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Centre des classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs
REDA SLAOUI AGADIR
Filière : MPSI
TD : Description du mouvement d’un point matériel
1- mouvement d’une comète :
Une comète considérée comme un point matériel M se déplace dans le système solaire. Sa
position a pour expression :
x(t) = t-1 et y =
2
2
t
On suppose que la comète reste dans le plan (O, x, y).
1) Donner l’équation de la trajectoire du point M.
2) Donner l’expression de la vitesse du point M.
3) Donner l’expression de l’accélération du point M
4) Donner le rayon de courbure
ρ
de la trajectoire en fonction de t.
2-Trajectoire d’un ballon-sonde.
On assimile un ballon-sonde à un point matériel M. Lâché au niveau du sol, il acquiert quasi
immédiatement une vitesse verticale v0, qu’on suppose constante dans la suite du mouvement.
Le vent lui communique une vitesse horizontale vx orientée suivant l’axe (Ox), et
proportionnelle à son altitude z mesurée par rapport au niveau du sol vx = z
τ
ou
τ
une
constante positive dimensionnellement homogène à un temps.
A l’instant t = 0, le ballon-sonde est lâché depuis le point O. On note (x(t), z(t)) les
coordonnées cartésiennes du point M.
1 . Écrire les deux équations différentielles vérifiées par x et z.
2 . En déduire les équations horaires x(t) et z(t) en fonction de v0,
τ
et t .
3 . Déterminer l’équation x(z) de la trajectoire suivie par le ballon-sonde au cours de son
ascension. Quelle est sa nature ?
4 . Exprimer dans la base cartésienne (
x
u
G
,
z
u
G
) les composantes du vecteur accélération du
ballon-sonde.
3-Longueur d’une trajectoire.
Un point matériel décrit la trajectoire plane dans l’équation s’écrit en coordonnées polaires :
2
r = r0.(1+ cos
θ
), avec b est une constante et 0 <
θ
<
π
. on suppose de plus que la vitesse angulaire
dt
d
θ
ω
=est une constante.
1- tracer l’allure de la trajectoire à l’aide de quelques points particuliers.
2- Déterminer les composantes de la vitesse dans la base polaires.
3- En déduire la longueur de la trajectoire.
4- Déterminer les composantes de l’accélération, toujours en coordonnées polaires.
4- Spirale logarithmique
Un point matériel décrit dans le plan Oxy une spirale suivant les équations horaires polaires
suivantes :
r( t ) b exp( t / )
τ
=− ; (t) t
θ
ω
= ; Où b, τ et ω sont des constantes positives
1- Dessiner l'allure de la trajectoire
2- Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération du mobile dans la base polaire
(
)
r
u;u
θ
GJJG
3- Montrer que le vecteur vitesse v
G forme à tout instant un angle α constant avec le vecteur
position OM
JJJJG
5- le mouvement d’une fourmi
Pour sortir de la fourmilière, une fourmi assimilé à un point matériel M doit emprunter
un‹‹couloir›› dont l’équation en coordonnées cartésiennes est :
cosxR
θ
= ,
θ
sinRy = et
π
θ
2
h
z=
Où R et h sont des constantes. On suppose que la fourmi se déplace à vitesse constante.
1. Préciser la nature de la courbe.
2 .Exprimer les composantes de la vitesse de la fourmi en fonction de R , h et
.
θ
dans la
base de coordonnées cylindriques .
3.. En déduire l’expression du module de la vitesse.
4.Que peut-on en déduire concernant
.
θ
?
Par la suite
.
θ
=
ω
.
5. exprimer le vecteur unitaire t
e
J
G en un point M de la trajectoire dans la base de
coordonnées cylindriques .
6. Calculer les composantes du vecteur accélération dans la base de coordonnées
cylindriques . ainsi que son module.
7. Calculer les composantes du vecteur accélération tangentielle dans la base de
coordonnées cylindriques . ainsi que son module
8. En déduire le module de l’accélération normale .
9. Donner l’expression de rayon de la courbure en M.
10. .Montrer que l’angle entre le vecteur vitesse et z
u est constant
6-Mouvement à accélération centrale
3
Un point matériel M possède, par rapport à un référentiel fixe
R
(O,x,y,z), une accélération dont le support passe
constamment par l’origine O du référentiel
R
: Son expression
dans la base polaire est :
()
/²r
aM R e
r
α
=−
GG
où r = OM > 0 et
α
une constante strictement positive. A l’instant initial t = 0, le
point M se trouve sur l’axe Ox à une distance r0 de l’origine O et possède une vitesse :
0
v
G = v0 y
e
G (v0 est une constante positive).
1. Quelle est l’unité de la constante
α
dans le système international ?
2. Exprimer le vecteur position OM
JJJJGdans la base polaire.
3. Exprimer, en coordonnées polaires. /
M
R
v
G
: Vitesse de M par rapport à
R
.
4. Monter que l’accélération de M par rapport à
R
.
2
.. . .
2
1
() ()
r
d
arre re
rdt
θ
θ
θ
=− +
G
JG JJG
5 .Montrer que dans le cas étudié, la quantité ²r
θ
est constante.
On posera par la suite : r2
θ
= C.
6. Déterminer, à l’aide des conditions initiales, les grandeurs suivantes : r(t = 0),
θ
(t = 0),
r
(t = 0),
θ
(t = 0), r
e
G(t = 0) et e
θ
G(t = 0). En déduire la constante C en fonction des conditions
initiales r0 et v0.
7- la roue de vélo.
On étudie la roue d'un vélo (de centre G et de rayon R) qui se déplace sur un
sol horizontal à la vitesse constante v0 = 20 km .h_1 par rapport au sol. Le sol
constitue le référentiel ℜ(O;
x
e
J
JG ; y
e
J
JG ;
z
e
J
G).
On repère un point M quelconque de la roue. On pose x = OI. Voir figure.
1-Déterminer les coordonnées cartésiennes du vecteur position OM
J
JJJG en fonction
de x, R et
θ
y e
θ
G
x O
M
•
r
e
G
r
θ
x
e
G
y
e
G
:
z
e
G
4
2-En déduire les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse v
G
de M à l'instant
t par rapport au sol, en fonction de v0 , R ,
θ
et d
dt
θ
3-Déterminer les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération a
Gde M à
l'instant t par rapport au sol, en fonction de R,
θ
, d
dt
θ
et 2
2
d
dt
θ
.
Dans toute la suite la roue ne glisse pas.
4-Pour que la roule sans glisser, il faut que la vitesse du point M de la roue par
rapport au sol soit nulle lorsque M est en I. Donner la relation qui existe alors
entre R , v0 et d
dt
θ
.
5- Montrer que lorsque la roue roule sans glisser a
G
est radiale. Exprimer a
G en
fonction de R et v0.
1
/
4
100%
