Série d'exercices limites et Continuité - TS Sunu Daara

sunudaara Une vision numérique de l'école modèle
Classe:Terminale
Accueil / Série d'exercices : Limites et continuité - Ts
Série d'exercices : Limites et continuité - Ts
Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction
Exercice 1
Déterminer l'ensemble de définition f dans chacun des cas suivants :
1) f : ↦√x2+ 2x+3−√x2− 3x− 4
2) f : x↦
x+2
√x+ 4 si x≤ 0
x+3−√x2+x− 2 si x> 0
3) f : x↦1 − 3x
x2+ 5x
4) f : x↦√1 + 3x
√x2+ 5x
5) f : x↦1
√x3− 12x+ 16
6) f : x↦√1 − xsq
|x− 3 | − 5
7) f : x↦
1 − √x
sinπx
8) f : x↦tanx
sin(x2−π2)
9) f : x↦√2sinx− 1
2sin2x− 1
Calculs de limites
Exercice 2
limite d'une fonction en x0
{
√
ACCUEIL COURS EXERCICES DEVOIRS VIDÉO QCM NOUS CONTACTER NOUS SOUTENIR

Justifier les limites suivantes (en utilisant les limites de références du cours et les théorèmes sur les
opérations sur les limites finies) :
1) limx→ 1(x3− 3x+ 5) = 3 2) limx→ − 1(2x2+x− 2) = − 1 3) limx→ 2
3x+ 1
x− 3 = − 7
4) limx→ 3
x− 1
x2+ 1 =1
55) limx→ 1
2x2+x− 7
x2+ 3 = − 1 6) limx→π 6(3sinx+ 1) = 5
27) limx→ 5√x− 1 = 2
Extension de la notion de limite
Exercice 3
1) Déterminer la limite pour x↦+ ∞, et pour x↦− ∞, de la fonction f, dans les cas suivants :
a) f : x↦x2− 3x+ 1 b) f : x↦(x3−x)(x+ 1) c) f : x↦x2+ | x− 3 |
d) f : x↦2x2− | 5x+ 4 | e) f : x↦2x2−x
x+ 3 f) f : x↦x+ 1
x2+ 2
g) f : x↦x3− 3x
x3+x+ 2 h) f : x↦√x+ 1
√x− 1
2) Déterminer la limite quand x↦x0 de la fonction f dans les cas suivants :
a) f : x↦1
x− 1 , x0= 1 b) f : x↦−3
x2− 4 , x0= − 2 et x0= 2
c) f : x↦x2+x+ 3
(x+ 3)2(x− 2) , x0= − 3 et x0= 2 d) f : x↦tanx, x0= (2k+ 1)π
2
e) f : x↦2
1 + cosx, x0=πf) f : x↦3 1 + 2sinx, x0= − π 6
Exercice 4
Levée d'indétermination
Déterminer les limites des fonctions suivantes :
1) f : x↦x3+ 3x− 4
x− 1 en 1 , − ∞ , + ∞ 2) f : x↦x2+ 4x+ 4
x3+ 8 en − 2 , − ∞ , + ∞
3) f : x↦√1 + x2−x en − ∞ , + ∞ 4) f : x↦√3 + x− 2x
x− 1 en 1 , + ∞
5) f : x↦x3+ 6x+ 7
3x2−x− 4 en − 1 , − ∞ , + ∞ 6) f : x↦√1 + x−x en + ∞
7) f : x↦√x+ 3 − 2
x− 1 en 1 , + ∞ 8) f : x↦√x+ 1 − 2√x− 2 x− 3 en 3 , + ∞
9) f : x↦√3x+2−√11x− 6
x−√x+ 3 + 1 en 1 10) f : x↦√x2+x+ 3 − 3 x2+x− 6 en 2
11) f : x↦x2x
x+ 1 − 2x en − ∞ , + ∞ 12) f : x↦√x2− 1 + 3x x en + ∞
13) f : x↦√x2+ 4x+3−x en + ∞ 14) f : x↦√x2+ 4x+ 3 − (x+ 2) en + ∞
15) f : x↦√x2+ 4x+3+x en − ∞ 16) f : x↦√x2+ 4x+3+x+ 2 en + ∞
√

17) f : x↦√2x2− 3x+1−√x2+x− 1 en − ∞ , + ∞
18) f : x↦√x2−1−√x2+x+ 1 en − ∞ , + ∞
19) f : x↦x√x2+1−x en − ∞ , + ∞ 20) f : x↦
3√x− 1 − 2√x+ 4
√x2− 9 − 2√x− 1 en + ∞
Limite d'une fonction trigonométrique en 0
Exercice 5
Utiliser le résultat limx→ 0
sinx
x= 1 pour étudier la limite éventuelle en 0 des fonctions suivantes :
1) f : x↦sin5x
2x2) f : x↦x sin3x3) f : x↦sin5x sin4x4) f : x↦tanx x5) f : tan2x sinx
6) f : x↦sinx
√x7) f : x↦1 − cosx
x28) f : x↦sinx−x
cosx− 1
9) f : x↦sinx−x
cosx− 1 10) f : x↦sinx− tanx
3x3
11) f : x↦tan2x
√1 − cosx12) f : x↦1 − cosx
sin2πx
13) f : x↦√1 − cos4x
sin5x14) f : x↦
cos2x−√cosx
√cosx− 1 15) f : x↦sin(2x2+x)
x(x+ 1)
16) f : x↦√1 + sinx−√1 − sinx
x17) f : x↦1 − cosx
tan2x
18) f : x↦x(1 − cosx)
sin3x− 3sinx19) f : x↦2x− sinx 1 − cosx20) f : x↦x+ sinx+ sin2x
x(x2− 1)
Limite d'une fonction trigonométrique en x0
Exercice 6
Déterminer les limites éventuelles en x0 des fonctions suivantes :
1) f : x↦sin(2x−π)
tan(2x−π), x0=π 22) f : x↦sin6x
2cosx−√3, x0=π
6
3) f : x↦tanx
sin2x− 1 , x0=π 44) f : x↦
cos π
4−x− tanx
1 − sin π
4+x
, x0=π
4
5) f : x↦sinx
5cos2x+ sin2x− 4cosx, x0=π
36) f : x↦
sin π
6−x
1 − 2sinx, x0=π 6
7) f : x↦
tan x+π
2
sin2x− 2 + 2sinx− 2cosx, x0= − π 38) f : x↦sinx− cosx
x−π
4
, x0=π
6
9) f : x↦
sinx+√3cosx
−sin2x+√3cos2x, x0= − π
310) f : x↦
cosx−√3sinx
x−π
6
, x0=π
6
( )
( )
( )
( )
( )

11) f : x↦1 − sinx− cosx
1 − sinx+ cosx, x0=π 212) f : x↦cos3x 1 − 2sinx, x0
π
3
13) f : x↦
xsinx−π
2
cosx, x0=π 214) f : x↦sinx(1 − sinx) cosx, x0=π 2
Déterminer une limite par lecture graphique
Exercice 7
La courbe Cf ci-dessous représente une fonction f dans un repère orthonormé.
Déterminer graphiquement :
1) Le domaine de définition et de continuité de f
2) Les limites suivantes :
lim x→ 0 −f(x) ;
lim x→ 0 +f(x) ;
lim x→ + ∞f(x) ;
lim x→ − ∞f(x).
Exercice 8
Sur la figure ci-dessous, est tracée la courbe Cf représentative dans un repère orthonormé (0 , → i, → j)
d'une fonction f continue sur R∖0.
On sait de plus que :
∗ La droite Δ est une asymptote à la courbe Cf au voisinage de +∞.

∗ La droite d'équation y= 0 est une asymptote à la courbe Cf au voisinage de −∞. 
A partir du graphique et des renseignements fournis, déterminer les limites suivantes :
lim x→ + ∞f(x) ;
lim x→ − ∞f(x) ;
lim x→ 0 −f(x) ;
lim x→ + ∞
f(x)
x.
Exercice 9
La courbe ci-dessous est celle d'une fonction f définie sur R∗, la droite d'équation y=x est une
asymptote à la courbe au voisinage de +∞, la droite d'équation : y= 1 est une asymptote à la courbe au
voisinage de −∞ et l'axe des ordonnées est une asymptote verticale.
La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points ,l'un d'eux est d'abscisse −1 et l'autre d'abscisse α.
Déterminer les limites suivantes en utilisant le graphique :
a) lim x→ − ∞f(x) ; lim x→ + ∞f(x) ;
b) lim x→ 0 −f(x) ; lim x→ 0 +f(x)
c) lim x→ + ∞[f(x) − x]
d) lim x→α−
1
f(x); lim x→α+
1
f(x)
Utilisation de la limite d'une fonction composée
Exercice 10
Déterminer les limites éventuelles des fonctions suivantes au point considéré :
1) f : x↦cosπ(x+ 1)
x en + ∞ 2) f : x↦2x2− 1 x en + ∞ 3) f : x↦sin 1
√x en + ∞
4) f : x↦
1 − √|x|
2 + √|x| en − ∞ 5) f : x↦2x+ 1
x− 3 en + ∞
√
√