Problèmes de viscoélasticité linéaire

PROBLÈMES SUR LA VISCOÉLASTICITÉ LINÉAIRE
Problème 03 – 01
Lequel de ces matériaux est thermodynamiquement admissible ? Justifiez votre réponse pour
chaque matériau.
C(t) =
7 17 17 0 0 0
17 7.5−4.5 0 0 0
17 −4.5 7.5 0 0 0
0 0 0 12 0 0
0 0 0 0 7 0
0 0 0 0 0 7
exp[−t](1a)
C(t) = 3Jexp[−2t]+4K(2 + 3t+ 5t2)(1b)
C(t) = 4J7tα
1 + 23.7tα,avec α∈R(1c)
C(t) = 7Jexp[−2t]+3Kexp[3t](1d)
Réponse
Le matériau de l’équation 1a) n’est pas défini positif. La fonction après Kde l’équation 1b) n’est
pas de type Bernstein. Le eaprès le Kde l’équation 1d) est élevé à une puissance positive. Il ne
reste que l’équation 1c) où la fonction temporelle est de type Bernstein et où le terme devant K
est nul. Les termes devant Jet Kdoivent être plus grands ou égaux à 0. Le matériau 1c) est donc
un matériau viscoélastique valable.
Problème 03 – 02
Soit σ(t)illustré à la Figure 1. Donnez l’expression mathématique de σ(t).
FIGURE 1 – Histoire de chargement
Réponse
σ(t) = σ1H(t) + σ2−σ1
t2−t1
(t−t1)H(t−t1) + −σ1−σ2−σ1
t2−t1
(t−t1) + σ2H(t−t2)
+ (σ3−σ2)H(t−t3)−σ3H(t−t4)(2)

Problème 03 – 03
Soit un matériau viscoélastique 1D dont la souplesse est donnée par :
s(t) = s0+s1(1 −exp[−tλ]) (3)
soumis à une histoire de contrainte du type :
σ(t) = σ0H(t)−σ0H(t−t0)(4)
où t0>0. Donnez l’expression de ε(t). Donnez des valeurs positives à toutes les variables et
tracez la courbe de ε(t)pour t∈[0, tf], où tf≈3t0.
Indices
dH(t)
dt=δ(t),(Delta de Dirac) (5a)
Zt
0
f(τ)δ(τ−b)dτ=f(b)H(t−b),pour b≥0(5b)
Réponse
ε(t) = σ0(s0+s1(1 −exp[−tλ]))H(t)−σ0(s0+s1(1 −exp[−(t−t0))λ])H(t−t0)(6)

Problème 03 – 04
Soit un matériau viscoélastique 1D dont la souplesse est donnée par :
s(t) = s0+s1(1 −exp[−tλ]) (7)
soumis à une histoire de contrainte comme illustré à la Figure 2. Calculez ε(t).
FIGURE 2 – Histoire de contrainte sous la forme d’une onde triangulaire
Réponse
σ(t) = σ1
t1
tH(t)+2σ1−σ1
t1
tH(t−t1)−σ1−σ1
t1
(t−t1)H(t−2t1)(8a)
ε(t) = σ1
t1hs0t+s1 λ(λt −(1 −exp[−tλ]))iH(t)
−2σ1
t1hs0(t−t1) + s1 λ(λ(t−t1)−(1 −exp[−(t−t1)λ]))iH(t−t1)
+σ1
t1hs0(t−2t1) + s1 λ(λ(t−2t1)−(1 −exp[−(t−2t1)λ]))iH(t−2t1)(8b)
Si on choisit s0= 0.5,s1= 1,λ= 1,σ1= 1 et t1= 1, on obtient un graphe comme celui de la
Figure 3.

t
ε
02t1
t1
FIGURE 3 – Histoire de déformation pour s0= 0.5,s1= 1,λ= 1,σ1= 1 et t1= 1 pour un essai
de fluage – recouvrance sur un matériau viscoélastique linéire.
t
σ
0
0
2t1
t1
FIGURE 4 – Histoire de déformation pour c0= 0.5,c1= 1,ω= 1,ε1= 1 et t1= 1 pour un essai
de fluage – recouvrance sur un matériau viscoélastique linéire.

Problème 03 – 05
Soit un matériau viscoélastique 1D dont le module de relaxation est donné par :
c(t) = c0+c1exp[−tω](9)
soumis à une histoire de déformation similaire à celle illustrée à la Figure 2 (où on a remplacé
les σpar des ε). Calculez σ(t).
Réponse
σ(t) = ε1
t1hc0t+c1 ω(1 −exp[−tω])iH(t)
−2ε1
t1hc0(t−t1) + c1 ω(1 −exp[−(t−t1)ω])iH(t−t1)
+ε1
t1hc0(t−2t1) + c1 ω(1 −exp[−(t−2t1)ω])iH(t−2t1)(10)
Si on choisit c0= 0.5,c1= 1,ω= 1,ε1= 1 et t1= 1, on obtient un graphe comme celui de la
Figure 4.