TD-CD

CHAPITRE 3. DIFFÉRENTIELLES
3.14. EXERCICES
3.14 Exercices
Exercice 12. En utilisant la définition de la differentielle d’une application en un
q point, calculer la diffe2
rentielle en (0, 0) de l’application ƒ de R dans R définie par : ƒ (, y) = 1 +  y 2 + 2.
Exercice 13.
soit la fonction
ƒ (, y) =
y(2 − y 2
2 + y 2
si (, y) ̸= (0, 0), et ƒ (0, 0) = 0.
1. La fonction ƒ est-elle différentiable sur R2 ? Si oui donner sa différentielle.
2. Calculer si elles existent, les dérivées partielles secondes suivantes :
∂2 ƒ
∂∂y
Que peut-on conclure ?
(0, 0) et
∂2 ƒ
∂y∂
(0, 0).
Exercice 14. On rappelle que si  = (n )n∈N ∈ RN , alors
‚
Œ1
p
X
|n |p
∥∥ℓp :=
∈ R ∪ {+∞}
n∈N
pour 0 < p < ∞ et ∥∥ℓ∞ := sp |n | ∈ R ∪ {+∞}. Enfin, pour p ∈ ]0, +∞], on pose
n∈N
ℓp (R) :=  ∈ RN , ∥∥ℓp < ∞ .
1. Vérifier que si p ≤ q, on a ∥∥ℓq ≤ ∥∥ℓp et donc ℓp (R) ⊂ ℓq (R).
2. Montrer que  7→ ∥∥ℓp est une norme si et seulement si p ≥ 1. En déduie que dans ce cas on a un
espace de Banach.
3. Soit ƒ ∈ C 1 (R) telle que ƒ (0) = 0 et F : ℓ1 (R) → ℓ1 (R) qui à  7→ F() := (ƒ (n ))n∈N . Montrer que
F est bien définie et partout différentiable et calculer dF.
4. Montrer que l’application g :  7→ ∥∥2
de ℓ1 dans R est bien définie et C 1 , et calculer dg.
2
Exercice 15. Soit E un espace vectoriel normé. Montrer que pour k ∈ N, l’application L(E) → L(E),
 7→ k est C 1 et calculer sa différentielle. Montrer que si E est un espace de Banach, alors l’application
GL(E) → L(E),  7→ −1 est C 1 et calculer sa différentielle.
Exercice 16. 1. Montrer que la relation
4 + y 3 − 22 y − 1 = 0
définit implicitement y en fonction de  au voisinage de (0, 1).
2. Former un développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction qui à  associe y.
Exercice 17. On considère le système d’équations :

 2 + y 2 − 2z 2 = 0
 2 + 2y 2 + z 2 = 4
Montrer que, pour  proche de l’origine, il existe des fonctions positives y() et z() telles que (, y(), z())
soit solution du système. On déterminera y ′ en fonction de , y et z ′ en fonction de , z.
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3.14. EXERCICES
CHAPITRE 3. DIFFÉRENTIELLES
Exercice 18. Soit E l’espace vectoriel des polynômes d’une seule variable réelle et de degré inférieur à
2. On le munit de la norme ∥P∥ = sp |P()|. Soit la base E = (1, 1 + X, 1 + X 2 ) de E et ƒ : E ∋
P(X) = α0 + α1 X + α2 X 7→ ƒ (P) = sin(α0 α2 )X − cos(α2 )X 2 ∈ E. Calculer les dérivées partielles
de ƒ dans la base E, au point Q(X) = 1 + X 2 et montrer que ƒ est différentiable.
∈[0,1]
2
Exercice 19. Soit
ƒ : R3
1. Montrer que ƒ est C 1 .
→ R3
(, y, z) 7→ ( + y 2 , y + z 2 , z + 2 )
2. Calculer le rang de d(,y,z) ƒ .
3. Quels sont les points au voisinage desquels ƒ est localement inversible ?
Exercice 20. Considérons la fonction ƒ : R2 → R définie par : ƒ (, y) =  + y 2 sin(y), Donner en
justifiant, la formule de Taylor à l’ordre 2 de ƒ en (1, 1).
Exercice 21. Etudier le comportement de la fonction ƒ définie sur R2 par ƒ (, y) = (1 − 2 )(1 − y 2 ) au
voisinage de ses points singuliers.
Exercice 22. Soit ƒ : R2 → R définie par ƒ (, y) = (3 + 1)(y 2 − 1). Etudier les extrema de ƒ sur le
disque unité fermé de R2 .
Exercice 23. Soit ƒ l’application définie pour tout (, y) ∈ R2 par ƒ (, y) = 4 + y 4 − ( − y)2 .
1. Déterminer les points critiques de ƒ .
2. Etudier la nature du point critique (1, −1).
3. Montrer que les résultats vus en cours ne permettent pas de conclure quant à la nature du point
critique (0, 0).
4. Montrer que (0, 0) n’est pas un extremum local de ƒ .
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