Série d'exercices limites et Continuité - TS Sunu Daara

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Série d'exercices : Limites et continuité - Ts
Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction
Exercice 1
Déterminer l'ensemble de définition f dans chacun des cas suivants :
1) f : x2+ 2x+3−x2− 3x− 4
2) f : x
x+2
x+ 4 si x≤ 0
x+3−x2+x− 2 si x> 0
3) f : x1 − 3x
x2+ 5x
4) f : x1 + 3x
x2+ 5x
5) f : x1
x3− 12x+ 16
6) f : x1 − xsq
|x− 3 | − 5
7) f : x
1 − x
sinπx
8) f : xtanx
sin(x2π2)
9) f : x2sinx− 1
2sin2x− 1
Calculs de limites
Exercice 2
limite d'une fonction en x0
{
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Justifier les limites suivantes (en utilisant les limites de références du cours et les théorèmes sur les
opérations sur les limites finies) :
1) limx→ 1(x3− 3x+ 5) = 3 2) limx − 1(2x2+x 2) = − 1 3) limx→ 2
3x+ 1
x− 3 = − 7
4) limx→ 3
x− 1
x2+ 1 =1
55) limx→ 1
2x2+x− 7
x2+ 3 = − 1 6) limxπ
6(3sinx+ 1) = 5
27) limx→ 5x− 1 = 2
Extension de la notion de limite
Exercice 3
1) Déterminer la limite pour x+ ∞, et pour x− ∞, de la fonction f, dans les cas suivants :
a) f : xx2− 3x+ 1 b) f : x(x3x)(x+ 1) c) f : xx2+ | x 3 |
d) f : x2x2 | 5x+ 4 | e) f : x2x2x
x+ 3 f) f : xx+ 1
x2+ 2
g) f : xx3− 3x
x3+x+ 2 h) f : xx+ 1
x− 1
 
2) Déterminer la limite quand xx0 de la fonction f dans les cas suivants :
a) f : x1
x− 1 , x0= 1 b) f : x3
x2− 4 , x0= − 2 et x0= 2
c) f : xx2+x+ 3
(x+ 3)2(x− 2) , x0= − 3 et x0= 2 d) f : xtanx, x0= (2k+ 1)π
2
e) f : x2
1 + cosx, x0=πf) f : x3
1 + 2sinx, x0= π
6
Exercice 4
Levée d'indétermination
Déterminer les limites des fonctions suivantes :
1) f : xx3+ 3x− 4
x− 1 en 1 , − ∞ , + 2) f : xx2+ 4x+ 4
x3+ 8 en − 2 , − , + ∞
3) f : x1 + x2x en − , + 4) f : x3 + x− 2x
x− 1 en 1 , + ∞
5) f : xx3+ 6x+ 7
3x2x− 4 en 1 , − ∞ , + ∞ 6) f : x1 + xx en +
7) f : xx+ 3 − 2
x− 1 en 1 , + ∞ 8) f : xx+ 1 − 2x− 2
x− 3 en 3 , + ∞
9) f : x3x+2−11x− 6
xx+ 3 + 1 en 1 10) f : xx2+x+ 3 − 3
x2+x− 6 en 2
11) f : xx2x
x+ 1 − 2x en , + ∞ 12) f : xx2− 1 + 3x
x en +
13) f : xx2+ 4x+3−x en + ∞ 14) f : xx2+ 4x+ 3 − (x+ 2) en +
15) f : xx2+ 4x+3+x en − ∞ 16) f : xx2+ 4x+3+x+ 2 en +
17) f : x2x2− 3x+1−x2+x− 1 en − , +
18) f : xx2−1−x2+x+ 1 en − , +
19) f : xxx2+1−x en − , + 20) f : x
3x− 1 − 2x+ 4
x2− 9 − 2x 1 en +
Limite d'une fonction trigonométrique en 0
Exercice 5
Utiliser le résultat limx→ 0
sinx
x= 1 pour étudier la limite éventuelle en 0 des fonctions suivantes :
1) f : xsin5x
2x2) f : xx
sin3x3) f : xsin5x
sin4x4) f : xtanx
x5) f : tan2x
sinx
6) f : xsinx
x7) f : x1 − cosx
x28) f : xsinxx
cosx− 1
9) f : xsinxx
cosx− 1 10) f : xsinx− tanx
3x3
11) f : xtan2x
1 − cosx12) f : x1 − cosx
sin2πx
13) f : x1 − cos4x
sin5x14) f : x
cos2xcosx
cosx− 1 15) f : xsin(2x2+x)
x(x+ 1)
16) f : x1 + sinx1 − sinx
x17) f : x1 − cosx
tan2x
18) f : xx(1 − cosx)
sin3x− 3sinx19) f : x2x− sinx
1 − cosx20) f : xx+ sinx+ sin2x
x(x2− 1)
Limite d'une fonction trigonométrique en x0
Exercice 6
Déterminer les limites éventuelles en x0 des fonctions suivantes :
1) f : xsin(2xπ)
tan(2xπ), x0=π
22) f : xsin6x
2cosx3, x0=π
6
3) f : xtanx
sin2x− 1 , x0=π
44) f : x
cos π
4x− tanx
1 − sin π
4+x
, x0=π
4
5) f : xsinx
5cos2x+ sin2x− 4cosx, x0=π
36) f : x
sin π
6x
1 − 2sinx, x0=π
6
7) f : x
tan x+π
2
sin2x− 2 + 2sinx− 2cosx, x0= π
38) f : xsinx− cosx
xπ
4
, x0=π
6
9) f : x
sinx+3cosx
sin2x+3cos2x, x0= π
310) f : x
cosx3sinx
xπ
6
, x0=π
6
( )
( )
( )
( )
( )
11) f : x1 − sinx− cosx
1 − sinx+ cosx, x0=π
212) f : xcos3x
1 − 2sinx, x0
π
3
13) f : x
xsinxπ
2
cosx, x0=π
214) f : xsinx(1 − sinx)
cosx, x0=π
2
Déterminer une limite par lecture graphique
Exercice 7
La courbe Cf ci-dessous représente une fonction f dans un repère orthonormé.
Déterminer graphiquement :
1) Le domaine de définition et de continuité de f
2) Les limites suivantes :
lim x→ 0 f(x) ;
lim x→ 0 +f(x) ;
lim x + ∞f(x) ;
lim x − ∞f(x).
Exercice 8
Sur la figure ci-dessous, est tracée la courbe Cf représentative dans un repère orthonormé (0 ,
i,
j)
d'une fonction f continue sur R0.
On sait de plus que :
La droite Δ est une asymptote à la courbe Cf au voisinage de +∞.
La droite d'équation y= 0 est une asymptote à la courbe Cf au voisinage de ∞.
A partir du graphique et des renseignements fournis, déterminer les limites suivantes :
lim x + ∞f(x) ;
lim x − ∞f(x) ;
lim x→ 0 f(x) ;
lim x + ∞
f(x)
x.
Exercice 9
La courbe ci-dessous est celle d'une fonction f définie sur R, la droite d'équation y=x est une
asymptote à la courbe au voisinage de +, la droite d'équation : y= 1 est une asymptote à la courbe au
voisinage de et l'axe des ordonnées est une asymptote verticale.
La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points ,l'un d'eux est d'abscisse 1 et l'autre d'abscisse α.
Déterminer les limites suivantes en utilisant le graphique :
a) lim x − ∞f(x) ; lim x + ∞f(x) ;
b) lim x→ 0 f(x) ; lim x→ 0 +f(x)
c) lim x + ∞[f(x) − x]
d) lim xα
1
f(x); lim xα+
1
f(x)
Utilisation de la limite d'une fonction composée
Exercice 10
Déterminer les limites éventuelles des fonctions suivantes au point considéré :
1) f : xcosπ(x+ 1)
x en + 2) f : x2x2− 1
x en + 3) f : xsin 1
x en +
4) f : x
1 − |x|
2 + |x| en − 5) f : x2x+ 1
x− 3 en +
1 / 17 100%

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