feuille1

Exercice1
Un tube à vide est constitué de deux électrodes métalliques planes
A et C enfermées dans une ampoule où règne le vide. La cathode C, de
potentiel nul, émet par effet thermoélectrique des électrons sans vitesse
initiale qui sont attirés par l’anode A maintenue au potentiel VA > 0.
2. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par V (x) est de la
forme :
d2 V
K
(x) = p
2
dx
V (x)
où K est une constante à exprimer en fonction de e, m, S, ε0 et
l’intensité I.
On étudie le régime stationnaire d’écoulement des électrons, de
charge −e et de masse m, de C vers A ce qui correspond à un courant d’intensité constante I.
La cathode C qui occupe le plan x = 0 et l’anode A, qui occupe le
plan x = L, sont des rectangles en métal, parallèles l’un par rapport à
l’autre et qui ont la même surface S.
C
O
VC = 0
3. (a) En multipliant l’équation précédente par dV /dx et en intégrant, montrer que le potentiel V (x) vérifie l’équation :
√
dV
(x) = 2 K [ V (x) ]1/4
dx
On admettra que le champ électrique est nul au niveau de la
cathode.
A
(b) Déduire de l’équation précédente que l’intensité I du courant
3/2
est liée au potentiel VA de l’anode par la relation : I = a VA
et déterminer la constante a.
Application numérique : S = 1,0 cm2 ; L = 2 cm ; calculer I
si VA = 80 V. On donne : m = 9,1×10−31 kg ; e = 1,6×10−19
C ; ε0 = 8,85×10−12 F.m−1 .
x
VA > 0
1. On suppose que les grandeurs de ce problème ne dépendent que
de la distance x à la cathode (0 < x < L).
(a) Écrire l’équation locale satisfaite par le potentiel électrique
V (x), en introduisant le nombre n(x) d’électrons par unité de
volume à l’abscisse x.
(b) Quelle est la relation entre la densité volumique de courant
j(x), n(x) et la vitesse u(x) des électrons à l’abscisse x ? Relier
j(x) à l’intensité I(x) qui traverse la surface plane d’aire S,
perpendiculaire à Ox et située à l’abscisse x. Cette intensité
dépend-elle réellement de x ?
(c) En utilisant l’énergie mécanique d’un électron, relier u(x) à
V (x).
1
Exercice2
Un condensateur est constitué de deux disques métalliques de même
rayon a, d’axe Oz situés dans les plans z = +h et z = −h. On admet
~
que E(M,
t) est colinéaire à ~uz entre les armatures du condensateur.
Pour h << a, ce modèle est justifié sauf au voisinage immédiat des
bords, c’est-à-dire en r = a. Le condensateur est soumis à une tension sinusoïdale de fréquence ν = ω/2π et on souhaite déterminer la
structure du champ électromagnétique créé à l’intérieur de celui-ci.
II) Démarche rigoureuse
On reprend le problème en cherchant une solution à priori sous la
~ = E(r, z, t) ~uz avec E(r, z, t) = A(r, z) cos(ωt) où A(r, z) est
forme : E
une fonction que l’on cherche à déterminer.
1. En utilisant une des équations de Maxwell, montrer que A(r, z)
ne dépend pas de z.
2. Toujours à partir des équations de Maxwell, montrer que le champ
~
électrique E(M,
t) dans l’espace entre les deux armatures vérifie :
Formules d’analyse vectorielle :
• rotationnel en coordonnées cylindriques à prendre sur le formulaire.
• Laplacien d’une fonction A(r) en coordonnées cylindriques :
~−
4E
~
1 ∂2E
= ~0
c2 ∂t2
3. En déduire que A(r) vérifie l’équation différentielle :
d2 A 1 dA
+
4A =
dr2
r dr
d2 A 1 dA ω 2
+
+ 2 A(r) = 0
dr2
r dr
c
I) Démarche intuitive
4. Nous allons chercher une solution de cette équation sous la forme
d’un développement en série entière, c’est à dire :
1. Admettons que le champ électrique soit uniforme à l’intérieur du
~ 0 (M, t) = E0 (t) ~uz avec E0 (t) =
condensateur. On le note : E
A0 cos(ωt). Selon l’équation de Maxwell-Ampère, ce champ élec→~
~ 1 tel que −
trique est la source d’un champ magnétique B
rot B
1 =
~
1 ∂ E0
~ 1 en admettant qu’il est de la
. Déterminer ce champ B
c2 ∂t
forme :
~ 1 = B1 (r, t) ~uθ .
B
~ 1 est à son tour la source
2. Selon l’équation de Maxwell-Faraday, B
~1
∂B
→~
~ 2 tel que −
d’un champ électrique E
rot E
. Déterminer ce
2 =−
∂t
~ 2 = E2 (r, t) ~uz , avec
champ en admettant qu’il est de la forme E
E2 (0, t) = 0.
~ =E
~0 + E
~ 2 en fonction de E
~ 0 et de la variable
3. Exprimer E
x = rω/c. Avec a = 10 cm et ν = 10 MHz (limite supérieur d’un
générateur de laboratoire usuel), évaluer l’ordre de grandeur de
l’approximation que l’on commet en confondant cette expression
du champ avec celle valable en très basse fréquence.
A(r) = E0
∞
X
bn rn
n=0
où les bn sont des coefficients que l’on cherche à déterminer et où
E0 est la valeur de A(r) en r = 0. Montrer que ces coefficients
vérifient la relation de récurrence :
∀ n > 0, bn+2 = −
bn
ω2
c2 (n + 2)2
avec b0 = 1 et b1 = 0
et en déduire les trois premiers termes non nuls de la série. Comparer au résultat de la question précédente.
2