Cours Intégration Troisième année de licence de Mathématiques.

Chapitre 1
Rappels sur les ensembles
1.1
Ensembles
1.1.1
Définitions
Soit E un ensemble, on note P(E) = {parties deE}
Soient A, B dans P(E)
{E A = E \ A = complémentaire de A dans E = Ac
A \ B = {x ∈ A, x ∈
/ B} = A ∩ {E A
A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A)= différence symétrique.
Proposition
1. Soient (Ai )i∈I une famille quelconque d’éléments de P(E), B ∈ P(E)
S
S
Ai \ B =
(Ai \ B)
i∈I
i∈I T
T
Ai \ B =
(Ai \ B)
i∈I
i∈I
S
T
B\
Ai =
(B \ Ai )
i∈I i∈I
T
S
B\
Ai =
(B \ Ai )
i∈I
1.1.2
i∈I
Image réciproque :
f : E → X, X ensemble
B ⊂ X, f −1 (B) = {x ∈ E, f (x) ∈ B}
Proposition
! 2. Soient (Bj )j∈I une famille quelconque d’éléments de P(E)
T
T −1
f −1
Bj =
f (Bj )
j∈I
j∈I
!
S
S
−1
f
Bj = f −1 (Bj )
j
j
f −1 (B c ) = (f −1 (B))c
1.1.3
Fonction indicatrice
A ⊂ E, 1A : E → {0, 1}
si w ∈ E,
1A (w) =
0 si w ∈
/A
1 si w ∈ A
1
2
CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES ENSEMBLES
Remarque 1. : Il existe une bijection entre P(E) et {0, 1}E
Rappel : X I = F(I, X)
Remarque 2. RN = {suites réelles}
1.2
Ensemble dénombrable
E, F ont même cardinal si et seulement si il existe une bijection de E dans F .
On écrit card E = card F .
Définition 1. card E ≤ card F ⇔ il existe une injection de E dans F
Remarque 3. Si card E ≤ card F et card F ≤ card E alors
card E = card F
Définition 2. : Un ensemble E est dénombrable si et seulement si il existe une bijection de
E dans N ou dans une partie de N. Par convention, φ est dénombrable.
Exemples :
1- L’ensemble des entiers pairs a même cardinal que N.
2- P(E) a un cardinal strictement supérieur à celui de E
ie 6 ∃ de bijection de E dans P(E).
P(N) n’est pas dénombrable.
3- N2 est dénombrable.
Proposition 3. 1) Une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.
2) Un produit fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
3) Q est dénombrable.
1.3
Limite supérieure, limite inférieure d’une suite
R = R ∪ {−∞, +∞} est muni d’un ordre ≤ défini par
si x, y sont dans R, x ≤ y ⇐⇒ y − x ∈ R+
−∞ ≤ x ≤ +∞ pour tout x ∈ R.
Proposition 4. Toute partie non vide de R possède une borne inférieure et une borne
supérieure dans R.
Toute suite croissante (respectivement décroissante) (xn )n∈N de R est convergente dans R
et limn−→+∞ = sup{xn , n ≥ 1} (respectivement inf{xn , n ≥ 1}.
Définition 3. Limite supérieure, limite inférieure :
lim sup xn =
n
lim xn = inf sup xk =
n−→+∞
n≥1 k≥n
lim inf xn = limn−→+∞ xn = sup inf xk =
n
n≥1 k≥n
Proposition 5. 1) limn−→+∞ xn = − lim (−xn )
n−→+∞
2) a <
lim xn =⇒ a < xn pour une infinité de n ≥ 1
n−→+∞
3) lim xn < b =⇒ ∃n ≥ 1, ∀k ≥ n, xk < b.
n−→+∞
4) Soit a ∈ R,
lim
sup xk
n−→+∞ k≥n
lim
inf xk
n−→+∞ k≥n
1.3. LIMITE SUPÉRIEURE, LIMITE INFÉRIEURE D’UNE SUITE
∀ε, ∃n ≥ 1, ∀k ≥ n, xk < a + ε
.
∀ε, ∀n ≥ 1, ∃k ≥ n, xk > a − ε
5) Soient (xn )n une suite de R, a dans R
limn−→+∞ xn ≤ lim xn
a=
lim xn ⇐⇒ {
n−→+∞
n−→+∞
lim xn = limn−→+∞ xn = a ⇐⇒
n−→+∞
lim xn = −∞ ⇐⇒
n−→+∞
lim
n−→+∞
limn−→+∞ xn = +∞ ⇐⇒
lim
n−→+∞
xn = a
xn = −∞
lim
n−→+∞
xn = +∞.
6) Soient (xn )n , (yn )n des suites de R telles que ∀n, xn ≤ yn . On a
lim xn ≤ lim yn
n−→+∞
n−→+∞
limn−→+∞ xn ≤ limn−→+∞ yn .
7) lim xn ≤ limn−→+∞ xn ⇐⇒ (xn )n est convergente dans R.
n−→+∞
3
4
CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES ENSEMBLES
Chapitre 2
Espaces Mesurés
2.1
Mesure sur un semi-anneau
Définition 4. E ensemble. S famille non vide de parties de E.
S est un semi-anneau si et seulement si
1) A ∈ S et B ∈ S ⇒ A ∩ B ∈ S
2) ∀A, B S
∈ S, il existe une famille finie (Cj )j∈J d’éléments de S, 2 à 2 disjoints tel que
A\B =
Cj
j∈J
Remarque 4. φ ∈ S
2.1.1
Mesure sur un semi-anneau
Définition 5. S semi-anneau sur un ensemble E.
On appelle mesure sur S toute application µ : S → [0, +∞] telle que :
∗µ(φ) = 0
∗
(An )n , finie
Spour toute suite S
P ou dénombrable d’éléments de S, 2 à 2 disjoints et telle que
An ∈ S, on a µ( An ) = µ(An )
n
n
n
on dit que µ est dénombrablement additive ou que µ vérifie la propriété de σ additivité.
Remarque 5. µ une mesure, A, B ∈ S tel que A ∩ B = φ et A ∪ B ∈ S
On a µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B)
2.1.2
Prolongement d’une mesure sur un anneau
Définition 6. Un anneau est une famille non vide de parties d’un ensemble E stable pour
toutes les opérations ensemblistes finies : ∩, ∪, 4, \.
Proposition 6. Soit S un semi anneau sur E. Le plus petit anneau A, contenant S ou
encore l’anneau engendré par S est formé des réunions finies disjointes d’éléments de S.
Proposition 7. Soit S semi-anneau sur E, µ une mesure sur S, A = anneau engendré par
S = A(S)
Alors il existe un unique prolongement de µ à l’anneau A qui soit une mesure sur A
2.1.3
Propriétés d’une mesure sur un semi-anneau
Proposition 8. S semi-anneau sur E, µ mesure sur S.
1) µ est croissante ie ∀A, B ∈ S, A ⊂ B ⇒ µ(A) ≤ µ(B)
5
6
CHAPITRE 2.
ESPACES MESURÉS
2) µ est dénombrablement sous additive
S = si I est un ensemble dénombrable (fini ou non)
d’indices, An ∈ S pour tout n ∈ I, si
An ∈ S alors
n∈I
S
P
µ( An ) ≤
µ(An ).
n
n∈I
S
3) (An )n suite croissante d’éléments de S tq An ∈ S
n
S
µ( An ) = lim µ(An ) = sup µ(An )
n→+∞
n
4) (An )n suite décroissante d’éléments de S. On suppose que µ(A1 ) < ∞ et ∩An ∈ S. Alors
n
µ(∩An ) = lim µ(An ) = Inf µ(An ).
n
n→+∞
En particulier, si ∩An = φ alors (µ(An ))n & 0.
n
2.2
Mesure sur une tribu
2.2.1
Définition d’une tribu
Une tribu est une famille non vide T de parties de E, stable pour toutes les opérations
ensemblistes dénombrables et contenant l’ensemble E. Une famille nonS
vide T de parties de
E est une tribu si et seulement si (A ∈ T ⇒ Ac ∈ T ) , (∀n, An ∈ T ⇒ An ∈ T ) et E ∈ T .
n
Exemples de tribu :
P(E) tribu triviale
{φ, E} tribu grossière.
On peut définir la tribu engendrée par une famille C non vide d’éléments de P(E)comme la
plus petite tribu contenant C.
On admet l’existence et l’unicité de cette tribu.
Exemple : {φ, A, Ac , E} = plus petite tribu engendrée par {A}.
Définition 7. Un espace mesurable est un couple (E, T ) où E est un ensemble, T une tribu
sur E. On dit qu’une partie de E est mesurable si et seulement si elle appartient à T .
Remarque 6. On peut définir une mesure sur T (car T est un semi anneau !)
µ = A → [0, +∞]
µ(φ) = 0
pour toute P
suite finie ou dénombrable (An )n d’éléments 2 à 2 disjoints de T ,
µ(∪An ) = µ(An )
n
n
(on a ∪An ∈ T par def de la tribu)
n
On dit que (E, T , µ) est un espace mesuré.
2.2.2
Propriété des espaces mesurés
Proposition 9. (E, T , µ) espace mesuré
Pour tout A, B dans T , on a
(i) µ(A) = µ(A \ B) + µ(A ∩ B)
(ii) si A ⊂ B alors µ(A) ≤ µ(B)
(iii) µ(A ∪ B) ≤ µ(A) + µ(B)
(iv) µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B)
Définition 8. µ est finie ou bornée si µ(E) est fini.
µ est σ - finie s’il existe (An )n suite de T tq E = ∪An et µ(An ) < +∞ pour tout n.
n
2.2. MESURE SUR UNE TRIBU
7
Remarque 7. si µ(E) = 1 on dit que µ est une probabilité. (E, T , µ) est alors un espace
probabilisé.
Les mesures bornées sont σ-finies.
µ
Si µ est bornée et non nulle (ie µ(E) 6= 0) alors
est une probabilité.
µ(E)
2.2.3
Construction du prolongement d’une mesure
Soit µ une mesure σ finie sur un semi-anneau S d’un ensemble E. On voudrait prouver
l’existence d’un unique prolongement de µ à une mesure sur la tribu engendrée par S et
construire ce prolongement.
Pour cela, on P
introduit µ∗ , fonction définie sur P(E) par
u∗ (A) = Inf { µ(An ), A ⊂ ∪An , An ∈ S}
n
n
µ∗ :=mesure extérieure associée à µ.
µ∗ a les propriétés suivantes :
a) µ∗ (φ) = 0
b) µ∗ est croissante.
c) µ∗ est dénombrablement
sous-additive
:
S
P
∀n, An ∈ P(E) ⇒ µ∗ ( An ) ≤ µ∗ (An )
n
Définition 9. Une partie A de E est dite µ∗ -mesurable si et seulement si
∀B ⊂ E, µ∗ (B) = µ∗ (B ∩ A) + µ∗ (B \ A)
On note Mµ l’ensemble des parties µ∗ -mesurables.
Proposition 10. 1) Mµ est une tribu sur E qui contient S.
2) La restriction de µ∗ à la tribu Mµ est une mesure.
Remarque 8. C’est l’unique prolongement de µ à la tribu T (S) engendrée par S.
Remarque 9. T (S) ⊂ Mµ
Théorème 1. Théorème de Carathéodory
Si µ est une mesure σ-finie sur un semi-anneau S d’un ensemble E alors il existe un unique
prolongement (encore noté µ), de µ à la tribu T (S) engendrée par S.
2.2.4
Ensembles négligeables.Complétion d’une mesure
Soit S un semi-anneau sur un ensemble E, T la tribu engendrée par S et µ une mesure
σ-finie sur S.
On construit µ∗S mesure extérieure à partir de S.
On en déduit µ mesure sur T puis on construit la mesure extérieure de µ à partir de T ,
notée µ∗T .
Alors µ∗S = µ∗T
Définition 10. : Une partie A de E est négligeable si et seulement si
u∗S (A) = µ∗T (A) = 0
On note N l’ensemble des parties négligeables.
8
CHAPITRE 2.
ESPACES MESURÉS
Proposition 11. Soit µ une mesure sur une tribu T
1- Toute partie contenue dans une partie négligeable est négligeable.
2- Toute réunion dénombrable de parties négligeables est négligeable.
3- Une partie N de E est négligeable si et seulement si ∃B ∈ T tq N ⊂ B et µ(B) = 0.
Théorème 2. µ une mesure sur une tribu T , σ finie
T = {A ∪ N, A ∈ T , N négligeable} est une tribu dite tribu complétée de T .
On dit que l’espace mesuré (E, T ) est complet lorsque T = T
La mesure µ définie sur T par µ(A ∪ N ) = µ(A) est dite la mesure complétée de µ.
Proposition 12. T = Mµ et µ = µ∗ |Mµ
Lemme 1. Les parties négligeables sont dans Mµ
2.3
Mesure de Borel et de Lebegue sur R
Proposition 13. Les familles de parties de R suivantes engendrent la même tribu B(R).
1) Les ouverts de R.
2) Les fermés de R.
3) Les intervalles ouverts (ou fermés ou semi ouverts d’un côté, illimité ou non).
Définition 11. La tribu B(R) est appelée la tribu borélienne de R. La mesure sur B(R) prolongeant la mesure “longueur” sur les intervalles est appelée mesure de Borel, sa complétée
la mesure de Lebesgue.
A est un borélien de R si et seulement si A ∈ B(R).
Proposition 14. Pour toute partie A de R et λ réel, on note
A + λ = {a + λ, a ∈ A} le translaté de A par λ et λA = {λa, a ∈ A} l’homothétique de A
par λ.
1) Si A ∈ B(R) alors A + λ ∈ B(R), λA ∈ B(R)
2) Si µ est la mesure de Lebesgue sur R alors pour tout A ∈ B(R),
∀λ ∈ R, µ(A + λ) = µ(A) et µ(λA) = |λ|µ(A).
Définition 12. Une fonction continue de R dans R est nulle presque partout si et seulement
si l’ensemble A = {x ∈ R, f (x) 6= 0} est de mesure nulle i.e. µ(A) = 0.
Proposition 15. Une fonction continue de R dans R, nulle presque partout est nulle partout. Deux fonctions égales presque partout sont égales partout.
Généralisation : Soit E un espace topologique.
La tribu borélienne sur E est la tribu engendrée par l’ensemble des ouverts de E.
Exemple :
B(R2 ) = T ({U × V, U, V ouverts de R})
= T ({rectangles})
= T ({I × J, I, J intervalles de R})
Chapitre 3
Fonctions mesurables
3.1
Généralités
Définition 13. Une application f d’un espace mesurable (E1 , T1 ) dans un espace mesurable
(E2 , T2 ) est mesurable ou T1 − T2 mesurable si et seulement si f −1 (T2 ) ⊂ T1 si et seulement
si pour tout B ∈ T2 , f −1 (B) ∈ T1 .
Une variable aléatoire réelle est une application mesurable d’un espace probabilisé (Ω, T , P )
dans (R, B(R).
Proposition 16. 1) La composée de deux fonctions mesurables est mesurable.
2) Une partie A d’un ensemble mesurable (E, T ) est mesurable si et seulement si 1A est
mesurable.
3) Les fonctions constantes sont mesurables.
Lemme 2. f : E1 → E2 et C ⊂ P(E2 )
T (f −1 (C)) = f −1 (T (C)).
Théorème 3. Soit f : (E1 , T1 ) −→ (E2 , T2 ). On suppose que la tribu T2 est engendrée par
une famille F de parties de E2 .
f est mesurable ssi f −1 (F) ⊂ T1 ssi ∀B ∈ F , f −1 (B) ∈ T1 .
Cas particulier : Les applications continues de R dans R sont mesurables.
Attention : Les applications mesurables de R dans R ne sont pas forcémment continues.
Remarque 10. f : (E, T ) → (R, B(R)), f mesurable ⇔ ∀a ∈ R, {x, f (x) > a} ∈ T
⇔ ∀a ∈ R, {x, f (x) ≥ a} ∈ T .
Définition 14. Mesure Image
f application mesurable d’un espace mesuré (E, T , µ) dans un espace mesurable (E 0 , T 0 )
Pour tout B ∈ T 0 , on pose µf (B) = µ(f −1 (B)).
µf est une mesure, appelée mesure image de µ par f .
Proposition 17. f fonction mesurable de (X, T , µ) dans (X 0 , T 0 )
g fonction mesurable de (X 0 , T 0 ) dans (X 00 , T 00 )
Alors µg◦f = (uf )g .
Définition 15. Si X est une variable aléatoire définie sur (Ω, A, P ), on appelle loi de X la
probabilité image PX de P par X.
Remarque 11. Si X ne prend qu’un nombre fini de valeurs x1 , ..., xn alors
n
X
PX =
P ({w ∈ Ω, X(w) = xi })δi
i=1
9
10
CHAPITRE 3.
3.2
FONCTIONS MESURABLES
Fonctions mesurables réelles
Notations :
M+ = M+ (E, T ) = ensemble des fonctions mesurables positives (finies ou non) d’un espace
mesuré (E, T ) dans [0, +∞] muni de la tribu borélienne engendrée par les [a, +∞].
M = M(E, T ) = ensemble des fonctions mesurables réelles (finies) définies sur (E, T ) à
valeurs dans R muni de la tribu borélienne B(R).
f
g
Proposition 18. (E, T ) −→ (E 0 , T 0 ) −→ (E 00 , T 00 ).
Si f, g sont mesurables alors g ◦ f est mesurable
Corollaire 1. 1) Soit a ∈ R, soit f : (E, T ) → (R, B(R)) mesurable. Alors
max(f, a), min(f, a), |f |, f + = max(f, 0), f − = − min(f, 0) sont mesurables.
1
est mesurable.
2) f : (E, T ) → (R∗ , B(R∗ )) mesurable alors
f√
+
+
3) f : (E, T ) → (R , B(R )) mesurable alors f l’est.
Proposition 19.
f, g : (E, T ) → (R, B(R))
F : (E, T ) → (R2 , B(R2 ))
x 7→ (f (x), g(x))
F est mesurable si et seulement si f, g le sont.
Application :
f : (E, T ) → (C, B(C))
f est mesurable si et seulement si Im f et Re f sont mesurables de (E, T ) dans (R, B(R)).
Proposition 20. f, g : (E, T ) → (R, B(R)) mesurables. Alors pour tout α ∈ R, αf + g, f g
sont mesurables. De même sup(f, g), inf(f, g) sont mesurables.
Corollaire 2. Si f ∈ M alors f 2 , |f | sont dans M
Attention : Si |f | est mesurable, f n’est pas forcémment mesurable.
Proposition 21. Soit (fn )n suite de fonctions de M ou de M+ , les fonctions suivantes
X
(lorsqu’elles existent) sont mesurables : sup fn , inf fn , lim sup fn , lim inf fn , lim fn ,
fn .
n
n
n
Définition 16. fonction étagée
Une fonction f de E dans R est étagée si et seulement si f (E) est un ensemble fini de R.
Cela revient à supposer l’existence d’une partition finie (Ai )i∈{1,...,n} de E, de constantes αi
X
deux à deux distinctes tq f =
αi 1Ai .
1≤i≤n
On a Ai = f −1 ({αi }) et cette écriture est unique. On l’appelle décomposition canonique
de f .
[
Rappel : (Ai )i partition de E ⇔ E =
Ai , Ai 6= φ et les Ai sont deux à deux disjoints.
i
Proposition 22. f est mesurable si et seulement si ∀i , Ai ∈ T .
On note E l’algèbre des fonctions mesurables étagées
E + l’algèbre des fonctions mesurables étagées positives finies ou non.
Propriétés : Soient f, g ∈ E, λ ∈ R
Alors λf, f + g, f g, sup(f, g), inf(f, g), |f | sont dans E.
Théorème 4.
1) Toute fonction mesurable réelle f est limite simple d’une suite (fn )n de fonctions étagées.
2) Si de plus f est bornée par M sur E, la suite (fn )n peut être supposée croissante et
uniformément convergente vers f .
3) Si f est positive finie ou non, la suite (fn )n peut être supposée croissante et positive.
3.3. INTÉGRALE SUPÉRIEURE D’UNE FONCTION DE M+
11
Définition 17. Convergence presque partout.
Soit (fn )n une suite de fonctions mesurables.
La suite (fn )n est convergente presque partout s’il existe un ensemble N de mesure nulle tq
(fn (x))n est convergente pour tout x ∈
/ N.
Remarque 12. Si (fn )n est une suite de vecteurs aléatoires, on parle de convergence presque surement.
Remarque 13. Une limite presque partout d’une suite de fonctions mesurables n’est pas
nécessairement mesurable. Ce résultat est vrai lorsque la tribu est complète ie T = T .
3.3
3.3.1
Intégrale supérieure d’une fonction de M+
Intégrale supérieure d’une fonction étagée mesurable positive
Soit f =
X
αi 1Ai décomposition canonique de f ∈ E + , I de cardinal fini.
i∈I
Définition 18. On appelle intégrale supérieure de f par rapport à µ la quantité (finie ou
Z ∗
X
non) :
f dµ =
αi µ(Ai )
i∈I
En particulier, pour tout A ∈ T ,
Z
∗
1A dµ = µ(A).
Remarque 14. Par convention, on pose 0 × (+∞) = 0.
Propriétés :
Z ∗
Z ∗
a) f, g ∈ E + , λ > 0,
(λf )dµλ
f dµ
Z ∗
Z ∗
Z ∗
b) f, g ∈ E + ,
(f + g)dµ
f dµ +
gdµ
X
Remarque : pour toute écriture f =
αi 1Ai canonique ou non
i∈I
Z
∗
f dµ =
X
αi µ(Ai )
i∈I
c) f, g ∈ E +
Z
f ≤g⇒
∗
Z
∗
f dµ ≤
gdµ.
Proposition 23.
a) Si A ∈ T , fZ∈ E + alorsZ 1A f ∈ ξ + .
∗
∗
On pose alors
f dµ :=
1A f dµ.
A
Z
∗
∗
b) Soient A, B dans T tq A ∩ B = φ, f ∈ ξ . On a
∗
f dµ =
Z
∗
dµ
[
une suite d’éléments de T , croissante pour l’inclusion et tq E =
En .
A∪B
c) Soit (En )n≥1
Z
f dµ +
A
B
n
Alors pour tout f ∈ ξ +
Z
+
Z
f dµ = lim
n
f dµ
En
12
CHAPITRE 3.
3.3.2
FONCTIONS MESURABLES
Intégrale supérieure d’une fonction mesurable positive
Idée : pour définir l’intégrale supérieure d’une fonction mesurable positive, f ∈ M+ , on peut
l’écrire comme limite croissante d’une suite de fonctions de ξ + et poser
Z ∗
Z ∗
fn dµ.
f dµ = lim
n
Il faut justifier que
Z ∗ Si on a 2 suites de fonctions croissantes qui converge
Z ∗ceci est correct.
gn dµ ?
fn dµ = lim
vers f , a-t-on lim
n
n
+
+
Définition
19.Z
f : (E, T , µ) → (R , B(R )) mesurable
Z ∗
∗
ϕdµ, ϕ ≤ f, ϕ ∈ ξ + .
f dµ := sup
Proposition 24. Si f, g ∈ M
+
Z
∗
et f ≤ g alors
Z
∗
f dµ ≤
gdµ.
Théorème 5. Théorème de Beppo-Lévi ou de convergence monotone.
Soit (fn )n uneZsuite croissante d’élément de M+ . Alors f := lim fn ∈ M+ et
Z
∗
∗
f dµ = lim
n
fn dµ.
Z
∗
Remarque 15. On peut aussi écrire
Z
sup fn dµ = sup
∗
fn dµ.
Proposition
25. Soient
f, g Z∈ M+ .
Z ∗
Z ∗
∗
a)
(f + g)dµ =
f dµ +
gdµ.
Z ∗
Z ∗
b) ∀λ ≥ 0
λf dµ = λ
f dµ.
Corollaire 3. de Beppo-Lévi
Z ∗X :
XZ
+
Soit fn ∈ M . On a
fn dµ =
∗
fn dµ.
Théorème 6. Thérème de Fatou :
Soit (fZn )n suite de M+ .
Z ∗
∗
On a
lim inf fn ≤ lim inf
fn .
En particulier,
si fn converge
simplement vers f ∈ M+ , M ∈ R
Z ∗
Z ∗
∀n,
fn dµ ≤ M ⇒
f dµ ≤ M .
Proposition 26. Soit f ∈ M+ , alors
Z
∗
f dµ = 0 ⇔ µ({x, f (x) 6= 0}) = 0 ie f = 0
Proposition 27.Z Soient f,Zg ∈ M+ .
∗
∗
a) f ≤ g pp ⇒
f dµ ≤
gdµ.
Z ∗
Z ∗
b) f = g pp ⇒
f dµ =
gdµ.
Proposition 28. Inégalité de Markov.
Soit f ∈ M+ , pour tout A > 0, µ{x, f (x) ≥ A} ≤
1
A
Z
∗
f dµ.
pp
Chapitre 4
Fonctions intégrables
4.1
4.1.1
Généralités
Définitions
Définition 20. soit
Z
Z ∗f ∈ M. On dit que f est intégrable par rapport à µ si et seulement si
∗
+
f dµ < ∞ et
f − dµ < ∞.
rappel : f + = sup(f, 0)
f − = sup(−f, 0)
Z
L’intégrale de f par rapport à µ est le nombre réel
Z
ou
f (x)dµ(x).
∗
+
f dµ −
Z
∗
−
f dµ noté
Z
Z
f dµ ou
f
Si µ est la mesure de Lebesgue, on dit que f est Lebesgue-intégrable.
Notation : L1 = L1 (E, T , µ) = {fonctions intégrables par rapport à µ}.
Proposition 29.
1) f est intégrable si et seulement si |f | est intégrable.
2) L1 est un sous espace Zvectoriel Z
de M. L’intégrale est une forme linéaire positive sur L1 .
En particulier, f ≤ g ⇒ f dµ ≤ g dµ
Z
Z
f dµ ≤ |f |dµ.
si f, g ∈ L1 alors sup(f, g) ∈ L1 , inf(f,Zg) ∈ L1 .
3) (f ∈ M et f = 0 pp) ⇒ f ∈ L1 et
f dµ = 0.
Z
Z
4) (f ∈ L1 , g ∈ M et g = f pp) ⇒ g ∈ L1 et
f dµ = gdµ
5) f ∈ M et ∃g ∈ L1 , |f | ≤ g µ pp alors f ∈ L1 .
4.1.2
Cas complexe
C est muni de la tribu borélienne.
Définition 21. Une fonction complexe mesurable est intégrable si et seulement si |f | est
intégrable.
Z
Z
Z
L’intégrale de f par rapport à µ est
f dµ = Ref dµ + i Imf dµ.
Proposition 30. L’ensemble des fonctions complexes
Z intégrables
Z est un C-espace vectoriel
et l’intégrale une forme linéaire à valeurs dans C tq f dµ ≤ |f |dµ.
13
14
CHAPITRE 4. FONCTIONS INTÉGRABLES
Proposition 31. f ∈ M+
f ∈ L1 ⇒ µ({x, f (x) = +∞}) = 0.
4.1.3
Propriétés
Théorème 7. µ, ν deux mesures sur un espace mesurable (E, T ). La fonction λ = µ + ν
est une mesure sur E.
Une fonction réelle ou complexe f est
si etZ seulement si elle est à la fois µZ λ intégrable
Z
intégrable et ν-intégrable. On a alors
f dλ = f dµ + f dν
Proposition 1. Soit (E, T , µ) un espace mesuré f : E → R, f est intégrable relativement
si f est égale presque partout à
à la mesure complétée µ ie f ∈ L1 (E, T , µ)
Z si et seulement
Z
une fonction g ∈ L1 (E, T , µ). On a alors
4.1.4
gdµ =
f dµ.
Intégrale sur une partie A de T
Définition 22. Soit f une fonction réelle ou complexe, mesurable sur (E, T , µ), A ∈ T .
f est intégrable
surZA par rapport à µ si et seulement si f 1A est intégrable.
Z
On note
f dµ = f 1A dµ.
A
Proposition 32. Soit f une fonction réelle ou complexe, mesurable sur (E, T , µ).
a) Si f est intégrable alors pour toute partie A de T , f est intégrable sur A.
b) Si f est mesurable et bornée alors elle est intégrable sur toute
partie A de T tq µ(A) < ∞.
Z
c) Si A ∈ T est négligeable alors f est intégrable sur A et
f dµ = 0.
A
Z
d) Si f est intégrable et si pour tout A ∈ T ,
f dµ = 0 alors f = 0 pp.
A
4.2
Intégrale de Riemann - Intégrale de Lebesque
Théorème 8. Toute fonction f Riemann intégrable sur [a, b] est Lebesgue-intégrable sur
[a, b] ie f 1[a,b] est intégrable pour la mesure de Lebesgue λ et les intégrales coı̈ncident.
Intérêt : Lorsqu’on a une fonction Riemann intégrable, on pourra utiliser tous les résultats
connus avec Riemann pour calculer l’intégrale de Lebesgue.
Il existe des fonctions Lebesgue intégrable sur [a, b] qui ne sont pas Riemann intégrable.
Théorème 9. I = (α, β) un intervalle non compact.
f une fonction Riemann intégrable sur tout [a, b] contenu dans I. f est Lebesgue intégrable
sur I si et seulement si l’intégrale impropre de Riemann de f est absolument
convergente.
Z
Z
+∞
Dans ce cas, les deux intégrales coı̈ncident. On écrira indifféremment
f (x)dx,
−∞
4.3
4.3.1
Théorèmes de convergence et applications
Rappel : lemme de Fatou
Soit (fn )n suite de M+
Z
∗
Z
lim inf fn dµ ≤ lim inf
∗
fn dµ
f dλ.
R
4.3. THÉORÈMES DE CONVERGENCE ET APPLICATIONS
15
Application :
(fn )n suite de fonctions intégrables convergeant simplement vers f et vérifiant
Z ∗
|fn |dµ < +∞.
sup
n
Alors f ∈ L1 .
4.3.2
Théorème de Lebesgue ou convergence dominée
+
1
Lemme
n une suite décroissante de M tq h1 ∈ L .
Z 3. Soit (hn )Z
Alors
lim hn = lim hn
n
Théorème 10. Théorème de Lebesgue
Soit (fn )n une suite d’éléments de L1 (E, T , µ) à valeurs dans R ou C. On suppose que
(i) fn converge µ pp vers une fonction mesurable f .
(ii) ∃g ∈ L1 tq ∀n, |fZn | ≤ g pp Z
(condition de domination).
Alors f ∈ L1 et lim
n
fn dµ =
lim fn dµ.
n
Remarque 16. Intérêt de ce théorème : on n’a pas besoin de la CU de la suite (fn )n comme
dans le cas Riemann. L’hypothèse de CU implique la condition (ii) avec g constante.
Corollaire 4. Intégration
terme à terme des séries de fonctions.
XZ
1
Soit fn ∈ L tq
|fn |dµ < ∞.
n
Z X
X
XZ
On a
|fn | < ∞ pp et
fn dµ =
fn dµ.
n
n
n
Z
4.3.3
Limite, continuité et dérivation sous le signe
Théorème 11. Soit (E, T , µ) un espace mesuré, f une fonction réelle ou complexe définie
sur E × I où I est un intervalle de R. Soit t0 un point adhérent à I (t0 ∈ R).
On suppose :
a) ∀t ∈ I, x 7→ f (x, t) est intégrable sur E.
b) Pour presque tout x ∈ E, lim f (x, t) existe dans R et vaut ϕ(x).
t→t0
c) Il existe une fonction intégrable g sur E tq
∀t ∈ I, |f (x, t)| ≤ g(x) p.p.
Z
Alors la fonction F définie par F (t) = f (x, t)dµ(x) admet une limite quand t → t0 , ϕ est
Z
Z
intégrable et lim
f (x, t)dµ(x) =
ϕdµ.
t→t0
E
E
Théorème 12. Soit (E, T , µ) un espace mesuré, f une fonction réelle ou complexe définie
sur E × I où I est un voisinage de t0 , point de R.
On suppose :
a) ∀t ∈ I, x 7→ f (x, t) est intégrable sur E.
b) Pour presque tout x ∈ E, t 7→ f (x, t) est continue au point t0 .
c) Il existe une fonction intégrable g sur E tq
∀t ∈ I, |f (x, t)| ≤ g(x) p.p.
Z
Alors la fonction F (t) =
f (x, t)dµ(x) est continue au point t0 .
16
CHAPITRE 4. FONCTIONS INTÉGRABLES
Théorème 13. Dérivation :
Soit (E, T , µ) espace mesuré, f fonction réelle (ou complexe) définie sur E×I où I intervalle
de R. On suppose :
a) ∀t ∈ I, x 7→ f (x, t) est intégrable sur E.
b) Pour presque tout x ∈ E, t 7→ f (x, t) est dérivable sur I.
c) Il existe une fonction intégrable g sur E tq
∂
∀t ∈ I, f (x, t) ≤ g(x) pp
∂t
Z
Alors la fonction F (t) = f (x, t)dµ(x) est dérivable sur I.
Z
∂
∂
0
f (x, t)dµ(x).
∀t ∈ I, x 7→ f (x, t) est intégrable sur E et F (t) =
∂t
∂t
4.3.4
Intégration par rapport à une mesure image
Proposition 33. Soit f une fonction mesurable d’un espace mesuré (E, T , µ) dans un
espace mesurable (E 0 , T 0 ).
On note µf la mesure image de µ par f . Une fonction mesurable réelle ϕ est intégrable par
rapport à µf si et seulement si ϕ ◦ f est intégrable par rapport à µ. On a alors
Z
Z
ϕdµf = ϕ ◦ f dµ
Z
i.e.
ϕ(x0 )dµf (x0 ) =
Z
ϕ ◦ f (x)dµ(x).
Application aux probabilités
= momentZ d’une variable aléatoire X : (Ω, A, P ) → R.
Z
r
moment d’ordre r = X (ω)dP (ω) = xr dPX (x).
Pour r = 1 on retrouve l’espérance de X.
4.3.5
Mesure à densité
Définition Z23. Soit f mesurable positive définie sur (E, T , µ). Soit A ∈ T , la formule
∗
(f.µ)(A) =
f.µ.
f dµ définit une mesure positive dite de densité f par rapport à µ et notée
A
Proposition 34. ∀A ∈ T , µ(A) = 0 ⇒ f.µ(A) = 0.
Définition 24. Une mesure ν sur (E, T , µ) est dite absolument continue par rapport à µ si
et seulement si ∀A ∈ T , µ(A) = 0 ⇒ ν(A) = 0.
Proposition 35. si f ∈ M+ , f.µ est absolument continue par rapport à µ.
Théorème 14. Théorème de Radon-Nikodym :
Si µ et ν sont deux mesures σ-finies sur (E, T ) et si ν est absolumment continue par rapport
à µ alors il existe une fonction f mesurable positive finie telle que ν = f.µ.
Chapitre 5
Mesure produit
Théorèmes de Fubini et du
changement de variable.
5.1
Tribu Produit
(E1 , T1 , µ1 ), (E2 , T2 , µ2 ) sont deux espaces mesurés.
µ1 , µ2 sont des mesures σ-finies.
5.1.1
Tribu produit
Définition 25. On appelle tribu produit de T1 et T2 , la tribu notée T1 ⊗ T2 définie par
T1 ⊗ T2 = T ({A × B, A ∈ T1 , B ∈ T2 })
Proposition 36.
pr1 : E1 × E2 → E1
pr2 : E1 × E2 → E2
(x1 , x2 ) 7→ x1
(x1 , x2 ) 7→ x2
T1 ⊗ T2 est la plus petite tribu sur E1 × E2 rendant mesurables les projections pr1 et pr2 .
Remarque 17. B(R2 ) = B(R) ⊗ B(R)
5.1.2
Section d’un élément de la tribu
Si C ∈ T1 ⊗ T2 , que peut-on dire de la mesurabilité de ses sections définies par
Cx := {y ∈ E2 , (x, y) ∈ C}
C y := {x ∈ E1 , (x, y) ∈ C}
Proposition 37.
Soit C ∈ T1 ⊗ T2
∀x ∈ E1 , Cx ∈ T2
∀y ∈ E2 , C y ∈ T1
Corollaire 5. Soit f : (E1 × E2 , T1 ⊗ T2 ) → R, R ou C avec la tribu borélienne.
On suppose f mesurable.
Pour tout x ∈ E1 , la section de f d’abscisse x définie par
fx : E2 → R, R ou C
est T2 -mesurable.
y 7→ fx (y) = f (x, y)
De même, pour tout y ∈ E2 , l’application
17
18CHAPITRE 5. MESURE PRODUITTHÉORÈMES DE FUBINI ET DU CHANGEMENT DE VARIABLE
f y : E1 → R, R ou C
est T1 mesurable.
x 7−→ f y (x) = f (x, y)
5.2
Mesure produit de mesures σ-finies
Théorème 15. Soient (E1 , T1 , µ1 ) et (E2 , T2 , µ2 ) deux espaces mesurés où µ1 et µ2 sont
des mesures σ-finies.
1) Il existe une unique mesure µ sur (E1 × E2 , T1 ⊗ T2 ) telle que
∀A ∈ T1 , ∀B ∈ T2 , µ(A × B) = µ1 (A)µ2 (B)
De plus, cette mesure est σ-finie. On
µ1 ⊗ µ2 .
R ∗ la note généralement
R∗
2) Pour tout C ∈ T1 ⊗ T2 , µ(C) = E1 µ2 (Cx )dµ1 = E2 µ1 (C y )dµ2 .
5.3
Théorèmes de Fubini
Théorème 16. Théorème de Fubini-Tonelli
+
Soit f : (E1 × E2 , T1 ⊗ T2 , µ ⊗ ν) → R une fonction mesurable. µ et ν sont 2 mesures σ-finis
sur (E1 , T1 ), (E2 , T2 )R respectivement
a) La fonction x 7→ E2 f (x, y)dν(y) est définie sur E1 et est T1 mesurable
R
La fonction y 7→ E1 f (x, y)dµ(x) est définie sur E2 et est T2 mesurable.
b)
Z
Z Z
f d(µ ⊗ ν) =
f (x, y)dν(y) dµ(x)
E1 ×E2
E1
E2
Z Z
=
f (x, y)dµ(x) dν(y)
E2
E1
+
Remarque : ces égalités ont lieu dans R .
Théorème 17. Théorème de Fubini
Soit f : (E1 × E2 , T1 ⊗ T2 , µ ⊗ ν) → R ou C
On suppose f intégrable ie f ∈ L1 (E1 × E2 , T1 ⊗ T2 , µ ⊗ ν)
a) µ p.p., l’application y 7→ f (x, y) est dans L1 (ν) et ν p.p., l’application x 7→ f (x, y) est
dans L1 (µ)
R
R
b) Les fonctions y 7→ E1 f (x, y)dµ(x) et x 7→ E2 f (x, y)dν(y) sont intégrables presque
partout.
R
R R
R R
c) E1 ×E2 f d(µ ⊗ ν) = E1 E2 f (x, y)dν(y) dµ(x) = E2 E1 f (x, y)dµ(x) dν(y)
5.4
Théorème du changement de variables
Définition 26. Soient U, V des ouverts de Rn , φ : U → V , φ = (φ1 , ..., φn ). On note pri la
ième projection de Rn → R, φi = pri ◦ φ.
On dit que φ est un difféomorphisme de classe C 1 de U dans V = φ(U ) ssi
∂φi
φ est bijective de U sur V , φ est C 1 ie les φi ,
sont continues, i = 1, ..., n j = 1, ..., n,
∂µ
j
∂φi
la matrice jacobienne de φ definie par Jφ (u) =
(u)
est inversible pour tout u ∈ U .
∂uj
i,j
Théorème 18. Changement de variable :
φ difféomorphisme de classe C 1 d’un ouvert U de Rn dans l’ouvert V = φ(U ) de Rn .
f fonction réelle ou complexe, Lebesgue mesurable sur V
La mesure de Lebesgue dx sur V est l’image par T de la mesure µ =| DetJφ (u) | du sur U
5.4. THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLES
19
(qui est la mesure de densité | DetJφ (u) | par rapport à du).
f est Lebesgue intégrable sur V ssi f ◦ φ est Lebesgue intégrable sur U pour la mesure µ et
on a alors
R
V =φ(U )
f (x)dx =
R
U
f (φ(u)) | DetJφ (u) | du
20CHAPITRE 5. MESURE PRODUITTHÉORÈMES DE FUBINI ET DU CHANGEMENT DE VARIABLE
Chapitre 6
Transformation de Fourier sur
L1
6.1
Espace L1
Soit (E, T , µ) un espace mesuré.
L1 (E, T , µ) = {f : (E, T , µ) → R ou C, f intégrable}.
On considère la relation R sur L1 définie par f Rg ⇔ f = g µpp
Proposition 38.
R est une relation d’équivalence sur L1 .
Définition 27.
L1
= {classes d’équivalence pour la relation R}
= L1 /R espace quotient de L1 par R
Théorème 19. Soit f ∈RL1 , f˙ la classe d’équivalence de f .
La fonction f˙ 7→ kf˙k1 = |f |dµ est une norme sur L1 .
Théorème 20. Théorème de Fisher-Riesz
(L1 , k k1 ) est un espace de Banach ie un espace vectoriel normé complet ie toute suite de
Cauchy dans L1 pour k k1 est convergente.
La convergence pour la norme k k1 est dite convergence en moyenne.
Proposition 39.
Si (fn )n est une suite de fonctions convergentes vers f dans L1 .
Alors il existe une sous suite (f nk )k qui est convergente µ p.p. vers f .
Proposition 40. L’ensemble des fonctions étagées sur les intervalles bornés est dense dans
L1 (R, B(R), λ)
n
X
f=
αi 1Ai où Ai est un intervalle borné.
i=1
6.2
Convolution des fonctions
Théorème 21. Soient f, g deux fonctions intégrables sur Rn .
Pour presque tout x ∈ Rn , la fonction t 7→ f (t)g(x − t) est intégrable sur Rn .
DéfinitionR 28. On appelle produit de convolution de f et g la fonction f ∗ g définie par
f ∗ g(x) = f (t)g(x − t)dt
21
CHAPITRE 6. TRANSFORMATION DE FOURIER SUR L1
22
Proposition 41.
Soient f, g deux fonctions intégrables sur Rn .
1) f ∗ g ∈ L1 (Rn )
2) Le
R produitRde Rconvolution est commutatif, associatif et distributif par rapport à l’addition.
3) f ∗ g = f g et kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1
6.3
6.3.1
Transformée de Fourier sur L1 (Rn , B(Rn ), λ)
Définition
Soit f ∈ LR1 (Rn ) on appelle transformée de Fourier de f la fonction définie pour x ∈ Rn par
Ff (x) = e−2iΠ<x,t> f (t)dt
n
X
où < x, t >=
xi ti
i=1
6.3.2
Propriétés élémentaires de la transformée de Fourier
Proposition 42. F est une application linéaire sur L1 (Rn )
Proposition 43.
Soient f, g dans L1 (Rn )
1) Pour tous (x, y) ∈ Rn × Rn , on note (f ⊗ g)(x, y) = f (x)g(y)
On a F(f ⊗ g) = Ff ⊗ Fg
2) F(f ∗ g) = Ff · Fg
3) ∀x ∈ Rn , on pose f V (x) = f (−x)
F(f V ) = (Ff )V
4) Soit a ∈ Rn , pour tous x ∈ Rn , on pose τa f (x) = f (x − a)
F(τa f )(x) = e−2iΠ<x,a> Ff (x)
t
5) Soit r ∈ Rn \ {0} , h : t 7→ f ( )
r
F(h)(x) = |r|n F(f )(rx)
6.3.3
Propriétés topologiques
Théorème 22. Soit f ∈ L1 (Rn )
Ff est uniformément continue et bornée sur Rn
Lemme 4. Lemme de Riemann Lebesgue
Soit f ∈ L1 (Rn ) alors Ff tend vers 0 en +∞ et en −∞.
Proposition 44. F est une application linéaire continue de (L1 (Rn ), k k1 ) dans (C0 (Rn ), k k∞ )
où C0 (Rn ) = { applications continues sur Rn nulles à l’infini}
1
n
Corollaire
R 6. Pour tous
R f1 , f2 dans L (R ), les fonctions (Ff1 )f2 et f1 (Ff2 ) sont intégrables.
De plus (Ff1 )f2 = f1 (Ff2 )
6.3.4
Transformée de Fourier et dérivée
Soit f ∈ L1 (R) et soit p un entier positif
g
1) Si la fonction t 7→ tp f (t) est intégrable alors Ff est p fois dérivable et
(Ff )(p) (x) = (−2iΠ)p Fg(x)
2) Si les dérivées f 0 , ..., f (p) existent et sont intégrables, on a (Ff (p) )(x) = (2iΠx)p Ff (x)
3) En particulier, si f admet une dérivée première et seconde intégrables alors Ff ∈ L1
6.3. TRANSFORMÉE DE FOURIER SUR L1 (RN , B(RN ), λ)
6.3.5
Transformation de Fourier inverse :
Définition 29. Soit f ∈ L1 (Rn ), on pose (Ff )(x) =
R
e2iΠ<x,t> f (t)dt
Proposition 45. Soient f, g dans L1 (Rn )
1) (Ff )(x) = (Ff )(−x) = (Ff )V (x)
si f est paire, Ff (x) = Ff (x)
2) Ff = Ff
si f est réelle, Ff = Ff
3) Ff ∈ L1 (Rn ) ⇐⇒ Ff ∈ L1 (Rn )
si Ff ∈ L1 (Rn ) alors ∀x ∈ Rn , FFf (x) = FFf (x)
4) F(f ∗ g) = F(f )F(g)
Théorème 23. Théorème de réciprocité :
Si f ∈ L1 (Rn ) est telle que Ff ∈ L1 alors FFf = f p.p. i.e. FFf = f dans L1 .
Remarque 18. Si f ∈ L1 , on n’a pas forcément Ff dans L1
Proposition 46. Soit f ∈ L1 (Rn ) tq Ff ∈ L1 (Rn )
1) Si f est continue alors F(Ff ) = f , égalité vraie partout.
2) Plus précisemment, F(Ff )(t) = f (t) en tout point de continuité de f
Proposition 47. Soit f, g dans L1 (Rn ) tq Ff, Fg soient dans L1 (Rn )
Alors f g ∈ L1 (Rn ) et F(f g) = Ff ∗ Fg presque partout.
23
24
CHAPITRE 6. TRANSFORMATION DE FOURIER SUR L1
Chapitre 7
Transformation de Fourier sur
L2
Espace L2
7.1
Soit (E, T , µ) un espace mesuré.
L2 (E, T , µ) = {f : (E, T , µ) → R ou C, f 2 intégrable}.
On considère la relation R sur L2 définie par f Rg ⇔ f = g µpp
Proposition 48.
R est une relation d’équivalence sur L2 .
Définition 30.
L2 (E, T , µ)
7.1.1
= {classes d’équivalence pour la relation R}
= L2 (E, T , µ)/R espace quotient de L2 (E, T , µ) par R
Propriétés
Proposition 49.
1) L2 (E, T , µ) est un espace vectoriel.
2) Pour tous Rf, g dans L2 (E, T , µ), f g ∈ L1 (E, T , µ)
et < f, g >= f g définit un produit scalaire sur L2 .
On peut alors définir une norme sur L2 (E, T , µ) en posant || f ||2 =
qR
| f |2 .
2
3) (L (E, T , µ), || . ||2 ) est un espace de Hilbert.
2
4) Pour tous
TR, µ), on a
R f, g dans
R L (E,
1
2 21
|| f g ||1 = | f g |≤ ( | f | ) ( | g |2 ) 2 =|| f ||2 || g ||2 Inégalité de Cauchy Schwartz.
R
R
R
1
1
1
|| f + g ||2 ≤ ( | f + g |2 ) 2 ≤ ( | f |2 ) 2 + ( | g |2 ) 2 =|| f ||2 + || g ||2 Inégalité de
Minkowski.
7.1.2
Comparaison entre L2 et L1
Proposition 50.
Si µ est finie, on a L2 (E, T , µ) ⊂ L1 (E, T , µ)
1
et pour tout f ∈ L2 (E, T , µ), || f ||1 ≤ µ(E) 2 || f ||2 .
7.1.3
Sous ensemble denses dans L1 et L2
Théorème 24.
{fonctions étagées sur des pavés bornés}, {fonctions continues à support compact },{fonctions
25
CHAPITRE 7. TRANSFORMATION DE FOURIER SUR L2
26
indéfiniment dérivables à support compact } sont denses dans L1 et L2 .
7.2
7.2.1
Tansformation de Fourier sur L2 (Rn )
Espace de Wiener
Définition 31.
H = {f ∈ L1 (Rn ), Ff ∈ L1 (Rn )} est l’espace de Wiener.
Proposition 51.
1)Hest contenu dans L2 (Rn ).
2) H est un espace préhilbertien.
3) F et F sont deux bijections réciproques sur H, adjointes l’une de l’autre. Ce sont des
isométries pour la norme || . ||2 .
3) H est dense dans L2 .
7.2.2
Transformée de Fourier sur L2
Proposition 52.
Soit f ∈ L2 , il existe (hn )n ∈ H telle que f = lim hn dans L2 . On peut définir Ff = lim Fhn
dans L2 .
Ainsi on prolonge par continuité les opérateurs F et F définis sur H à L2 .
R
ATTENTION : On ne peut pas appliquer la formule e−2iπ<x,t> f (t)dt pour obtenir la
transformée de Fourier d’une fonction de L2 .
Théorème 25. Plancherel Parceval
1) Soit f ∈ L2 , FFf = FFf = f dans L2 c.a.d. presque partout.
2) F, F sont adjointes l’une de l’autre.
3) La transformée de Fourier est une isométrie sur L2 et conserve le produit scalaire c.a.d.
< Ff, Fg >=< f, g >.
Proposition 53.
1) Si f ∈ L1 ∩ L2 alors les deux définitions de la transformée de Fourier coincident.
2) Soit f ∈ L2 , Ff = (Ff R)V et Ff =
R F f.
3) Soient f et g dans L2 , Ff.g = f.Fg.
4) Soit f continûment dérivable telle que f , f 0 soient dans L2 (R), on a
∀x ∈ R, Ff 0 (x) = (2iπx)Ff (x).
5) Soit f ∈ L2 (R) alors pour tout λ > 0, 1[−λ,λ] f ∈ L1 et
Ff (x) =
lim
λ−→+∞
FL1 (1[−λ,λ] f )(x)
Z
Ff (x) =
L2
c.a.d.
λ
lim
λ−→+∞
dans
e−2iπxt f (t)dt
dans
L2 .
−λ
6) Si f ∈ L1 et FL1 f ∈ L2 alors f ∈ L2 et f = FL2 F L1 f .
7.3
Lien avec le produit de convolution
Soient f , g dans L2 (R), f ? g est bien définie et || f ? g ||∞ ≤|| f ||2 || g ||2 .
Proposition 54.
Soient f , g dans L2 , on a f g ∈ L1 et F(f g) = Ff ? Fg.
7.3. LIEN AVEC LE PRODUIT DE CONVOLUTION
Proposition 55.
Soient f, g dans L2 . On a
Ff.Fg ∈ L1
F(Ff.Fg) = f ? g.
Proposition 56.
Soient f ∈ L1 (R) et g ∈ L2 (R).
R
La fonction f ? g est définie presque partout par f ? g(x) = f (t)g(x − t)dt.
f ? g ∈ L2 (R) et
|| f ? g ||2 ≤|| f ||1 || g ||2 .
27