INTEGRATION (Enregistré automatiquement)

INTEGRATION
I. INTEGRALE D’UNE FONCTION POSITIVE :
1. Définition :
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a,b] et C sa courbe représentative
dans un repère orthogonal (O,I,J).
L’aire sous la courbe est l’aire du domaine limité par la courbe C, l’axe des abscisses et les
droites verticales d’équations x=a et x=b, elle se note 
Remarques :
- L’unité d’aire est l’aire du rectangle OIKJ, si on a choisi un repère orthonormé
d’unité 1cm, l’aire sous la courbe s’exprimera donc en cm².
- On a 
=   , la variable x dans l’écriture de
l’intégrale est une variable muette.
Exemples :
- Soit f la fonction définie sur  par f(x)=3,
calculons 
- Soit g la fonction définie sur  par g(x)=0,5x
Calculons 
triangle OBC

2. Premières propriétés :
- Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ;b] et un nombre
réel c  
Remarque : Cette formule porte le nom de relation
de Chasles
- Si b=a alors il vient 
= 0
- Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a ;b]
Si pout tout      
Remarques : Ces propriétés sont assez intuitives, nous les démontrerons dans
un cas un peu plus général dans la suite du chapitre
II. PRIMITIVE D’UNE FONCTION :
1. Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I
Une primitive de f sur I est une fonction F telle que, pour tout    
Exemples :
- Si f est définie sur  par f(x)=4 alors la fonction F définie sur  par
F(x)=4x est une primitive de f sur  
- Si g est définie sur  par  alors la fonction G définie sur  par
 est une primitive de g sur  puisque 
Remarque : Si on avait choisi F(x)=4x+1 ou F(x)=4x-7, on aurait également des primitives de
f puisqu’on a toujours F’(x)=f(x), il n’y a pas unicité de la primitive. De façon plus générale,
on a la propriété suivante
Propriété : Si F est une primitive de f sur I alors les autres primitives de f sur I sont les
fonctions G de la forme   où k est une constante réelle

Remarque :Par contre si on impose si on impose qu’une primitive prenne une valeur 
donnée en un nombre  alors il y a unicité de la primitive.
Exemple :
Déterminons LA primitive G de notre fonction g définie par   et telle que  
Il existe un réel k tel que 
Or    
Donc LA fonction   
 est LA primitive recherchée
2. Théorème fondamental :
Soit f une fonction continue et positive sur [a ;b]
La fonction F définie sur [a ;b] par 
 est dérivable et   
Remarque : Autrement dit la fonction   
 est une primitive de f
Démonstration :
Nous ne sommes en mesure de faire la démonstration uniquement dans le cas où f est
monotone, supposons par exemple que f est croissante sur [a ;b], il faut étudier le taux
d’accroissement de la fonction F, plus précisément, il faut déterminer 
 où 
est un nombre appartenant à [a ;b]
1er cas : Soit h>0 tel que   
 désigne l’aire verte sur le
dessin, cela se justifie
grâce à la relation de Chasles puisque :
Cette aire verte peut s’encadrer par l’aire de deux rectangles de largeur h et de hauteur 
et , il vient ainsi :
  car h>0
2ème cas : Si h<0 on parvient exactement à la même chose( les inégalités auront été inversées
deux fois)
Conclusion : Comme f est continue en , on a 
  et en appliquant le
théorème des gendarmes : on a 
Conséquence fondamentale : Si F est une primitive de f sur [a ;b] alors

Démonstration :
On sait déjà que  définie par 
 est une primitive de f
En outre on peut déjà remarquer que 
 , on a donc bien
Soit  une autre primitive de f, il existe k   tel que  
Remarque : Cette formule va nous permettre de calculer des aires sous courbe qu’on ne savait
pas calculer pour l’instant
Exemples :
- Reprenons le premier exemple du I., la fonction f définie sur  par =3
  =18-6=12
On retrouve bien le même résultat
- Reprenons le second exemple , la fonction définie sur  par =0,5
=
 est une primitive de g sur 
On retrouve également le même résultat
- Voici un calcul que nous ne savions
pas faire auparavant : 
=
 est une primitive de   
III. PRIMITIVES USUELLES :
1. Existence de primitives :
Toute fonction continue sur un intervalle [a ;b] admet des primitives
Remarque : Ceci signifie en particulier que toutes les fonctions dérivables admettent des
primitives. Ainsi toutes les fonctions usuelles vues en Terminale ES admettent des
 :

Exemple : La fonction f définie sur  par   est continue, elle admet donc des
-
Remarque ,
celle de la fonction f serait  
2. Primitives des fonctions de référence :
Le tableau suivant a été établi à l’aide du tableau sur les dérivées qu’il suffit de lire à
l’envers :
Fonction f
Une primitive F
Remarques
k est une constante
La fonction f est définie sur  tout entier
n est un entier naturel
La fonction f est définie sur  tout entier
La fonction f est définie sur    (0 est
une valeur interdite)
La fonction f est définie sur  
Fonction f définie sur 
Remarque : A nouveau le tableau indique UNE primitive, puisque par exemple  est
également une primitive de 
3. Calculs de primitives:
a. Utilisation de la linéarité :
Si F et G sont des primitives de f et g sur un intervalle I alors F+G est une primitive de f+g sur
I
Si k est un nombre réel alors kF est une primitive de kf
Remarque : FG ne sera pas une primitive de fg puisque (FG)’=F’G+FG’=fG+Fgfg
Exemple : On connaît une primitive de   , on connaît une primitive de   , il est
facile de calculer une primitive de la fonction f définie par f(x)=
F(x)=
Remarque : Il serait par contre beaucoup plus difficile (voire impossible pour un élève de
TES) de déterminer une primitive de   