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Exercice1
Un tube à vide est constitué de deux électrodes métalliques planes
A et C enfermées dans une ampoule où règne le vide. La cathode C, de
potentiel nul, émet par effet thermoélectrique des électrons sans vitesse
initiale qui sont attirés par l’anode A maintenue au potentiel VA>0.
On étudie le régime stationnaire d’écoulement des électrons, de
charge −eet de masse m, de C vers A ce qui correspond à un cou-
rant d’intensité constante I.
La cathode C qui occupe le plan x= 0 et l’anode A, qui occupe le
plan x=L, sont des rectangles en métal, parallèles l’un par rapport à
l’autre et qui ont la même surface S.
VC = 0
O x
C A
VA > 0
1
1. On suppose que les grandeurs de ce problème ne dépendent que
de la distance xà la cathode (0< x < L).
(a) Écrire l’équation locale satisfaite par le potentiel électrique
V(x), en introduisant le nombre n(x)d’électrons par unité de
volume à l’abscisse x.
(b) Quelle est la relation entre la densité volumique de courant
j(x),n(x)et la vitesse u(x)des électrons à l’abscisse x? Relier
j(x)à l’intensité I(x)qui traverse la surface plane d’aire S,
perpendiculaire à Ox et située à l’abscisse x. Cette intensité
dépend-elle réellement de x?
(c) En utilisant l’énergie mécanique d’un électron, relier u(x)à
V(x).
2. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par V(x)est de la
forme : d2V
dx2(x) = K
pV(x)
où Kest une constante à exprimer en fonction de e,m,S,ε0et
l’intensité I.
3. (a) En multipliant l’équation précédente par dV/dx et en inté-
grant, montrer que le potentiel V(x)vérifie l’équation :
dV
dx (x)=2√K[V(x) ]1/4
On admettra que le champ électrique est nul au niveau de la
cathode.
(b) Déduire de l’équation précédente que l’intensité Idu courant
est liée au potentiel VAde l’anode par la relation : I=a V 3/2
A
et déterminer la constante a.
Application numérique : S=1,0 cm2;L=2 cm ; calculer I
si VA= 80 V. On donne : m=9,1×10−31 kg ; e=1,6×10−19
C ; ε0=8,85×10−12 F.m−1.

Exercice2
Un condensateur est constitué de deux disques métalliques de même
rayon a, d’axe Oz situés dans les plans z= +het z=−h. On admet
que ~ E(M, t)est colinéaire à ~uzentre les armatures du condensateur.
Pour h << a, ce modèle est justifié sauf au voisinage immédiat des
bords, c’est-à-dire en r=a. Le condensateur est soumis à une ten-
sion sinusoïdale de fréquence ν=ω/2πet on souhaite déterminer la
structure du champ électromagnétique créé à l’intérieur de celui-ci.
Formules d’analyse vectorielle :
•rotationnel en coordonnées cylindriques à prendre sur le formu-
laire.
•Laplacien d’une fonction A(r)en coordonnées cylindriques :
4A=d2A
dr2+1 r
dA
dr
I) Démarche intuitive
1. Admettons que le champ électrique soit uniforme à l’intérieur du
condensateur. On le note : ~ E0(M, t) = E0(t)~uzavec E0(t) =
A0cos(ωt). Selon l’équation de Maxwell-Ampère, ce champ élec-
trique est la source d’un champ magnétique ~ B1tel que −→ rot ~ B1=
1
c2
∂~ E0
∂t . Déterminer ce champ ~
B1en admettant qu’il est de la
forme :
~
B1=B1(r, t)~uθ.
2. Selon l’équation de Maxwell-Faraday, ~ B1est à son tour la source
d’un champ électrique ~ E2tel que −→ rot ~ E2=−∂~
B1
∂t . Déterminer ce
champ en admettant qu’il est de la forme ~ E2=E2(r, t)~uz, avec
E2(0, t)=0.
3. Exprimer ~ E=~ E0+~ E2en fonction de ~ E0et de la variable
x=rω/c. Avec a= 10 cm et ν=10 MHz (limite supérieur d’un
2
générateur de laboratoire usuel), évaluer l’ordre de grandeur de
l’approximation que l’on commet en confondant cette expression
du champ avec celle valable en très basse fréquence.
II) Démarche rigoureuse
On reprend le problème en cherchant une solution à priori sous la
forme : ~ E=E(r, z, t)~uzavec E(r, z, t) = A(r, z) cos(ωt)où A(r, z)est
une fonction que l’on cherche à déterminer.
1. En utilisant une des équations de Maxwell, montrer que A(r, z)
ne dépend pas de z.
2. Toujours à partir des équations de Maxwell, montrer que le champ
électrique ~ E(M, t)dans l’espace entre les deux armatures vérifie :
4~ E−1
c2
∂2~ E
∂t2=~
0
3. En déduire que A(r)vérifie l’équation différentielle :
d2A
dr2+1 r
dA
dr +ω2 c2A(r)=0
4. Nous allons chercher une solution de cette équation sous la forme
d’un développement en série entière, c’est à dire :
A(r) = E0
∞
X
n=0
bnrn
où les bnsont des coefficients que l’on cherche à déterminer et où
E0est la valeur de A(r)en r= 0. Montrer que ces coefficients
vérifient la relation de récurrence :
∀n>0, bn+2 =−ω2
c2
bn
(n+ 2)2avec b0= 1 et b1= 0
et en déduire les trois premiers termes non nuls de la série. Com-
parer au résultat de la question précédente.