TD-CD

CHAPITRE 3. DIFFÉRENTIELLES 3.14. EXERCICES
3.14 Exercices
Exercice 12. En utilisant la définition de la differentielle d’une application en un point, calculer la diffe-
rentielle en (0,0)de l’application ƒde R2dans Rdéfinie par : ƒ(, y) = 1+qy2+2.
Exercice 13.
soit la fonction
ƒ(, y) = y(2−y2
2+y2si (, y)̸= (0,0),et ƒ(0,0) = 0.
1. La fonction ƒest-elle différentiable sur R2? Si oui donner sa différentielle.
2. Calculer si elles existent, les dérivées partielles secondes suivantes :
∂2ƒ
∂∂y(0,0)et ∂2ƒ ∂y∂ (0,0).
Que peut-on conclure?
Exercice 14. On rappelle que si = (n)n∈N∈RN, alors
∥∥ℓp:=X
n∈N|n|p1
p
∈R∪{+∞}
pour 0< p < ∞et ∥∥ℓ∞:=sp
n∈N|n|∈R∪{+∞}. Enfin, pour p∈]0,+∞], on pose
ℓp(R):=∈RN,∥∥ℓp<∞.
1. Vérifier que si p≤q, on a ∥∥ℓq≤∥∥ℓpet donc ℓp(R)⊂ℓq(R).
2. Montrer que 7→ ∥∥ℓpest une norme si et seulement si p≥1. En déduie que dans ce cas on a un
espace de Banach.
3. Soit ƒ∈C1(R)telle que ƒ(0) = 0et F:ℓ1(R)→ℓ1(R)qui à 7→ F():= (ƒ(n))n∈N. Montrer que
Fest bien définie et partout différentiable et calculer dF.
4. Montrer que l’application g:7→ ∥∥2
2de ℓ1dans Rest bien définie et C1, et calculer dg.
Exercice 15. Soit Eun espace vectoriel normé. Montrer que pour k∈N, l’application L(E)→L(E),
7→ kest C1et calculer sa différentielle. Montrer que si Eest un espace de Banach, alors l’application
GL(E)→L(E),7→ −1est C1et calculer sa différentielle.
Exercice 16. 1. Montrer que la relation
4+y3−22y−1=0
définit implicitement yen fonction de au voisinage de (0,1).
2. Former un développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction qui à associe y.
Exercice 17. On considère le système d’équations :
2+y2−2z2=0
2+2y2+z2=4
Montrer que, pour proche de l’origine, il existe des fonctions positives y()et z()telles que (, y(), z())
soit solution du système. On déterminera y′en fonction de , y et z′en fonction de , z.
J. Feuto 75 UFRMI-UFHB

3.14. EXERCICES CHAPITRE 3. DIFFÉRENTIELLES
Exercice 18. Soit El’espace vectoriel des polynômes d’une seule variable réelle et de degré inférieur à
2. On le munit de la norme ∥P∥=sp
∈[0,1]|P()|. Soit la base E= (1,1+X, 1+X2)de Eet ƒ:E∋
P(X) = α0+α1X+α2X27→ ƒ(P) = sin(α0α2)X−cos(α2)X2∈E. Calculer les dérivées partielles
de ƒdans la base E, au point Q(X) = 1+X2et montrer que ƒest différentiable.
Exercice 19. Soit
ƒ:R3→R3
(, y, z)7→ (+y2, y +z2, z +2)
1. Montrer que ƒest C1.
2. Calculer le rang de d(,y,z)ƒ.
3. Quels sont les points au voisinage desquels ƒest localement inversible?
Exercice 20. Considérons la fonction ƒ:R2→Rdéfinie par : ƒ(, y) = +y2sin(y), Donner en
justifiant, la formule de Taylor à l’ordre 2 de ƒen (1,1).
Exercice 21. Etudier le comportement de la fonction ƒdéfinie sur R2par ƒ(, y) = (1−2)(1−y2)au
voisinage de ses points singuliers.
Exercice 22. Soit ƒ:R2→Rdéfinie par ƒ(, y) = (3+1)(y2−1). Etudier les extrema de ƒsur le
disque unité fermé de R2.
Exercice 23. Soit ƒl’application définie pour tout (, y)∈R2par ƒ(, y) = 4+y4−(−y)2.
1. Déterminer les points critiques de ƒ.
2. Etudier la nature du point critique (1,−1).
3. Montrer que les résultats vus en cours ne permettent pas de conclure quant à la nature du point
critique (0,0).
4. Montrer que (0,0)n’est pas un extremum local de ƒ.
UFRMI-UFHB 76 J. Feuto