TD-Int

Universit´e de Rennes 1 Int´egration et Probabilit´e - L -
.Op´ erations sur les ensembles - Tribus - Mesures
1.1 Op´erations sur les ensembles - d´enombrabilit´e
1.1.1. D´eterminer les ensembles suivants :
nN
0,11
n,
nN
0,1
n,
nN
1
n,11 n,
kNnN
k1
n, k 1 n.
1.1.2. Soient fet fn, n Ndes applications d’un ensemble Edans R. Interpr´eter l’ensemble suivant :
nNkNi k
x E, fix f x 1
n.
1.1.3. Donner un exemple de suite AnnN d’ensembles ferm´es non vides de R , d´ecroissante pour l’inclusion,
telle que nAn.
1.1.4. Soient E, F deux ensembles, et fune application de Edans F.
• Montrer que pour toute partie B F , f1Bcf1Bc . Donner des exemples d’applications f et
de parties A E telles que :
i f Acf A c;ii f A cf Ac;iii aucune inclusion n’est satisfaite.
•Soient Aii I et Bii I des familles de parties respectivement de Eet de F. Montrer que :
f1
iBiif1Bi;f1 iBiif1Bi;fiAiif Ai;fiAiif Ai.
Montrer que la derni`ere inclusion est en g´en´eral stricte et qu’il y a ´egalit´e si fest injective.
1.1.5. Soit Eun ensemble infini d´enombrable.
1. Montrer que l’ensemble des parties finies de Eest d´enombrable.
2. Montrer que l’ensemble des parties infinies de En’est pas d´enombrable.
1.1.6. Soit f:R R une fonction croissante.
•Montrer que fadmet des limites finies `a gauche et `a droite en tout point.
•Montrer que l’ensemble des points de discontinuit´e de fest d´enombrable.
1.1.7. 1. Montrer que tout ouvert de Rdest union d´enombrable de pav´es ouverts.
2. Montrer que tout ouvert de Rest union d´enombrable disjointe d’intervalles ouverts.
1.2 Tribus
1.2.1. Soit Eun ensemble.
1. Quelle est la tribu engendr´ee par les singletons de E(c’est-`a-dire σ x , x E ) ?
2. Supposons que E ait au moins 2 ´elements. Quelle est la tribu engendr´ee par les paires de E (c’est-`a-dire
σ x, y , x, y E, x y ) ? Indication : discuter selon que le cardinal de Eest sup´erieur ou ´egal `a
deux.
3. Supposons que E a, b, c . D´ecrire l’ensemble PE, puis toutes les tribus sur E.
1

4. Quelle est la tribu engendr´ee par l’ensemble des parties finies sur E?
5. On consid`ere la suite de tribus Anσ 0 , 1 , . . . , n sur N . Montrer que
nAn
n’est pas une
tribu.
6. Montrer que
σA B σ A B, A A, B Bσ A B, A A, B B.
1.2.2. Soient E, F deux ensembles, et fune fonction de Edans F.
1. Soit B une tribu sur F , montrer que f1B , B B est une tribu sur E . On l’appelle tribu image
r´eciproque de f.
2. Montrer que si Aest une tribu sur E, alors f A , A An’est pas en g´en´eral une tribu sur F.
3. Montrer cependant que B F, f 1BAest une tribu sur E. On l’appelle tribu image de f.
1.2.3. Le but de cet exercice est de montrer qu’il n’existe pas de tribus d´enombrables infinies.
Soit E, Aun espace mesurable. On d´efinit une relation d’´equivalence sur Epar
xRysi et seulement si AA, x A y A
Pour tout x E , on note x la classe d’´equivalence de x et on l’appelle l’atome de la tribu A engendr´e par x .
1. Montrer que les atomes de Aforment une partition de E.
2. Montrer que
x A A, x A .
3. On suppose que A est d´enombrable. Montrer alors que chaque ´el´ement de A s’´ecrit comme une r´eunion
d´enombrable d’atomes.
4. On note Cl’ensemble des atomes de E. Montrer que Aest en bijection avec P C .
5. En d´eduire que Cest fini. Conclure.
1.2.4. On appelle classe monotone toute ensemble de parties d’un ensemble X qui est stable par unions
croissantes d´enombrables et par intersections d´ecroissantes d´enombrables.
1. V´erifier que l’intersection de classes monotones en est encore une.
2. Soit Iune alg`ebre de Boole. Prouver que la classe monotone et la tribu engendr´ees par Icoincident.
1.3 Mesures
1.3.1. Soient E un ensemble et AnnN une suite de sous-ensembles de E . D´ecrire les ´el´ements des ensembles
suivants :
lim inf
nAn:
n0k n
Aket lim sup
n
An:
n0k n
Ak.
1. Soient µune mesure sur E, Aet AnA,n0. Montrer que
µlim inf
nAnlim inf nµ An,
et que
µn0Anµlim sup
n
Anlim sup
n
µ An.
2. Montrer le Lemme de Borel-Cantelli :
nN
µ Anµlim sup
n
An0.
2

3. Soit xnn une suite de r´eels. Que peut-on dire de l’ensemble des points xR tels que la s´erie
n0
1
3nxnxconverge ?
1.3.2. Soit E, Aun espace mesurable. Montrer qu’une application µ:ARv´erifiant :
i µ 0,
ii si A, B Aet A B , alors µ A B µ A µ B ,
iii pour toute suite Ann1d’´el´ements de A, croissante pour l’inclusion, µnAnlimnµ An,
est une mesure sur E, A.
1.3.3 (Th´eor`eme d’unicit´e des mesures).Soient Eun ensemble et E P E, on dit que :
• E est un π-syst`eme si EEet Estable par intersection finie,
• E est un λ -syst`eme si E , E est stable par union croissante d´enombrable et pour tous A, B E tels
que A B,B A E.
Soit Eun π-syst`eme.
1. V´erifier qu’une intersection quelconque de λ-syst`emes est encore un λ-syst`eme.
2. Soit alors λEle plus petit λ-syst`eme de Econtenant E. Montrer que σEλE.
3. Soient µ, ν deux mesures finies sur un espace mesurable E, A qui co¨ıncident sur un π -syst`eme qui
engendre A(i.e. σ E A). Montrer que µ ν.
4. Si on ne suppose plus les mesures µ, ν finies, et qu’on suppose qu’il existe une suite EnnN croissante
de E telle que EnEn et pour tout nN , µ En, ν En , montrer que le r´esultat est encore
vrai.
Mesure de Lebesgue
1.3.4.
1. Montrez qu’un ouvert de Rde mesure de Lebesgue nulle est vide.
2. Soit ε0, donnez un exemple d’ouvert dense dans Rdont la mesure est inf´erieure `a ε.
1.3.5. Montrez qu’un sous-ensemble A0,1 tel que λ0,1A0 est dense dans 0,1 .
1.3.6. Soit B une partie de R et a un r´eel. On note a B l’ensemble a B a b, b B . Soit µ une
mesure sur BR telle que µ 0 , 1 1 et, pour tous aR et BBR , µ a B µ B . On dit que µ est
invariante par translation.
1. Montrer que pour tout xR,µ x 0.
2. Montrer que pour tous r´eels a, b tels que a b,µ a, b b a.
3. En d´eduire µ I , o`u Iest un intervalle de R.
1.3.7 (Ensemble de Cantor).On introduit la suite CnnNde sous-ensembles de Rd´efinie par :
C00,1, Cn1
Cn
3
2Cn
3pour tout nN.
On d´efinit l’ensemble de Cantor CnCn.
1. Montrer que Cest ferm´e et que λ C 0.
2. Montrer que Card CCard R.
3. En d´eduire que Card ˜ BRCard PR.
Remarque : comme Card BRCard RCard PRCard ˜ BR, il existe alors des
ensembles mesurables mais non bor´eliens.
3

1.3.8 (Ensemble de Vitali) . On introduit une relation d’´equivalence sur R not´ee , d´efinie par x y
x y Q . En vertu de l’axiome de choix
1
, on peut construire un ensemble A 0 , 1 qui contient exactement
un point dans chaque classe d’´equivalence. Nous cherchons `a montrer que An’est pas mesurable.
– Si r, q Qet r q, d´eterminer A r A q (o`u A x y x, y A ).
– Montrer que 0,1rQ1,1A r 1,2 .
Conclure.
Quelques compl´ements
1.3.9. Montrer que BR est invariante par translation, c’est-`a-dire que pour tous aR et BBR ,
a B BR.
1.3.10. Soit µ une mesure sur BR telle que pour tout intervalle I born´e, µ I . On consid`ere l’ensemble
A x R, µ x 0 .
1. Montrer que Aest d´enombrable.
2. Pour BBR, on pose µaB µ A B .
(a) Montrer que µaest bien d´efinie et qu’elle d´efinit une mesure sur BR.
(b) Montrer que µax A µ x δx.
3. Montrer que µ s’´ecrit µ µaµd , o`u µd est une mesure dite diffuse, c’est-`a-dire qu’elle ne charge
aucun singleton (pour tout xR,µdx0).
1.3.11. Soit E, A, µ un espace mesur´e. Montrer que les deux conditions suivantes sont ´equivalentes :
i µ est une mesure de Dirac,
ii µ A0,1 et A, A A, µ A 1 .
1.3.12. Utiliser l’ensemble de Cantor pout construire une fonction f continue croissante sur 0 , 1 telle que
f0 0, f1 1, et f0λ-presque partout dans 0,1 .
1.3.13. Utiliser l’ensemble de Cantor pour construire un ensemble non bor´elien dans la tribu de Lebesgue.
1.3.14. On se propose de d´emontrer le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme. Soit E un ensemble tel que Card ECard R , toute mesure finie µ : PER nulle sur les
singletons de Eest nulle.
On admettra le r´esultat suivant :
Tout ensemble E peut ˆetre muni d’un ordre total tel que pour tout x E , l’ensemble y E, y x soit
d´enombrable.
On consid`ere alors pour chaque x E, une injection fxde y E, y x dans N.
1. Pour nN et y E , on pose An
yx E, y x et fxy n
. Montrer que pour tout nN , les
ensembles An
y,y E sont deux `a deux disjoints.
2. En d´eduire qu’il existe y0Etel que pour tout nN,µ An
y00.
3. On pose AnNAn
y0. Montrer que µ Ac0 et conclure.
1 . Axiome du choix : pour tout ensemble non vide E , il existe une application f : PE E dite fonction de choix , telle
que pour tout APEnon vide, f A A.
4

´
Ecole Normale Sup´erieure de Cachan Antenne de Bretagne Int´egration et Proba-
bilit´e - L
-
. Fonctions mesurables
2.1. Soit E, Aun espace mesurable.
1. Soit A E. Montrer que la fonction indicatrice Aest mesurable si et seulement si AA.
2. Montrer que si fnnN est une suite de fonctions mesurables de E, A dans R,BR alors infnfn ,
supnfn, lim infnfn, lim supnfnsont mesurables.
3. Montrer que si fnconverge simplement vers une fonction f, alors fest mesurable.
2.2. Soient E, A un espace mesurable et fn n une suite de fonctions mesurables de E dans R . Montrer
que l’ensemble
x E, fnxnconverge
est un ´el´ement de la tribu A.
2.3. Soient E, A un espace mesurable et f, g des applications mesurables de E dans R muni de la tribu
bor´elienne. Montrer que les ensembles suivants appartiennent `a A:
A x E, f x g x , B x E, f x g x , C x E, f x g x .
2.4. Soient a, b Ret f:a, b R.
1. Montrer que si fest monotone, alors fest bor´elienne.
2. Montrer que si fest continue par morceaux, alors fest bor´elienne.
2.5 (Exemples de fonctions mesurables).Soit E, Aun espace mesurable.
1. fnn une suite de fonctions mesurables sur E . Montrer que si An n est une partition mesurable de A
alors la fonction d´efinie par
f x fnx , si x An
est mesurable.
2. Supposons que cette partition engendre A . Montrer alors qu’une fonction g : ER est mesurable si et
seulement si gest constante sur chaque partie An.
3. Si N:E, AN,PNest mesurable alors la fonction d´efinie sur Epar
g:x fN x x
est mesurable.
4. L’inverse d’une bijection mesurable est-elle toujours mesurable ?
2.6. Donner un contre-exemple au th´eor`eme d’Egoroff dans le cas d’une mesure de masse infinie.
2.7 (Th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e) . Soit E, A, µ un espace probabilis´e, c’est `a dire un espace
mesurable E, Amuni d’une mesure de probabilit´e µ:µ E 1.
– Soit f : E E une application mesurable. Montrer que µ f 1 d´efinit bien une mesure de probabilit´e.
On suppose que f pr´eserve µ , i.e. pour tout AA, µ f 1A µ A . Si AA et x A , on dit que
x est A -r´ecurrent si pour tout entier n 0, il existe k n tq fkx A . Fixons AA et notons
ˆ
A
l’ensemble des points A-r´ecurrents.
– Exprimer ˆ A`a l’aide des it´er´es de la pr´e-image de A.
– Montrer que, pour toute partie AA,ˆ Aest de mesure pleine dans A, c’est-`a-dire que µˆ A µ A .
5