m2 livre2013-2014-web

INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE
IUT “A” Paul Sabatier, Toulouse 3.
DUT G´enie Civil
Module de Math´ematiques.
MATH´ EMATIQUES
´
El´ements de calculs pour l’´etude
des fonctions de plusieurs variables
et des ´equations diff´erentielles.
G. Ch`eze
guillaume.c[email protected]
http ://www.math.univ-toulouse.fr/∼cheze/Enseignements.html

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R`egle du jeu
Ceci est un support de cours pour le module M3 de l’IUT G´enie Civil de
Toulouse. Dans ce module il est question de fonctions de plusieurs variables et
d’´equations diff´erentielles.
Certains passages de ce cours comportent des trous, ils sont l`a volontairement.
C’est `a vous de les compl´eter durant l’heure de cours hebdomadaire. La partie
du cours trait´ee en amphith´eˆatre sera compl´et´ee et disponible r´eguli`erement sur
internet `a l’adresse : http ://www.math.univ-toulouse.fr/∼cheze/ .
Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les corrections `a la
fin de chaque chapitre.
Je serai reconnaissant `a toute personne me signalant une ou des erreurs se
trouvant dans ce document.
A pr´esent, au travail et bon courage `a tous !
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ii R`egle du jeu

Table des mati`eres
R`egle du jeu i
IFonctionsdeplusieursvariables 1
1Fonctionsdeplusieursvariables 5
1.1 D´efinition ................................. 5
1.2 Repr´esentation graphique d’une fonction de deux variables ...... 6
1.2.1 D´efinition ............................. 6
1.2.2 Comment repr´esenter le graphe d’une fonction de deux variables 8
1.3 Exercices du TD ............................. 14
1.4 Correction des exercices ......................... 17
2D´eriv´eespartielles,Diff´erentielles 25
2.1 Rappel ................................... 25
2.2 D´eriv´ees partielles ............................. 26
2.3 Diff´erentielles ............................... 30
2.4 Utilisation des diff´erentielles, diff´erentielle d’une fonction compos´e e .30
2.5 Exercices du TD ............................. 33
2.6 Correction des exercices ......................... 34
3Approximationaffine,Calculd’incertitude 37
3.1 Approximation d’une fonction `a une seule variable ........... 37
3.2 Approximation d’une fonction de plusieurs variables .......... 39
3.3 Calcul d’erreur .............................. 40
3.3.1 Le cas des fonctions d’une seule variable ............ 40
3.3.2 Le cas des fonctions de plusieurs variables ........... 42
3.4 Exercices du TD ............................. 45
3.5 Correction des exercices ......................... 48
4Extremad’unefonctiondedeuxvariables 55
4.1 Rappel dans le cas d’une seule variable ................. 55
4.2 Extr´emum local d’une fonction de plusieurs variables ......... 58
4.3 Exercices du TD ............................. 64
4.4 Correction des exercices ......................... 65
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