Accompagnement personnalisé- Utilisation d'une fonction auxiliaire TES
On considère la fonction f définie sur ℝ
*
par f(x)=x+12 x+5
x
2
1°) Justifier le résultat ci-contre, obtenu à partir d'un logiciel
de calcul formel :
2°) On pose g(x)=x
3
12 x10
a) Étudier les variations de la fonction g sur ℝ.
b) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution x
1
sur ]∞ ;2] , et
donner la valeur arrondie de x
1
au centième.
c) On admet que l'équation
g
(
x
)=
0
admet sur ℝ deux autres solutions uniquement,
notées x
2
et x
3
, vérifiant x
2
≈ -0,89 et x
3
≈ 3,82.
Déterminer le tableau de signe de g.
3°) a) Déterminer, en utilisant les questions précédentes, le tableau de variations de f sur ℝ
*
.
b) En déduire le minimum atteint par f sur ]0;+∞[ (arrondi au centième), et la valeur de
x pour laquelle ce minimum est atteint.
Accompagnement personnalisé- Utilisation d'une fonction auxiliaire TES
On considère la fonction f définie sur ℝ
*
par f(x)=x+12 x+5
x
2
1°) Justifier le résultat ci-contre, obtenu à partir d'un logiciel
de calcul formel :
2°) On pose g(x)=x
3
12 x10
a) Étudier les variations de la fonction g sur ℝ.
b) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution x
1
sur ]∞ ;2] , et
donner la valeur arrondie de x
1
au centième.
c) On admet que l'équation g(x)=0 admet sur ℝ deux autres solutions uniquement,
notées x
2
et x
3
, vérifiant x
2
≈ -0,89 et x
3
≈ 3,82.
Déterminer le tableau de signe de g.
3°) a) Déterminer, en utilisant les questions précédentes, le tableau de variations de f sur ℝ
*
.
b) En déduire le minimum atteint par f sur ]0;+∞[ (arrondi au centième), et la valeur de
x pour laquelle ce minimum est atteint.
Accompagnement personnalisé- Utilisation d'une fonction auxiliaire TES
On considère la fonction f définie sur ℝ
*
par f(x)=x+12 x+5
x
2
1°) Justifier le résultat ci-contre, obtenu à partir d'un logiciel
de calcul formel :
2°) On pose g(x)=x
3
12 x10
a) Étudier les variations de la fonction g sur ℝ.
b) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution x
1
sur ]∞ ;2] , et
donner la valeur arrondie de x
1
au centième.
c) On admet que l'équation
g
(
x
)=
0
admet sur ℝ deux autres solutions uniquement,
notées x
2
et x
3
, vérifiant x
2
≈ -0,89 et x
3
≈ 3,82.
Déterminer le tableau de signe de g.
3°) a) Déterminer, en utilisant les questions précédentes, le tableau de variations de f sur ℝ
*
.
b) En déduire le minimum atteint par f sur ]0;+∞[ (arrondi au centième), et la valeur de
x pour laquelle ce minimum est atteint.
Accompagnement personnalisé- Utilisation d'une fonction auxiliaire TES
On considère la fonction f définie sur ℝ
*
par f(x)=x+12 x+5
x
2
1°) Justifier le résultat ci-contre, obtenu à partir d'un logiciel
de calcul formel :
2°) On pose g(x)=x
3
12 x10
a) Étudier les variations de la fonction g sur ℝ.
b) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution x
1
sur ]∞ ;2] , et
donner la valeur arrondie de x
1
au centième.
c) On admet que l'équation g(x)=0 admet sur ℝ deux autres solutions uniquement,
notées x
2
et x
3
, vérifiant x
2
≈ -0,89 et x
3
≈ 3,82.
Déterminer le tableau de signe de g.
3°) a) Déterminer, en utilisant les questions précédentes, le tableau de variations de f sur ℝ
*
.
b) En déduire le minimum atteint par f sur ]0;+∞[ (arrondi au centième), et la valeur de x
pour laquelle ce minimum est atteint.
Correction :
1°) f(x)=w+u
v
donc f '=w'+u' vv'u
v
2
avec
w
(
x
)=
x
donc
w'
(
x
)=
1
u(x)=12 x+5donc u'(x)=12
v(x)=x
2
donc v'(x)=2x
f '(x)=1+12x
2
2x×(12 x+5)
x
4
f '(x)= x
4
x
4
+12 x
2
24 x
2
10x
x
4
f '(x)= x
4
12 x
2
10 x
x
4
f '(x)= x(x
3
12 x10)
x
×
x
3
f '(x)= x
3
12 x10
x
3
2°) a)
g'
(
x
)=
3x
2
12
=
3
(
x
2
4
)=
3
(
x
2
)(
x
+
2
)
x-2 est du premier degré et s'annule en 2, x+2 est du premier degré et s'annule en -2.
x–∞–2 2 +∞
3+ + +
x-2 - - 0 +
x+2 - 0 + +
g '(x) + 0 – 0 +
g(x) 6
-26
b)
sur [-4;-2] : * g est continue
* g est strictement croissante
*
g
(
4
)=
26
et
g
(
2
)=
6
, 0 est compris entre -26 et 6
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0 admet une unique
solution sur [4;2]
sur ]∞ ;4], g est strictement négative
finalement l'équation
g
(
x
)=
0
a une unique solution sur ]∞ ;2]
On trouve x
1
≈
-2,93
c) A l'aide des variations de g et des solutions de l'équation g(x)=0, on déduit :
x–∞
x
1
x
2
x
3
+∞
g '(x) – 0 + 0 – 0 +
3°)
a) Le dénominateur de
f
'
est la fonction cube
x
3
=
x
×
x
×
x
Le numérateur de
f
'
est la fonction g dont on a déterminé le signe en 2°) .
Donc :
x–∞
x
1
x
2
0
x
3
+∞
f '(x) + 0 – 0 + – 0 +
f(x)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
f
(
x
3
)
f(x
1
) ≈
-6,44
f
(
x
2
) ≈-8,06
f
'
(
x
3
) ≈7,30
b) Sur
]
0
;
+∞[
, le minimum atteint est 7,30. Ce minimum est atteint en
x
3
≈3,82
1
/
2
100%
