LE CYCLE MATHEMATIQUE Fiche Méthode BAC Nombres Complexes Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax 23390248 - 29862815 www.takiacademy.com [email protected] LE CYCLE MATHEMATIQUE Fiche Méthode BAC Nombres Complexes www.TakiAcademy.com Un résumé de: Nombres complexes Rappel 1 1/ a ib avec a, b IR 2 et i un nombre non réel tel que i 2 1 2/ Toutes les règles de calcul vues dans IR restent valables dans . 3/ Pour z 1 a 1 ib 1 et z 2 a 2 ib 2 avec a 1 ; b 1 ; a 2 ; b 2 IR 4 a1 a2 (égalité des parties réelles) z1 z2 b1 b2 (égalité des parties imaginaires) z1 0 a1 0 b1 0 Rappel 2 1/ Soit z a ib où a et b sont deux réels. Le conjugué de z est le nombre complexe z a ib. 2 2/ z, z ; n z z z z z z z z z n z avec n IN z 1 1 avec z 0 z avec z 0 z z z z 3/ Soit z un nombre complexe. z z 2 Re z z z 2i Im z z z Re z 2 Im z 2 z z z est réel z z z est imaginaire. Rappel 3 Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct O; u; v . 1/ L’affixe d’un point M a, b du plan est le nombre complexe z a noté aff M ou z M . On dit que le point M a, b est l’image de z. 2/ A, B et I sont trois points. zA zB . I A B zI 2 3/ Soient M et M deux points. On a: M’ S O;u M zM zM 2 4/ Soit a, b IR . w est un vecteur de coordonnées a, b dans la base u; v w a pour affixe a ib (noté aff w ou z w zB zA. 5/ A et B sont deux points. aff AB 6/ w 1 et w 2 sont deux vecteurs et Page : 1 et sont deux réels. On a ib Un résumé de: Nombres complexes aff w 1 w2 aff w 1 aff w 2 Théorème Le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct. Soient w 1 et w 2 deux vecteurs avec w 2 O. On a : aff w 1 est réel 1/ w 1 et w 2 sont colinéaires aff w 2 aff w 1 2/ w 1 et w 2 sont orthogonaux est imaginaire aff w 2 Rappel 4 1/ Soit z a ib où a et b sont deux réels. Le module de z est le réel a2 b2 . |z| 2 2/ z, z ; 2 zz z |z| |z| | z| |z z | |z| |z | |z | 1 1 et z pour z 0 z z |z| |z| et pour z 0. |z n | |z| n ; n 3/ Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O; u; v . z ; |z| OM avec M le point d’affixe z. 2 z, z ; |z z| MM avec M et M’ les points d’affixes respectives z et z . Rappel 5 1/ Le plan est muni d’un repère orthonormé direct y O; u; v . Soit z un nombre complexe non nul et M(z) M son image dans le plan. On appelle argument de z, en radians, et on note arg z toute mesure, + v en radians, de l’angle u, OM . O On a donc : arg z u; OM 2/ Soit z C On a : arg z arg z 2 . 2 arg z arg z z IR arg z 0 2 z iIR arg z z IR arg z 2 z iIR arg z z IR arg z z iIR arg z 0 arg(z) + u 2 2 3/ Soit z ; posons: r |z| et arg z 2 . On a z r cos i sin . Cette dernière écriture s’appelle écriture trigonométrique de z. 2 ; n 4/ z, z arg z. z arg z arg z 2 arg 1z arg z 2 Page : 2 2 2 2 2 x Un résumé de: Nombres complexes z arg z arg z 2 arg z n n arg z 2 ; z 5/ Soient z un nombre complexe de module r et d’argument et n . n On a : z n r cos i sin r n cos n i sin n c’est la formule de Moivre. arg Théorème Le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct O; u; v . Soient A, B, C et D quatre points d’affixes respectives z A , z B , z C et z D et tels que AB 0 et CD 0. On a: u; AB arg z B z A 2 AB; CD arg zzDB zzAC 2 zD zC CD cos i sin avec AB; CD 2 zB zA AB Notation : IR ; on pose par définition ei cos i sin Conséquences 1/ 2/ 3/ 4/ 1 ei 1 ei 2 i ei 2 i i 2k i IR; k ; e e . IR; ei e i ei ei |e i | 1 Si z un nombre complexe non nul de module r et d’argument alors z re i . Cette dernière écriture s’appelle écriture exponentielle de z. e i0 Théorème , ei ei IR 2 ; ei 1 ei Théorème IR on a : e ei ei i ei ei (Formules d’Euler ) cos ei e i 2 et sin ei e 2i Conséquences IR ; e e i ei Page : 3 e n i i Z. On a : 2 cos e in e in 2 cos n 2i sin e in e in 2i sin n i n e ni . Un résumé de: Nombres complexes Théorème et Définition Pour tout entier naturel non nul n, l’équation z n 1 admet dans n 2k solutions distinctes définies par z k e i n , l’entier k appartient à 0, 1, 2, . . . , n 1 . Les solutions de l’équation z n 1 sont appelées racines nièmes de l’unité. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O; u; v . Lorsque n 3, les points images des racines nièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique. Théorème et Définition Soit a un nombre complexe non nul d’argument et n un entier naturel non nul. L’équation z n a admet dans n solutions distinctes définies 2k par z k re i n n , k 0, 1, 2, . . . , n-1 , où r est le réel strictement n positif tel que r |a|. Ces solutions sont appelées racines nièmes du nombre complexe a. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O; u; v . Lorsque n 3, les points images des racines nièmes de a sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon |a|. Théorème Soient a C et b; c C². On a b b ou z avec une az² bz c 0 z 2a 2a racine carrée de b² 4ac. Si z 1 et z 2 sont les solutions de l’équation az² bz c 0 alors az² bz c a z z 1 z z 2 z 1 z 2 ba z 1 z 2 ac . Théorème Soit P un polynôme de degré n (n IN à variable complexe. Soit z 0 C. On a : si P(z 0 ) 0 alors il existe un polynôme Q de degré (n-1) tel que z Page : 4 C on a : P z z z0 Q z . www.TakiAcademy.com
