Proba solution serie 3

Proba. Solution série n°3 (suite)
Ex. 3
𝑘
𝑃(𝑋 = 𝑘)
∁2
𝑃(𝑋 = 2) = ∁22
2
1/10
3
4/10
𝑃(𝑋 = 3) =
;
5
𝑃(𝑋 = 5) =
2
∁12 ∁12
4
3/10
𝑃(𝑋 = 4) =
;
∁25
5
2/10
∁22 +∁12 ∁11
∁25
∁11 ∁12
10
12
12
10
36
𝐸(𝑋) = 10 + 10 + 10 + 10 = 10 = 3,6
𝑉(𝑋) = ̅̅̅̅
𝑋 2 − 𝑋̅ 2 = E(X^2)-(EX))^2
𝑋2 :
4
1/10
̅̅̅̅
𝑋2 =
4+36+48+50
10
=
138
10
9
4/10
= 13,8
;
16
3/10
d’où
25
2/10
𝑉(𝑋) = 13,8 − (3,6)2 = 13,8 − 12,96
= 0,84
Ex. 5
C’est des tirages simultanés ; donc c’est 5 tirages, sans remise, d’une boule. C’est la loi
hypergéométrique.
𝑋 = 𝑛𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐ℎ𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑟é𝑒𝑠.
4
X suit la loi 𝐻 (8; 5; 8) = 𝐻(8; 5; 0,5)
𝑃(𝑋 = 𝑘) =
5−𝑘
∁𝑘
4 ∁4
𝑘 = 1,2,3,4
∁58
𝑘 ne peut pas être égal à 0 ou 5.
Il faut alors dresser le tableau :
𝑘
𝑃(𝑋 = 𝑘)
𝑃(𝑋 = 3) =
∁34 ∁24
∁58
1
4/56
2
24/56
24
= 56 ; E(X)=5*0,5=2,5
1
3
24/56
4
4/56
ii- C’est la loi binomiale de paramètres : n=5 ; p=0,5
On effectue 5 tirages d’une boule , que l’on remet à chaque fois. Loi de probabilité :
p(X=k)=…k=0….,5
Ex. 6
X suit la loi géométrique de paramètre 1/6
Y suit la loi géométrique de paramètre 5/6
5
1
Loi de X : 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (6)𝑘−1 6
𝐸(𝑋) = 6
5
𝑉(𝑋) = . 36 = 30
6
1
5
6
6
Loi de Y : 𝑃(𝑌 = 𝑘) = ( )𝑘−1
6
𝐸(𝑌) = 5
𝑘 = 1,2,3, …
1 36
𝑘 = 1,2,3, …
6
𝑉(𝑌) = 6 . 25 = 25
+∞
+∞
𝑃(𝑋 = 𝑌) = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑘 𝑒𝑡 𝑌 = 𝑘) = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑘)𝑃(𝑌 = 𝑘)
𝑘=1
𝑘=1
5
1
1
5
𝑘−1
= ∑+∞
( )𝑘−1 6
𝑘=1(6)
6 6
5
𝑘
= ∑+∞
𝑘=1(36)
𝑛
= lim ∑(
𝑛→+∞
𝑘=1
5 𝑘
)
36
5 𝑛
5 1 − (36)
= lim
5
𝑛→+∞ 36
1 − 36
=
2
5 1
5
.
=
31
36
31
36