PROBLÈMES SUR LA VISCOÉLASTICITÉ LINÉAIRE Problème 03 – 01 Lequel de ces matériaux est thermodynamiquement admissible ? Justifiez votre réponse pour chaque matériau. 7 17 17 0 0 0 17 7.5 −4.5 0 0 0 17 −4.5 7.5 0 0 0 exp[−t] C(t) = (1a) 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 7 C(t) = 3J exp[−2t] + 4K(2 + 3t + 5t2 ) 7tα , avec α ∈ R C(t) = 4J 1 + 23.7tα C(t) = 7J exp[−2t] + 3K exp[3t] (1b) (1c) (1d) Réponse Le matériau de l’équation 1a) n’est pas défini positif. La fonction après K de l’équation 1b) n’est pas de type Bernstein. Le e après le K de l’équation 1d) est élevé à une puissance positive. Il ne reste que l’équation 1c) où la fonction temporelle est de type Bernstein et où le terme devant K est nul. Les termes devant J et K doivent être plus grands ou égaux à 0. Le matériau 1c) est donc un matériau viscoélastique valable. Problème 03 – 02 Soit σ(t) illustré à la Figure 1. Donnez l’expression mathématique de σ(t). F IGURE 1 – Histoire de chargement Réponse σ2 − σ1 σ2 − σ1 σ(t) = σ1 H(t) + (t − t1 )H(t − t1 ) + −σ1 − (t − t1 ) + σ2 H(t − t2 ) t2 − t1 t2 − t1 + (σ3 − σ2 )H(t − t3 ) − σ3 H(t − t4 ) (2) Problème 03 – 03 Soit un matériau viscoélastique 1D dont la souplesse est donnée par : s(t) = s0 + s1 (1 − exp[−tλ]) (3) soumis à une histoire de contrainte du type : σ(t) = σ0 H(t) − σ0 H(t − t0 ) (4) où t0 > 0. Donnez l’expression de ε(t). Donnez des valeurs positives à toutes les variables et tracez la courbe de ε(t) pour t ∈ [0, tf ], où tf ≈ 3t0 . Indices dH(t) = δ(t), dt Z (Delta de Dirac) (5a) t f (τ )δ(τ − b)dτ = f (b)H(t − b), pour b ≥ 0 (5b) 0 Réponse ε(t) = σ0 (s0 + s1 (1 − exp[−tλ]))H(t) − σ0 (s0 + s1 (1 − exp[−(t − t0 ))λ])H(t − t0 ) (6) Problème 03 – 04 Soit un matériau viscoélastique 1D dont la souplesse est donnée par : s(t) = s0 + s1 (1 − exp[−tλ]) (7) soumis à une histoire de contrainte comme illustré à la Figure 2. Calculez ε(t). F IGURE 2 – Histoire de contrainte sous la forme d’une onde triangulaire Réponse σ1 σ1 σ1 σ(t) = tH(t) + 2 σ1 − t H(t − t1 ) − σ1 − (t − t1 ) H(t − 2t1 ) t1 t1 t1 ε(t) = (8a) i σ1 h s1 s0 t + (λt − (1 − exp[−tλ])) H(t) t1 λ i σ1 h s1 −2 s0 (t − t1 ) + (λ(t − t1 ) − (1 − exp[−(t − t1 )λ])) H(t − t1 ) t1 λ i σ1 h s1 s0 (t − 2t1 ) + (λ(t − 2t1 ) − (1 − exp[−(t − 2t1 )λ])) H(t − 2t1 ) (8b) + t1 λ Si on choisit s0 = 0.5, s1 = 1, λ = 1, σ1 = 1 et t1 = 1, on obtient un graphe comme celui de la Figure 3. ε 0 t1 2t 1 t F IGURE 3 – Histoire de déformation pour s0 = 0.5, s1 = 1, λ = 1, σ1 = 1 et t1 = 1 pour un essai de fluage – recouvrance sur un matériau viscoélastique linéire. σ 0 0 t1 2t 1 t F IGURE 4 – Histoire de déformation pour c0 = 0.5, c1 = 1, ω = 1, ε1 = 1 et t1 = 1 pour un essai de fluage – recouvrance sur un matériau viscoélastique linéire. Problème 03 – 05 Soit un matériau viscoélastique 1D dont le module de relaxation est donné par : c(t) = c0 + c1 exp[−tω] (9) soumis à une histoire de déformation similaire à celle illustrée à la Figure 2 (où on a remplacé les σ par des ε). Calculez σ(t). Réponse σ(t) = i c1 ε1 h c0 t + (1 − exp[−tω]) H(t) t1 ω i ε1 h c1 −2 c0 (t − t1 ) + (1 − exp[−(t − t1 )ω]) H(t − t1 ) t1 ω i ε1 h c1 + c0 (t − 2t1 ) + (1 − exp[−(t − 2t1 )ω]) H(t − 2t1 ) (10) t1 ω Si on choisit c0 = 0.5, c1 = 1, ω = 1, ε1 = 1 et t1 = 1, on obtient un graphe comme celui de la Figure 4.
