TD-Int

Université de Rennes 1
Intégration et Probabilité - L

. Opérations sur les ensembles - Tribus - Mesures
1.1
Opérations sur les ensembles - dénombrabilité
1.1.1. Déterminer les ensembles suivants :
¤ n N
P
0, 1 £ ¤ 1
1
1
,
0,
,
,1
n
n
n
nPN
nPN
¤ £ 1
1
,
k ,k
n
n
kPN nPN
1
.
n
1.1.2. Soient f et fn , n P N des applications d’un ensemble E dans R. Interpréter l’ensemble suivant :
£ ¤ £"
n N k N i k
P
P
¥
x P E, |fi pxq f pxq| ¤
*
1
.
n
1.1.3. Donner
“ un exemple de suite pAn qnPN d’ensembles fermés non vides de R, décroissante pour l’inclusion,
telle que n An H.
1.1.4. Soient E, F deux ensembles, et f une application de E dans F .
• Montrer que pour toute partie B
de parties A € E telles que :
•
€ F , f 1 pB c q f 1 pB qc . Donner des exemples d’applications f et
piq f pAc q € f pAqc ; piiq f pAqc € f pAc q ; piiiq aucune inclusion n’est satisfaite.
Soient pAi qiPI et pBi qiPI des familles de parties respectivement de E et de F . Montrer que :
”
”
“
“
”
”
“
“
f 1 p i Bi q i f 1 pBi q ; f 1 p i Bi q i f 1 pBi q ; f p i Ai q i f pAi q ; f p i Ai q € i f pAi q.
Montrer que la dernière inclusion est en général stricte et qu’il y a égalité si f est injective.
1.1.5. Soit E un ensemble infini dénombrable.
1. Montrer que l’ensemble des parties finies de E est dénombrable.
2. Montrer que l’ensemble des parties infinies de E n’est pas dénombrable.
1.1.6. Soit f : R Ñ R une fonction croissante.
• Montrer que f admet des limites finies à gauche et à droite en tout point.
• Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de f est dénombrable.
1.1.7.
1. Montrer que tout ouvert de Rd est union dénombrable de pavés ouverts.
2. Montrer que tout ouvert de R est union dénombrable disjointe d’intervalles ouverts.
1.2
Tribus
1.2.1. Soit E un ensemble.
1. Quelle est la tribu engendrée par les singletons de E (c’est-à-dire σ pttxu, x P E u) ?
2. Supposons que E ait au moins 2 élements. Quelle est la tribu engendrée par les paires de E (c’est-à-dire
σ pttx, y u, x, y P E, x y u) ? Indication : discuter selon que le cardinal de E est supérieur ou égal à
deux.
3. Supposons que E
ta, b, cu. Décrire l’ensemble P pE q, puis toutes les tribus sur E.
1
4. Quelle est la tribu engendrée par l’ensemble des parties finies sur E ?
5. On considère la suite de tribus An
tribu.
6. Montrer que
σptt0u, t1u, . . . , tnuuq sur N. Montrer que ”n An n’est pas une
σ pA Y B q σ pA X B, A P A, B
P Bq σpA Y B, A P A, B P Bq.
1.2.2. Soient E, F deux ensembles, et f une fonction de E dans F .
1. Soit B une tribu sur F , montrer que tf 1 pB q, B
réciproque de f .
P Bu est une tribu sur E. On l’appelle tribu image
2. Montrer que si A est une tribu sur E, alors tf pAq, A P Au n’est pas en général une tribu sur F .
3. Montrer cependant que tB
€ F,
f 1 pB q P Au est une tribu sur E. On l’appelle tribu image de f .
1.2.3. Le but de cet exercice est de montrer qu’il n’existe pas de tribus dénombrables infinies.
Soit pE, Aq un espace mesurable. On définit une relation d’équivalence sur E par
xRy
@A P A, x P A ô y P A
si et seulement si
Pour tout x P E, on note x9 la classe d’équivalence de x et on l’appelle l’atome de la tribu A engendré par x.
1. Montrer que les atomes de A forment une partition de E.
2. Montrer que
x9 “
tA P A, x P Au.
3. On suppose que A est dénombrable. Montrer alors que chaque élément de A s’écrit comme une réunion
dénombrable d’atomes.
4. On note C l’ensemble des atomes de E. Montrer que A est en bijection avec P pC q.
5. En déduire que C est fini. Conclure.
1.2.4. On appelle classe monotone toute ensemble de parties d’un ensemble X qui est stable par unions
croissantes dénombrables et par intersections décroissantes dénombrables.
1. Vérifier que l’intersection de classes monotones en est encore une.
2. Soit I une algèbre de Boole. Prouver que la classe monotone et la tribu engendrées par I coincident.
1.3
Mesures
1.3.1. Soient E un ensemble et pAn qnPN une suite de sous-ensembles de E. Décrire les éléments des ensembles
suivants :
£ ¤
¤ £
lim inf An :
Ak et lim sup An :
Ak .
n
¥ ¥
n
n 0k n
1. Soient µ une mesure sur pE, Aq et An
P A, n ¥ 0. Montrer que
µplim inf An q ¤ lim inf µpAn q,
n
n
et que
µpYn¥0 An q
¥ ¥
n 0k n
8 ñ µplim sup An q ¥ lim sup µpAn q.
n
n
2. Montrer le Lemme de Borel-Cantelli :
¸
P
µpAn q
8 ñ µplim sup An q 0.
n
n N
2
3. Soit pxn qn une suite de réels. Que peut-on dire de l’ensemble des points x
¸
1
converge ?
n |x x|
3
n
n¥0
P
R tels que la série
1.3.2. Soit pE, Aq un espace mesurable. Montrer qu’une application µ : A Ñ R vérifiant :
piq µpHq 0,
piiq si A, B P A et A X B H, alors µpA Y B q µpAq µpB q,
piiiq pour toute suite pAn qn¥1 d’éléments de A, croissante pour l’inclusion, µp”n An q limn µpAn q,
est une mesure sur pE, Aq.
1.3.3 (Théorème d’unicité des mesures). Soient E un ensemble et E € P pE q, on dit que :
• E est un π-système si E P E et E stable par intersection finie,
• E est un λ-système si H P E, E est stable par union croissante dénombrable et pour tous A, B P E tels
que A € B, B zA P E.
Soit E un π-système.
1. Vérifier qu’une intersection quelconque de λ-systèmes est encore un λ-système.
2. Soit alors λpE q le plus petit λ-système de E contenant E. Montrer que σ pE q λpE q.
3. Soient µ, ν deux mesures finies sur un espace mesurable pE, Aq qui coı̈ncident sur un π-système qui
engendre A (i.e. σ pE q A). Montrer que µ ν.
4. Si on ne suppose plus
” les mesures µ, ν finies, et qu’on suppose qu’il existe une suite pEn qnPN croissante
de E telle que E n En et pour tout n P N, µpEn q, ν pEn q 8, montrer que le résultat est encore
vrai.
Mesure de Lebesgue
1.3.4.
1. Montrez qu’un ouvert de R de mesure de Lebesgue nulle est vide.
2. Soit ε ¡ 0, donnez un exemple d’ouvert dense dans R dont la mesure est inférieure à ε.
1.3.5. Montrez qu’un sous-ensemble A € r0, 1s tel que λpr0, 1szAq 0 est dense dans r0, 1s.
1.3.6. Soit B une partie de R et a un réel. On note a B l’ensemble a B ta b, b P B u. Soit µ une
mesure sur B pRq telle que µpr0, 1sq 1 et, pour tous a P R et B P B pRq, µpa B q µpB q. On dit que µ est
invariante par translation.
1. Montrer que pour tout x P R, µptxuq 0.
2. Montrer que pour tous réels a, b tels que a
3. En déduire µpI q, où I est un intervalle de R.
b, µpsa, brq b a.
1.3.7 (Ensemble de Cantor). On introduit la suite pCn qnPN de sous-ensembles de R définie par :
C0
r0, 1s,
Cn
1
C3n Y 2
“n C n .
1. Montrer que C est fermé et que λpC q 0.
2. Montrer que Card C Card R.
3. En déduire que Card B̃ pRq Card P pRq.
Remarque : comme Card pB pRqq Card pRq
Cn
pour tout n P N.
3
On définit l’ensemble de Cantor C
ensembles mesurables mais non boréliens.
3
Card P pRq
Card B̃ pRq,
il existe alors des
1.3.8 (Ensemble de Vitali). On introduit une relation d’équivalence sur R notée , définie par x y ô
x y P Q. En vertu de l’axiome de choix 1 , on peut construire un ensemble A € r0, 1s qui contient exactement
un point dans chaque classe d’équivalence. Nous cherchons à montrer que A n’est pas mesurable.
– Si r, q P Q et r q, déterminer pA rq X pA q q (où A x ty x, y P Au).
”
– Montrer que r0, 1s € rPQXr1,1s pA rq € r1, 2s.
Conclure.
Quelques compléments
1.3.9. Montrer que B pRq est invariante par translation, c’est-à-dire que pour tous a
a B P B pRq.
1.3.10. Soit µ une mesure sur B pRq telle que pour tout intervalle I borné, µpI q
A tx P R, µptxuq ¡ 0u.
P R et B P BpRq,
8. On considère l’ensemble
1. Montrer que A est dénombrable.
2. Pour B
P BpRq, on pose µa pB q µpA X B q.
(a) Montrer que µa est bien définie et qu’elle définit une mesure sur B pRq.
°xPA µptxuqδx .
3. Montrer que µ s’écrit µ µa µd , où µd est une mesure dite diffuse, c’est-à-dire qu’elle ne charge
aucun singleton (pour tout x P R, µd ptxuq 0).
1.3.11. Soit pE, A, µq un espace mesuré. Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
piq µ est une mesure de Dirac,
piiq µpAq t0, 1u et “tA, A P A, µpAq 1u H.
1.3.12. Utiliser l’ensemble de Cantor pout construire une fonction f continue croissante sur r0, 1s telle que
f p0q 0, f p1q 1, et f 1 0 λ-presque partout dans r0, 1s.
(b) Montrer que µa
1.3.13. Utiliser l’ensemble de Cantor pour construire un ensemble non borélien dans la tribu de Lebesgue.
1.3.14. On se propose de démontrer le théorème suivant :
Théorème. Soit E un ensemble tel que Card E Card R, toute mesure finie µ : P pE q Ñ R nulle sur les
singletons de E est nulle.
On admettra le résultat suivant :
Tout ensemble E peut être muni d’un ordre total tel que pour tout x P E, l’ensemble ty P E, y xu soit
dénombrable.
On considère alors pour chaque x P E, une injection fx de ty P E, y xu dans N.
1. Pour n P N et y P E, on pose Any tx P E, y
ensembles Any , y P E sont deux à deux disjoints.
nu. Montrer que pour tout n P N, les
P E tel que pour tout n P N, µpAny q 0.
On pose A nPN Any . Montrer que µpAc q 0 et conclure.
2. En déduire qu’il existe y0
3.
x et fx py q
”
0
0
1. Axiome du choix : pour tout ensemble non vide E, il existe une application f : P pE q Ñ E dite
que pour tout A P P pE q non vide, f pAq P A.
4
! fonction de choix ", telle
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bilité - L
-
. Fonctions mesurables
2.1. Soit pE, Aq un espace mesurable.
1. Soit A € E. Montrer que la fonction indicatrice 1A est mesurable si et seulement si A P A.
2. Montrer que si pfn qnPN est une suite de fonctions mesurables de pE, Aq dans pR, B pRqq alors inf n fn ,
supn fn , lim inf n fn , lim supn fn sont mesurables.
3. Montrer que si fn converge simplement vers une fonction f , alors f est mesurable.
2.2. Soient pE, Aq un espace mesurable et pfn qn une suite de fonctions mesurables de E dans R. Montrer
que l’ensemble
tx P E, pfn pxqqn convergeu
est un élément de la tribu A.
2.3. Soient pE, Aq un espace mesurable et f, g des applications mesurables de E dans R muni de la tribu
borélienne. Montrer que les ensembles suivants appartiennent à A :
A tx P E, f pxq
g pxqu, B
tx P E, f pxq ¤ gpxqu,
C
tx P E, f pxq gpxqu.
2.4. Soient a, b P R et f : ra, bs Ñ R.
1. Montrer que si f est monotone, alors f est borélienne.
2. Montrer que si f est continue par morceaux, alors f est borélienne.
2.5 (Exemples de fonctions mesurables). Soit pE, Aq un espace mesurable.
1. pfn qn une suite de fonctions mesurables sur E. Montrer que si pAn qn est une partition mesurable de A
alors la fonction définie par
f pxq fn pxq, si x P An
est mesurable.
2. Supposons que cette partition engendre A. Montrer alors qu’une fonction g : E
seulement si g est constante sur chaque partie An .
3. Si N : pE, Aq Ñ pN, P pNqq est mesurable alors la fonction définie sur E par
Ñ R est mesurable si et
g : x ÞÑ fN pxq pxq
est mesurable.
4. L’inverse d’une bijection mesurable est-elle toujours mesurable ?
2.6. Donner un contre-exemple au théorème d’Egoroff dans le cas d’une mesure de masse infinie.
2.7 (Théorème de récurrence de Poincaré). Soit pE, A, µq un espace probabilisé, c’est à dire un espace
mesurable pE, Aq muni d’une mesure de probabilité µ : µpE q 1.
– Soit f : E Ñ E une application mesurable. Montrer que µ f 1 définit bien une mesure de probabilité.
On suppose que f préserve µ, i.e. pour tout A P A, µpf 1 pAqq µpAq. Si A P A et x P A, on dit que
x est A-récurrent si pour tout entier n ¥ 0, il existe k ¥ n tq f k pxq P A. Fixons A P A et notons Â
l’ensemble des points A-récurrents.
– Exprimer  à l’aide des itérés de la pré-image de A.
– Montrer que, pour toute partie A P A, Â est de mesure pleine dans A, c’est-à-dire que µpÂq µpAq.
5
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-
. Intégrale de Lebesgue
3.1. Soient pE, A, µq et pF, B, ν q deux espaces mesurés et f : E Ñ F mesurable. On note µf la mesure image
de µ par f , c’est-à-dire la mesure sur pF, B q définie par µf µ f 1 .
Montrer qu’une fonction g : F Ñ R mesurable est µf -intégrable si et seulement si g f est µ-intégrable et
que dans ce cas
»
»
E
3.2. Soit f : R
ÑR
telle que f pxq
g f dµ
g dµf .
F
ÝÑ a ¡ 0. Montrer que
xÑ 8
³
f dλ 8.
3.3. Soit f : pE, A, µq Ñ R intégrable d’intégrale non³ nulle. Montrer que pour tout ε ¡ 0, il existe Aε
que µpAε q 8, la fonction f soit bornée sur Aε et Ac |f |dµ ε.
P A tel
ε
3.4. Soit f : pE, A, µq Ñ R une fonction mesurable. Montrer que f est intégrable si et seulement si elle vérifie
le critère suivant :
¸ n
2 µpt2n ¤ |f | 2n 1 uq 8.
On considère la fonction fα : x
Lebesgue-intégrable ?
ÞÑ
P
1tx¡1u , où α ¡ 0. Sous quelle condition sur α la fonction fα est-elle
n Z
1
xα
3.5. Soit pE, Aq un espace mesurable muni d’une mesure finie µ. Soit f : E
1. Montrer que
»
E
|f | dµ
8 si et seulement si
n
¸
kµptk
¤ |f |
k
1uq k 1
»
|f | dµ
n
¸
n
1uq
µpt|f | ¥ k uq nµpt|f | ¥ n
8̧
8 si et seulement si
4. Peut-on se passer de l’hypothèse µpE q
tout x P r0, 1s.
nµptn ¤ |f |
8.
1uq
k 1
E
3.6. Soit f : R
n 1
2. Montrer que pour tout n ¥ 1
3. En déduire que
8̧
Ñ R une fonction mesurable.
µpt|f | ¥ nuq
8.
n 1
8?
Ñ R une fonction intégrable. Montrer que
°
f px
nPZ
nq converge absolument pour presque
3.7. Soient pE, Aq un espace mesurable et µ, ν deux mesures sur pE, Aq. On dit que ν est absolument continue
par rapport à µ et on écrit ν Î µ, si et seulement si µpAq 0, A P A ñ ν pAq 0.
1. Supposons que pour tout ¡ 0, il existe δ
¡ 0 tq si µpAq
δ alors ν pAq
. Montrer alors que ν
2. Supposons ν pE q 8 et démontrons par l’absurde la réciproque.
– Justifier l’existence d’un ¡ 0 et d’une suite pAn qn¥0 de mesurables de A tq µpAn q
ν pAn q ¥ .
6
Î
µ.
2n et
– On définit
En : Yk¥n Ak ,
n ¥ 0.
Donner des estimations de µpEn q, ν pEn q.
– En déduire que ν n’est pas absolument continue par rapport à µ.
– Application : Soit f une fonction positive µ-intégrable. Montrer alors la propriété de continuité
uniforme de l’intégrale :
@ ¡ 0, D δ ¡ 0,
µpAq
δ
ñ
3. Peut-on se passer de l’hypothèse ν pX q
»
f dµ
.
A
8?
Donner deux exemples d’espaces mesurés pE, A, µq et de suites de fonctions mesurables positives pfn qn
3.8.
tels que l’inégalité du lemme de Fatou soit stricte.
3.9.
1. Discuter suivant a P R la limite de l’intégrale
»8
lim
n
2. Calculer pour tout k
Ñ8
a
n
1
sin x
dx.
n2 x2
P Nzt0u la limite quand n Ñ 8 de l’intégrale
»n
0
xk 1 x
n
n
dx.
3.10. En utilisant les théorèmes de convergence, déterminer lim un pour :
n
piq un n
¸
2
k
k 1
n
nk
1
,
piiq un Ñ8
n2
¸
sin k
k
2
k
k 1
k
n
1
.
ÞÑ ext sinx x 1s0,8r pxq.
Montrer que pour tout t ¡ 0, la fonction x ÞÑ f px, tq est intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue
3.11. Soit la fonction f : px, tq P R2
1.
sur R.
³
2. Montrer que la fonction F définie par F ptq R f px, tq dx est dérivable sur s0, 8r.
3. Exprimer F à l’aide de fonctions élémentaires.
4. Peut-on en déduire que la fonction x ÞÑ sinx x est intégrable sur r0, 8r ?
3.12 (Calcul d’un équivalent par la méthode de Laplace). Soit f :s0, 1rÑ R une fonction borélienne intégrable
par rapport à la mesure de Lebesgue. On suppose que f possède une limite f p1 q P R à gauche en 1. On
veut démontrer l’équivalent suivant quand n tend vers 8 :
In :
»1
0
xn f pxq dx
f pn1 q .
1. Montrer que In tend vers 0 quand n tend vers 8.
2. Montrer l’équivalence voulue dans le cas où f est de classe C 1 sur r0, 1s.
3. Pourquoi ne peut-on pas généralement appliquer le théorème de convergence dominée directement à
nIn ?
4. Démontrer l’équivalent de In .
Indication : on pourra séparer l’intégrale en deux, et penser à un changement de variables (on supposera
que le changement de variable traditionnel s’applique dans le cas de l’intégrale de Lebesgue, ce qui sera
démontré prochainement en cours).
7
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-
. Mesures produit-Changement de variables-Mesures images
4.1 (Intégrale de Gauss).
¼
1. Calculer l’intégrale
epx
R2
»
2. En déduire la valeur de
2
y2
q dx dy.
ex dx.
2
R
4.2 (Formule des compléments). On rappelle que la fonction Γ d’Euler est définie pour tout z
» 8
Γpz q :
Ps0, 8r par
tz1 et dt.
0
On se propose de démontrer ici la formule dı̂te des compléments : pour tout a, b ¡ 0,
ΓpaqΓpbq
Γpa bq
»1
0
ta1 p1 tqb1 dt.
Soit h la fonction définie pour tout px, y q Ps0, 8rs0, 8r par
hpx, y q :
x
y,
x
x
y
.
On considère dans la suite la mesure
dµpx, y q : xa1 y b1 epx
y
q 1tx¡0u 1ty¡0u dx dy.
1. Montrer que h définit un C 1 -difféomorphisme de s0,
pu, vq Ps0, 8rs0, 1r, h1 pu, vq pu v, u p1 vqq.
8rs0, 8r vers s0, 8rs0, 1r et que pour tout
2. Montrer que la mesure image de µ par h est la mesure ν
dν pu, v q : ua
eu va1 p1 vqb1 1tu¡0u 1t0
b 1
v 1
u du dv.
3. En remarquant que µ et ν sont des mesures produits, montrer la formule des compléments.
4.3 (Volume de la boule unité de Rd ). On appelle Bd la boule unité de Rd (d P N ).
2π
λd2 pBd2 q.
1. Montrer que si d ¥ 2, alors λd pBd q d
2. En déduire le volume de Bd pour tout d.
4.4 (Un critère d’intégrabilité). Soit pE, A, µq un espace mesuré.
1. Montrer que si f : E
ÑR
est mesurable et p Ps0, 8r, alors
»
f p dµ
E
»
p
µptf
¡ tuqtp1 dt.
R
2. On considère une norme mesurable } . } sur pRd , B pRd qq telle que la boule unité Bd tx P Rd , }x} 1u
soit de mesure de Lebesgue finie. Quelle est la condition sur d ¥ 1 et p ¥ 1 pour que la fonction
1
f : x ÞÑ
}x}p soit Lebesgue-intégrable sur Bd ?
8
3. Utiliser le changement de variables sphériques et retrouver cette condition dans le cas de la norme
Euclidienne.
4.5. Soient α ¡ 0 et µ la mesure de densité fα : x ÞÑ αeαx 1x¡0 par rapport à la mesure de Lebesgue.
1. Montrer que µ est de masse 1.
2. Calculer In
³
xn dµpxq pour n P N.
3. Montrer que la mesure image ν de µ par l’application x ÞÑ rxs
x) est une mesure géométrique de paramètre p à calculer.
1 (où rxs désigne la partie entière de
4.6. Soit Glpd, Rq le groupe des matrices inversibles à coefficients dans R et b P Rd . On va démontrer, sans
avoir recours à la formule du changement de variables, que l’image ν de la mesure de Lebesgue λd par
l’application affine x ÞÑ Ax b est la mesure à densité constante par rapport à λd égale à detpA1 q.
1. Montrer qu’on peut supposer que b 0.
2. Faisons alors cette hypothèse. Montrer que ν est invariante par translation et que 0
d
ν pr0, 1sd q
8.
3. En déduire que ν est proportionnelle à λ et calculer la constante de proportionnalité quand A est une
matrice orthogonale.
4. Calculer cette constante en supposant que A est symétrique définie-positive.
5. Conclure.
9
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-
. Espace Lp
5.1. Soient p P r1, 8r et pfn qn une suite de Lp pµq qui converge µ-p.p vers une fonction f . Montrer l’équivalence
Ñ8 ||fn f ||p 0
lim
n
ô nlim
Ñ8 ||fn ||p ||f ||p .
Indication : appliquer le lemme de Fatou à la suite gn
5.2.
2p p|fn |p |f |p q |fn f |p .
1. Montrer l’inégalité de Hölder dans le cas p 1, q
2.
8.
Montrer que pour toute fonction mesurable f : E ÞÑ R
||f ||8 ¤ lim
inf ||f ||p .
pÑ8
3. En déduire que
¤
P
f
¥
ñ plim
Ñ8 ||f ||p ||f ||8 .
Lp
p 0
4. A-t-on toujours
lim ||f ||p
p
||f ||8 ?
Ñ8
5.3 (Lemme de Scheffé). Soit pfn qn une suite de L1 pE q qui converge µ-presque partout vers f
que
»
»
lim fn dµ f dµ.
n
P L1 pE q, telle
Ñ8
1. Montrer que si les fn sont positives, alors la suite pfn qn converge vers f dans L1 pE q.
2. Montrer que si les fn ne sont plus supposées positives, le résultat est faux en général.
3. Enoncer et dḿontrer le Lemme de Scheffé pour les fonctions de signes quelconques.
5.4. On suppose que µpE q 1. Soit q
nulle µ-p.p.
¡ 0 et f une fonction mesurable dans Lq pµq et différente de la fonction
1. Montrer que pour tout p Ps0, 8s
||f ||p ¥ exp
»
2. Montrer que
lim
Ñ0
p
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