serie1 cour

Université M’hamedBougaraBoumerdès
Faculté des Sciences
UEF : Matière Physique 02
Département de Physique
Année : 2019/2020
ST
SERIE N°1: Electrostatique
Exercice 1 :
Le nombre d’électrons transférés :
Durant le frottement, n électrons vont passer
du verre vers la soie, n=40.1012.
Verre
n
Soie
ne
q
e

q'2  q2
q'  q
 1 1
e
e
1- q1  5 108 ( C ) et q2  0( C )
Figure 1
q' 
Avant le processus, la soie et le verre sont
supposés neutres : qv  qs  0 (C ) ;
q1  q2 5  0 8

10  2,5 108 ( C )
2
2
Le transfert d’électrons se fait de la sphère S2
vers la sphère S1 .
Le nombre d’électrons transféré
La charge totale : QT  qv + qs  0 (C )
Après le processus, les nouvelles charges de la
soie et le verre sont : q'v et q' s
n
La charge totale : Q'T  q'v + q' s
q
e

2 ,5  0 108
1,6.10
19
 1,56.1011
2- q1  4 108 ( C ) et q2  9 108 ( C )
Le système (verre+soie) est isolé donc la
charge totale est conservée :
Q'T  QT  q'v + q' s  0
q' 
q1  q2 4  9 8

10  6,5 108 ( C )
2
2
Le transfert d’électrons se fait de la sphère S1
vers la sphère S2
Le nombre d’électrons transférés
q' s   q'v  n.e

AN:
q' s  n.e  40.1012.( 1.602.1019 )  64.107 ( C )
q'v  q' s  64.107 ( C )
n
q
e

6,5  9 108
1,6.1019
 1,56.1011
3- q1  2 108 ( C ) et q2  7 108 ( C )
Exercice 2 :
Avant contact
S1
q1
S2
Durant contact
S1
q2
S2
q' 
Après contact
q'1
Le transfert d’électrons se fait de la sphère S2
vers la sphère S1.
Le nombre d’électrons transférés
S2
S1
q1  q2 2  7 8

10  2,5 108 ( C )
2
2
q'2
Figure 2
n
q
e

2 ,5  2 108
1,6.10
19
 2 ,81.1011
Le système des deux sphères est isolé donc la
charge totale est conservée :
QT  Q'T
 q1 + q2  q'1 + q'2
Exercice 3 :
Les deux sphères conductrices sont identiques
q'1 = q'2  q'  q1 + q2  2q'
1- Détermination du potentiel électrique VN
au point N :
D'où:
VN  
q+q
q'  1 2
2
i
1
qi qA qB qC



ri
rA
rB
rC
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rA  AN  a 2 , rB  BN  a 2 , rC  CN 
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ST
3
2 a
uA
qA   3q , qB   2q , qC   2q
qA

a
2- Détermination de la force électrique FC
qA  3q , qB  qC  2q
uA  i
Y
N
FA C 
B
a
j
C
X
6kq
4kq 2
et
i
F


i
BC
x2
(a  x )2
3
2

)i
2
x (a  x )2
La charge qC est en équilibre en M :
i
 FC ( M )  0  (
3
2

)0
2
x
(a  x )2
 2 x 2  3( a  x ) 2  0
FC   Fi  FA C  FB C

 x1  54,5 cm   A, B 


 x2  5,5 cm   A, B 
 x ( M )  x2  5,5 cm
i
kq q
kqAqC
u A et FB C  B C2 uB
2
( rBC )
( rAC )
 rBC  a , q A  3q , qB  qC  2q
FA C 
Exercice 4 :
1
1
(i  3 j ) ; uB   (i  3 j )
2
2
2
3kq
2kq2
FA C  2 (i  3 j ) et FB C   2 (i  3 j )
a
a
D’où :
uA 
FC 
2
FC ( M )  2kq 2 (
Figure 3
rAC
uB  i
;
D’où :
uB
a
Figure 4
rAC  AM  x , rBC  BM  a  x
exercée sur la charge qC :
uA
X
x

A
qB
qC
i
2q
5 3  2  1,1 106 (V)
3a
VN 
uB
M
N
1- Détermination et représentation de FM :
Y
M
kq 2
(i  5 3 j )  0,9(i  5 3 j )( N )
a2
FM
y
a
Q
q (1)
3- Détermination de la position d'équilibre :
j
La charge qC se déplace sur le segment AB
O i
X
a  q (2)
sous l’action d’une force FC exercée par q A et
Figure 5
qB . Elle sera en équilibre à la position M(x) que
l’on déterminera.
FM ( y )   Fi  F1 M  F2 M
FC ( M )   Fi ( M )  FA C ( M )  FB C ( M )
i
i
FA C ( M ) 
F1 M 
kqAqC
kq q
u et FB C ( M )  B C2 uB
2 A
( rAC )
( rBC )
2
k ( q)(Q )
k (  q)(Q )
j et F2 M 
j
2
( y  a)
( y  a )2
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 1

1
FM ( y )  kqQ 

j
2
2 
 ( y  a) ( y  a) 
Par définition : ED 
i
figure
1 cm  10 N .
5
i
q A   q , qB  q , qC   q
avec
l’échelle:
uA   j
ED 
2- Détermination de la position d’équilibre:
La charge  q est en équilibre à la position y0
 F ( y0 )  0
;
uB  
2
(i  j ) , uD  i
2
kq 2
(  1) (i + j )  581,8 (i + j ) C/m
a2 4
 Le champs électrique E D est représenté
sur
F ( y0 )   Fi  F2 1  FM 1
la
figure
6
avec
l’échelle:
1 cm  450 C / m .
i
F2 1 
ui
rA  AD  a, rB  BD  2a , rC  CD  a
 La force FM ( y  5 cm) est représentée
la
2
kq
kq
kq
ED  2A u A  2B uB  2C uC
rA
rB
rC
FM ( y  5 cm)  20 j ( N )
sur
kqi
r
k (  q)(  q)
k ( q)(Q )
j et FM 1 
( j )
2
( y0  a )
( y  y0 ) 2
2- Déduction et représentation de FD :
FD  qD ED


q
Q
F ( y0 )  kq 

j 0
2
2 
( y  y0 ) 
 ( y0  a )
 q ( y  y0 ) 2  Q ( y0  a ) 2
FD  

 y01  2, 69 cm   A, B   Retenue


 y02  15 cm   A, B   Non retenue
 y0  y02  15 cm
kq 2 2
(  1) (i + j )  581,8. 10-9 (i + j ) N
2
a 4
 La force FD est représentée sur la figure 6
avec l’échelle : 1 cm  5.107 N .
Exercice 5 :
3- Détermination du potentiel électrique :
1- Détermination et représentation de E D
Le potentiel VD crée par les charges q A , qB et
créé par q A , qB et qC :
qC au point D est donné par :
q q
qB qC
VN   i  A 

ri
rA
rB
rC
i
Y
(+q) A
uB
uA
j
q1
(-q) D
ED
FD
i
uC
VD 
B (-q)
q 
2
 2    1,16 V
a 
2 
4- Détermination de l’énergie potentielle :
L’énergie potentielle de la charge qD au point
D est donné par :
X
C (+q)
EP ( D)  qD .VD  1,16.109 J
Figure 6
3
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Exercice 6 :
dE1 y  dE2 y  dE y
Q   dq 
2 R

On remplace (2) dans (1) on obtient :
dE  2dE z k
Finalement, la seule composante non nulle de
dE est celle parallèle à k d’où :
 dl   2 R
dE  dE( z )  dE( z )k  2dE zk
0
Avec dEz  dE cos  
2- Expression de la grandeur du champ
électrique E  z  :
Sachant que :
z

cos    r

2kdq
z
 dE z  2
et
2
2
 z  R   z  R2 

2
2
r  z  R

d’où le champ éléctrique créé par le cerceau
Soit q2 une charge élémentaire symétrique à
q1
par rapport à O. Elle est portée par
l’élément du cerceau dl2 et crée un champ
électrique élémentaire dE2 . (voir figure7).
est donné par :
Z
E z = dE z   2dE cos   
d E2
d E1 M

Ez =
r
R
O
2kdq
cos  
r2
dEz  2dE cos   
Chaque charge élémentaire q1 portée par
l’élément du cerceau dl1 crée un champ
électrique élémentaire dE1 .
dl2
(2)
dE1 z  dE2 z  dE z
1- Détérmination de la charge totale du
cerceau :
Chaque élément dl du cerceau porte une charge
élémentaire dq= dl. La charge totale du
cerceau est donnée par :
k j
x
y
 R2 
3/ 2
EM  z  
Figure 7
z
kQz
2
 R2 
3/ 2
k
3- Expression du potentiel V(z) :
a- Le calcul direct
Le champ électrique créé au point M par dl1 et
dl2 est donné par la somme de dE1 et dE2 :
 dE1 y j  dE1z k  dE2 y j  dE2 z k
2
Finalement :
dl1
dE  dE1  dE2
 z2  R2 
k 2 R z
z
dV 
(1)
V
Par raison de symétrie : dq1 = dq2 = dq et dl1 =
kdq

r
k
z 2  R2
VM 
dl2 = dl, nous avons alors:
4
k  dl
z 2  R2
2 R

dl 
0
kQ
z 2  R2
R
2k  z
k  2 R
z 2  R2
3/ 2
 dl
0
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b- A partir de l’expression du champ E  z 
 dE z 
E  - grad V
Avec :
V
V
V
Ex  0  
, Ey  0  
,Ez  0  
x
y
z
V
kQz
E z  

z  z 2  R 2 3 / 2
D’où : V  z   
VM  z   
z
kQz
R
2
z

2 3/ 2
kQz
2
R

z
dr
r
d
dz 
z
2
(1)
 r2 
L’élément de surface dS porte une charge :
dq=dS . Le schéma ci-dessous (Figure 9)
montre comment déterminer l’expression de
ds.
dz
2 3/ 2
kdq
2
z
  r2 
kQ
dS  rdrd
dS
Figure 9
z  R2
2
dq   rdrd
D’où :
Pour déterminer l’expression du champ
électrique crée par le disque on intègre
l’expression (1) en considérant :
0  r  R et 0    2
Exercice 7 :
1- Le calcul du champ électrique crée par le
disque au point M :
Chaque élément de surface dS porte un
élément de charge dq, crée champ électrique
2
R
E z =  dE z  k z  d 
0
élémentaire dE au point M (voir figure 8).
0
rdr
z
2
 r2

3/ 2
R


1

E z =k z  2  
1/ 2
  z 2  r 2  
0
dS
a
O

k
M
j
dE


z
z
k
EM  z   k 2  
 z  z 2  R 2 1 / 2 


Z
2- Expression du potentiel électrique V(z) :
y
Par définition:
Figure 8
dV 
Par raison de symétrie, le champ électrique
créé au point M est donné par :
Avec : 0  r  R et 0    2
dE  z   dEz k avec dEz  dE cos  
 V ( z )  k
kdq
dEz  dE cos    2 cos  
a
V ( z )  k
Sachant que :
cos   
z
a
et
kdq k rdrd

a
z2  r2
a  z2  r2
2
R
0
0
 d 
2
R
0
0
 d 
rdr
z2  r2
rdr
z2  r2
VM  z   k 2  z 2  R 2  z 


5