Pr : Saddoki
Les limites d’une fonction numérique/Cours
1ere Sc Maths
Groupe scolaire
La Morale
I) Limite d'une fonction numérique au voisinage de l'infini
1) Limite infinie au voisinage de l’infini
Activité :
On considère la fonction définie sur par
On s’intéresse aux valeurs prises par la fonction f pour les grandes valeurs de
Remplir le tableau suivant : (on arrondira les valeurs à 3 chiffres après la virgule)
Nous remarquons que grandit quand grandit
Donnons un sens plus précis à la phrase : « grandit quand grandit ».
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
Plus généralement, si est un réel positif donné, Peut-on avoir ?
pour quelles valeurs de ?
l’allure de la courbe de la fonction
Ainsi, nous pouvons rendre très grand et aussi grand que nous voulons, et pour cela il suffit de choisir assez
grand.
On traduit ce fait en disant que la limite de quand tend vers est égale à et on écrit :
Définitions :
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme
1) On dit que f tend vers quand tend vers si peut être aussi grand qu’on veut pour assez grand.
et on écrit
2) D’une manière analogue : On dit que f tend vers quand tend vers si peut être aussi petit qu’on
veut pour assez grand. et on écrit
Définitions :
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme
3) On dit que f tend vers quand tend vers si peut être aussi grand qu’on veut pour assez petit.
et on écrit
4) On dit que f tend vers quand tend vers si et seulement peut être aussi petit qu’on veut pour
assez petit. et on écrit
Propriétés : Soit , On a :
•
•
• Si n est pair alors :
• Si n est impair alors :
Exemples :
Pr : Saddoki
Les limites d’une fonction numérique/Cours
1ere Sc Maths
Groupe scolaire
La Morale
2) Limite finie au voisinage de l’infini
Activité :
On considère la fonction définie sur par
On s’intéresse aux valeurs prises par la fonction f pour les grandes valeurs de
Remplir le tableau suivant :
Nous remarquons que se rapproche de quand grandit
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
Plus généralement, si est un réel strictement positif donné,
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
l’allure de la courbe de la fonction
Ainsi, nous pouvons rendre aussi proche de que nous voulons, et pour cela il suffit de choisir assez grand.
On traduit ce fait en disant que la limite de quand tend vers est égale à et on écrit
Définitions :
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme et un nombre réel
1) On dit que f tend vers quand tend vers si peut aussi proche de que nous voulons pour assez
grand. et on écrit
2) D’une manière analogue : On dit que f tend vers quand tend vers si peut aussi proche de que nous
voulons pour assez petit. et on écrit
Propriétés : Soit , On a :
•
•
•
Exemples :
II) Limites au voisinage d’un nombre réel
1) Limite infinie au voisinage d’un nombre réel
Activité :
On considère la fonction définie sur par
On s’intéresse aux valeurs prises par la fonction f pour les valeurs de très proches de
Remplir le tableau suivant :
Pr : Saddoki
Les limites d’une fonction numérique/Cours
1ere Sc Maths
Groupe scolaire
La Morale
Nous remarquons que grandit quand se rapproche de
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
Plus généralement, si est un réel strictement positif donné,
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
l’allure de la courbe de la fonction
Ainsi, nous pouvons rendre aussi grand que nous voulons, et pour cela il suffit de choisir assez proche de .
On traduit ce fait en disant que la limite de quand tend vers est égale à et on écrit
Définitions : Soit f une fonction définie sur un ensemble tel que et sont deux nombres réels
1) On dit que f tend vers quand tend vers si peut aussi grand que nous voulons pour assez proche de
. et on écrit
2) D’une manière analogue : On dit que f tend vers quand tend vers si peut aussi petit que nous
voulons pour assez proche de . et on écrit
Propriété : Soit
Si n est pair alors :
Exemples :
2) Limite finie au voisinage d’un nombre réel
Activité : On considère la fonction définie sur par
On s’intéresse aux valeurs prises par la fonction f pour les valeurs de très proches de
Remplir le tableau suivant :
Nous remarquons que se rapproche de quand se rapproche de
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
Plus généralement, si est un réel strictement positif donné,
Peut-on avoir ? pour quelles valeurs de ?
l’allure de la courbe de la fonction
Ainsi, nous pouvons rendre aussi proche de que nous voulons, et pour cela il suffit de choisir assez proche
de . On traduit ce fait en disant que la limite de quand tend vers est égale à et on écrit
Pr : Saddoki
Les limites d’une fonction numérique/Cours
1ere Sc Maths
Groupe scolaire
La Morale
Définition :
Soit f une fonction définie sur un ensemble tel que et sont deux nombres réels
On dit que f tend vers un nombre réel quand tend vers si peut aussi proche de que nous voulons pour
assez proche de . et on écrit
Propriétés :
Soit On a :
•
• Si alors :
• Si alors :
Exemples :
3) Limite à gauche – limite à droite
Activité :
On considère les fonctions définies par : et et
On s’intéresse aux valeurs prises par ces trois fonctions pour les valeurs de très proches de
Remplir le tableau suivant :
A partir du tableau des valeurs et pour chacune des trois fonctions, décrire le comportement des images de
quand tend vers , puis déduire la limite (les limites) de la fonction quand tend vers
1)
la courbe
2)
L’allure de la courbe
3)
L’allure de la courbe
Pr : Saddoki
Les limites d’une fonction numérique/Cours
1ere Sc Maths
Groupe scolaire
La Morale
Définitions : Soit f une fonction définie sur un ensemble tel que et sont deux nombres réels
1) On dit que f tend vers un nombre réel quand tend vers à droite et on écrit
ou
si peut aussi proche de que nous voulons pour assez proche de et plus grand que
2) On dit que f tend vers (resp « ») quand tend vers à droite et on écrit
(resp «
») si peut être aussi grand (resp « aussi petit ») que nous voulons pour assez proche
de et plus grand que
Définitions : Soit f une fonction définie sur un ensemble tel que et sont deux nombres réels
3) On dit que f tend vers un nombre réel quand tend vers à gauche et on écrit
ou
si peut aussi proche de que nous voulons pour assez proche de et plus petit que
4) On dit que f tend vers (resp « ») quand tend vers à gauche et on écrit
(resp «
») si peut être aussi grand (resp « aussi petit ») que nous voulons pour assez proche
de et plus petit que
Propriétés : Soit , On a :
•
•
• Si n est pair alors :
• Si n est impair alors :
Exemples :
III) Les opérations sur les limites :
4) limite d’une somme de deux fonctions
Soient f et g deux fonctions numériques et a un nombre réel ou +∞ ou −∞.
On admettra les propriétés suivantes dont les résultats sont intuitifs :
FI
Exemples :
Calculons les limites suivantes :
1)
2)
3)
5) limite du produit de deux fonctions
Soient f et g deux fonctions numériques et a un nombre réel ou +∞ ou −∞.
On admettra les propriétés suivantes :
FI
6
7
8
9
10
11
12
1
/
12
100%
