Pr : Saddoki
Les limites d’une fonction numérique/Cours
1ere Sc Maths
Groupe scolaire
La Morale
I) Limite d'une fonction numérique au voisinage de l'infini
1) Limite infinie au voisinage de l’infini
Activité :
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
On s’intéresse aux valeurs prises par la fonction f pour les grandes valeurs de 𝑥
Remplir le tableau suivant : (on arrondira les valeurs à 3 chiffres après la virgule)
𝑥
1
4
10
35
100
302
1000
4677
106
𝑥2
……
+∞
……
Nous remarquons que 𝑥 2 grandit quand 𝑥 grandit
Donnons un sens plus précis à la phrase : « 𝑥 2 grandit quand 𝑥 grandit ».
Peut-on avoir 𝑥 2 > 100 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
Peut-on avoir 𝑥 2 > 104 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
Peut-on avoir 𝑥 2 > 106 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
Plus généralement, si 𝐴 est un réel positif donné, Peut-on avoir 𝑥 2 > 𝐴 ?
pour quelles valeurs de 𝑥 ?
l’allure de la courbe de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
Ainsi, nous pouvons rendre 𝑥 2 très grand et aussi grand que nous voulons, et pour cela il suffit de choisir 𝑥 assez
grand.
On traduit ce fait en disant que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers +∞ est égale à +∞ et on écrit : 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→+∞
Définitions :
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]𝛼; +∞[
1) On dit que f tend vers +∞ quand 𝑥 tend vers +∞ si 𝑓(𝑥) peut être aussi grand qu’on veut pour 𝑥 assez grand.
et on écrit 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→+∞
2) D’une manière analogue : On dit que f tend vers −∞ quand 𝑥 tend vers +∞ si 𝑓(𝑥) peut être aussi petit qu’on
veut pour 𝑥 assez grand. et on écrit 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = −∞
𝑥→+∞
Définitions :
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]−∞; 𝛼[
3) On dit que f tend vers +∞ quand 𝑥 tend vers −∞ si 𝑓(𝑥) peut être aussi grand qu’on veut pour 𝑥 assez petit.
et on écrit 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→−∞
4) On dit que f tend vers −∞ quand 𝑥 tend vers −∞ si et seulement 𝑓(𝑥) peut être aussi petit qu’on veut pour 𝑥
assez petit. et on écrit 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = −∞
𝑥→−∞
Propriétés : Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ , On a :
•
𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑛 = +∞
Exemples :
𝑙𝑖𝑚 𝑥 =
𝑥→+∞
•
•
•
𝑥→+∞
𝑙𝑖𝑚 √𝑥 = +∞
𝑙𝑖𝑚 𝑥 2 =
𝑥→+∞
Si n est pair alors : 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑛 = +∞
𝑥→−∞
𝑛
Si n est impair alors : 𝑙𝑖𝑚 𝑥 = −∞
𝑥→−∞
𝑥→+∞
𝑙𝑖𝑚 𝑥 5 =
𝑥→+∞
𝑙𝑖𝑚 𝑥 3 =
𝑥→−∞
𝑙𝑖𝑚 𝑥 12 =
𝑥→−∞
𝑙𝑖𝑚 𝑥 2021 =
𝑥→−∞
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1ere Sc Maths
2) Limite finie au voisinage de l’infini
Activité :
1
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥
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La Morale
On s’intéresse aux valeurs prises par la fonction f pour les grandes valeurs de 𝑥
Remplir le tableau suivant :
𝑥
1
4
10
35
100
302
1000
4677
106
……
𝑓(𝑥)
+∞
……
Nous remarquons que 𝑓(𝑥) se rapproche de 2 quand 𝑥 grandit
Peut-on avoir 𝑓(𝑥) − 2 < 1 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
Peut-on avoir 𝑓(𝑥) − 2 < 0,1 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
Peut-on avoir 𝑓(𝑥) − 2 < 00,1 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
Plus généralement, si 𝜀 est un réel strictement positif donné,
Peut-on avoir 𝑓(𝑥) − 2 < 𝜀 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
l’allure de la courbe de la fonction 𝑓(𝑥) = 2 +
1
𝑥
Ainsi, nous pouvons rendre 𝑓(𝑥) aussi proche de 2 que nous voulons, et pour cela il suffit de choisir 𝑥 assez grand.
On traduit ce fait en disant que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers +∞ est égale à 2 et on écrit 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 2
𝑥→+∞
Définitions :
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]𝛼; +∞[ et 𝑎 un nombre réel
1) On dit que f tend vers 𝑎 quand 𝑥 tend vers +∞ si 𝑓(𝑥) peut aussi proche de 𝑎 que nous voulons pour 𝑥 assez
grand. et on écrit 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑎
𝑥→+∞
2) D’une manière analogue : On dit que f tend vers 𝑎 quand 𝑥 tend vers −∞ si 𝑓(𝑥) peut aussi proche de 𝑎 que nous
voulons pour 𝑥 assez petit. et on écrit 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑎
𝑥→−∞
Propriétés : Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ , On a :
1
• 𝑙𝑖𝑚 𝑛
𝑥→+∞ 𝑥
1
• 𝑙𝑖𝑚 𝑛
𝑥
𝑥→−∞
1
• 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞ √𝑥
Exemples :
=0
𝑙𝑖𝑚
1
𝑥→+∞ 𝑥
=0
𝑙𝑖𝑚
=
1
𝑥→+∞ 𝑥 2
=0
𝑙𝑖𝑚
1
𝑥→−∞ 𝑥 7
=
𝑙𝑖𝑚
=
1
𝑥→−∞ 𝑥 18
=
II) Limites au voisinage d’un nombre réel
1) Limite infinie au voisinage d’un nombre réel
Activité :
1
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = |𝑥−2|
On s’intéresse aux valeurs prises par la fonction f pour les valeurs de 𝑥 très proches de 2
Remplir le tableau suivant :
𝑥
𝑓(𝑥)
1
1,5
1,9
1,99
1,999 1,9999 …
…
2
… 2,0001 2,001 2,01
…
2,1
2,5
3
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La Morale
Nous remarquons que 𝑓(𝑥) grandit quand 𝑥 se rapproche de 2
Peut-on avoir 𝑓(𝑥) > 1 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
Peut-on avoir 𝑓(𝑥) > 0,1 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
Peut-on avoir 𝑓(𝑥) > 00,1 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
Plus généralement, si 𝐴 est un réel strictement positif donné,
Peut-on avoir 𝑓(𝑥) > 𝐴 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
1
𝑥−2|
l’allure de la courbe de la fonction 𝑓(𝑥) = |
Ainsi, nous pouvons rendre 𝑓(𝑥) aussi grand que nous voulons, et pour cela il suffit de choisir 𝑥 assez proche de 2.
On traduit ce fait en disant que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 2 est égale à +∞ et on écrit 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→2
Définitions : Soit f une fonction définie sur un ensemble ]𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼[ ∖ {𝑎} tel que 𝑎 et 𝛼 sont deux nombres réels
1) On dit que f tend vers +∞ quand 𝑥 tend vers 𝑎 si 𝑓(𝑥) peut aussi grand que nous voulons pour 𝑥 assez proche de
𝑎. et on écrit 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→𝑎
2) D’une manière analogue : On dit que f tend vers −∞ quand 𝑥 tend vers 𝑎 si 𝑓(𝑥) peut aussi petit que nous
voulons pour 𝑥 assez proche de 𝑎. et on écrit 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = −∞
𝑥→𝑎
Propriété : Soit 𝑛 ∈ ℕ∗
Si n est pair alors :
1
𝑙𝑖𝑚 𝑛
𝑥→0 𝑥
Exemples :
= +∞
𝑙𝑖𝑚
1
𝑥→0 𝑥 2
=
𝑙𝑖𝑚
1
𝑥→−∞ 𝑥 18
=
2) Limite finie au voisinage d’un nombre réel
Activité : On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = √𝑥
On s’intéresse aux valeurs prises par la fonction f pour les valeurs de 𝑥 très proches de 9
Remplir le tableau suivant :
𝑥
𝑓(𝑥)
8
8,5
8,9
8,99
8,999 8,9999 …
…
9
… 9,0001 9,001 9,01
9,1
9,5
10
…
Nous remarquons que 𝑓(𝑥) se rapproche de 3 quand 𝑥 se rapproche de 9
Peut-on avoir |𝑓(𝑥) − 3| ≤ 1 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
Peut-on avoir |𝑓(𝑥) − 3| ≤ 0,1 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
Peut-on avoir |𝑓(𝑥) − 3| ≤ 0,01 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
Plus généralement, si 𝜀 est un réel strictement positif donné,
Peut-on avoir |𝑓(𝑥) − 3| ≤ 𝜀 ? pour quelles valeurs de 𝑥 ?
l’allure de la courbe de la fonction 𝑓(𝑥) = √𝑥
Ainsi, nous pouvons rendre 𝑓(𝑥) aussi proche de 3 que nous voulons, et pour cela il suffit de choisir 𝑥 assez proche
de 9. On traduit ce fait en disant que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 9 est égale à 3 et on écrit 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 3
𝑥→9
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Définition :
Soit f une fonction définie sur un ensemble ]𝑎 − 𝛼; 𝑎 + 𝛼[ ∖ {𝑎} tel que 𝑎 et 𝛼 sont deux nombres réels
On dit que f tend vers un nombre réel 𝑏 quand 𝑥 tend vers 𝑎 si 𝑓(𝑥) peut aussi proche de 𝑏 que nous voulons pour 𝑥
assez proche de 𝑎. et on écrit 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑏
𝑥→𝑎
Propriétés :
Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ On a :
•
𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛
Exemples :
𝑙𝑖𝑚 𝑥 2 =
1
𝑙𝑖𝑚 𝑥 =
𝑥→1
𝑥→𝑎
1
𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑛
𝑥→𝑎
=
1
𝑎𝑛
•
Si 𝑎 ≠ 0 alors :
•
Si 𝑎 > 0 alors : 𝑙𝑖𝑚 √𝑥 = √𝑎
𝑥→2
𝑙𝑖𝑚 𝑥 3 =
1
𝑥
𝑥→−2 3
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
𝑙𝑖𝑚 √𝑥 =
=
𝑙𝑖𝑚 √𝑥 =
𝑥→4
𝑥→7
𝑥→𝑎
3) Limite à gauche – limite à droite
Activité :
1
On considère les fonctions définies par : 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 et 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 3 et ℎ(𝑥) = 𝑥−3
On s’intéresse aux valeurs prises par ces trois fonctions pour les valeurs de 𝑥 très proches de 3
Remplir le tableau suivant :
𝑥
1
2,5
2,9
2,99
2,999 2,9999 …
3
… 3,0001 3,001 3,01
𝑓(𝑥)
…
…
𝑔(𝑥)
…
…
ℎ(𝑥)
…
…
3,1
3,5
4
A partir du tableau des valeurs et pour chacune des trois fonctions, décrire le comportement des images de 𝑥
quand 𝑥 tend vers 3, puis déduire la limite (les limites) de la fonction quand 𝑥 tend vers 3
1)
la courbe (𝐶𝑓 )
2)
L’allure de la courbe (𝐶𝑔 )
3)
L’allure de la courbe (𝐶ℎ )
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La Morale
Définitions : Soit f une fonction définie sur un ensemble ]𝑎; 𝑎 + 𝛼[ tel que 𝑎 et 𝛼 sont deux nombres réels
1) On dit que f tend vers un nombre réel 𝑏 quand 𝑥 tend vers 𝑎 à droite et on écrit 𝑙𝑖𝑚+𝑓(𝑥) = 𝑏 ou 𝑥→𝑎
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑏
𝑥→𝑎
𝑥>𝑎
si 𝑓(𝑥) peut aussi proche de 𝑏 que nous voulons pour 𝑥 assez proche de 𝑎 et plus grand que 𝑎
2) On dit que f tend vers +∞ (resp «−∞ ») quand 𝑥 tend vers 𝑎 à droite et on écrit 𝑙𝑖𝑚+𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→𝑎
(resp « 𝑙𝑖𝑚+𝑓(𝑥) = −∞ ») si 𝑓(𝑥) peut être aussi grand (resp « aussi petit ») que nous voulons pour 𝑥 assez proche
𝑥→𝑎
de 𝑎 et plus grand que 𝑎
Définitions : Soit f une fonction définie sur un ensemble ]𝑎 − 𝛼; 𝑎[ tel que 𝑎 et 𝛼 sont deux nombres réels
3) On dit que f tend vers un nombre réel 𝑏 quand 𝑥 tend vers 𝑎 à gauche et on écrit 𝑙𝑖𝑚−𝑓(𝑥) = 𝑏 ou 𝑥→𝑎
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑏
𝑥→𝑎
𝑥<𝑎
si 𝑓(𝑥) peut aussi proche de 𝑏 que nous voulons pour 𝑥 assez proche de 𝑎 et plus petit que 𝑎
4) On dit que f tend vers +∞ (resp «−∞ ») quand 𝑥 tend vers 𝑎 à gauche et on écrit 𝑙𝑖𝑚−𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→𝑎
(resp « 𝑙𝑖𝑚−𝑓(𝑥) = −∞ ») si 𝑓(𝑥) peut être aussi grand (resp « aussi petit ») que nous voulons pour 𝑥 assez proche
𝑥→𝑎
de 𝑎 et plus petit que 𝑎
Propriétés : Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ , On a :
•
•
1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+ √𝑥
1
𝑙𝑖𝑚+ 𝑛
𝑥
𝑥→0
Exemples :
1
1
𝑙𝑖𝑚− 𝑥 8 =
𝑙𝑖𝑚+ 𝑥 =
= +∞
𝑥→0
𝑥→0
= +∞
1
𝑥→0 𝑥 𝑛
1
𝑙𝑖𝑚+ 𝑥 2
𝑥→0
•
Si n est pair alors : 𝑙𝑖𝑚−
= +∞
•
Si n est impair alors : 𝑙𝑖𝑚− 𝑥 𝑛 = −∞
𝑙𝑖𝑚
=
=
1
1
𝑙𝑖𝑚+ 𝑥 7 =
𝑙𝑖𝑚− 𝑥 5 =
1
1
𝑥→0− 𝑥 9
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0
III) Les opérations sur les limites :
4) limite d’une somme de deux fonctions
Soient f et g deux fonctions numériques et a un nombre réel ou +∞ ou −∞.
On admettra les propriétés suivantes dont les résultats sont intuitifs :
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)
𝑙
𝑙
𝑙
+∞
−∞
+∞
𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥)
𝑙′
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
𝑙 + 𝑙′
+∞
−∞
+∞
−∞
FI
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎
Exemples :
Calculons les limites suivantes :
1) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 2 + √𝑥
2) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 2 + 5
3) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 3 + 𝑥
𝑥→+∞
𝑥→9
𝑥→−∞
5) limite du produit de deux fonctions
Soient f et g deux fonctions numériques et a un nombre réel ou +∞ ou −∞.
On admettra les propriétés suivantes :
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)
𝑙
𝑙>0
𝑙<0
𝑙>0
𝑙<0
+∞
+∞
−∞
−∞
𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥)
𝑙′
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
−∞
±∞
𝑙 × 𝑙′
+∞
−∞
−∞
+∞
+∞
−∞
+∞
FI
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎
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Exemples :
Calculons les limites suivantes :
1) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 2 √𝑥
2) 𝑙𝑖𝑚 − 5𝑥 2
3) 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 3 + 1)(𝑥 2 − 3)
𝑥→+∞
𝑥→9
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𝑥→−∞
6) limite d’un quotient de deux fonctions
Soient f et g deux fonctions numériques et a un nombre réel ou +∞ ou −∞.
On admettra les propriétés suivantes :
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)
𝑙
𝑙
𝑙>0
𝑙<0
𝑙>0
𝑙<0
0
∞
𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥)
𝑙′ ≠ 0
±∞
0+
0+
0−
0−
0
±∞
𝑙 ⁄𝑙 ′
0
+∞
−∞
−∞
+∞
FI
FI
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑙𝑖𝑚
𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
Exemples :
Calculons les limites suivantes :
1) 𝑙𝑖𝑚
𝑥2
−3
2) 𝑙𝑖𝑚
3) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞ 2𝑥 2 +5
𝑥→2 𝑥+1
𝑥→0
3𝑥−5
4) 𝑙𝑖𝑚
2𝑥−2
𝑥→1 𝑥 2 −1
𝑥2
5) 𝑙𝑖𝑚
𝑥2
𝑥→+∞ 3𝑥−5
IV) Limites des fonctions usuelles
1) Limites des fonctions polynomiales
Propriétés :
1) La limite d’une fonction polynomiale 𝑓 quand 𝑥 tend vers un nombre réel 𝑎 est 𝑓(𝑎)
2) La limite d’une fonction polynomiale quand 𝑥 tend vers +∞ (ou −∞) est égale à la limite de son terme de plus
haut degré
Soit 𝑃(𝑥) le polynôme 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 tel que 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … , 𝑎0 , des nombres reéls et 𝑎𝑛 ≠ 0 et
𝑎 un nombre réel, On a :
1) 𝑙𝑖𝑚 𝑃(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 = 𝑃(𝑎)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
2) 𝑙𝑖𝑚 𝑃(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 = 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑠𝑔(𝑎𝑛 ) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑛
𝑥→±∞
𝑥→±∞
𝑥→±∞
𝑥→±∞
Exercice :
Calculer les limites suivantes :
1) 𝑙𝑖𝑚 3𝑥 2 + 𝑥 + 2
𝑥→1
2) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 3 + 2𝑥 − 3
𝑥→−2
3) 𝑙𝑖𝑚 − 𝑥 2 + 2𝑥 − 1
𝑥→+∞
4) 𝑙𝑖𝑚 + 5𝑥 − 2𝑥
𝑥→+∞
3
5) 𝑙𝑖𝑚 3𝑥 2 − 3𝑥 + 4
𝑥→−∞
2
6) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 + −7𝑥 − 6
𝑥→−∞
7) 𝑙𝑖𝑚 (2𝑥 2 + 𝑥 − 6)(3𝑥 − 2) − 6𝑥 3 + 𝑥
𝑥→1
8) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 2 − 3𝑥 + |2𝑥 − 𝑥 2 |
𝑥→−∞
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2) Limites d’une fonction rationnelle
Propriété 1 : limites d’une fonction rationnelle au voisinage de l’infinie
La limite d’une fonction rationnelle quand 𝑥 tend vers +∞ (ou −∞) est égale à la limite du rapport de ces deux
termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur
Soient 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … , 𝑎0 des nombres réels tels que 𝑎𝑛 ≠ 0 et 𝑏𝑚 , 𝑏𝑚−1 , … , 𝑏0 des nombres réels tels que 𝑏𝑚 ≠ 0
et 𝑎 un nombre réel.
Le digramme suivant résume les différents cas de la limite d’une fonction rationnelle au voisinage de l’infini :
𝑙𝑖𝑚
𝑎𝑛
𝑥→±∞ 𝑏𝑚
𝑙𝑖𝑚
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 +𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +⋯+𝑎0
𝑥→±∞ 𝑏𝑚 𝑥 𝑚 +𝑏𝑚−1 𝑥 𝑚−1 +⋯+𝑏0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑎𝑛 𝑥 𝑛
𝑥→+∞ 𝑏𝑚 𝑥 𝑚
=
𝑙𝑖𝑚
𝑛=𝑚
𝑥 𝛼 = ±∞
𝑎𝑛
𝑥→±∞ 𝑏𝑚
𝑛>𝑚
𝑛>𝑚
𝑙𝑖𝑚
𝑎𝑛
𝑎
= 𝑏𝑛
𝑚
1
𝑥→±∞ 𝑏𝑚 𝑥 𝛼
=0
Exemples :
Calculons les limites suivantes :
1)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥 2 +2
2) 𝑙𝑖𝑚
𝑥 2 +3𝑥+1
𝑥→+∞
3𝑥+1
𝑥 2 +3𝑥
3) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑥 3 +𝑥+1
3𝑥−6
Exercice :
Calculer les limites suivantes :
6𝑥 3 +2𝑥−3
𝑥→+∞ 5𝑥 3 +2𝑥−3
1) 𝑙𝑖𝑚
3𝑥 3 +2
𝑥→+∞ −2𝑥 2 +2𝑥−1
2) 𝑙𝑖𝑚
𝑥 2 +2
𝑥→+∞ −3𝑥 5 +2𝑥−1
3) 𝑙𝑖𝑚
𝑥 2 +𝑥−6
𝑥→+∞ (𝑥−2)2
4) 𝑙𝑖𝑚
3|−𝑥 2 −𝑥+6|
𝑥→−∞ (2𝑥−1)2
5) 𝑙𝑖𝑚
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Propriété 2 : limites d’une fonction rationnelle au voisinage d’un nombre réel
Soient 𝑃(𝑥) et 𝑄(𝑥) deux polynômes et 𝑎 un nombre réel
𝑃(𝑥)
𝑃(𝑎)
1) Si 𝑄(𝑎) ≠ 0 alors 𝑙𝑖𝑚 𝑄(𝑥) = 𝑄(𝑎)
𝑥→𝑎
𝑃(𝑥)
2) Si 𝑃(𝑎) ≠ 0 et 𝑄(𝑎) = 0 et 𝑄(𝑥) est positive au voisinage de 𝑎 alors : 𝑙𝑖𝑚 𝑄(𝑥) = 𝑠𝑔(𝑃(𝑎)) ∞
𝑥→𝑎
𝑃(𝑥)
3) Si 𝑃(𝑎) ≠ 0 et 𝑄(𝑎) = 0 et 𝑄(𝑥) est négative au voisinage de 𝑎 alors : 𝑙𝑖𝑚 𝑄(𝑥) = −𝑠𝑔(𝑃(𝑎)) ∞
𝑥→𝑎
4) Si 𝑃(𝑎) = 0 et 𝑄(𝑎) = 0 alors il existe deux polynômes 𝑃
′ (𝑥)
et 𝑄
′ (𝑥)
tels que
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
(𝑥−𝑎)×𝑃′ (𝑥)
= (𝑥−𝑎)×𝑄′(𝑥)
𝑃′ (𝑥)
𝑃(𝑥)
Ce qui implique : 𝑙𝑖𝑚 𝑄(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑄′ (𝑥)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Soient 𝑃(𝑥) et 𝑄(𝑥) deux polynômes et 𝑎 un nombre réel
𝑃(𝑥)
Le digramme suivant résume le processus à suivre pour calculer la limite 𝑙𝑖𝑚 𝑄(𝑥) :
𝑥→𝑎
𝑃(𝑥)
(∗) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎 𝑄(𝑥)
𝑃(𝑎) ≠ 0
{
𝑄(𝑎) = 0
𝑄(𝑎) ≠ 0
Alors
𝑙𝑖𝑚
𝑃(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑄(𝑥)
=
𝑃(𝑎)
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑎)
𝑄(𝑥)
Alors
𝑙𝑖𝑚
⇝
𝑃(𝑎)
𝑃(𝑥)
0
𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑄(𝑥)
- Dans ce cas nous devons étudier le signe de 𝑄(𝑥) pour déterminer
si (𝑄(𝑥) ⇝ 0+ ) ou bien (𝑄(𝑥) ⇝ 0− ) pour pouvoir conclure, en tenant
compte du signe du réel 𝑃(𝑎) .
- si 𝑄(𝑥) a deux signes opposes à gauche et à droite de 𝑎 alors dans ce cas
𝑃(𝑥)
nous serons amenés à calculer distinctivement les deux limites 𝑙𝑖𝑚+
et 𝑙𝑖𝑚−
𝑃(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑄(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑄(𝑥)
= ±∞
(𝑥−𝑎)×𝑃′ (𝑥)
= (𝑥−𝑎)×𝑄′
= 𝑄′ (𝑥)
- Dans ce cas nous devons factoriser 𝑃(𝑥) et 𝑄(𝑥) par (𝑥 − 𝑎)
puis simplifie la fraction par (𝑥 − 𝑎).
ensuite revenir à la case départ (∗) du processus et calculer
la limite avec les nouveaux polynômes 𝑃 ′ (𝑥) et 𝑄′ (𝑥) qui
jouerons respectivement les rôles de 𝑃(𝑥) et 𝑄(𝑥)
Exemples :
Calculons les limites suivantes :
𝑥 2 +2
𝑥→2 3𝑥+1
3𝑥+1
2) 𝑙𝑖𝑚 (𝑥−1)2
𝑥→1
(𝑥)
𝑃 ′ (𝑥)
que seront égales l’une à +∞ et l’autre à −∞
1) 𝑙𝑖𝑚
𝑃(𝑥) ⇠ 𝑃 ′ (𝑥)
{
𝑄(𝑥) ⇠ 𝑄 ′ (𝑥)
𝑃(𝑎) = 0
{
𝑄(𝑎) = 0
3) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥 2 +𝑥+1
3𝑥−6
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Exercice :
Calculer les limites suivantes :
1) 𝑙𝑖𝑚
3𝑥 2 +2
𝑥→0 3𝑥+1
2) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥 3 +2𝑥−3
𝑥 2 +2𝑥−3
3)𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥 2 +2
−𝑥 2 +2𝑥−1
4) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥 2 +𝑥−6
𝑥−2
5) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
6) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥 3 +3𝑥−4
2𝑥 2 −2𝑥
𝑥 2 +𝑥−6
𝑥−2
Groupe scolaire
La Morale
7) 𝑙𝑖𝑚
𝑥 3 −1
𝑥→1 𝑥 2 −1
8) 𝑙𝑖𝑚
6𝑥 2 +4𝑥−2
𝑥→−1 3𝑥 2 +2𝑥−1
Pr : Saddoki
Les limites d’une fonction numérique/Cours
Groupe scolaire
La Morale
1ere Sc Maths
3) Limites de la fonction racine de f
Propriété : Soit f une fonction positive et 𝑎 un nombre réel ou +∞ ou −∞ et 𝑙 un nombre réel positif
•
Si 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑙 alors 𝑙𝑖𝑚 √𝑓(𝑥) = √𝑙
•
Si 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = +∞ alors 𝑙𝑖𝑚 √𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Exemples :
Calculons les limites suivantes :
3𝑥 2 −1
2) 𝑙𝑖𝑚 √𝑥 2 − 1
1) 𝑙𝑖𝑚 √2𝑥 + 1
𝑥→3
3) 𝑙𝑖𝑚 √
𝑥→+∞
𝑥→−∞
𝑥 2 +𝑥
Exercice :
Calculer les limites suivantes :
1) 𝑙𝑖𝑚 √𝑥 2 − 1 + 𝑥 + 3
𝑥→+∞
2) 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 + 1)√2𝑥 2 − 𝑥
3) 𝑙𝑖𝑚+
𝑥→−∞
𝑥→3
𝑥−4
√𝑥−3
4) Limites des fonctions trigonométriques
Propriété :
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑥
= 1 et
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑥
=1
et
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑥2
1
=2
Exemples :
Calculons les limites suivantes :
1) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛(𝑥)
3𝑥
2) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑡𝑎𝑛(5𝑥)
3𝑥
𝑡𝑎𝑛(5𝑥)
𝑥→0 𝑠𝑖𝑛(2𝑥)
3) 𝑙𝑖𝑚
4) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
3+𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑥
1
=2
Pr : Saddoki
Les limites d’une fonction numérique/Cours
1ere Sc Maths
5) Ordre des fonctions et limites
Propriétés :
Soient f et g et h trois fonctions définies sur un ensemble
𝐼 = ]𝑎 − 𝛼 ; 𝑎 + 𝛼[ ∖ {𝑎} tel que a et 𝛼 sont deux nombres réels
1) Si 𝑔 ≤ 𝑓 ≤ ℎ sur 𝐼 et que 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥) = 𝑙 , alors 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑙
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Groupe scolaire
La Morale
𝑥→𝑎
2) Si 𝑔 ≤ 𝑓 sur 𝐼 et que 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) = +∞ , alors 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
3) Si 𝑓 ≤ ℎ sur 𝐼 et que 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥) = −∞ , alors 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = −∞
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Ces propriétés restent valables quand 𝑥 tend vers a à droite ou à gauche ou vers +∞ ou −∞
Exemples :
Calculons les limites suivantes :
1
𝑥
1) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 ( )
𝑥→0
𝑡𝑎𝑛(5𝑥)
3𝑥
𝑥→0
2) 𝑙𝑖𝑚
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑥→+∞ 𝑥 3
3) 𝑙𝑖𝑚
4) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥√𝑥 2 +3+𝑥
√𝑥 2 +3
V) La forme indéterminée (+∞ − ∞)
Exemple : 𝑙𝑖𝑚 𝑚𝑥 + 𝑝 ± √𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 telle que 𝑚, 𝑝, 𝑎, 𝑏, 𝑐 des nombres reéls et 𝑚 ≠ 0 et 𝑎 ≠ 0
𝑥→±∞
le diagramme suivant résume les différents cas de la limite précédente et les deux techniques utilisées dans les cas
où elle représente une forme indéterminée :
−∞ − ∞ ⇝ −∞
+∞ + ∞ ⇝ +∞
𝑙𝑖𝑚 𝑚𝑥 + 𝑝 ± √𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =
𝑥→±∞
On factorise par x
On multiplie par le conjugué
Exemples :
Calculons les limites suivantes :
1) 𝑙𝑖𝑚 √3𝑥 2 + 2 + 3𝑥 + 1
𝑥→+∞
2) 𝑙𝑖𝑚 √𝑥 2 + 𝑥 + 2𝑥 + 3
𝑥→−∞
3) 𝑙𝑖𝑚 2𝑥 + 1 − √4𝑥 2 + 2𝑥 − 2
𝑥→−∞
Pr : Saddoki
Les limites d’une fonction numérique/Cours
1ere Sc Maths
Exercice :
Calculer les limites suivantes :
1) 𝑙𝑖𝑚 2√𝑥 2 − 1 − 𝑥 + 3
𝑥→+∞
2) 𝑙𝑖𝑚 2𝑥 + 5 −
𝑥→−∞
√3𝑥 2
+2
3) 𝑙𝑖𝑚 √𝑥 2 + 4 + 𝑥 − 1
𝑥→+∞
4) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
√9𝑥 2
+ 2𝑥 + 2𝑥 + 1
Groupe scolaire
La Morale
5) 𝑙𝑖𝑚 − 𝑥 + 1 + √2𝑥 2 − 𝑥
𝑥→+∞
6) 𝑙𝑖𝑚 √3𝑥 2 + 2 + 3𝑥 + 2
𝑥→−∞
Exercice : pour aller plus loin
Calculer les limites suivantes :
1) 𝑙𝑖𝑚 √2𝑥 2 + 3𝑥 − √𝑥 2 + 2𝑥 + 1
4) 𝑙𝑖𝑚 2√𝑥 − 1 + √4𝑥 + 3
7)
2) 𝑙𝑖𝑚 √2𝑥 − 1 − √5𝑥 − 3
5) 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 + 1)√𝑥 + √𝑥 2 + 𝑥
8)
𝑥→+∞
𝑥→−∞
3)
𝑙𝑖𝑚 √9𝑥 2 − 1 − 3√𝑥 3 − 3
𝑥→−∞
𝑥→+∞
𝑥→−∞
6)
𝑙𝑖𝑚 3√𝑥 2 + 1 − √4𝑥 2 + 𝑥 + √𝑥 2 − 1
𝑥→+∞
9)
𝑙𝑖𝑚 √𝑥 2 + 1 − √4𝑥 2 − 12 + √𝑥 2 − 1
𝑥→+∞
𝑙𝑖𝑚 2√𝑥 3 − 3 − 𝑥√4𝑥 + 1
𝑥→+∞
𝑙𝑖𝑚 √𝑥 3 + 1 − √4𝑥 2 + 1 − 2√𝑥 3 − 1
𝑥→+∞
