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03 viscoelasticite lineaire 01

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PROBLÈMES SUR LA VISCOÉLASTICITÉ LINÉAIRE
Problème 03 – 01
Lequel de ces matériaux est thermodynamiquement admissible ? Justifiez votre réponse pour
chaque matériau.


7
17
17 0 0 0
 17
7.5 −4.5 0 0 0 


 17 −4.5
7.5 0 0 0 

 exp[−t]
C(t) = 
(1a)

0
0
0
12
0
0


 0
0
0 0 7 0 
0
0
0 0 0 7
C(t) = 3J exp[−2t] + 4K(2 + 3t + 5t2 )
7tα
, avec α ∈ R
C(t) = 4J
1 + 23.7tα
C(t) = 7J exp[−2t] + 3K exp[3t]
(1b)
(1c)
(1d)
Réponse
Le matériau de l’équation 1a) n’est pas défini positif. La fonction après K de l’équation 1b) n’est
pas de type Bernstein. Le e après le K de l’équation 1d) est élevé à une puissance positive. Il ne
reste que l’équation 1c) où la fonction temporelle est de type Bernstein et où le terme devant K
est nul. Les termes devant J et K doivent être plus grands ou égaux à 0. Le matériau 1c) est donc
un matériau viscoélastique valable.
Problème 03 – 02
Soit σ(t) illustré à la Figure 1. Donnez l’expression mathématique de σ(t).
F IGURE 1 – Histoire de chargement
Réponse
σ2 − σ1
σ2 − σ1
σ(t) = σ1 H(t) +
(t − t1 )H(t − t1 ) + −σ1 −
(t − t1 ) + σ2 H(t − t2 )
t2 − t1
t2 − t1
+ (σ3 − σ2 )H(t − t3 ) − σ3 H(t − t4 ) (2)
Problème 03 – 03
Soit un matériau viscoélastique 1D dont la souplesse est donnée par :
s(t) = s0 + s1 (1 − exp[−tλ])
(3)
soumis à une histoire de contrainte du type :
σ(t) = σ0 H(t) − σ0 H(t − t0 )
(4)
où t0 > 0. Donnez l’expression de ε(t). Donnez des valeurs positives à toutes les variables et
tracez la courbe de ε(t) pour t ∈ [0, tf ], où tf ≈ 3t0 .
Indices
dH(t)
= δ(t),
dt
Z
(Delta de Dirac)
(5a)
t
f (τ )δ(τ − b)dτ = f (b)H(t − b),
pour b ≥ 0
(5b)
0
Réponse
ε(t) = σ0 (s0 + s1 (1 − exp[−tλ]))H(t) − σ0 (s0 + s1 (1 − exp[−(t − t0 ))λ])H(t − t0 )
(6)
Problème 03 – 04
Soit un matériau viscoélastique 1D dont la souplesse est donnée par :
s(t) = s0 + s1 (1 − exp[−tλ])
(7)
soumis à une histoire de contrainte comme illustré à la Figure 2. Calculez ε(t).
F IGURE 2 – Histoire de contrainte sous la forme d’une onde triangulaire
Réponse
σ1
σ1
σ1
σ(t) = tH(t) + 2 σ1 − t H(t − t1 ) − σ1 − (t − t1 ) H(t − 2t1 )
t1
t1
t1
ε(t) =
(8a)
i
σ1 h
s1
s0 t + (λt − (1 − exp[−tλ])) H(t)
t1
λ
i
σ1 h
s1
−2
s0 (t − t1 ) + (λ(t − t1 ) − (1 − exp[−(t − t1 )λ])) H(t − t1 )
t1
λ
i
σ1 h
s1
s0 (t − 2t1 ) + (λ(t − 2t1 ) − (1 − exp[−(t − 2t1 )λ])) H(t − 2t1 ) (8b)
+
t1
λ
Si on choisit s0 = 0.5, s1 = 1, λ = 1, σ1 = 1 et t1 = 1, on obtient un graphe comme celui de la
Figure 3.
ε
0
t1
2t 1
t
F IGURE 3 – Histoire de déformation pour s0 = 0.5, s1 = 1, λ = 1, σ1 = 1 et t1 = 1 pour un essai
de fluage – recouvrance sur un matériau viscoélastique linéire.
σ
0
0
t1
2t 1
t
F IGURE 4 – Histoire de déformation pour c0 = 0.5, c1 = 1, ω = 1, ε1 = 1 et t1 = 1 pour un essai
de fluage – recouvrance sur un matériau viscoélastique linéire.
Problème 03 – 05
Soit un matériau viscoélastique 1D dont le module de relaxation est donné par :
c(t) = c0 + c1 exp[−tω]
(9)
soumis à une histoire de déformation similaire à celle illustrée à la Figure 2 (où on a remplacé
les σ par des ε). Calculez σ(t).
Réponse
σ(t) =
i
c1
ε1 h
c0 t + (1 − exp[−tω]) H(t)
t1
ω
i
ε1 h
c1
−2
c0 (t − t1 ) + (1 − exp[−(t − t1 )ω]) H(t − t1 )
t1
ω
i
ε1 h
c1
+
c0 (t − 2t1 ) + (1 − exp[−(t − 2t1 )ω]) H(t − 2t1 ) (10)
t1
ω
Si on choisit c0 = 0.5, c1 = 1, ω = 1, ε1 = 1 et t1 = 1, on obtient un graphe comme celui de la
Figure 4.
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