FICHE DE PREPARATION BTS

MATHEMATIQUES FINANCIERES
Exercice 1
Un emprunt de 4.000F doit être remboursé au taux de 11% sur 4 ans grâce à des annuités
constantes ; la première intervenant 1an après l’emprunt
1) Calculer le montant de l’annuité
2) Quelle est la loi des amortissements ?
3) Quel est le montant du dernier amortissement ?
4) Construire le tableau d’amortissement relatif à cet emprunt.
Exercice 2
Un emprunt au taux annuel de 5% est remboursable par 6 annuités constantes.
La somme du premier et du dernier amortissement est de 267722,52F.
1) Calculer le premier amortissement.
2) Calculer le capital emprunté.
3) Donner la dernière ligne du tableau d’amortissement.
Exercice 3
Un emprunt est remboursable au moyen d’annuités constantes. On relève entre autre dans
le tableau d’amortissement de cet emprunt les indications suivantes :
Intérêt contenu dans la 4ème annuité : 579494,24F.
Amortissement contenu dans la 4ème annuité : 397954,61F
La différence entre le 4ème amortissement et le 7ème amortissement est de 138978,73F
1) Calculer le montant de la dette initiale.
2) Calculer le nombre d’annuités.
3) Donner les deux dernières lignes du tableau d’amortissement.
Exercice 4
On a relevé les informations suivantes dans le tableau d’amortissement d’un emprunt indivis
effectué au taux i et remboursable à l’aide de n annuités constantes a, la 1 ère payable un an
après l’emprunt.
Les intérêts payés à la fin des 3 dernières années sont respectivement de
723974,81F, 515486,75F et 275725,47F ;
- Le premier amortissement est de 913895,25F
1) Montrer que k  n − 2, ( I k +1 − I k + 2 ) = (1 + i)( I k − I k +1 )
2) En déduire le taux de l’emprunt i.
-
3) Calculer le dernier amortissement et l’annuité constante a.
4) Quel est le nombre d’annuités ?
5) Déterminer le capital emprunté D 0
Exercice 5
Un emprunt d’une valeur K, contracté au taux annuel i est remboursable à l’aide de n
annuités constantes a. On donne les informations suivantes tirées du tableau
d’amortissement.
-le 1er amortissement est de 36188,75F
- le capital restant dû à 2 années de la fin des annuités est de 128710,56F
- le dernier amortissement est de 66531,54F
1) Calculer i, a, K, et n
2) Donner la 6ème ligne du tableau d’amortissement
3) Immédiatement après le 6ème versement, le débiteur décide de rembourser les annuités
restantes par des amortissements constants ;
a- Quelle est la valeur de chaque amortissement ?
b- Quelle est la loi des annuités à venir ?
Exercice 6
Pour réaliser un investissement, l’entreprise TILA sollicite et obtient d’une banque, un crédit
de 750000F à la fin de l’année 2000.
Cet emprunt remboursable à l’aide d’annuités dont la 1ère intervient à la fin de l’année 2001,
peut être remboursé selon les modalités suivantes :
1ère modalité :
Les annuités de remboursement sont constantes et le capital restant dû après l’annuité de
2006 est égal à l’amortissement de 2007.
Par ailleurs, les informations données par les documents comptables indiquent que jusqu’à
la fin de l’année 2007, le cumul des intérêts payés s’élève à 409502,37F.
1) Calculer l’annuité constante
2) Quel est le taux d’emprunt ?
3) Ecrire la 1ère, la 4ème et la 7ème ligne du tableau d’amortissement.
2ème modalité :
On suppose que le taux de l’emprunt est de 12% l’an, que les intérêts contenus dans les
annuités sont en progression arithmétique de raison r et le nombre d’annuités est 10.
1) Monter que si les intérêts sont en progression arithmétique de raison –D0i/n alors les
amortissements sont constants. Quelle est alors la loi des annuités ?
2) Calculer les annuités et les amortissements de la 1ère, 4ème et 10ème année dans le cas où
r = -9000.
Exercice 7
La société MALO a obtenu d’un établissement financier, un emprunt de 15000F, au taux
annuel i=9%, remboursable à l’aide d’annuités dont la 1ère intervient un an après l’emprunt.
A) On suppose que les annuités de remboursement sont constantes et que la différence
entre le 6ème amortissement et le 1er amortissement est de 878,15F.
1- Quel est le 1er amortissement ?
2- Calculer le nombre d’annuités.
B) On suppose que les amortissements contenus dans les annuités sont en progression
arithmétique de raison 500F et que la 1ère annuité est de 4350F.
1- Donner la 1ère ligne du tableau d’amortissement.
2- En combien de versements peut-on amortir la dette ?
C) On suppose que les amortissements contenus dans les annuités sont en progression
géométrique de raison 1,09 et qu’il y a 5 annuités.
1- Quelle est la loi des annuités ?
2- Monter que i=I3/(A3+D3 )
3- Immédiatement après le 3ème versement, MALO veut se libérer de sa dette
Quelle somme doit-elle alors verser ?
Exercice 8
L’entreprise BONGOSS contracte un emprunt remboursable par annuités constantes.
L’examen du tableau d’amortissement de cet emprunt donne les renseignements suivants :
-Intérêts payés l’avant dernière année : 2785,58F
-Intérêts payés la dernière année
: 1435F
-Différence des intérêts payés à la fin des deux 1ère année : 938,75F
1-Montrer que la différence des intérêts payés à la fin de deux années consécutives de rang
k et k+1 est égale à l’intérêt de l’amortissement de rang k.
2- Montrez que le taux d’intérêt de cet emprunt est de 6,25%.
3- Déterminer :
a) Le dernier amortissement.
b) L’annuité constante
c) Le 1er amortissement
d) La somme empruntée.
e) La durée de l’emprunt
4- Présenter les 3 premières lignes du tableau d’amortissement.
Exercice 9
Un emprunt obligataire a les caractéristiques suivantes :
- Nombre d’obligations émises : 30 000.
- Taux nominal 12% l’an.
- Valeur nominal de chaque titre 3000 F.
1) Présenter le tableau d’amortissement dans les 2 cas suivants :
a- Le remboursement au pair se fait à l’aide de 5 annuités constantes.
b- Le remboursement au pair se fait à l’aide de 4 annuités contenant des
amortissements constants.
2) On suppose que le remboursement se fait à 3250F par 5 annuités constantes.
a- Comment évoluent les nombres titres amortis chaque année ?
b- Etablir le tableau d’amortissement
c- Calculer le taux de rendement moyen.
Exercice 10
A)Un emprunt de 10000 obligations de valeur nominale 200F est remboursable au pair par
20 annuités constantes au taux de 4%.
1) Calculer :
a) Le nombre d’obligations à la fin de la 1ère année
b) Le montant de l’annuité théorique
2) Etablir les 3 premières lignes du tableau d’amortissement
B) On considère un second emprunt de 10000 obligations de valeur nominale 200F et
remboursable à 225F par 20 annuités constantes. Les nombres théoriques d’obligations
amorties dès la 1ère année des deux emprunts sont égaux.
1) calculer :
a) Le taux du second emprunt
b) L’annuité théorique du second emprunt.
2) Etablir les deux premières lignes du tableau d’amortissement.
N.B : Pour ces tableaux d’amortissements partiels, on arrondira chaque nombre théorique à
l’entier le plus proche.
Exercice 11
La SMRF( Société de Mobilisation de Ressources Financières) a émis sur le marché, 12000
obligations, de valeur nominale 6000F chacune.
Le coupon annuel payé sur chaque titre est de 420F. Le remboursement est assuré par 5
annuités constantes.
1) On suppose que le remboursement se fait au pair.
a- Quel est le taux nominal de cet emprunt ?
b- Donner la 1ère et la dernière ligne du tableau d’amortissement.
2) On suppose maintenant que le remboursement se fait au dessus du pair et que les
nombres d’obligations théoriques amorties à la 2ème année et à la 4ème année sont
respectivement de 2239,39 et 2550,48.
a- Calculer le taux j pour lequel le coupon se calcule avec la valeur de remboursement R.
b- En déduire cette valeur de remboursement
c- Donner les deux dernières lignes du tableau d’amortissement.
Exercice 13
Reprendre l’exercice 1 et supposer que les titres sont émis à 2800 F et que des frais
d’émission représentant 4 % de la valeur nominale de chaque titre sont prélevés.
Le remboursement se faisant au pair à l’aide de 4 annuités constantes.
Calculer :
1) Le taux moyen de rendement pour les obligataires.
2) Le taux de remboursement pour les obligations du 1er tirage et pour celles du 2ème tirage.
3) Le taux de revient à l’émission.
Exercice 14
Un emprunt obligation a les caractéristiques suivantes :
A)
Nombre d’obligations émises : 20000
Taux nominal annuel
: 10%
Valeur nominale
: 5000
Remboursement par 5 annuités constantes.
On suppose que le remboursement se fait au pair et que le prix d’émission est de 5000 F.
1-a Calculer le montant Do de l’emprunt.
-b Calculer le coupon annuel payé sur chaque titre.
-c Ecrire la 1ère ligne et la dernière ligne du tableau d’amortissement.
B) On suppose maintenant que la valeur de remboursement est égale à 5500F et que le prix
d’émission est de 4700F.
Par ailleurs les frais d’émissions s’élèvent à 100F/ titre.
1- Calculer le taux de revient.
2- Construisez le tableau d’amortissement.
Exercice 15
Une société a émis un emprunt – obligations remboursable au pair, par annuités
sensiblement constantes au taux de 5,5%. La valeur nominale de chaque obligation est de
20000F.
1) Le capital remboursé après le 7ème tirage étant de 184460000F, déterminer le nombre
d’obligations remboursées après le 7ème tirage.
2) Déterminer le nombre d’obligations effectivement remboursées au 1 er tirage.
3) Donner l’expression de la 1ère annuité. En déduire le nombre total d’obligations émises,
puis le montant de l’emprunt sachant que l’annuité théorique (que l’on pourrait arrondir
à 49800000F) est de 49813000F.
Exercice 16
Une banque agricole veut solliciter un emprunt. Elle émet sur le marché, 50000 obligations
remboursables à l’aide de 8 annuités constantes à des valeurs de remboursement variables.
8275F les 3 premières années et 8400F les 5 dernières années. Les titres sont émis à 7850F,
le taux nominal annuel est de 6,5% et le coupon annuel est de 520F par titre.
1) Quelle est la valeur nominale des obligations ?
2) Etablir une relation entre le nombre de titres amortis à la 3ème année et celui de la 4ème
année.
3) En déduire les nombres de titres amortis lors des 1er, 3è, 4è et 8ème tirage.
4) Calculer l’annuité constante a.
5) Donner la 1ère, la 3ème, la 4ème et la 8ème ligne du tableau d’amortissement.
6 ) Votre entreprise détient 5% de ces titres.
a- Quelle est la probabilité pour que tous vos titres soient amortis au 1 er tirage ?
b- Quel est dans ce cas, le taux de rendement que vous réalisez ?
GESTION DES STOCKS
Exercice 1
L’entreprise DANSOU utilise une matière première pour laquelle elle vous demande de
déterminer le coût de gestion le plus faible possible. Les informations produites par la
comptabilité révèlent que 35 commandes ont coûtés 907 200 F et que le coût de possession
de cette matière est de 120 F par unité et par mois. Par ailleurs, on évalue à 3 600 unités, la
consommation annuelle de cette matière (l’année compte 360 jours soit 1230jours).
1) a) Donner en fonction du volume 𝑞 commandé à chaque réapprovisionnement,
l’expression du coût de possession annuel.
b) On suppose que le coût de lancement est constant quelque soit le volume
commandé. Donner le coût de lancement d’une commande puis déduire le coût global
de passation en fonction de 𝑞.
2) Déduire la valeur optimale de 𝑞 permettant d’obtenir le coût annuel minimal de gestion.
3) Calculer le nombre optimal de commande et la période de consommation.
4) Quel est le coût global optimal de gestion du stock de la matière première utilisée par
l’entreprise DANSOU ?
5) L’entreprise DANSOU souhaite réaliser une économie de l’ordre de 10% du coût global
de gestion obtenu précédemment, en acceptant une pénurie gérée de façon optimale.
On indique que le taux d’économie peut se calculer par : E où E est l’économie
YE
réalisé et YE , le coût global optimal de gestion selon WILSON.
a) Déterminer le taux d’économie puis, calculer le taux de défaillance et en déduire le coût
de pénurie par unité et par jour.
b) Calculer les éléments suivants :
- La quantité économique à commander et le niveau du stock disponible au début de
chaque période.
- Le nouveau coût de gestion des stocks.
EXERCICE 2
La société COCOA désire acheter du cacao en vue de produire un type de chocolat appelé
« Pur choco » contenant 90% de matière provenant de fève de cacao. Pour l’année à venir
elle compte produire 833,34 tonnes de ce type de chocolat.
1) Sachant que d’un kg de cacao on obtient 75% de matière utilisable, déterminer les
besoins annuels de cacao pour la société.
2) On émet les hypothèses selon lesquelles aucune pénurie n’est admise ; qu’aucun
stock de sécurité n’est nécessaire et que la consommation de matière première est
régulière. De plus on estime à 350 000 F le coût de lancement d’une commande et à
10% le taux annuel de possession du stock.
Le kilogramme de cacao étant acheté à 448 F, calculer :
a)
La quantité économique de cacao à commander à chaque
réapprovisionnement.
b) Le coût global annuel de gestion du stock.
3) Le délai de livraison du cacao est de 18 jours. quel est le stock à partir duquel il est
impérieux de lancer une nouvelle commande afin d’éviter une rupture de stock ?
4) La société COCOA souhaite réduire le coût de gestion par acceptation d’une pénurie d’un
taux de 64%.
a) Déterminer dans ces conditions le volume optimal à commander à chaque
réapprovisionnement.
b) Déterminer le niveau de stock à reconstituer en début de chaque période de
consommation.
5) Calculer le coût global minimal de gestion dans l’hypothèse de l’acceptation de
pénurie.
6) Calculer l’économie réalisée en acceptant la pénurie.
7) Déterminer le taux d’économie.
EXERCICE 3
L’entreprise ASSOUMOU achète et revend un article de grande consommation. Les caractéristiques
de sa gestion des stocks de cet article sont les suivantes :
▪
▪
▪
▪
▪
Demande annuelle : 24 000 unités.
Coût de lancement d’une commande : 96 000 F.
Coût de stockage : 20% de la valeur moyenne annuelle du stock.
La gestion se fait sans pénurie.
Le prix d’une unité d’article varie selon la quantité commandée et le tableau suivant donne
les détails selon les tranches de commande.
N°
1
2
3
intervalle de commande
de
1
1001
20 000
à
1000
19 999
+
Prix unitaire
14 000
9 000
8 500
1) Déterminer le volume optimal de chaque commande
2) Déterminer le nombre optimal de commande à passer au cours de l’année.
3) Déterminer la période de consommation.
Partie 1
On suppose dans cette partie que le prix d’un article, quel que soit le volume commandé, reste
constant et vaut 9 000 F. Les autres paramètres sont les même que ceux de la première partie.
1) Quel est le coût global de gestion des stocks (coût annuel).
2) L’entreprise souhaite réduire ce coût par acceptation d’une pénurie d’un taux de 64%.
c) Déterminer dans ces conditions le volume optimal à commander à chaque
réapprovisionnement.
d) Déterminer le niveau de stock à reconstituer en début de chaque période de
consommation.
3) Déterminer le nombre optimal de commande à passer au cours de l’année.
4) Déterminer la durée globale (1 ) de stockage ainsi que la durée globale (2 ) de pénurie.
5) Calculer le coût global minimal de gestion dans l’hypothèse de l’acceptation de pénurie.
6) Calculer l’économie réalisée en acceptant la pénurie.
7) Déterminer le taux d’économie.
EXERCICE 4
La société COCOA désire acheter du cacao en vue de produire sa spécialité de « mambo plus ».
Le « mambo plus » est un produit qui se présente sous trois formes : à savoir le « mambo au lait » ;
le « mambo brun» et le « mambo noir ». Pour l’année à venir elle compte produire 300 000 kg de
«mambo au lait», 200 000 kg de « mambo brun » et 250 000 kg de « mambo noir».
1) Sachant que d’un kg de cacao on obtient 75% de matière utilisable, déterminer les besoins
annuels de cacao pour la société.
2) On émet les hypothèses selon lesquelles aucune pénurie n’est admise ; qu’aucun stock de
sécurité n’est nécessaire et que la consommation de matière première est régulière. De plus
on estime à 350 000 F le coût de lancement d’une commande et à 10% le taux annuel de
possession du stock.
Le kilogramme de cacao étant acheté à 448 F, calculer :
a)
La quantité économique de cacao à commander à chaque réapprovisionnement.
b)
Le coût global annuel de gestion du stock.
3) La société se fixe un stock de sécurité de 20 000 kg. Quelle incidence aurait cette politique
sur les valeurs de la question 2 précédente ?
4) Le délai de livraison du cacao est de 18 jours. quel est le stock à partir duquel il est impérieux
de lancer une nouvelle commande afin d’éviter une rupture de stock ?
Exercice 5
L’entreprise DANSOU utilise une matière première pour laquelle elle voudrait déterminer le
coût de gestion le plus faible. Les informations produites par la comptabilité ont révélé que
18 000 commandes annuelles pour l’ensemble de l’entreprise avaient un coût de 1 800 000 F
et que le coût de possession de cette matière était de 60 F par unité et par mois. Par ailleurs,
on évalue à 36 000 unités, la consommation annuelle de cette matière.
6) Donner en fonction du volume 𝑞 commandé à chaque réapprovisionnement,
l’expression de la fonction économique 𝐶 représentant le coût global annuel de gestion
du stock de la matière première en question.
7) Déterminer la valeur optimale de 𝑞 permettant d’obtenir le coût annuel minimal de
gestion.
8) La société souhaite réaliser une économie de l’ordre de 15% du coût de gestion du
stock, en acceptant une pénurie gérée de façon optimale.
c) Calculer le taux de défaillance et en déduire le coût de pénurie par unité et par
jour.
d) Calculer les éléments suivants :
- La quantité économique à commander et le niveau du stock au début de chaque
période.
- Le nouveau coût de gestion des stocks.
La durée de la période de pénurie.
THEORIE DES GRAPHES
Exercice 1
Pour l’accroissement de son activité, la société BONGOSS a décidé de construire un nouvel
entrepôt. L’entrepreneur chargé de cette œuvre l’a décomposée en 10 tâches élémentaires.
Le tableau ci-dessous indique les durées des différentes tâches, ainsi que les contraintes de
succession qui existent entre elles.
Tâches
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Durées en jours
4
2
1
1
2
2
2
10
4
1
Tâches antérieures
-
-
A
A;B A
A;C
D;F
A;E
G
H;I
1) Le niveau de chaque tâche
2) Construire le graphe par niveau
3) Déterminer la durée minimale de construction l’entrepôt
EXERCICE 2
Un projet a été décomposé en 12 tâches et le tableau ci après indique les tâches antérieures
et les durées en semaines de chacune des tâches.
Tâches
Durées
Tâches
antérieures
A
3
B
1
C
5
D
6
E
4
F
2
G
9
H
5
I
8
J
2
K
3
L
7
-
A
A
B
B
C, D, I
E, F
-
H
H
I
J, K
TRAVAIL A FAIRE :
1- Construire le réseau MPM, ordonné par niveaux croissants des sommets.
2- Mettre en évidence le chemin critique.
3- Dresser le tableau de synthèse, préciser pour chaque tâche, les dates au plus tôt et
au plus tard de début et les marges.
4- Analyser les situations suivantes :
a) Le projet commence le 04/03/2002 (début de semaine). Quelle sera la date de
fin du projet ?
b) La tâche I est retardée d’une semaine (1) semaine, quelle en est l’incidence sur le
projet ? sur les autres tâches.
c) La tâche D est retardée de deux semaines, quelle en est l’incidence sur le projet ?
sur les autres tâches ?
d) L’exécution de la tâche A ayant été ralentie, sa durée d’exécution a été de quatre
semaines. Quelle est l’incidence sur le projet ?
EXERCICE 3
Pour l’accroissement de son activité, la société BTAZARD a décidé de construire un nouvel
entrepôt. L’entrepreneur chargé de cette œuvre l’a décomposée en 9 tâches élémentaires.
Le tableau ci-dessous indique les durées des différentes tâches, ainsi que les contraintes de
succession qui existent entre elles.
A
4
-
Tâches
Durées en jours
Tâches antérieures
B
1
A
C
1
A;B
D
2
A
E
2
A;C
F
2
D;F
G
10
A;E
H
4
G
I
1
H;I
1) Construire le graphe MPM associé à ce projet
2) A l’aide du graphe obtenu, déterminer le calendrier des dates au plus tôt et au plus tard des
différentes tâches.
3) Identifier les tâches critiques et tracer le chemin critique sur le graphe.
4) On indique que le début de l’exécution de ce projet est fixé au 28 juin 2014. En supposant que
les employer engager pour exécuter ce projet on décidé de travailler tous les jours de la semaine,
détermine la date à la quelle la construction de l’entrepôt pourra prendre fin.
EXERCICE 4
Un projet a été décomposé en 12 tâches et le tableau ci après indique les tâches antérieures et les
durées en semaines de chacune des tâches.
Tâches
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Durées
3
1
5
6
4
2
9
5
8
2
3
7
Tâches
antérieures
-
A
A
B
B
C, D, I
E, F
-
H
H
I
J, K
TRAVAIL A FAIRE :
1- Construire le réseau MPM, ordonné par niveaux croissants des sommets.
2- Mettre en évidence le chemin critique.
3- Dresser le tableau de synthèse, préciser pour chaque tâche, les dates au plus tôt et au plus
tard de début et les marges.
4- Analyser les situations suivantes :
a)
Le projet commence le 04/03/2002 (début de semaine). Quelle sera la date de fin du
projet ?
b)
La tâche I est retardée d’une semaine (1) semaine, quelle en est l’incidence sur le
projet ? sur les autres tâches.
c)
La tâche D est retardée de deux semaines, quelle en est l’incidence sur le projet ? sur
les autres tâches ?
d)
L’exécution de la tâche A ayant été ralentie, sa durée d’exécution a été de quatre
semaines. Quelle est l’incidence sur le projet ?
Exercice 5
M. KABALE vient d’obtenir une longue période de vacances après avoir permis à son
entreprise d’être désignée comme étant la meilleure dans son domaine au plan national. Il
décide de consacrer ces vacances à la découverte de la sous-région Ouest-Africaine. Ne
voulant pas effectuer seul cette aventure, il décide de trouver deux compagnons qu’il espère
recruter par annonce. Il planifie alors les différentes tâches à exécuter pour mener à bien ce
projet selon le tableau suivant :
TÂCHES
DUREE
TÂCHES
(en jours) ANTERIEURES
A : Achat de la carte routière de la Côte d’Ivoire
1
–
B : Commande à l’ING des autres cartes
15
–
C : Etablissement du trajet à effectuer en Côte d’Ivoire
3
A
D : Etablissement du trajet dans les autres régions
15
B
E : Passage d’une petite annonce pour recruter deux coéquipiers
21
A, B, C, D
F : Choix des coéquipiers
30
E, C, D, L
G : Récupération d’une tente prêtée à un copain
30
–
H : Achat du matériel manquant
7
C, D, F, G
I : Réservation des hôtels d’étape
15
C, D, F
J : Achat des vivres pour les trois premiers jours
1
F, G, H, I
K : Réservation des guides touristiques
1
I, J
L : Préparation du carné de route
10
C
1) Construire le graphe MPM associé à ce projet
2) A l’aide du graphe obtenu, déterminer le calendrier des dates au plus tôt et au plus tard
des différentes tâches.
3) Identifier les tâches critiques et tracer le chemin critique sur le graphe.
4) On indique que le début de l’exécution de ce projet est fixé au 28/02/2014. A partir de
quelle date M. KABALE et ses deux compagnons peuvent-ils commencer leur
excursion ?
PROGRAMMATION LINEAIRE
Exercice 1
Partie A
On donne le programme linéaire suivant :
Max( Z = 500 x1 + 300 x2 + 200 x3 )
 x1  0 ; x2  0 ; x3  0

3 x1 + x2 + x3  400
S /C 
4 x1 + 2 x2 + x3  500
3 x1 + 5 x2 + 3 x3  1 200
1) Donner le programme standard de ce programme linéaire
2) On désir résoudre ce programme par la méthode du simplexe. Donner le premier et
deuxième tableau du simplexe.
3) A l’une des itérations, on a obtenu le tableau suivant :
Variables
x1
x2
x3
s1
s2
s3
R
x1
0
-2
1
4
-3
0
100
x2
1
1
0
-1
1
0
100
x3
0
8
0
-9
6
1
600
Z
0
200
0
-300
100
0
-70 000
Ce tableau est-il le dernier tableau du simplexe ? Si non, déterminer le dernier
tableau.
Partie B
La compagnie AKBG est spécialisé dans la production de trois types de jouets
électroniques A, B et C. Le coût de fabrication d’un jouet de type A est de 25 F, celui d’un
jouet de type B est de 75 F et celui d’un jouet de type C, 250 F. Les besoins mensuels du
marché sont tels qu’il faut produire au moins, 500 jouets de type A, 300 jouet de type B et
200 jouets de type C. Pour liquider rapidement la production, la compagnie vend les jouets
par trois sortes de kit : kit 1, kit 2 et kit 3. La composition en jouets de chaque type de kit est
consigné dans le tableau suivant :
Kit 1
Kit 2
Kit 3
Nombre de jouets de type A
3
4
3
Nombre de jouets de type B
1
2
5
Nombre de jouets de type C
1
1
3
1) Déterminer le coût de production de chaque kit.
2) Désignons par y1 , y2 et y3 les nombres de kit 1, kit 2 et kit 3. Exprimer le coût de
production mensuel en fonction de y1 , y2 et y3 .
3) Donner les contraintes de demande du marché.
4) Donner le programme linéaire permettant de minimiser coût mensuel de production
tout en tenant compte de la demande sur le marché.
5) Déterminer le dual du programme linéaire obtenu et le comparer au programme de
l’exercice de la partie A.
6) Déduire les valeurs optimales recherchées dans la partie B.
7) Interpréter les valeurs des variables d’écart à l’optimum.
EXERCICE 2
A- En utilisant la méthode du simplexe, Résoudre le programme (P) ci-dessous
𝑦1 ≥ 0; 𝑦2 ≥ 0; 𝑦3 ≥ 0
2𝑦 + 2𝑦2 + 𝑦3 ≤ 18 000
{ 1
(P) 2𝑦1 + 2𝑦2 + 2𝑦3 ≤ 24 000
𝑦1 + 𝑦2 + 2𝑦3 ≤ 30 000
Max(30𝑦1 + 24𝑦2 + 20𝑦3 )
B- Une entreprise familiale fabrique trois types de costumes C1, C2 et C3. Pour la
confection de ces costumes, elle utilise entre autre, du tissu super 100 et deux types
de doublures respectivement en nylon et en coton.
L’analyse des commandes montre qu’il faut par jour, au moins 30 mètres de tissu super 100,
24 mètres de doublure en nylon et 20 mètres de doublure en coton.
✓ Un costume de type C1 nécessite 2 mètres de tissu super 100, 2 m de doublure en
nylon et 1 m de doublure en coton.
✓ Un costume de type C2 nécessite 2 mètres de tissu super 100, 2 m de doublure en
nylon et 2 m de doublure en coton.
✓ Un costume de type C3 nécessite 1 mètres de tissu super 100, 1 m de doublure en
nylon et 2 m de doublure en coton. Sachant que les dépenses résultant de la
confection d’un costume sont évaluées à 18 000 F pour le type C1, 24 000 F pour le
type C2 et 30 000 F pour le type C3. Cette entreprise familiale cherche à minimiser ses
coûts.
1. Déterminer le programme linéaire, relatif à ce problème.
2. Résoudre ce programme linéaire.
3. A l’optimum, déterminer l’excédent de matière.
EXERCICE 3
L’entreprise ZOGONAPIN, s’est spécialisée dans la fabrication et la vente de meubles de
rangement métalliques. Elle veut mettre sur le marché quatre modèles M1, M2, M3 et M4.
Les divers renseignements techniques et financiers sont donnés dans le tableau ci-après :
Nombre d’Unité Œuvre nécessaires pour un meuble
Usinage
Montage
Distribution
M1
M2
M3
M4
5
5
2
2,5
3
2
4
2
2
2
1
1
Capacité (en UO)
Coût unitaire des UO
210 000
3 000 F
128 000
1 500 F
Illimitée
1 000 F
Prix de vente
unitaire
28 000 F
22 000 F
14 200 F
12 600 F
Travail à faire :
L’entreprise veut établir un programme de production des meubles M2, M3 et M4 permettant
de maximiser le résultat sachant que le nombre de meubles M1 à produire est fixé à 26 000
unités. On admet en outre que toute la production sera vendue.
1) Donner la forme canonique du programme.
2) Résoudre par la méthode du simplexe.
3) Faire un commentaire de la solution optimale.
Exercice 1
La société AKBG fabrique 3 types de téléphones A, B, C dont la confection nécessite le
passage dans trois ateliers : atelier 1, atelier 2 et atelier 3. Elle réalise les bénéfices suivant :
sur un téléphone de type A, 28 000 F ; sur un téléphone de type B, 25 000 F et sur une unité
de C : 22 000 F.
Les ateliers 1, 2 et 3 sont respectivement disponibles pendant 35, 40 et 26 heures par semaine.
Par ailleurs la confection d’un téléphone de type A nécessite 1 heure de travail dans chacun
des trois ateliers ; celle d’un téléphone de type B nécessite 1 heure de travail dans l’atelier 1 et
2 heures de travail dans l’atelier 2. Enfin, la confection d’un téléphone C demande 1 heure de
travail dans l’atelier 1 et également 1 heure de travail dans l’atelier 3.
La société AKBG veut déterminer le nombre de téléphones de chaque type à fabriquer par
semaine pour maximiser son bénéfice hebdomadaire.
NB : On suppose que toute la production est vendue.
1) Effectuer la mise en équation du problème.
2) Déterminer les valeurs optimales par la méthode du simplexe.
3) Interpréter les valeurs des variables d’écart à l’optimum.