Cours Intégration Troisième année de licence de Mathématiques.

Chapitre 1
Rappels sur les ensembles
1.1 Ensembles
1.1.1 D´efinitions
Soit Eun ensemble, on note P(E) = {parties deE}
Soient A,Bdans P(E)
{EA=E\A= compl´ementaire de Adans E=Ac
A\B={x∈A, x /∈B}=A∩{EA
A4B= (A\B)∪(B\A)= diff´erence sym´etrique.
Proposition 1. Soient (Ai)i∈Iune famille quelconque d’´el´ements de P(E),B∈ P(E)
S
i∈I
Ai\B=S
i∈I
(Ai\B)
T
i∈I
Ai\B=T
i∈I
(Ai\B)
B\S
i∈I
Ai=T
i∈I
(B\Ai)
B\T
i∈I
Ai=S
i∈I
(B\Ai)
1.1.2 Image r´eciproque :
f:E→X,Xensemble
B⊂X, f −1(B) = {x∈E, f(x)∈B}
Proposition 2. Soient (Bj)j∈Iune famille quelconque d’´el´ements de P(E)
f−1 T
j∈I
Bj!=T
j∈I
f−1(Bj)
f−1 S
j
Bj!=S
j
f−1(Bj)
f−1(Bc) = (f−1(B))c
1.1.3 Fonction indicatrice
A⊂E, 1A:E→ {0,1}
si w∈E, 1A(w) = 0 si w /∈A
1 si w∈A
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2CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES ENSEMBLES
Remarque 1. : Il existe une bijection entre P(E)et {0,1}E
Rappel : XI=F(I, X)
Remarque 2. RN={suites r´eelles}
1.2 Ensemble d´enombrable
E, F ont mˆeme cardinal si et seulement si il existe une bijection de Edans F.
On ´ecrit card E =card F .
D´efinition 1. card E ≤card F ⇔il existe une injection de Edans F
Remarque 3. Si card E ≤card F et card F ≤card E alors
card E =card F
D´efinition 2. : Un ensemble Eest d´enombrable si et seulement si il existe une bijection de
Edans Nou dans une partie de N. Par convention, φest d´enombrable.
Exemples :
1- L’ensemble des entiers pairs a mˆeme cardinal que N.
2- P(E) a un cardinal strictement sup´erieur `a celui de E
ie 6 ∃ de bijection de Edans P(E).
P(N) n’est pas d´enombrable.
3- N2est d´enombrable.
Proposition 3. 1) Une r´eunion d´enombrable d’ensembles d´enombrables est d´enombrable.
2) Un produit fini d’ensembles d´enombrables est d´enombrable.
3) Qest d´enombrable.
1.3 Limite sup´erieure, limite inf´erieure d’une suite
R=R∪ {−∞,+∞} est muni d’un ordre ≤d´efini par
si x, y sont dans R,x≤y⇐⇒ y−x∈R+
−∞ ≤ x≤+∞pour tout x∈R.
Proposition 4. Toute partie non vide de Rposs`ede une borne inf´erieure et une borne
sup´erieure dans R.
Toute suite croissante (respectivement d´ecroissante) (xn)n∈Nde Rest convergente dans R
et limn−→+∞= sup{xn, n ≥1}(respectivement inf{xn, n ≥1}.
D´efinition 3. Limite sup´erieure, limite inf´erieure :
lim sup
n
xn= lim
n−→+∞xn= inf
n≥1sup
k≥n
xk= lim
n−→+∞sup
k≥n
xk
lim inf
nxn= limn−→+∞xn= sup
n≥1
inf
k≥nxk= lim
n−→+∞inf
k≥nxk
Proposition 5. 1) limn−→+∞xn=−lim
n−→+∞(−xn)
2) a < lim
n−→+∞xn=⇒a < xnpour une infinit´e de n≥1
3) lim
n−→+∞xn< b =⇒ ∃n≥1,∀k≥n, xk< b.
4) Soit a∈R,

1.3. LIMITE SUP ´ ERIEURE, LIMITE INF ´ ERIEURE D’UNE SUITE 3
a= lim
n−→+∞xn⇐⇒ { ∀ε, ∃n≥1,∀k≥n, xk< a +ε
∀ε, ∀n≥1,∃k≥n, xk> a −ε.
5) Soient (xn)nune suite de R,adans R
limn−→+∞xn≤lim
n−→+∞xn
lim
n−→+∞xn= limn−→+∞xn=a⇐⇒ lim n−→+∞xn=a
lim
n−→+∞xn=−∞ ⇐⇒ lim n−→+∞xn=−∞
limn−→+∞xn= +∞ ⇐⇒ lim
n−→+∞xn= +∞.
6) Soient (xn)n,(yn)ndes suites de Rtelles que ∀n, xn≤yn. On a
lim
n−→+∞xn≤lim n−→+∞yn
limn−→+∞xn≤limn−→+∞yn.
7) lim
n−→+∞xn≤limn−→+∞xn⇐⇒ (xn)nest convergente dans R.

4CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES ENSEMBLES

Chapitre 2
Espaces Mesur´es
2.1 Mesure sur un semi-anneau
D´efinition 4. Eensemble. Sfamille non vide de parties de E.
Sest un semi-anneau si et seulement si
1) A∈ S et B∈ S ⇒ A∩B∈ S
2) ∀A, B ∈ S, il existe une famille finie (Cj)j∈Jd’´el´ements de S, 2 `a 2 disjoints tel que
A\B=S
j∈J
Cj
Remarque 4. φ∈ S
2.1.1 Mesure sur un semi-anneau
D´efinition 5. Ssemi-anneau sur un ensemble E.
On appelle mesure sur Stoute application µ:S → [0,+∞]telle que :
∗µ(φ) = 0
∗pour toute suite (An)n, finie ou d´enombrable d’´el´ements de S, 2 `a 2 disjoints et telle que
S
n
An∈ S, on a µ(S
n
An) = P
n
µ(An)
on dit que µest d´enombrablement additive ou que µv´erifie la propri´et´e de σadditivit´e.
Remarque 5. µune mesure, A, B ∈ S tel que A∩B=φet A∪B∈ S
On a µ(A∪B) = µ(A) + µ(B)
2.1.2 Prolongement d’une mesure sur un anneau
D´efinition 6. Un anneau est une famille non vide de parties d’un ensemble Estable pour
toutes les op´erations ensemblistes finies : ∩,∪,4,\.
Proposition 6. Soit Sun semi anneau sur E. Le plus petit anneau A, contenant Sou
encore l’anneau engendr´e par Sest form´e des r´eunions finies disjointes d’´el´ements de S.
Proposition 7. Soit Ssemi-anneau sur E,µune mesure sur S,A=anneau engendr´e par
S=A(S)
Alors il existe un unique prolongement de µ`a l’anneau Aqui soit une mesure sur A
2.1.3 Propri´et´es d’une mesure sur un semi-anneau
Proposition 8. Ssemi-anneau sur E,µmesure sur S.
1) µest croissante ie ∀A, B ∈ S, A ⊂B⇒µ(A)≤µ(B)
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