Nombres Complexes : Fiche Méthode BAC - Taki Academy

LE CYCLE MATHEMATIQUE
Fiche Méthode
BAC
Nombres Complexes
Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax
23390248 - 29862815
www.takiacademy.com
[e-mail]

LE CYCLE MATHEMATIQUE
Fiche Méthode
BAC
Nombres Complexes
www.TakiAcademy.com

Un résumé de: Nombres complexes
Rappel
1
1/ aib avec a,bIR2et i un nombre non réel tel que i21
2/ Toutes les règles de calcul vues dans IR restent valables dans .
3/ Pour z1a1ib1et z2a2ib2avec a1;b1;a2;b2IR4
z1z2a1a2(égalité des parties réelles)
b1b2(égalité des parties imaginaires)
z10a10
b10
Rappel
2
1/ Soit zaib où a et bsont deux réels. Le conjugué de z est le
nombre complexe zaib.
2/z,z2;
zzzzzzzzznznavec nIN
1
z1
zavec z 0z
zz
zavec z0
3/ Soit zun nombre complexe.
zz2Rezzz2iImzz z Rez2Imz2
zzzest réel zzzest imaginaire.
Rappel
3
Le plan Pest muni d’un repère orthonormé direct O;u;v.
1/ L’affixe d’un point Ma,bdu plan est le nombre complexe zaib
noté affMou zM. On dit que le point Ma,best l’image de z.
2/ A, B et I sont trois points.
IABzIzAzB
2.
3/ Soient M et Mdeux points. On a:
M’ SO;uMzMzM
4/ Soit a,bIR2.
west un vecteur de coordonnées a,bdans la base u;v
wa pour affixe aib (noté affwou zw
5/ A et B sont deux points. aff AB zBzA.
6/w1et w2sont deux vecteurs et et sont deux réels. On a
Page : 1

Un résumé de: Nombres complexes
aff w1w2 aff w1 aff w2
Thé
o
rème
Le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct.
Soient w1et w2deux vecteurs avec w2O. On a :
1/w1et w2sont colinéaires affw1
affw2est réel
2/w1et w2sont orthogonaux affw1
affw2est imaginaire
Rappel
4
1/ Soit zaib où a et bsont deux réels. Le module de z est le réel
|z|a2b2.
2/z,z2;
|z|2z z |z|z|z||zz||z||z|
1
z1
|z|et z
z|z|
|z|pour z0
|zn||z|n;net pour z0.
3/ Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O;u;v.
z;|z|OM avec Mle point d’affixe z.
z,z2;|zz|MMavec M et M’ les points d’affixes
respectives z et z.
Rappel
5
1/ Le plan est muni d’un repère orthonormé direct
O;u;v. Soit zun nombre complexe non nul et
Mson image dans le plan. On appelle argument
de z, en radians, et on note argztoute mesure,
en radians, de l’angle u,OM .
O
+
+
M(z)
x
y
arg(z)
u
v
On a donc : argzu;OM 2.
2/ Soit zCOn a :
arg z  argz 2argzargz2
zIR
argz02ziIR argz
22
zIR
argz2ziIR argz  
22
zIRargz0ziIRargz
2
3/ Soit z; posons: r|z|et argz 2. On a
zrcosisin. Cette dernière écriture s’appelle écriture
trigonométrique de z.
4/z,z2;n
argz.zargzargz 2arg 1
z  argz 2
Page : 2

Un résumé de: Nombres complexes
arg
z
zargzargz 2argznnargz 2;
5/ Soient zun nombre complexe de module ret d’argument et n.
On a : znrcosisinnrncosnisinn c’est la
formule de Moivre.
Thé
o
rème
Le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct O;u;v.
Soient A, B, C et D quatre points d’affixes respectives zA,zB,zC
et zDet tels que AB 0 et CD 0. On a:
u;AB argzBzA 2AB;CD arg zDzC
zBzA2
zDzC
zBzACD
AB cosisinavec AB;CD 2
Nota
t
ion
:IR ; on pose par définition eicosisin
Conséquences
1/ei01ei1ei
2iei 2i
2/IR;k; ei2kei.
3/IR;|ei|1eieieiei
4/ Si zun nombre complexe non nul de module ret d’argument 
alors zrei.
Cette dernière écriture s’appelle écriture exponentielle de z.
Thé
o
rème
,IR2;
eieiei1
eieiei
eieieineni.
Thé
o
rème
(Formules d’Euler )
IR on a : coseiei
2et sineiei 2i
Conséquences
IR ;nZ. On a :
eiei2coseinein2cosn
eiei2isineinein2isinn
Page : 3