Université Sultan Moulay Slimane
Faculté des Sciences et Techniques
Département de Génie Electrique
Béni Mellal
PARCOURS GE/GM
AUTOMATIQUE
Exercices Corrigés
Année Universitaire 2015/2016
Réalisé par : Pr. Mustapha AIT LAFKIH
1
SOMMAIRE
Partie n°1………………………………………………………………………3
Partie n°2………………………………………………………………………12
Partie n°3………………...…………………………………………………….21
Partie n°4………………...…………………………………………………….25
2
PARTIE 1
Exercice N°1 :
Identifier tous les constituants et signaux qui interviennent dans le
fonctionnement des systèmes représentés par :
a- Un enseignant saisissant une craie sur son bureau.
b- Le couple conducteur-voiture.
c- L’installation de chauffage de votre maison.
Exercice N°2 :
Dans un atelier de séchage et de concassage de minerai constitué de bandes
transporteuses d’un concasseur puis d’un four, on recense les variables suivantes :
-
Débit de minerai tout venant.
Débit des particules fines admises dans le four.
Humidité de l’air ambiant.
Humidité des particules fines admises dans le four.
Humidité des particules fines en sortie du four.
Température de l’air ambiant.
Dureté du minerai traité.
Débit du fuel alimentant le brûleur.
Température des particules fines en sortie de four.
1) Classer ces variables en tant que grandeurs de commande, de sortie et de
perturbations.
2) Représenter le schéma bloc du procédé.
3
Exercice N°3 :
Considérons une régulation de niveau dans un bac avec fuite.
1) On ajoute dans le bac qui reçoit le débit de liquide q (t) à la température T, une
résistance chauffante à tension d’alimentation réglable u, afin de réchauffer le liquide
à une température T’.
-Recenser, Classer les variables et interpréter leur rôle.
-Représenter le schéma bloc du procédé.
2) Répondre aux même questions si, pour chauffer le liquide, on ajoute un liquide de
débit q’’(t) et de température T’’.
Exercice N°4:
Considérons un réservoir de section constante C alimenté par un débit d’eau
qe(t) dont le niveau se maintient à une hauteur h1(t). A la base du réservoir, une vanne
caractérisée par une résistance à l’écoulement R (Restriction ou résistante
hydraulique) permet d’obtenir un débit de sortie q1(t).
Dans un premier cas (Figure 1), ce débit est fonction de la différence des pressions
aux bornes de la vanne :
q1(t)= h1(t)/R
Dans un second cas (Figure 2), c’est une pompe qui règle q1(t).
𝑞𝑒 (𝑡)
𝑞𝑒 (𝑡)
R
P
ℎ1 (𝑡)
ℎ1 (𝑡)
𝑞1 (𝑡)
Section C
Figure 1
𝑞1 (𝑡)
Section C
Figure 2
4
1) Recenser les variables de commande, de sortie et les perturbations éventuelles
dans chacun des deux cas.
2) Représenter les schémas blocs du procédé.
3) En écrivant la conservation d’eau dans le réservoir pour le premier cas, établir
la
seconde équation qui combinée avec (q1(t)= h1(t)/R) permettra d’obtenir
l’équation différentielle liant qe(t) et q1(t).
4) Que dire du système si dans le premier cas, q1(t)= h1(t)/R est remplacé par
q1(t)=A(h1(t))1/2
Exercice N°5:
Soit le montage électrique comportant une source de tension E, un interrupteur K, une
résistance de protection R et une diode électroluminescente (LED) :
R
K
LED
E=1V
1) On ferme l’interrupteur K à l’instant t=0. Expliquer la nature du signal
appliqué noté u(t).
2) L’interrupteur K est ouvert. Donner le signal v(t) à appliquer à t=0 tel que la
mise sous tension du circuit soit différée d’un temps t1.
3) L’interrupteur K est ouvert. A t=0. On ferme K et on l’ouvre immédiatement.
On suppose que K est resté fermé un temps très court τ. Donner l’expression du
signal appliqué e(t).
4) En fait le signal appliqué au 1) n’est pas parfait mais présente un front de
montée linéaire de durée t2 jusqu’à l’amplitude E. Donner l’expression de ce
signal.
5
CORRIGE
Exercice N°1 :
a) Consigne : position de la craie C
Sortie
: y(t) la position de la main de l’enseignant
Ou cherche à ce que
C-y(t)=0
b) Consigne : direction de la route
Sortie :
direction de l’automobile
c) Consigne : température désirée (réglée sur le thermostat)
Sortie :
température de la maison
Exercice N°2 :
2
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Commande
Perturbation
Perturbation
Perturbation
Sortie
Perturbation
Perturbation
Commande
Sortie
3
4
1
8
6
7
5
Système
9
6
Exercice N° 3:
1)
q(t), T
T’
h
u
𝑞𝑠 (𝑡)
𝑞𝑠 (𝑡)
q(t)
T
Régulation de
niveau
u(t)
h
T’
7
2)
q’’(t), T’’
q(t), T
T’
h(t)
𝑞𝑠 (𝑡)
T
q(t)
𝑞𝑠 (𝑡)
Régulation de
niveau
q’’(t)
T’’
h
T’
Exercice 4 :
1) Dans le premier cas, la variable d’entrée (ou de commande) est 𝑞𝑒 (𝑡).
La hauteur de liquide ℎ1 (𝑡) et le débit de sortie 𝑞1 (𝑡) sont des variables de sortie.
Dans le second cas, 𝑞𝑒 (𝑡) reste une variable de commande et ℎ1 (𝑡) une variable
de sortie mais 𝑞1 (𝑡) est aussi une variable d’entrée qui peut être considérée
8
comme une perturbation. On remarque que 𝑞𝑒 (𝑡) et 𝑞1 (𝑡) sont indépendantes du
procédé.
2) Les schémas bloc du procédé sont dans le premier et le second cas :
𝑞1 (𝑡)
ℎ1 (𝑡)
𝑞𝑒 (𝑡)
𝑞𝑒 (𝑡)
ℎ1 (𝑡)
Réservoir
Réservoir
𝑞1 (𝑡)
Fig.1.5 : Schéma- bloc du réservoir dans les deux cas étudiés
3) La conservation de liquide s’écrit (𝑞𝑒 − 𝑞1 )𝑑𝑡 = 𝐶𝑑ℎ1 = 𝑅𝐶𝑑𝑞1 .
L’équation différentielle est alors 𝑅𝐶
𝑑𝑞1
𝑑𝑡
+ 𝑞1 = 𝑞𝑒 .
Si nous avons en entrée un débit 𝑘𝑞𝑒 (𝑡), 𝑘𝑞1 (𝑡)est bien solution de l’équation
différentielle.
4) Le système d’équation devient : {
(𝑞𝑒 − 𝑞1 )𝑑𝑡 = 𝐶𝑑ℎ1
𝑞1 = 𝐴√ℎ1
Par la seconde équation, on obtient ℎ1 et 𝑑ℎ1 =
1
𝐴2
2𝑞1 𝑑𝑞1 .
L’équation différentielle devient alors : 𝑞𝑒 = 𝑞1 + 2
𝐶
𝑑𝑞
𝑞 1
𝐴2 1 𝑑𝑡
Si nous avons en entrée un débit 𝑘𝑞𝑒 (𝑡), 𝑘𝑞1 (𝑡) n’est plus solution de l’équation
différentielle .
La difficulté vient de l’équation non linéaire 𝑞1 = 𝐴√ℎ1 . On pourra surmonter
celle-ci en ne considérant que les petites variations de niveau ∆ℎ0 autour d’une
position d’équilibre ℎ0 telles que 𝑞0 = 𝐴√ℎ0 et 𝑞0 + ∆𝑞0 = 𝐴√ℎ0 + ∆ℎ0 que l’on
peut linéariser.
9
Exercice 5 :
1) Le signal u(t) appliqué à t=0 est un échelon d’amplitude E.
𝐸𝟙(𝑡) = {
0 𝑆𝑖 𝑡 < 0
𝐸 𝑆𝑖 𝑡 > 0
2) Le signal v(t) à appliquer est un échelon retardé d’un temps 𝑡1 . Il est définit
par :
𝑣 (𝑡 ) = 𝐸𝟙(𝑡 − 𝑡1 ) = {
0 𝑆𝑖 𝑡 < 𝑡1
𝐸 𝑆𝑖 𝑡 > 𝑡1
3) La fermeture et l’ouverture de l’interrupteur K, un temps 𝜏 plus tard,
correspond à un signal en créneau. 𝑒(𝑡 ) = 𝐸(𝟙(𝑡 ) − 𝟙(𝑡 − 𝜏)).
𝟙(t)
1
𝜏
-1
−𝟙(𝑡 − 𝜏)
L’amplitude E contient l’information sur l’unité utilisée (ici E=1V).
4) La première partie du signal est constituée d’une rampe de pente
𝐸
𝑇2
0 à laquelle
il faut soustraire cette même rampe à partir du temps 𝑡2 pour obtenir la
seconde partie du signal constituée du palier à l’amplitude E.
𝑡
𝐸
𝑆𝑖 𝑡 < 𝑡2
𝑡2
𝑒 (𝑡 ) =
𝑡 𝐸
𝐸 − (𝑡 − 𝑡2 ) 𝑆𝑖 𝑡 > 𝑡2
{ 𝑡2 𝑡2
10
𝐸𝑡
𝑡2
𝑒 (𝑡 ) =
𝐸𝑡
𝑡2
−
𝐸
𝑡2
(𝑡 − 𝑡2 ) + 𝟙(𝑡 − 𝑡2 )
E
𝑡2
𝐸
(𝑡 − 𝑡2 )
𝑡2
11
PARTIE 2
Exercice N°1 :
On considère un système logique commandé par une horloge de période T et
délivrant une succession de créneaux d’amplitude a.
Tracer le chronogramme du signal d’horloge h(t).
Exprimer h(t) à l’aide de fonctions du type 𝟙(t), 𝟙(t-T), 𝟙(t-2T),...
Donner la transformée de Laplace de h(t).
Exercice N°2 :
On considère un signal triangulaire périodique f*(t).
Si f(t) est l’expression du signal triangulaire de base sur l’intervalle [0,2T[ et
f*(t) celle du signal complet en dents de scie. Calculer leurs transformées de Laplace
respectives F(p) et F*(p).
Exercice N°3 :
Soit un signal f(t)=t qui doit traverser le filtre F de réponse impulsionnelle:
𝑔(𝑡 ) = 1⁄ −𝑡⁄ Calculer le produit de convolution 𝑦(𝑡 ) = 𝑔(𝑡)∗ 𝑓(𝑡) :
𝑇. 𝑒 𝜏
1) Par un calcul direct.
2) A partir des transformées de Laplace de f et de g.
Exercice N°4 :
Calculer les transformées de Laplace de sin ωt et cos ωt uniquement à partir
de la relation cos ωt + jsin ωt =𝑒 𝑗𝑤𝑡
Exercice N°5 :
12
Soit un circuit comprenant une résistance R et une bobine d’inductance L en
série. La tension d’entrée est e(t)=E, t>0 et le courant est i(t).
1- écrire l’équation différentielle qui régit le fonctionnement du circuit.
2- Résoudre cette équation différentielle afin de trouver i(t) pour i(0)= i 0 # 0 puis
pour i(0)=0.on posera T=L/R.
3- A partir de l’équation différentielle, calculer I(p ) pour i(0)= i 0 # 0puis pour
i(0)=0.
4- Retrouver les résultats de la question 2 en utilisant la table des transformées de
Laplace inverse.
Exercice N°6 :
Trouver les originaux des fonctions suivantes :
1- G(p) = 3p/(p-1).(p+1)
2- H(p) = 1/1+ 4p + p²
3- I(p) = 1/1+ 0,8p + p²
Exercice N°7 :
Calculer la fonction de transfert T(p) =
V s(p)
V e(p)
des systèmes représentés
sur les figures 1, 2 et 3.
C
𝐶1
13
𝑅1
𝑅1
𝑅1
C
𝑉𝑒
𝑅2
𝑉𝑠
𝑉𝑠
𝑉𝑒
𝑉𝑒
𝐶2
𝑉𝑠
𝑅2
𝑅2
Figure 1
Figure 2
Figure 3
14
CORRIGE
Exercice N°1 :
1)
h(t)
a
0
T
2T
3T
4T
t
1)
h(t)= a𝟙(t)- a 𝟙(t-T)+ a 𝟙(t-2T)- a𝟙(t -3T)+ a𝟙(t-4T)- a𝟙(t-5T)….
∞
= 𝑎 ∑(−1)𝑘 𝟙(𝑡 − 𝑘𝑇)
𝑘=0
∞
1
𝐻 (𝑝) = 𝑙(ℎ(𝑡 ) = 𝑎 ∑(−1)𝑘 𝑒 −𝑘𝑇𝑝
𝑝
𝑘=0
𝑎
k −kTp
= ∑∞
𝑘=0(−1) e
𝑝
𝐻 (𝑝 ) =
𝑎
∞
∑(−1)𝑘 𝑋 −𝑘
1
𝑝 1+𝑒 −𝑇𝑝
𝑘=0
𝑋=
𝑒
−𝑇𝑝
∞
∑(−1⁄𝑋 )𝑘
Exercice N°2 :
𝑘=0
15
1
1
2
t
0
2T
T
3T
4T
5T
6T
(1+2)
f(t) = ?
f(t)) =
L(f(t)) =
=
L(f(t)) =
𝑡
𝑇
−
1
𝑇𝑝
2(𝑡−𝑇)
𝑇
−
2
1
𝑇𝑝2
1
𝑇𝑝2
+
2𝑒 −𝑇𝑝
𝑇𝑝2
(𝑡−2𝑇)
+
𝑇
𝑒 −2𝑇𝑝
𝑇𝑝2
(1 − 2𝑒 −𝑇𝑝 + 𝑒 −2𝑇𝑝 )
(1 − 𝑒 −𝑇𝑝 )2
La répétition à l’infini de f(t) (signal de base) donne 𝑓 ∗ (𝑡)
Donc
∞
𝑓 ∗ (𝑡 ) = ∑ 𝑓(𝑡 − 2𝐾𝑇)
𝑘=0
𝑓 ∗ (𝑡 ) =
𝑡
2(𝑡 − 𝑇) (𝑡 − 2𝑇) 𝑡 − 2𝑇 2(𝑡 − 3𝑇) (𝑡 − 4𝑇)
−
+
+
−
+
…
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
∞
𝐹(𝑡) + 𝑓(𝑡 − 2𝑇) + 𝑓(𝑡 − 4𝑇) = ∑ 𝑓(𝑡 − 2𝐾𝑇)
𝑘=0
16
𝐹 ∗ (𝑡 ) = 𝐿𝑓 ∗ (𝑡)
Et
∞
= 𝐿(∑ 𝑓(𝑡 − 2𝐾𝑇))
𝑘=0
∞
= ∑ 𝐿(𝑓(𝑡) − 2𝐾𝑇))
𝑘=0
∞
= ∑ 𝑒 −2𝐾𝑇 𝐹(𝑝)
𝑘=0
∞
= 𝐹(𝑡) ∑ 𝑒 −2𝐾𝑇
𝑘=0
𝑓 ∗ (𝑡 ) = 𝐹 (𝑡 )
1
1 − 𝑒 −2𝑇𝑝
Exercice N°3:
1) Calcul direct : on applique le théorème de convolution.
𝑡
𝑡
𝑦(𝑡 ) = ∫ 𝑔(𝑡 )𝑓(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑡 =
𝑡
𝑒 −𝑇
0
𝑦 (𝑡 ) = 𝑒
𝑡
−
𝑇
𝑡
𝑢 𝑡
𝑢 𝑡
𝑢 𝑢
−
𝑇
𝑇
𝑇
∫ 𝑒 𝑑𝑢 = 𝑒 ([𝑢𝑒 ] − [𝑇𝑒 𝑇 ] )
𝑇
0
0
0
𝑡
𝑇
𝑡
𝑇
𝑡
(𝑡𝑒 − 𝑇𝑒 + 𝑇) soit : 𝑦(𝑡 ) = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒 −𝑇.
2) Pour calculer le produit de convolution à partir des TL de f et g, on applique:
Y(p)=G(p)F(p) avec :
𝑓 (𝑡 ) = 𝑡 ⇨ 𝐹 (𝑝 ) =
𝑌 (𝑝 ) =
1
𝑝2
1
𝑡
𝑒𝑡 𝑔(𝑡 ) = 𝑒 −𝑇 ⇨ 𝐺 (𝑝) =
𝑇
1
1
𝑇
𝑇(𝑝+ )
1
1
−𝑇𝑝 + 1
𝑇
1 𝑇
𝑇
(
)=
+
=
−
+
1 𝑝2 𝑝
1
𝑇 𝑝2 (𝑝 + 1 )
𝑝2
𝑝+
𝑝+
𝑇
𝑇
𝑇
𝑡
La transformée inverse de Y(p) est alors 𝑦(𝑡 ) = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒 −𝑇
Exercice N°4 :
L(𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡)? et L(𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡) ? à partir de 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡= 𝑒 𝑗𝑤𝑡
17
L(𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡)= ?
𝑑(𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡)
𝑑𝑡
⟹
= 𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡
𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 =
1 𝑑(𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡)
𝑤
𝑑𝑡
1 𝑑 (𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡 )
+ 𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡 = 𝑒 𝑗𝑤𝑡
𝑤
𝑑𝑡
𝐿(
1 𝑑(𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡)
𝑤
+ 𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡) = 𝑒 𝑗𝑤𝑡
𝑑𝑡
1
𝑑 𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡
) + 𝑗 𝐿(𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡) = 𝐿(𝑒 𝑗𝑤𝑡 )
𝐿(
𝑤
𝑑𝑡
1
𝑝
𝑝𝐿(𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡 ) − 𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡)𝑡=0 + 𝑗𝐿(𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡) = ( + 𝑗) 𝐿 𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡
𝑤
𝑤
=
𝑝+𝑗𝑤
𝑤
1
𝑝−𝑗𝑤
𝐿 𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡 =
1
𝑝−𝑗𝑤
𝑤
𝑤
= 2
(𝑝 + 𝑗𝑤)(𝑝 − 𝑗𝑤)
𝑝 + 𝑤2
𝐿𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡 =
Exercice N°5 :
1)
𝑒(𝑡 ) = 𝑅𝑖 (𝑡 ) + 𝐿
-
𝑖 (𝑡 ) =
𝑇=
𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
𝑡
−
𝐸−𝑘𝑒 𝑇
𝑅
k=cte à déterminer en fonction des conditions
𝑅
initiales.
2) 𝑖 (0) = 𝑖0
alors 𝑖 (0) =
𝐸−𝑘
𝑅
⇨ 𝑅𝑖0 = 𝐸 − 𝑘
𝑖 (𝑡) =
𝑖 (0) = 0
𝐸−𝑘
𝑅
= 𝑖0
⇨
𝑘 = 𝐸 − 𝑅𝑖0
𝑡
𝐸−(𝐸−𝑅𝑖0 )𝑒 − ⁄𝑇
=0
𝑅
⇨
𝑘=𝐸
18
𝑡
(𝐸−𝐸𝑒 − ⁄𝑇)
𝑖 (𝑡 ) =
𝑅
𝐸
𝑖(0) = 𝑖0
3)
𝑡
𝐸
= (1 − 𝑒 −𝑇 )
𝑅
= 𝑅𝐼 (𝑝) + 𝐿𝑝𝐼 (𝑝) − 𝑖0
𝑝
𝐸
+ 𝐼0 = 𝐼 (𝑝)(𝑅 + 𝐿𝑝)
𝑝
𝐸
( + 𝑖0 )
⁄
𝐼 (𝑝 ) = ( 𝑝
(𝑅 + 𝐿𝑝))
𝐸
𝑖 (0) = 0
𝑝
𝐸
𝑝
= 𝑅𝐼 (𝑝) + 𝐿𝑝𝐼(𝑝)
= 𝐼(𝑝)(𝑅 + 𝐿𝑝)
𝑖 (𝑝 ) =
𝐸⁄
𝐿
𝑅
𝑝( +𝑝)
𝐼 (𝑝 ) =
4)
𝐸
𝑝(𝑅+𝐿𝑝)
𝐿
𝑖 (𝑡 ) =
𝐿𝐸
𝑅𝐿
= 𝐸⁄𝐿
𝑅𝑡
1
𝑎=
𝑝(𝑎+𝑝)
𝐸
𝑅
𝐿
𝑅𝑡
(𝑒 𝐿 − 1) = (𝑒 𝐿 − 1)
𝑅
𝐸
𝑖0
𝐸
𝑖0
𝑝
𝐼 (𝑝 ) =
+
=
+
(𝑅 + 𝐿𝑝) 𝑅 + 𝐿𝑝 𝑝(𝑅 + 𝐿𝑝) 𝑅 + 𝐿𝑝
𝑅𝑡
𝐸
= (𝑒 𝐿 − 1)
𝑅
𝑖0⁄
𝑖0
𝐿
=
𝑅
𝑅 + 𝐿𝑝
⁄𝐿 + 𝑃
−𝑅
⇨
𝑖0 𝑒 𝐿
𝐿
𝑡
Exercice N°6 :
1) 3𝑐ℎ(𝑡)
2)
3)
√3
3
𝑒 −2𝑡 𝑠ℎ(√3𝑡)
5
√21
𝑒−
2𝑡⁄
5
𝑠𝑖𝑛(√
21
5
𝑡)
19
Exercice N°7 :
1)
𝑅2
1+𝑅1 𝐶𝑝
𝑅1 +𝑅2 1+ 𝑅2 𝑅1 𝐶𝑝
𝑅1 +𝑅2
2)
3)
1+𝑹𝟐 𝑪𝒑
𝑹 +𝑹
1+ 𝟏 𝟐𝑹𝟐 𝑪𝒑
𝑹𝟐
=
1+𝑹𝟐 𝑪𝒑
1+(𝑹𝟏 +𝑹𝟐 )𝑪𝒑
(1+𝑹𝟏 𝑪𝟏 𝒑)(𝟏+𝑹𝟐 𝑪𝟐 𝒑)
(1+𝑹𝟏 𝑪𝟏 𝒑)(𝟏+𝑹𝟐 𝑪𝟐 𝒑)+𝑹𝟏 𝑪𝟐 𝒑
PARTIE 3
Exercice N°1 :
Un asservissement de position est représenté par le schéma bloc suivant :
20
e(t) +
θ (t)
10
1
1
1+0.5p
1+ τ p
p
1) Donner la fonction de transfert en boucle ouverte de ce système.
2) Donner la fonction de transfert en boucle fermée de ce système.
3) Quelle est la plus grande valeur de τ pour laquelle le système devient instable.
Exercice N°2 :
Soit le système de la figure suivante :
E(p) +
ε(p)
u(p)
K
e- τp
y(p)
Tp
1) Calculer
a) la fonction de transfert en boucle ouverte du système.
b) La fonction de transfert en boucle fermée du système.
2) Calculer la valeur finale de l’écart statique ε(p) pour une entrée en échelon
unitaire .
3) Donner le module et l’argument de la fonction de transfert en boucle ouverte
du système.
4) Calculer la pulsation ωc pour laquelle le lieu en boucle ouverte du système
coupe l’axe des x dans le plan complexe.
21
5) En déduire l’expression correspondante du module.
6) Calculer le gain K qui assure une marge de gain égal 0.5 décibel.
Exercice N°3 :
On considère le système du premier ordre de fonction de transfert G(p)
commandé par un régulateur de transmittance C(p) :
E(p) +
ε(p)
u(p)
C(P)
y(p)
G(p)
1) Donner la fonction de transfert en boucle fermée du système.
2) On suppose que le régulateur C(p) est un PID. Donner la fonction de transfert
de ce régulateur.
3) Calculer ε(p) pour un échelon de consigne d’amplitude E0 .
4) Calculer la valeur finale de l’erreur.
5) Que peut on dire de l’écart statique d’un tel régulateur.
CORRIGE
Exercice N°1 :
22
𝟏𝟎
1)
𝒑(𝟏+𝟎.𝟓𝒑)(𝟏+𝜏𝒑)
𝟏𝟎
𝒑(𝟏+𝟎.𝟓𝒑)(𝟏+𝜏𝒑)
𝟏𝟎
𝟏+
𝒑(𝟏+𝟎.𝟓𝒑)(𝟏+𝜏𝒑)
2)
=
𝟏𝟎
𝒑(𝟏+𝟎.𝟓𝒑)(𝟏+𝜏𝒑)+𝟏𝟎
3) Equation caractéristique : 𝑝(1 + 0.5𝑝)(1 + 𝜏𝑝) + 10 = 0
𝜏 < 𝟏⁄𝟖
Exercice N° 2 :
𝑲𝒆−𝝉𝒑
1) a)
𝑻𝒑
𝐾𝑒−𝜏𝑝
𝑇𝑝
𝐾𝑒−𝜏𝑝
b)
2)
1+
𝑇𝑝
𝜀(𝑝) =
𝐸(𝑝)𝑇(𝑝)
𝑇𝑝+𝐾𝑒 −𝜏𝑝
𝜀(∞) =
3)
𝑮(𝑗𝑤) =
𝑇
𝑘
𝐾𝑒 −𝜏𝑗𝑤
𝑇𝑗𝑤
=
=
=
𝑲
−𝑗𝐾
=
𝐾
𝑇𝑤
(𝑐𝑜𝑠 𝜏𝑤 − 𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝜏𝑤)
𝑇𝑤
−𝑗𝐾
𝑐𝑜𝑠 𝜏𝑤 −
𝑇𝑤
=−
Module
(𝑐𝑜𝑠 𝜏𝑤 − 𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝜏𝑤)
𝑻𝒋𝒘
𝑲
𝑻𝒘
𝐾
𝑇𝑤
𝑠𝑖𝑛 𝜏𝑤
(𝑠𝑖𝑛 𝜏𝑤 + 𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜏𝑤)
((𝑠𝑖𝑛 𝜏𝑤) 2 + (𝑐𝑜𝑠 𝜏𝑤) 2 )1⁄2 =
Argument = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛
𝑐𝑜𝑠 𝜏𝑤
𝑠𝑖𝑛 𝜏𝑤
𝐾
𝑇𝑤
= 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜏𝑤
= − 𝜋⁄2 − 𝜏𝑤
4)
Img = 0
⟹
−𝐾
𝑇𝑤
𝑐𝑜𝑠 𝜏𝑤 = 0
𝑐𝑜𝑠 𝜏𝑤 = 0
𝜏𝑤 = − 𝜋⁄2
23
𝑤𝑐 = 𝜋⁄2𝜏
5) Module=
𝐾
=
𝑇𝑤𝑐
2𝐾𝜏
𝑇𝜋
6) ∆𝐺 = 20 𝑙𝑜𝑔 1⁄𝑋
2𝐾𝜏
𝑋 = 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑒 =
𝑇𝜋
∆𝐺 = 20 𝑙𝑜𝑔
𝑇𝜋
⟹
𝑙𝑜𝑔
⟹
𝑙𝑜𝑔
⟹
⟹ 𝐾=
2𝐾𝜏
2𝐾𝜏
2𝜏
= 0.5
= 0.5⁄20
2𝐾𝜏
𝑇𝜋
𝑇𝜋
𝑇𝜋
𝑇𝜋
2𝐾𝜏
= 10
= 10
10
−0.5⁄
20
−0.5⁄
20
Exercice N°3 :
1) 𝐻 (𝑝) =
2) 𝐶 (𝑝) =
3) 𝜀 (𝑝) =
𝐶(𝑝)𝐺(𝑝)
1+𝐶(𝑝)𝐺(𝑝)
1
𝑘𝑝 (1 +
𝑝𝑇
𝑖
+ 𝑝𝑇𝑑 )
𝐸(𝑝)
1+𝐶(𝑝)𝐺(𝑝)
𝑒(𝑡 ) = 𝐸0 𝟙(𝑡 )
⇨
𝐸 (𝑝 ) =
⇨
𝐸0
𝑝
𝐸0
𝜀 (𝑝 ) =
𝑝(1 +
𝑘𝑘𝑝
1
(1 +
+ 𝑝𝑇𝑑 )
𝑇𝑝
𝑝𝑇𝑖
4) 𝜀 (∞) = lim 𝑝𝜀(𝑝) = 0
𝑝→0
5) L’écart statique du régulateur est nul.
PARTIE 4
Exercice :
On considère un système du premier ordre de fonction de transfert G(p)
commandé par un régulateur de transmittance C(p) :
24
ε(p
)
E(p)
u(p)
C(p)
G(p)
y(p)
+
Où E(p) : la consigne
y(p) : la sortie
ε(p) : l’erreur
u(p) : la commande
1) donner :
a) la fonction de transfert G(p) d’un système du premier ordre de constante
de temps T et de gain statique K.
b) la fonction de transfert en boucle fermée du système.
2) On suppose que le régulateur C(p) est proportionnel. Donner la fonction de
transfert de ce régulateur.
3) Calculer ε(p) pour un échelon de consigne d’amplitude E0.
4) Calculer la valeur finale de l’erreur.
5) Que peut on dire de l’écart statique d’un tel régulateur.
6) On remplace le régulateur proportionnel C(p) par un régulateur proportionnel
et intégral. Donner la fonction de transfert C(p) de ce régulateur.
7) Calculer ε(p) pour un échelon de consigne d’amplitude E0.
8) Calculer la valeur finale de l’erreur.
9) Que peut on dire de l’écart statique d’un tel régulateur.
10) Conclure.
CORRIGE
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𝑘
𝐺(𝑝) = 1+𝑇𝑝
1) a)
𝐶(𝑝)𝐺(𝑝)
𝐻(𝑝) = 1+𝐶(𝑝)𝐺(𝑝)
b)
2)
𝐶(𝑝) = 𝑘𝑝
3)
𝜀(𝑝) = 1+𝐶(𝑝)𝐺(𝑝)
𝐸(𝑝)
𝜀(𝑡) = 𝐸0 𝟙(𝑡)
𝐸(𝑝) =
Donc
𝐸0
⇨
𝑃
𝜺(𝒑) =
=
𝑬𝟎
𝒑(𝟏+
𝒌𝒑 𝒌
)
𝟏+𝑻𝒑
𝐸0 (1 + 𝑇𝑝 )
𝑝(1 + 𝑇𝑃 + 𝑘𝑝 𝑘)
𝐸
4) 𝜀(∞) = lim 𝑝𝜀(𝑝) = 1+𝑘0
𝑝𝑘
𝑝⇨0
5) L’écart statique est nul
1
6) 𝐶(𝑝) = 𝑘𝑝 (1 + 𝑇 𝑝)
𝑖
7) 𝜀(𝑝) =
𝐸(𝑝)
1+𝐶(𝑝)𝐺(𝑝)
=
𝐸0 (1+𝑇𝑝 )
𝑝(1+𝑇𝑝 +𝑘𝑝 𝑘+
𝑘𝑝 𝑘
)
𝑇𝑖 𝑝
8) 𝜀(∞) = 0
9) L’écart statique est nul .
10) L’action intégrale permet d’annuler l’écart statique.
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