ↦ cosx − x en + ∞ et en − ∞ 7) f : x ↦ xsin sinx en + ∞ et en − ∞ x 2) f : x ↦ 8) f : x ↦ xsin 10) f : x ↦ √1 + x 2 − 1 x 1 en 0 x 1 en 0 x sin 1 x en 0 x − E(x) x3 − 5 en + ∞ et en − ∞ 12) f : x ↦ 4 sin2x 2 en + ∞ et en − ∞ x x +1 Étude des branches infinies Exercice 12 Dans chacun des cas suivants, vérifier que les droites fixées sont asymptotes à la courbe C. 1) C : y = 2) C : y = 3) C : y = 4) C : y = x+2 2x − 3 D1 : x = 2x − 3 3x − | x + 1 | x2 + 1 x−3 3 2 D2 : y = D1 : x = 1 2 1 2 D2 : y = 1 2 D3 : y = 1 D1 : x = 3 D2 : y = x + 3 x 3 + 4x 2 + 3 x 2 + 2x − 1 D 1 : x = − 1 − √2 D 2 : x = − 1 + √2 D 3 : y = x + 2 1 5) C : y = √4x2 − 3x + 1 + x + 4 6) C : y = √4x2 − 3x + − √x2 + x D 1 : y = − x + 1 D 2 : y = 3x − D1 : y = x − 5 4 D2 : x = − x + 1 2 5 4 Exercice 13 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = 1) Étudier la continuité de f en 2. { √x + 2 si x ≥ −2 2x 2 − | x 3 | x+2 si x < −2 2) Étudier la continuité de f sur ] − ∞ ; − 2[ et sur [ − 2 ; + ∞[. 3) La fonction f est-elle continue sur R ? Continuité et prolongement par continuité Exercice 14 Déterminer l'ensemble de définition et étudier la continuité de la fonction f dans chacun des cas suivants : 1) f : x ↦ 3x 2 + x − 1 2) f : x ↦ 4) f : x ↦ | 2x + 1 | + | x − 3 | 2x + 1 2x − 1 3) f : x ↦ 5) f : x ↦ 2x + 1 + √x 2 √x2 + 5x − 5 6) f : x ↦ 1 + x |x| x 7) f : x ↦ E(x) 8) f : x ↦ x − E(x) 9) f : x ↦ (x − E(x)) 2 + E(x) 10) f : x ↦ √2x2 − | x + 1 | 12) f : x ↦ { 11) f : x√x + √1 − x −x si x<0 x si 0≤x≤1 x2 si x>1 Exercice 15 Limite à gauche, limite à droite 1) Montrer que, sur R ∗ , on a 3 ≤ 4 − sin 2) Montrer que, sur ]0 ; 1[, on a: 1 x 1 ≤ 5. x 4 − sin ≤ 1 x x . 4 − sin 3) Étudier la limite, à droite et à gauche, en 0, de la fonction f: x ↦ 1 x x Limite à gauche, limite à droite Exercice 16 Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite à droite et à gauche en x 0 de la fonction f. 1) f : x ↦ 3) f : x ↦ 1 − cosx x 2 − 2x | x | x2 + x √x 2 x 0 = 0 2) f : x ↦ x 0 = 0 4) f : x ↦ { x2 − 1 , x ≤ 0 x2 + 1 , x > 0 x0 = 0 | 2x + 1 | 2x + 1 x0 = − 1 2 √ 5) f : x ↦ x (x − 1) 2 x 0 = 1 Exercice 17 On considère la fonction f définie par : f(x) = { x+1 pour x≤1 3 − ax 2 pour x>1 Pour quelles valeurs de a réel la fonction f est-elle continue en x 0 = 1 ? Exercice 18 Déterminer les réels A et B pour que la fonction f soit continue en f(x) = { − 2sinx pour x≤ − Asinx + B pour − cosx pour x≥ π π et − : 2 2 π 2 π π <x< 2 2 π 2 Exercice 19 Montrer que la fonction f définie par : { f(x) = f(x) = x 3 − 2x 2 + x − 2 x−2 5sin πx 4 pour x < 2 pour x ≥ 2 est continue sur R Exercice 20 Montrer que les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité en x 0 : 1) f : x ↦ x 3 − x 2 − 2x + 2 en x 0 = 1 2) f : x ↦ x−1 √5x − 1 − 3 x−2 en x 0 = 2 Exercice 21 1) Soit la fonction f définie sur [0 ; 1] par : { f admet-elle une limite en f(x) = 6x 2 + x + 1 pour x ∈ f(x) = 6x + 3 2x + 5 pour x ∈ [ [ [ [ 0; 1 6 1 ; 1 6 1 ? 6 f est-elle continue sur [0 ; 1] ? 2) Soit g et h les fonctions numériques définies sur [0 ; 1] par : g(x) = cos(3πx) et h(x) = cos(4πx). Montrer que la fonction f g est continue sur [0 ; 1], mais qu'il n'en est pas de même pour la fonction f h. 3) Si on sait que le produit de deux fonctions est une fonction continue sur [a ; b], peut-on en déduire une conclusion quant à la continuité de chacune de ces fonctions ? Exercice 22 Soit la fonction f définie sur R par : { f(x) = 3x 2 + ax + 1 pour x < 1 (a ∈ R) f(x) = 3x − 1 x+2 x ≥ 1 pour Déterminer a pour que f soit continue au point 1. Exercice 23 Soit la fonction f définie sur R ∖ {1} par : f(x) = 3x 2 + ax + 1 x−1 (a ∈ R). Déterminer a pour que f soit prolongeable par continuité au point 1. Définir alors la fonction g, prolongement par continuité de f au point 1. Exercice 24 Soit la fonction f définie par : f(x) = √x − a − 1 x+1 Déterminer a pour que f soit prolongeable par continuité au point -1. Définir alors la fonction g, prolongement par continuité de f au point -1. Exercice 25 Soit a un réel. Déterminer, suivant les valeurs de a, les limites éventuelles respectives en − ∞ , + ∞ , en 5 de la fonction fa : x ↦ ax 2 + (a 2 + 1)x + a x−5 . Cette fonction admet-elle un prolongement par continuité au point 5 ? Exercice 26 Soit a un réel et f a la fonction : x↦ 2x + x − 3 x 2 + (1 − a)x − a 1) Déterminer l'ensemble de définition de f a. 2) Déterminer l'ensemble E des réels a, pour chacun des quels f a admet un prolongement par continuité en a. Pour chaque réel a de E, déterminer le prolongement par continuité de f a en a. Exercice 27 Soit la fonction g définie par g(x) = |x| |x + 1| (x + 1)(x 2 + x + 1) Peut-on définir un prolongement par continuité de g au point -1 ? Image d'un intervalle.Recherche de solutions d'équations Exercice 28 Déterminer l'image de l'intervalle I pour chacune des fonctions suivantes : [ 1) f : x ↦ sinx , avec I = − π π ; 4 4 ] [ 2) f : x ↦ cosx , avec I = − π π ; 4 4 ] 3) f : x ↦ x 3 − 3x 2 + 1 , avec I = ] − ∞ ; − 1] 4) f : x ↦ x 3 − 3x 2 + 1 , avec I = [ ] 1 ; 1 2 Exercice 29 Montrer que les fonctions suivantes sont bornées sur I : 1) f : x ↦ 1 x2 +1 avec I = R 2) f : x ↦ x−1 avec I = [2 ; + ∞[ x+1 Exercice 30 Soit f : [0 ; 6] ↦ R x ↦ | x 2 − 4x | 1) Montrer que f est continue sur I = [0 ; 6]. 2) Étudier les variations de f. Déterminer l'image de I par f. 3) Soit m un réel appartenant à l'intervalle [f(0) ; f(6)]. Déterminer, suivant les valeurs de m, le nombre de solutions de l'équation f(x) = m. Exercice 31 Soit f : x ↦ x 2 − 5x + 10 1) Montrer que f est continue et strictement monotone sur [ − 2 ; 2]. 2) f est-elle strictement monotone sur [0 ; 4] ? 3) Déterminer l'intervalle image par f de [0 ; 2]. Exercice 32 Soit f : R ↦ R x ↦ 2x + 3 x−2 1) Déterminer l'ensemble D f de définition de la fonction f puis l'ensemble image par f de D f (c'est-à dire f(D f). 2) Montrer que f est strictement monotone sur ]2 ; + ∞[. Quel est l'ensemble image par f de ]2 ; + ∞[ ? 3) Montrer que restriction g de f à ]2 ; + ∞[ est une bijection de ]2 ; + ∞[ sur lui-même. Calculer alors g − 1(x). Exercice 33 Soit f la fonction définie par : f(x) = x 3 + 5 − 100. 1) Montrer que f est continue et strictement monotone sur R. 2) Quel est image par f de l'intervalle [0 ; 6] ? 3) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution et une seule α comprise entre 0 et 6. 4) De plus, encadrer α entre deux entiers consécutifs. Exercice 34 Soit f la fonction définie sur [0 ; π[ par : f(x) = cosx − x. 1) Montrer que f est une bijection de [0 ; π[ sur un ensemble J que l'on précisera. 2) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution et une seule γ comprise entre 6 et 4. Exercice 35 Dans chacun des cas suivants, justifier l'existence d'une unique solution α à l'équation f(x) = 0 ; puis déterminer un encadrement à 10 − 2 près de α 1) f est définie sur R par : f : x ↦ x 3 + 3x 2 + 1.x 2) f est définie sur R par : f : x ↦ − x 3 + 3x 2 + 1. 3) f est définie sur ] − π ; 0] par : f : x ↦ xsinx + cosx. Exercice 36 Montrer que l'équation x 4 + 4ax + b = 0 (a et b réels) ne peut avoir plus de deux solutions distinctes dans R. Exercice 37 Dans chacun des cas suivants, déterminer suivant les valeurs du paramètre réel a, le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0: 1) f : x ↦ x 2 + ax + 1 2) f : x ↦ x 3 + 3ax + 1 3) f : x ↦ cosx + a Exercice 38 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x 3 + x 2 − x + 1. Déterminer suivant les valeurs de λ, le nombre de solutions de l'équation f(x) = λ. Propriétés des fonctions continues Exercice 39 Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b]. On suppose que f(a) = g(b) et f(b) = g(a). Démontrer qu'il existe un réel c de [a ; b] tel que f(c) = g(c). Exercice 40 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]. Soient p et q des nombres réels strictement positifs. Démontrer qu'il existe un réel c de [a ; b] tel que : f(c) = pf(a) + qf(b) p+q . Fonctions réciproques Exercice 41 Dans chacun des cas suivants, établir que f est une bijection et déterminer la bijection réciproque f − 1. 1) f : R ↦ R x↦ x 1 + |x| 3) f : R ∖ 1 → R ∗ 2) f : [0 ; 1] → [ − 1 ; 0] x ↦ x 4 − 2x 2 x↦ x−1 x Exercice 42 1) La fonction f : x ↦ sinx est continue sur R. Montrer que sa restriction à [ − π π π π ; ], considérée comme application de [ − ; ] vers [ − 1 ; 1] admet 2 2 2 2 une fonction réciproque. Cette fonction réciproque sera notée arcsin. La fonction f : x ↦ cosx est continue sur R. Montrer que sa restriction à [0 ; π], considérée comme application de [0 ; π] vers [ − 1 ; 1] admet une fonction réciproque. Cette fonction réciproque sera notée arccos. La fonction f : x ↦ tanx est continue sur ] − π 2 ; π 2 [. Montrer qu'elle admet sur cet intervalle une fonction réciproque. Cette fonction réciproque sera notée arctan. 2) Préciser l'ensemble de définition et de continuité de chacune des fonctions arcsin , arccos et arctan. Construire la courbe représentative de chacune d'elles. Étudier la parité de ces fonctions. 3) Donner une expression simple de arcsin(sinx), arccos(cosx), arctan(tanx). 4) Donner une expression simple de sin(arcsinx) , cos(arccosx) , tan(arctanx) , sin(arccosx) , cos(arcsinx). 5) Montrer que, pour tout réel x de l'intervalle [ − 1 ; 1]: arcsinx + arccosx = 2. Exercice 43 Calculer les limites suivantes des fonctions en − ∞ et + ∞ 1) f(x) = E(x) ; x−1 g(x) = xE(x) ; h(x) = xsin(x) x2 − x + 1 2) f(x) = g(x) = h(x) = √2x + 1 − √x ; √ x + 1 − √x ; √x 2 − 1 + x x Exercice 44 A) On définit la fonction f m par f m(x) = √x2 + x + 1 − mx 1) Discuter suivant les valeurs du paramètre m la limite en + ∞ et de − ∞ de f m. 2) Montre que f 0 admet des asymptotes dont on déterminera les équations et la position relative par rapport a la courbe de f m. B) On définit la fonction g m par : g m(x) = (m 2 − m)x 2 + 2mx + 1 (m − 1)x 2 + x − 2 3) Discuter suivant les valeurs du paramètre m la limite g m en + ∞ et − ∞ 4) Montre que g O admet une asymptote dont on déterminera une équation Exercice 45 1) Déterminer les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction définie : a) f(x) = b) f(x) = h(x) = √|x| + cosx x − sinx √x2 + 4x + 3 2x ; ; √x + 2 − √2x + 1 x−1 Exercice 46 Soit une fonction vérifiant : lim x → ∞f(x) = + ∞. Étudier lorsque x tend vers + ∞ la limite des fonctions suivantes : a) f(x) = b) h(x) = c) i(x) = d) j(x) = e) k(x) = f) w(x) = 3f(x) ; 3 + f(x) 3f(x) 3 + (f(x)) 2 x + f(x) x xf(x) ; x + f(x) x + f(x) x 2 + f(x) 3x − f(x) xf(x) ; ; Exercice 47 Calculer les limites suivantes en utilisant la composition des fonctions a) lim x → + ∞cos b) lim x → + ∞ √ c) lim x → 1tan [( ) ] x+1 π ; 6x − π 2x 2 x−1 [( ) ] x+1 π 6x 2 Exercice 48 Soit g une fonction continue sur R 1) Montrer que | g | est continue sur R 2) La réciproque est elle vraie ? 3) Donner un contre-exemple. Exercice 49 1) Montrer que si une fonction continue sur un intervalle I ne s'annule pas sur I, alors elle garde un signe constant sur cet intervalle. 2) Montrer que tous polynôme de degré impaire admet au moins une racine sur R 3) Donner un exemple de polynômes de degré 2n(n ∈ N) qui ne s'annulent jamais sur R Exercice 50 1) Étudier les variations de la fonction définie f sur R par : f(x) = x 3 − 3ax + 1 En déduire suivant les valeurs de a le nombre de solution de l'équation f(x) = 0 2) Soit une fonction f continue sur l'intervalle [0 ; 1] à valeur dans [0 ; 1] ; montrer que f possède un point fixe c'est à dire qu'il existe un réel α tel que : f(α) = α. Exercice 51 Calculer les limites suivantes en identifiant la limite demandée à un taux de variation 12sinx − 6 ; 6 6x − π a) lim x → + π sin3πx ; 3 1 − 2cosπx b) lim x → 1 √x + 5 − 3 c) lim x → 4 x−4 tanx − 1 ; 4 4x − π d) lim x → + π e) lim x → 0 f) lim x → 0 Exercice 52 12sinx πx sin2x sinπx ; { 1 − cosx x 1) soit la fonction g :→ 0 si x ≠ 0 si x = 0 a) justifier la continuité de f et montrer que f est dérivable en 0 b) calculer f ′ (0). 2) Donner pour chaque fonction la dérivée sur un ensemble que l'on précisera a) h(x) = x 2(2x − 4) 2 ; g(x) = sinx 2x 2 + 1 b) v(x) = √ ; f(x) = x 3√3x − 1 ; q(x) = x+2 2x 2 + 4 ; x √2x + 1 w(x) = cos(x 2 + 1) sin 2(3x + 4π) Exercice 53 Soit f la fonction définie par f(x) = 5 + 4x 2 1 + x2 sur l'intervalle ] − 1; + ∞[ 1) Montrer que f est dérivable sur ] − 1; + ∞[ et calculer f ′(x) 2) soit ϕ la fonction définie par ϕ(x) = 5 + 4cos 2x 1 + cos 2x sur l'intervalle ] − π; π[ a) Écris ϕ comme la composée de deux fonctions dérivable et calculer ϕ ′(x) b) Déduisez en le sens de variation de ϕ sur ] − π ; π[ Exercice 54 Soit f la fonction définie sur R . [ ] 1) Montrer que f est dérivable ; calculer f ′ et majorer | f ′(x) | sur − π π 12 12 2) Montrer que quelque soit f appartenant à I ; | cos 2x − cos 2y | ≤ 1 |x − y| 2 Exercice 55 Soit la fonction définie par g(x) = √x + 1 sur l'intervalle ] − 1; + ∞[ [ ] 1) Montrer que g est dérivable sur ] − 1; + ∞[ et calculer g ′(x) puis encadrer g ′(x) sur 0; [ ] 2) Déduisez en que pour tout x appartenant à 0; 1 2 on a : 1 + x 6 ≤ g(x) ≤ 1 + x 2 1 2 . Exercice 56 On admet qu'il existe une fonction f dérivable qui vérifie sur R : f ′(x) = représentative (C) passe par l'origine 3 du repère. 1 1 + [f(x)] dont la courbe 1) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) en 0. 2) Montrer que (C) n'admet pas une tangente parallèle à la droite (Δ) : y = 2x Justifier l'existence de la dérivée seconde f ″ et montrer que f ″ (x) = − 2(f(x)) 3f(x). Exercice 57 Soit une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [1; + ∞[ vérifiant la relation 1 w(1) = 0 et w ′(x) = √1 + x 4 1) Étudier les variations de f sur l'intervalle [1; + ∞[ 2) On définie la fonction sur l'intervalle par g(x) = 1 − Comparer w ′ et g ′ puis g et w sur [1; 1 x + ∞[ 3) Montrer alors que w est majorée sur [1; + ∞[ et admet une limite l en + ∞ ; vérifiant : 0 ≤ l ≤ 1 Exercice 58 Déterminer une primitive F de la fonction sur intervalle I à préciser dans les cas suivants : a) f(x) = 9x 4 − 1 ; √x b) f(x) = 9x 2(4 − x 3) 8 ; c) f(x) = d) f(x) = e) f(x) = ( x2 √ x3 + 2 ; 1 (2x + 1)√2x + 1 x 4 − x 3 + 3x 2 + 1 x 2(x 2 + 1) 2 trouver a et bf(x) = f) f(x) = ; sinx cos 2x a x2 + b (x 2 + 1) 2 ) ; g) f(x) = cos 3x − cos2x ; h) f(x) = 9cos 4x + sinxcosx Exercice 59 1) Trouver les primitives sur l'intervalle ]0 ; + ∞[ de la fonction définie par : f(x) = 5x 2 + 2 x2 2) Déduisez en les primitives sur l'intervalle ]0 ; π[ de la fonction définie par : g(x) = 5sin 2xcosx + 3) Trouver la primitive vérifiant g(0) = 0. Exercice 60 [ [ Soit f(x) et w(x) deux fonctions définies sur l'intervalle I = π ; π 4 par : 2cosx cos 3x : f(x) = sinx cos 3x et w(x) = 1) vérifier que f ′(x) = 1 cos 4x 3 cos 4x − 2 cos 2x 2) En déduire sur I une primitive de la fonction w. Exercice 61 Soit f une fonction définie sur R par f(x) = x 2 + 2x (x 2 + x + 1) 2 1) Montre que f admet une primitive F sur R de la forme F(x) = 2) Trouver toutes les primitives de f sur R. Exercice 62 Soit f une fonction définie dans R par f(x) = cosx − 1) Déterminer f ′ et f ″ . Vérifier que pour tout x de R ; f ″ (x) = − 9f(x) 2) En déduire toutes les primitives de f sur R 3) Trouver les primitives sur R qui s'annule en ► Correction des exercices Auteur: Mouhamadou ka & Moussa Fall Mon compte Se déconnecter Copyright © 2020 www.sunudaara.com π . 6 4 3 cos 3x ax + b x2 +x+1