Probabilité I) Vocabulaire: Définition 1: On appelle expérience aléatoire une expérience qui a plusieurs résultats possibles que l'on ne peut pas prévoir. Cette expérience dépend totalement du hasard. Définition 2: On appelle issue chaque résultat possible d'une expérience est aléatoire. Voici différents exemples d'expériences aléatoires: Pile ou Face ? Lancer la pièce et regarder si on obtient Pile ou Face est bien une expérience aléatoire car on ne peut pas prévoir le résultat que l'on va obtenir. Cette expérience aléatoire a deux issues possibles : Pile ou Face. Quel nombre obtient-on ? Jeter le dé et regarder le nombre obtenu est bien une expérience aléatoire car on ne peut pas prévoir le résultat que l'on va obtenir. Cette expérience aléatoire a six issues possibles : 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6. Quel lot vais-je gagner ? Faire tourner la roue et regarder le lot obtenu est bien une expérience aléatoire car on ne peut pas prévoir le résultat que l'on va obtenir. Cette expérience aléatoire a six issues possibles : sucette ou ballon ou bonbons ou poupée ou chocolat ou petite voiture. Définition 3: On appelle événement une condition qui peut ou non être réalisée lors d'une expérience aléatoire. Exemple : Quel nombre obtient-on ? Compléter le tableau suivant à l'aide des cases déjà remplies et des informations données à la suite de celui-ci. La troisième colonne ne peut être remplie que pour certains événements. Evénements Issues possibles pour qu'il soit réalisé Evènement ........ A = « obtenir 1 » 1 élémentaire B = « obtenir 5 » C = « obtenir 7 » D = « obtenir un nombre pair » 2 ou 4 ou 6 E = « obtenir un multiple de 3 » F = « obtenir un nombre plus grand ou égal à 3» G = « obtenir un nombre plus petit ou égal à 9» On utilise la notation A = « obtenir 1 » pour décrire un événement. A est le nom de l'événement. Cela nous permettra de simplifier la présentation lorsque par la suite on calculera la probabilité de cet événement. Un événement qui ne peut être réalisé que par une seule issue est appelé événement élémentaire. Un événement que l'on est sur de réalisé est appelé événement certain. Un événement que l'on ne peut pas réaliser est appelé événement impossible. II) Probabilité d'un événement : 1) activité préparatoire : Réalisons une expérience aléatoire : on va jeter un dé dix fois de suite et noter les résultats obtenus. J'ai moi même effectuer cette expérience et voici les résultats que j'ai obtenu : 6 ; 1 ; 4 ; 4 ; 5 ; 1 ; 3 ; 4 ; 5;4 On va étudier cette série de résultats que j'ai obtenu à l'aide du tableau suivant comme on l'a appris dans le chapitre précédent. Nombre obtenu 1 2 3 4 5 6 Total Effectif 2 0 1 4 2 1 10 Fréquence en % 20 0 10 40 20 10 100 L'effectif total ici 10 correspond au nombre de lancés de effectués. A votre tour : effectuer cette expérience aléatoire, noter vos résultats et remplissez le tableau suivant que vous m'enverrez . J ai obtenu les résultats suivants : …................................................. Je complète mon tableau : Nombre obtenu 1 2 3 4 5 6 Total Effectif .... .... .... .... .... .... 10 Fréquence en % .... .... .... .... .... .... 100 J'ai compilé toutes les réponse que vous m'avez envoyées. Je vous envoie le fichier que j'ai utilisé pour compiler vos réponses. Vous êtes …... à m'avoir répondu ce qui correspond donc à de dés donc à un effectif total de …... ...×10=.... lancés On obtient alors le tableau suivant : Nombre obtenu 1 2 3 4 5 6 Total Effectif .... .... .... .... .... .... .... Fréquence en % .... .... .... .... .... .... ..... Que remarque-t-on dans le dernier tableau ? Remarque-ton la même chose dans les tableaux que l'on a rempli individuellement ? 2) Définition : Définition 4: Lors d'une expérience aléatoire, la probabilité d'obtenir un certain résultat correspond à la fréquence de réalisation de ce résultat si on effectuait cette expérience un très grand nombre de fois. Pour trouver la probabilité d'un événement il suffira de comptabiliser le nombre d'issues possibles pour qu'il soit réalisé. Définition 5 : Si une expérience a au total Y issues ayant chacune la même chance de se produire et si, parmi ces Y issues, il y en a X pour lesquelles un événement se produit, alors : - On dit que ces X issues sont favorables (à cet événement), - On dit que cet événement a "X chances sur Y" de se produire, - La probabilité de cet événement est égale à X Y . Exemple : Si on reprend l'exemple du dé. Quel nombre obtient-on ? Ici on a 6 issues possibles qui ont bien la même chance de se produire. On a donc Y = 6. Dans la deuxième colonne on va comptabiliser le nombre d'issues favorables c'est à dire le nombre d'issues possibles pour qu'il soit réalisé c'est ce nombre qui correspond à X. On va rajouter une colonne qui va correspondre à la probabilité de l'événement défini. Mathématiquement la probabilité d'un événement A est noté P(A). On obtient alors le tableau suivant : Evénements Issues possibles pour Evènement .... qu'il soit réalisé . Probabilité de l'événement A = « obtenir 1 » 1 Il y a 1 issue favorable élémentaire P (A)= 1 6 B = « obtenir 5 » 5 Il y a 1 issue favorable élémentaire P (B)= 1 6 C = « obtenir 7 » Il y a 0 issue favorable impossible P (C )= P ( D)= D = « obtenir un nombre pair » 2 ou 4 ou 6 Il y a 3 issues favorables P ( E)= E = « obtenir un multiple de 3 » 3 ou 6 Il y a 2 issues favorables F = « obtenir un nombre plus grand ou égal à 3 » 3 ou 4 ou 5 ou 6 Il y a 4 issues favorables P ( F )= G = « obtenir un nombre plus petit ou égal à 9 » 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 Il y a 6 issues favorables 0 6 P (C )=0 3 6 3×1 3×2 1 P (D)= 2 2 6 2×1 2×3 1 P (E)= 3 2×2 2×3 2 P ( F )= 3 certain 4 6 6 6 P (G)=1 P (G)= Les probabilités sont souvent exprimés en écriture fractionnaire, il faudra donc penser à simplifier le résultat obtenu. 3) Propriétés : Propriété 1 : Si chaque événement élémentaire a la même probabilité alors on dit que l'on est dans un cas d'équiprobabilité. Exemples : Si on reprend l'exemple du dé. Quel nombre obtient-on ? A : « obtenir un 1 » , B : « obtenir un 2 », C : « obtenir un 3 », D : « obtenir un 4 », E : « obtenir un 5 » F : « obtenir un 6» sont tous les événements élémentaires de cette expérience aléatoire . On a P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = P (D ) = P( E ) = P (F ) = 1 6 On est bien dans un cas d'équiprobabilité. On tire au hasard une boule dans une urne contenant 9 boules de couleurs différentes : On remarque que l'on a 4 boules noires , 3 boules blanches et 2 boules rouges. On a ici 9 tirages possibles puisqu'il y a 9 boules. G : « obtenir une boule noire », H « obtenir une boule rouge » et I « obtenir une boule blanche » sont les trois événements élémentaires de cette expérience. L'événement G a 4 issues favorables car il y a 4 boules noires donc P( G )= 4 . 9 L'événement H a 2 issues favorables car il y a 2 boules rouges donc P ( H ) = 2 . 9 L'événement I a 3 issues favorables car il y a 4 boules blanches donc P ( I ) = 3 9 3×1 3×3 = 1 3 Chaque événement élémentaire n'a pas la même probabilité donc on n'est pas dans un cas d'équiprobabilité. Propriété 2 : La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1. On la représente en générale par une fraction que l'on devra simplifier. Démonstration :On a vu que P (« événement » ) = X Y où X est le nombre d'issues qui sont favorables à cet événement et Y le nombre total d'issues possibles. On a donc d'issues donc X ≤ Y le nombre d'issues favorables étant forcément inférieur ou égal au nombre total X ≤ 1 et donc Y P ≤ 1 Propriété 3 : La probabilité d'un événement certain est 1. Démonstration :Si on a un événement certain alors toutes les issues de l'expérience sont favorables donc X = Y donc X = 1 et donc Y P = 1 . Propriété 4 : La probabilité d'un événement impossible est 0. Démonstration :Si on a un événement impossible alors il n'y a aucune issue favorable donc donc X = 0 et donc Y Propriété 5 : X = 0 P = 0 . La somme des probabilité de tous les événements élémentaires d'une expérience aléatoire est toujours égale à 1. Si on reprend l'exemple de notre dé : Quel nombre obtient-on ? somme des probabilités des événements élémentaires P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) + P (D ) + P( E ) + P (F ) = 1 1 1 1 1 1 + + + + + 6 6 6 6 6 6 = = 1 6 6 Si on reprend notre urne : somme des probabilités des événements élémentaires P ( G ) + P ( H ) + P ( I) = = 4 2 3 + + 9 9 9 9 9 = 1 Définition 6 :Pour une expérience aléatoire donnée, on dit que deux événements A et B sont incompatibles si il est impossible que A et B se réalisent en même temps c'est à dire si ils n'ont pas d'issues favorables communes. Exemple: Expérience aléatoire: On jette un dé à 6 faces et on regarde le numéro obtenu. Événement A: "on obtient un nombre pair". Les issues favorables de A sont : 2 ou 4 ou 6. Événement B: "on obtient 5". L'issue favorable de B est : 5. Événement C: "on obtient 4". L'issue favorable de C est : 4. A et B n'ont aucune issue favorable commune donc A et B sont incompatibles. A et C ont une issue favorable commune le 4 donc A et C ne sont pas incompatibles. Définition 7 :Si A et B sont deux événements d'une même expérience aléatoire alors l’événement « A ou B » est l'événement qui est réalisé si A ou B sont réalisés . Si on reprend l'exemple précédent : Événement A: "on obtient un nombre pair". Les issues favorables de A sont : 2 ou 4 ou 6. P(A) = Événement B: "on obtient 5". L'issue favorable de B est : 5. P(B) = Événement C: "on obtient 4". L'issue favorable de C est : 4. P(C )= 1 . 6 1 . 6 Événement « A ou B ».Les issues favorables de A ou B : 2 ou 4 ou 6 ou 5. P(A ou B) = Événement « A ou C ».Les issues favorables de A ou C : 2 ou 4 ou 6 . P(A ou C) = Propriété 6 : 3 6 4 6 3 6 Si A et B sont deux événements incompatibles, alors la probabilité de l'événement " A ou B " est égale à la somme de la probabilité de A et de la probabilité de B. C'est à dire : P ( A ou B ) = P(A) + p( B) si A et B sont incompatibles. Si on reprend l'exemple précédent : A et B sont incompatibles donc P( A ou B ) = P (A ) +P ( B ) = 3 1 + 6 6 = 4 6 c'est bien la réponse que l'on avait trouvé précédemment donc la formule est juste A et C ne sont pas incompatibles donc on ne peut donc pas écrire P( A ou C ) = P (A ) +P ( C ) = 3 1 + 6 6 = 4 6 ce n''est bien la réponse que l'on avait trouvé précédemment car la formule est fausse si les événements ne sont pas incompatibles. Cette formule est facile à utiliser mais il faut toujours penser à vérifier que les événements sont bien incompatibles. III.Expérience aléatoire à deux épreuves : 1) arbre de probabilité : Prenons l'expérience aléatoire suivante : On tire une boule au hasard dans l'urne suivante : On calcule les probabilités de chaque issue de cette expérience : P ( obtenir une boule bleue ) = 2 4 = 1 2 P ( obtenir une boule verte ) = 1 4 P ( obtenir une boule rouge ) = 1 4 2×1 2×2 On peut représenter toutes les issues de cette expérience grâce à ce que l'on appelle un arbre des probabilités. Différentes issues Boule bleue 1 2 1 4 Boule verte 1 4 Boule rouge On écrit sur chaque branche la probabilité de l'issue. L'utilisation de cette arbre n'est pas nécessaire lorsque l'on visualise facilement les différentes issues d'une expérience. Elle sera utile quand on va rencontrer des expériences plus compliquées notamment quand on aura des expériences à plusieurs épreuves. 2) Expérience aléatoire à deux épreuves : On a l’expérience aléatoire suivante : On lance un dé et on tire au hasard une boule dans l'urne suivante : Cette expérience a bien deux épreuves : Lancer le dé. Tirer une boule au hasard. C'est ici compliqué de visualiser les différentes issues de cette expérience. Pour simplifier la représentation de ces différentes issues on va construire un arbre de probabilité. Les deux épreuves sont indépendantes car le lancé de dé n'influence pas le tirage de la boule dans l'urne. On calcule d'abord les probabilités de chacune des événements élémentaires de chaque épreuve. Lancer le dé. On a déjà vu que : P ( obtenir 1) = P ( obtenir 2) = P ( obtenir 3) = P ( obtenir 4) = P ( obtenir 5) = P ( obtenir 6) = 1 6 Tirer une boule au hasard. On a vu au début du cours que : P ( obtenir une boule bleue ) = 2 4 = 1 2 P ( obtenir une boule verte ) = 1 4 P ( obtenir une boule rouge ) = 1 4 2×1 2×2 On peut alors construire l'arbre des probabilités suivants en écrivant la probabilité de chaque issue sur la branche correspondante : Lancé du dé Tirage Issue dans l'urne de l'expérience B (1;B) R (1;R) V (1;V) B (2;B) R (2;R) V (2;V) B (3;B) R (3;R) V (3;V) B (4;B) R (4;R) V (4;V) B (5;B) R (5;R) V (5;V) B (6;B) R (6;R) V (6;V) 1/2 1 1/ 4 1/4 1/6 1/2 2 1/4 1/4 1/6 1/2 1/6 3 1/4 1/4 1/6 1/2 4 1/4 1/4 1/6 1/2 1/6 5 1/4 1/4 1/2 6 1/4 1/4 Exercice : On a l'expérience aléatoire suivante : On tire au hasard une boule dans l'urne 1 contenant 5 boules blanches et 4 boules noires puis on tire une boule au hasard dans l'urne 2 contenant 1 boule jaune , 2 boules rouges et 3 boules vertes. Construire l'arbre des probabilités de cette expérience aléatoire à deux épreuves . L'arbre des probabilités va nous permettre de calculer la probabilité d'un événement. Pour cela on va appliquer la propriété suivante: Propriété 7 : Pour calculer la probabilité d'une issue élémentaire d'une expérience à plusieurs épreuves on multiplie les probabilités rencontrées en suivant la branche permettant d'obtenir cette issue. On obtient l'arbre des probabilité suivant . Il est sur la page suivante Lancé du dé Tirage dans l'urne Issue de l'expérience B (1;B) 1 1 1 × = 6 2 12 R (1;R) 1 1 1 × = 6 4 24 V (1;V) 1 1 1 × = 6 4 24 B (2;B) 1 1 1 × = 6 2 12 R (2;R) 1 1 1 × = 6 4 24 V (2;V) 1 1 1 × = 6 4 24 B (3;B) 1 1 1 × = 6 2 12 R (3;R) 1 1 1 × = 6 4 24 V (3;V) 1 1 1 × = 6 4 24 B (4;B) 1 1 1 × = 6 2 12 R (4;R) 1 1 1 × = 6 4 24 V (4;V) 1 1 1 × = 6 4 24 B (5;B) 1 1 1 × = 6 2 12 R (5;R) 1 1 1 × = 6 4 24 V (5;V) 1 1 1 × = 6 4 24 B (6;B) 1 1 1 × = 6 2 12 R (6;R) 1 1 1 × = 6 4 24 V (6;V) 1 1 1 × = 6 4 24 1/2 1 1/ 4 1/4 1/6 1/2 2 1/4 1/4 1/6 1/2 1/6 3 1/4 1/4 1/6 1/2 4 1/4 1/4 1/6 1/2 1/6 5 1/4 1/4 1/2 6 1/4 Probabilité de cette issue 1/4 Grâce à cet arbre des probabilités on connaît maintenant les probabilités de chaque issue de cette expérience à deux épreuves. On pourra alors trouver la probabilité d'un événement grâce à la propriété suivante. Propriété 8 : Pour calculer la probabilité d'un événement on additionne les probabilités de toutes les issues qui le réalise. Exemple : A est l'événement : « Obtenir un 2 ou une boule Bleue » B est l'événement : « Obtenir un 6 et une boule Rouge » A a 8 issues favorables que l'on a repéré sur notre arbre , on additionne les probabilités de chacune de ces issues pour trouver la probabilité de A: P(A) = 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + 12 12 24 24 12 12 12 12 P(A) = 1×2 1×2 1 1 1×2 1×2 1×2 1×2 + + + + + + + 12×2 12×2 24 24 12×2 12×2 12×2 12×2 P(A) = 2 + 24 P(A) = 14 24 P(A) = 7 12 1 1 2 + + + 24 24 24 on va mettre au même dénominateur 2 2 2 2 + + + on peut maintenant additionner 24 24 24 24 2×7 on pense à simplifier 2×12 B a 1 issue favorable que l'on a repéré sur notre arbre donc : P(B)= 1 24 Exercice : On reprend l'expérience aléatoire de l'exercice précédent : On tire au hasard une boule dans l'urne 1 contenant 5 boules blanches et 4 boules noires puis on tire une boule au hasard dans l'urne 2 contenant 1 boule jaune , 2 boules rouges et 3 boules vertes. 1) Compléter l'arbre des probabilités que vous aviez construit en calculant les probabilités de chaque issue de cette expérience à deux épreuves . 2) Calculer la probabilité de l'événement A : « Obtenir une boule Blanche et une boule Rouge » 3) Calculer la probabilité de l'événement B : « Obtenir une boule Verte » 4) Calculer la probabilité de l'événement C : « Obtenir une boule Noire ou une boule Jaune » 3) Expérience aléatoire à deux épreuves qui ne sont pas indépendantes: On a l’expérience aléatoire suivante : On tire au hasard une boule dans l'urne suivante puis on effectue un deuxième tirage dans cette même urne sans avoir remis la boule piochée au premier tirage : Cette expérience a bien deux épreuves : Tirer un première boule dans l'urne. Tirer une deuxième boule dans l'urne. Les deux épreuves ne sont pas indépendantes car la boule tirée lors du premier tirage influence la composition de l'urne pour le deuxième tirage. Il va falloir être plus vigilant pour calculer les probabilités du deuxième tirage qui vont varier en fonction du résultat obtenu lors du premier tirage. On calcule d'abord les probabilités de chacune des événements élémentaires de la première épreuve. On a 1 boule rouge, 3 boules jaunes et 4 boule vertes, on a trois événements élémentaires possibles dont on va calculer les probabilités: P ( obtenir une boule verte ) = 4 8 = 1 2 P ( obtenir une boule rouge ) = 1 8 P ( obtenir une boule jaune ) = 3 8 4×1 4×2 On calcule maintenant les probabilités de chacune des événements élémentaires de la deuxième épreuve en tenant compte du résultat obtenu à la première épreuve. Il ne reste plus que 7 boules dans l'urne puisque l'on a déjà tiré une boule. Si on a tiré une boule verte au premier tirage : Il reste dans l'urne 1 boule rouge, 3 boules jaunes et 3 boules vertes et on a donc 3 événement élémentaires dont on va calculer les probabilités : P ( obtenir une boule verte ) = 3 7 P ( obtenir une boule rouge ) = 1 7 P ( obtenir une boule jaune ) = 3 7 Si on a tiré une boule rouge au premier tirage : Il reste dans l'urne 3 boules jaunes et 4 boules vertes et on a donc 2 événement élémentaires dont on va calculer les probabilités ( on ne peut pas obtenir une boule rouge puisqu'il n'y en a lus dans l'urne): P ( obtenir une boule verte ) = 4 7 P ( obtenir une boule jaune ) = 3 7 Si on a tiré une boule jaune au premier tirage : Il reste dans l'urne 1 boule rouge, 2 boules jaunes et 4 boules vertes et on a donc 3 événement élémentaires dont on va calculer les probabilités : P ( obtenir une boule verte ) = 4 7 P ( obtenir une boule rouge ) = 1 7 P ( obtenir une boule jaune ) = 2 7 On peut maintenant construire l'arbre des probabilités suivants ( voir page suivante ) . Premier tirage dans l'urne Deuxième Tirage dans l'urne Issue de l'expérience Probabilité de cette issue V (V;V) 1 3 3 × = 2 7 14 R (V;R) 1 1 1 × = 2 7 14 J (V;J) 1 3 3 × = 2 7 14 3 7 1 7 V 3 7 1 2 4 7 V (R;V) 1 8 1 4 1 × = 8 7 14 4×2 R 3 7 1 3 3 × = 8 7 56 J (R;J) V (J;V) 3 3 9 × = 8 7 56 R (J;R) 3 1 3 × = 8 7 56 J (J;J) 3 8 3 7 1 7 J 2 7 3 2 3 × = 8 7 28 4×2 On va maintenant utiliser cet arbre pour calculer les probabilités des événements suivants : A: « B: « C: « D: « E: « Obtenir une boule rouge puis une boule verte » Obtenir une boule rouge et une boule verte » Obtenir une boule au moins une boule jaune » Obtenir une seule boule jaune » Obtenir deux boules de la même couleur » Il est important de bien prendre le temps de comprendre le sens de l'événement car comme on va le voir certains se ressemblent si on fait pas assez attention. Événement A On voit ici que l'ordre du tirage est important. On a ici une seule issue qui réalise cette événement c'est à dire ( R ; V ) on regarde sa probabilité et on a donc : P (A ) = 1 14 Événement B On voit par contre ici que l'ordre du tirage n'est pas important. On a donc cette fois deux issues qui réalisent cette événement c'est à dire ( R ; V ) et ( V ; R) on regarde les probabilités de ces deux issues que l'on additionne et on a donc : P (B ) = 1 1 + 14 14 = 2 14 = 1 7 2×1 2×7 Événement C On cherche ici toute les issues ou apparaît au moins une fois la boule jaune. On a donc cette fois cinq issues favorables ( V ; J ), ( R ; J), ( J ; J) , ( J ; V ) et ( J ; R ) on regarde les probabilités de ces cinq issues que l'on additionne et on a donc : P (C ) = 3 3 9 3 3 + + + + 14 56 56 56 28 on doit mettre au même dénominateur pour additionner = 3×4 3 9 3 3×2 + + + + 14×4 56 56 56 28×2 = 12 3 9 3 6 + + + + 56 56 56 56 56 = 33 56 Événement D On cherche ici toute les issues ou apparaît une seule fois la boule jaune. On a donc ici quatre issues favorables ( V ; J ), ( R ; J) , ( J ; V ) et ( J ; R ) on regarde les probabilités de ces quatre issues que l'on additionne et on a donc : P(D)= 3 3 9 3 + + + 14 56 56 56 = 3×4 3 9 3 + + + 14×4 56 56 56 = 12 3 9 3 + + + 56 56 56 56 = 27 56 on doit mettre au même dénominateur pour additionner Événement E On cherche ici toute les issues ou on a deux fois la même couleur. On n'a donc ici que deux issues favorables ( V ; V ) et ( J ; J ) on regarde les probabilités de ces deux issues que l'on additionne et on a donc : P(E)= 3 3 + 14 28 = 3×2 3 + 14×2 28 = 6 3 + 28 28 = 9 28 on doit mettre au même dénominateur pour additionner
