Exercices sur l’oscillateur harmonique
exercices sur l’oscillateur harmonique, page 1
sin 1 cosxb y= + θ=−θ
I 74. Pendule cycloïdal.
Un mobile pesant M assimilable à un point matériel de
masse m coulisse sans frottement sur l’arc de cycloïde
dessiné ci-contre. On repère sa position par ses
coordonnées cartésiennes x et y sur deux axes Ox
horizontal et Oy vertical dirigé vers le haut. L’équation
paramétrique de la cycloïde est : , où b est une constante et θ une variable dont la variation entre −π et π
engendre l’arc. On note g la pesanteur.
()()
bθ
M
O x
y
1) Exprimer les coordonnées (, d’un déplacement élémentaire du mobile en fonction de b, et d. )dx dy θ θ
2) En déduire la longueur ds de ce déplacement.
3) En déduire que l’abscisse curviligne comptée positivement vers la droite, est :
q
sOM=4sin
2
sb
θ
=.
4) Montrer que l’énergie potentielle associée à la force totale subie par le mobile est 2
8
p
mgs
Eb
=.
5) Exprimer l’énergie totale du mobile est en fonction de s et s.
6) Dériver par rapport au temps cette expression et en déduire une équation différentielle du mouvement portant sur
la fonction . ()st
7) A quelle condition sur la vitesse en O le mouvement reste confiné sur l’arc de cycloïde considéré ? Quelle est
alors la période T du mouvement ? Cette période dépend-elle de l’amplitude ?
O
v
8) A l’instant 0, le mobile est à la position correspondant à avec une vitesse nulle. A quel instant t
passe-t-il pour la première fois en O ? Avec quelle vitesse v ? M
θ=θ
II60. 2
9, 8 m . sg−
=.
Une automobile de masse m = 850 kg est schématisée par une carrosserie de masse m1 = 700 kg reposant par
l'intermédiaire de quatre ressorts de raideur k = 6950 N/m sur quatre roues, chacune de masse m2 = 37,5 kg .
1) Calculer la hauteur dont il faut soulever la carrosserie pour que les roues décollent du sol.
2) Calculer la période des oscillations verticales de la carrosserie.
III33.
L'oscillateur ci-contre est primitivement en équilibre. On lui applique une force F
constante dirigée vers la droite pendant la durée τ, puis on supprime cette force. k
m
1) Exprimer l’allongement x du ressort en fonction du temps t pendant l’application de
la force.
2) Exprimer l’énergie de cet oscillateur après suppression de la force.
3) Déterminer les valeurs de τ pour lesquelles l'amplitude finale des oscillations est maximum.
IV. k
Le système étant à l’équilibre, on lance le mobile à la vitesse vers la droite. A chaque
choc sur la paroi de droite, le mobile rebondit avec une vitesse diminuée de moitié. Le
ressort est suffisamment long pour qu’il n’y ait pas de choc à gauche. Il n’y a pas de
frottement et le mouvement s’effectue sur une droite fixe parallèle au ressort. Discuter le
nombre de rebonds sur la paroi de droite en fonction de .
0
v
0,,vkmL
m
LL
V28.
Un petit piston de masse m coulisse sans frottement dans un tube fin vertical en forme de tore de centre O et de
rayon moyen r. Il est attaché par un ressort courbe au point le plus bas du tube ; ce ressort coulisse sans frottement
dans le tube et exerce sur le piston une force, sa tension, égale à k ; si , comme dans la figure, le ressort est
comprimé, si , le ressort est tendu. Sous l’action de la tension et du poids, le piston a une position d’équilibre à
.
θ0θ>
0θ<
075θ=°
1) Exprimer k.
2) Cette position d’équilibre est-elle stable ?
3) Si elle l’est, exprimer la pulsation des petites oscillations au voisinage de cette position en fonction de g, r et
d’un nombre réel écrit sous forme décimale.
4) θ pouvant varier entre et , y a-t-il d’autres positions d’équilibre ? S’il en existe, déterminer si elles
sont stables ou instables. 270−°90+°
VI19. D’après Mines-ponts 2001.
Un solide S, de masse m, est accroché au plafond par l’intermédiaire d’un ressort R1 de
masse négligeable et de raideur k. Un second ressort R2, identique au premier, pend sous le
solide (fig. 3). À partir de l’instant on tire sur le ressort R
0t=2 avec une force . On
constate que, si l’on accroît très lentement , l’un des ressorts finit par se briser et que, si l’on
accroît très rapidement , c’est l’autre ressort qui se brise.
F
F
F
1) Expliquer quel est, dans chacun de ces deux cas, le ressort qui se brise.
2) La force appliquée à l’extrémité libre de R2 varie avec l’instant t positif selon la loi
, où α est une constante positive. La tension T de chaque ressort suit la loi de
HOOKE (proportionnalité de la tension à l’allongement), jusqu’à une tension de rupture :
pour , où x est l’allongement du ressort par rapport à sa longueur à vide. On
pose
Fmt=α
r
T
Tkx=r
TT<
/kmω= et l’on appelle l’allongement de Rx1. A l’instant 0, le système est encore à
l’équilibre. Exprimer en fonction du temps et des paramètres du problème. x
3) Exprimer en fonction de t.
2
TT−1
4) Discuter selon la valeur de α le ressort qui casse en premier. Montrer la conformité de
cette réponse avec celle à la question 1.
Réponses
I. 1) et ; 2)
()
1cosdx b d=+θθ sindy b d=θθ 2cos
2
ds b d
θ
=θ ; 5) 2
2
1
28
mgs
Ems b
=+
; 6) 0
4
gs
sb
+=
; 7)
02vgb< ; 4b
g
=πT indépendante de l’amplitude ; 8) 4
T
t= ; 2sin
2
Mx
vgb
θ
=−u
G
G
.
II. 1) 12
(4)
0, 30 m
4
mmg
xk
+
==
; 2) 11, 0 s
m
Tk
=π=.
III. 1) [1 cos ]
F
xt
k
=−ω ; 2) 2
(1 cos )
F
Ek
=−ωτ ; 3) 2
modulo
ππ
τ=ωω
.
IV. Si , il y a une infinité de rebonds, sinon il n’y en a pas.
2
0
mv kL>2
V. 1) 0
0
cos 0, 198
mg
km
θ
==
θg
; 2) oui ; 3) 1, 079 /grω ; 4) (instable) et
(stable).
=1, 9 7 r a d 1 1 2, 9θ=−=−°
3, 85 rad 220, 5θ=−=−°
VI. 1) Si l’évolution est très lente, c’est R qui casse ; si elle est très rapide, c’est R qui casse ; 2)
1 2
()
sinmg m t
xt
kk
αω
=+ −ω ; 3) 21 sin
m
TT ; 4) si α, le premier ressort casse ; si ,
l’un ou l’autre des ressorts casse ; si α, le second ressort casse, la tension de rupture étant atteinte très vite.
tmg
α
−=ω−
ω<ω
ω
g gα>ω
g
exercices sur l’oscillateur harmonique, page 2
Corrigés
I. 1) Différentions les expressions de x et de y :
()
1cosdx b d=+θθ et sindy b d=θθ.
2)
() [ ]
2
2 2 2 2 22 22 2 2 2
1 cos sin 2 2 cos 4 cos 2 cos
22
ds dx dy b d b d b d ds b d
θθ
⎡⎤
=+=+θ+θθ=+ θθ=θ⇒ =θ
⎣⎦
qui est la différentielle d’une fonction monotone de dans l’intervalle θ
[
]
,−π π , comme il se doit pour l’abscisse
curviligne.
3)
()
00
2 cos 4 cos 4 sin 4 sin
2222
sbdbd b b
θ
θθθθθ
⎡⎤
=θ===
⎢⎥ 2
θ
⎣
⎦
∫∫
4) Le mobile est soumis au poids, d’énergie potentielle mg et à la réaction de l’arc dont le travail est nul. y
()
()
2
2
2
1cos 2 sin 2
24
p
smg
Emgymgb mgb mgb
bb
θ
== −θ===
8
s
.
5) 2
2
1
28
mgs
Ems b
=+
.
6)
()
00
44
mgss gs
mss ms s
bb
=+ +=
. Eliminons la solution parasite : 0s=
0
4
gs
sb
+=
.
7) Il n’y a pas de choc à une extrémité de l’arc si le mobile n’atteint pas cette extrémité, soit compte tenu du caractère
positif de l’énergie cinétique si
()
2
00
102 2
2
p
E E mv mgb v gb<θ=±π+< < .
L’équation différentielle est celle d’un oscillateur harmonique de pulsation 4
g
b
ω= et de période
24b
Tg
π==π
ω indépendante de l’amplitude.
8) Le mobile passe en O à 4
T
t= ; exprimons la conservation de l’énergie :
22
10 0 2 sin 2 sin
22
MM
x
mv mgb v gb u
θθ
+=+ ⇒=−2
G
G
.
II.
1) En charge, la suspension est raccourcie de 1
04
mg
xk
=. Quand la carrosserie est soulevée et les roues décollent du
sol, la suspension est étirée de 2
'mg
xk
=. Il faut donc soulever la carrosserie de
12
0
(4)
850 9, 8
'0
4 4 6950
mmg
xx x k
+×
=+= = =
×,30 m
.
2) 11
2
11 1
4 700
4 et 2
46950
kmm
mx mg kx T
mkk
=−− ⇒ω==π=π=π=
1,0s
.
III.
1) mx . Posons ; la solution générale est ; compte tenu
des conditions initiales :
kx F=−+
2/kmω=cos sin /x A tB tFk=ω+ω+
(0) 0 (0) 0 [1 cos ]
FF
xA xB x
kk
=+ = =ω=⇒=−ω
t
2) Quand on supprime la force F, les formules précédentes donnent les conditions initiales de la seconde phase du
mouvement 00
[1 cos ] sin
F
xx
k
ω
=−ωτ =ωτ
F
k
. L’énergie est
22
22 22 2 2 2
11
00
22 2
2
[ sin (1 cos ) ] [sin 1 2 cos cos ]
2
2
(1 cos )
FF
Emx kx m k k
k
F
k
=+=ωωτ+−ωτ=ωτ +−ωτ+ωτ
=−ωτ
3) L’amplitude des oscillations est maximale quand l’énergie est maximale, donc quand
2
cos 1 modulo
ππ
ωτ =−⇔τ=ωω
.
Un autre raisonnement consiste à remarquer que pendant la première phase dE , donc que l’énergie est
maximale quand x est maximum, ce qui est le bon moment pour supprimer la force.
Fdx=
exercices sur l’oscillateur harmonique, page 3
IV.
S’il y a rebond, la vitesse avant le choc est telle que v22
111
0
222
mv mv kL=+
22
kL>, donc mv . Après
remplacement de par −, l’énergie
2
0
v/2v2
11
22
mv kL+2
reste supérieure à 2
1
2kL , donc, s’il y a rebond, il y en aura un
autre.
Si mv , il y a une infinité de rebonds.
2
02
kL>
2
kL<
Si mv , il n’y a pas de rebond.
2
0
V.
1) Le piston est soumis au poids, à la tension du ressort et à la réaction du tube. Projetons la somme de ces forces sur
l’orthoradiale : . Pour la position d’équilibre : cosFmg k
θ=θ− θ
0
0
cos 12 5
0cos
512
mg
F k mg mg
θ
θπ
=⇒== =
θπ 0,198
.
2) Cette position d’équilibre est stable, car F est
une fonction décroissante de ; en
effet
θ
θ
sin 0
dF .
exercices sur l’oscillateur harmonique, page 4
mg k
d
θ=−θ−<
θur 3) Projetons la loi fondamentale de la dynamique s
l’orthoradiale, en développant Fθ au voisinage de la
position d’équilibre :
()()
()
()
2
55
12 12
155
si
1,1
g
r
θ=
n
12 12
5125
sin cos 64
12 5 12
1, 0 7 9 /
dF
mr F d
dF k
mr d mr
gg
rr
gr
θ
θ
θ
ππ
θ=θ− θ
ππ
ω=−θ== +
θ
ππ
=+
π
ω=
4) Le graphe de en fonction de , dessiné ci-contre pour en radian, montre deux autres positions
d’équilibre,
/Fmg
θθ θ
1,97 rad 112,9θ=−=−° (instable) et 3, 85 rad 220, 5θ=−=−° (stable). La stabilité résulte de ce
que est décroissante et l’instabilité de ce que est croissante.
()
Fθθ
()
Fθθ
VI. D’après Mines-ponts 2001.
1) Si l’évolution est très lente, supposons la quasi statique ; la tension de est F et celle de est , donc
plus grande ; c’est R qui casse. 2
R1
RFmg+
1
Si l’augmentation de F est très rapide, la tension de R est (loi de l’action et de la réaction) tandis que la masse
n’a pas le temps de bouger et que la tension de reste mg ; c’est qui casse.
2F
1
R2
R
2) Appliquons la loi fondamentale de la dynamique au corps, qui est soumis à son poids, à la tension de R et à
la tension de R : mx , soit
kx−1
Fmt=α2mg m t kx=+α−
2
xxg+ω=+α
t
()
()
[]
()
2
2
22
0
cos sin
0//0
0sincos/ /0
sin
t
gt
xA tB t
xAg mgkA
xAtBt B B
mg m t
xt
kk
=
+α
=ω+ω+ω
=+ ω=⇒=
=−ω ω+ωω+αω =ω+αω=⇒=−α ω
αω
=+ −ω
3
/
3)
()
1221
sin sin
tm
Tm .
gmt TmtTT tmg
ωα
=+α− =α−=ω−
ωω
1
T−<ω>ω
<ω1
T<
>ω
4) Comme si évolue entre –1 et +1, T est toujours négatif si α et a un signe variable si α.
ntω2g g
Si α, T : c’est toujours le premier ressort qui casse (réponse conforme à celle à la question 1). g2
Si α, ce peut être l’un ou l’autre des ressorts qui casse. g
Si α très grand, r
m
mg , donc c’est pendant le premier quart de période que se produit la brisure, alors
est positif et c’est le second ressort qui se brise (réponse conforme à celle à la question 1).
T
α>
ω
12
TT−
1
/
4
100%
