INTEGRATION (Enregistré automatiquement)

INTEGRATION
INTEGRALE D’UNE FONCTION POSITIVE :
1. Définition :
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a,b] et C sa courbe représentative
dans un repère orthogonal (O,I,J).
I.
L’aire sous la courbe est l’aire du domaine limité par la courbe C, l’axe des abscisses et les
𝑏
droites verticales d’équations x=a et x=b, elle se note ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
(𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑎 à 𝑏 𝑑𝑒 𝑓(𝑥)𝑑𝑥)
Remarques :
- L’unité d’aire est l’aire du rectangle OIKJ, si on a choisi un repère orthonormé
d’unité 1cm, l’aire sous la courbe s’exprimera donc en cm².
𝑏
𝑏
𝑏
-
On a ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫𝑎 𝑓(𝑢)𝑑𝑢, la variable x dans l’écriture de
l’intégrale est une variable muette.
-
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=3,
Exemples :
6
calculons ∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Cette intégrale correspond à l’aire du rectangle ABCD
6
∫2 3𝑑𝑥 = 3 × (6 − 2) = 12
-
Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x)=0,5x
6
Calculons ∫0 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
Cette intégrale correspond à l’aire du triangle OBC
6
6
3×6
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑡 = ∫ 0,5𝑥𝑑𝑥 =
=9
2
0
0
2. Premières propriétés :
- Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ;b] et un nombre
réel c ∈ [𝑎; 𝑏]
𝑏
𝑐
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑐
Remarque : Cette formule porte le nom de relation
de Chasles
𝑎
-
Si b=a alors il vient ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
-
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a ;b]
𝑏
𝑏
Si pout tout 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
Remarques : Ces propriétés sont assez intuitives, nous les démontrerons dans
un cas un peu plus général dans la suite du chapitre
PRIMITIVE D’UNE FONCTION :
1. Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I
Une primitive de f sur I est une fonction F telle que, pour tout 𝑥 ∈ 𝐼: 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥)
II.
Exemples :
-
Si f est définie sur ℝ par f(x)=4 alors la fonction F définie sur ℝ par
F(x)=4x est une primitive de f sur ℝ puisque F’(x)=f(x)
Si g est définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = 𝑥 alors la fonction G définie sur ℝ par
𝐺(𝑥) =
𝑥²
2
𝑥
est une primitive de g sur ℝ puisque 𝐺 ′ (𝑥) = 2 × 2 = 𝑥 = 𝑔(𝑥)
Remarque : Si on avait choisi F(x)=4x+1 ou F(x)=4x-7, on aurait également des primitives de
f puisqu’on a toujours F’(x)=f(x), il n’y a pas unicité de la primitive. De façon plus générale,
on a la propriété suivante
Propriété : Si F est une primitive de f sur I alors les autres primitives de f sur I sont les
fonctions G de la forme 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑘 où k est une constante réelle
Remarque :Par contre si on impose si on impose qu’une primitive prenne une valeur 𝑦0
donnée en un nombre 𝑥0 𝜖 𝐼 alors il y a unicité de la primitive.
Exemple :
Déterminons LA primitive G de notre fonction g définie par 𝑔(𝑥) = 𝑥 et telle que 𝐺(4) = −5
Il existe un réel k tel que 𝐺(𝑥) =
Or 𝐺(4) = −5 ⇔
16
2
𝑥2
2
+𝑘
+ 𝑘 = −5 ⇔ 𝑘 = −9
Donc LA fonction 𝑥 →
𝑥2
2
− 9 est LA primitive recherchée
2. Théorème fondamental :
Soit f une fonction continue et positive sur [a ;b]
𝑥
La fonction F définie sur [a ;b] par 𝐹(𝑥) = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 est dérivable et 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑥
Remarque : Autrement dit la fonction 𝐹: 𝑥 → ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 est une primitive de f
Démonstration :
Nous ne sommes en mesure de faire la démonstration uniquement dans le cas où f est
monotone, supposons par exemple que f est croissante sur [a ;b], il faut étudier le taux
d’accroissement de la fonction F, plus précisément, il faut déterminer lim
𝐹(𝑥0 +ℎ)−𝐹(𝑥0 )
ℎ
ℎ→0
où 𝑥0
est un nombre appartenant à [a ;b]
1er cas : Soit h>0 tel que 𝑥0 + ℎ ∈ [𝑎; 𝑏]
𝐹(𝑥0 + ℎ) − 𝐹(𝑥0 ) désigne l’aire verte sur le
dessin, cela se justifie
grâce à la relation de Chasles puisque :
𝑥0 +ℎ
∫𝑎
𝑥
𝑥 +ℎ
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑥 0
0
𝑥 +ℎ
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ⇔ 𝐹(𝑥0 + ℎ) = 𝐹(𝑥0 ) + ∫𝑥 0
0
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Cette aire verte peut s’encadrer par l’aire de deux rectangles de largeur h et de hauteur 𝑓(𝑥0 )
et 𝑓(𝑥0 + ℎ), il vient ainsi :
ℎ𝑓(𝑥0 ) ≤ 𝐹(𝑥0 + ℎ) − 𝐹(𝑥0 ) ≤ ℎ𝑓(𝑥0 + ℎ)
⇔ 𝑓(𝑥0 ) ≤
𝐹(𝑥0 +ℎ)−𝐹(𝑥0 )
ℎ
≤ 𝑓(𝑥0 + ℎ) car h>0
2ème cas : Si h<0 on parvient exactement à la même chose( les inégalités auront été inversées
deux fois)
Conclusion : Comme f est continue en 𝑥0 , on a lim 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 ) et en appliquant le
ℎ→0
théorème des gendarmes : on a lim
ℎ→0
𝐹(𝑥0 +ℎ)−𝐹(𝑥0 )
ℎ
= 𝑓(𝑥0 ) ⇔ 𝐹 ′ (𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0 )
𝐶𝑄𝐹𝐷
Conséquence fondamentale : Si F est une primitive de f sur [a ;b] alors
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑎
Démonstration :
𝑥
On sait déjà que 𝐹1 définie par 𝐹1 (𝑥) = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 est une primitive de f
𝑎
En outre on peut déjà remarquer que 𝐹1 (𝑎) = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 0, on a donc bien
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹1 (𝑏) = 𝐹1 (𝑏) − 𝐹1 (𝑎)
Soit 𝐹 une autre primitive de f, il existe k ∈ ℝ tel que 𝐹(𝑥) = 𝐹1 (𝑥) + 𝑘
𝑏
𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐹1 (𝑏) + 𝑘 − (𝐹1 (𝑎) + 𝑘) = 𝐹1 (𝑏) − 𝐹1 (𝑎) = 𝐹1 (𝑏) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑎
𝐶𝑄𝐹𝐷
Remarque : Cette formule va nous permettre de calculer des aires sous courbe qu’on ne savait
pas calculer pour l’instant
Exemples :
-
Reprenons le premier exemple du I., la fonction f définie sur ℝ par 𝑓(𝑥)=3
𝐹(𝑥) = 3𝑥 est une primitive de f
6
-
∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(6) − 𝐹(2) = 3 × 6 − 3 × 2=18-6=12
On retrouve bien le même résultat
Reprenons le second exemple , la fonction définie sur ℝ par 𝑔(𝑥)=0,5𝑥
𝑥²
𝐺(𝑥)= 4 est une primitive de g sur ℝ
6
62
36
−0=
=9
4
4
0
On retrouve également le même résultat
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐺(6) − 𝐺(0) =
-
Voici un calcul que nous ne savions
3 𝑥²
pas faire auparavant : ∫0
𝑥3
𝐻(𝑥)= 6 est une primitive de 𝑥 →
3 𝑥²
∫0 2 𝑑𝑥
= 𝐻(3) − 𝐻(0) =
33
6
2
𝑑𝑥
𝑥²
2
−0=
27
6
= 4,5
III.
PRIMITIVES USUELLES :
1. Existence de primitives :
Toute fonction continue sur un intervalle [a ;b] admet des primitives
Remarque : Ceci signifie en particulier que toutes les fonctions dérivables admettent des
primitives. Ainsi toutes les fonctions usuelles vues en Terminale ES admettent des
primitives mais certaines ne peuvent pas s’exprimer explicitement :
Exemple : La fonction f définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥² est continue, elle admet donc des
primitives mais on ne peut pas arriver à les exprimer à l’aide des fonctions usuelles.
Remarque : Par contre on peut toujours réussir à exprimer la dérivée d’une fonction,
celle de la fonction f serait 𝑓′(𝑥) = 2𝑥𝑒 𝑥²
2. Primitives des fonctions de référence :
Le tableau suivant a été établi à l’aide du tableau sur les dérivées qu’il suffit de lire à
l’envers :
Fonction f
Une primitive F
Remarques
k est une constante
𝑓(𝑥) = 𝑘
𝐹(𝑥) = 𝑘𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥
𝐹(𝑥) =
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛
𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑥) =
𝐹(𝑥) =
𝑥²
2
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
1
𝑥²
𝐹(𝑥) = −
1
𝑥
1
𝐹(𝑥) = 2√𝑥
La fonction f est définie sur ℝ tout entier
n est un entier naturel
La fonction f est définie sur ℝ tout entier
La fonction f est définie sur ] − ∞ ; 0[∪]0 ; +∞[ (0 est
une valeur interdite)
La fonction f est définie sur ]0 ; +∞[
√𝑥
Fonction f définie sur ℝ
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑒 𝑥
Remarque : A nouveau le tableau indique UNE primitive, puisque par exemple 𝑒 𝑥 + 7 est
également une primitive de 𝑒 𝑥
3. Calculs de primitives:
a. Utilisation de la linéarité :
Si F et G sont des primitives de f et g sur un intervalle I alors F+G est une primitive de f+g sur
I
Si k est un nombre réel alors kF est une primitive de kf
Remarque : FG ne sera pas une primitive de fg puisque (FG)’=F’G+FG’=fG+Fg≠fg
Exemple : On connaît une primitive de 𝑥 → 𝑒 𝑥 , on connaît une primitive de 𝑥 → 𝑥 3 , il est
facile de calculer une primitive de la fonction f définie par f(x)= 𝑒 𝑥 + 5𝑥 3
F(x)= 𝑒 𝑥 + 5
𝑥4
4
Remarque : Il serait par contre beaucoup plus difficile (voire impossible pour un élève de
TES) de déterminer une primitive de 𝑥 → 𝑥 3 𝑒 𝑥
b. Fonctions de la forme 𝑢′𝑒 𝑢 ,
𝑢′
𝑢
, 𝑢′ 𝑢𝑛 𝑒𝑡
𝑢′
2√𝑢
:
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle [a ; b]
Fonction f
𝑢′ 𝑢𝑛
𝑢′
𝑢
𝑢′ 𝑒 𝑢
𝑓(𝑥) =
Une primitive F
𝑢𝑛+1
𝑛+1
ln (𝑢)
Remarques
n est un entier relatif différent de -1 !
si n<0 alors u(𝑥) ≠ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 ∈ 𝐼
u(𝑥) > 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 ∈ 𝐼
𝑒𝑢
𝑢′
u(𝑥) > 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 ∈ 𝐼
√𝑢
2√𝑢
Exemple :
On considère la fonction f définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 3)𝑒 𝑥²−3𝑥+4
Si on pose 𝑢(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 4,
En dérivant on obtient 𝑢′ (𝑥) = 2𝑥 − 3
Et on a donc exactement 𝑓(𝑥) = 𝑢′(𝑥)𝑒 𝑢(𝑥) d’où 𝐹(𝑥) = 𝑒 𝑥²−3𝑥+4
Remarque : Parfois il faut « manœuvrer » un petit peu pour arriver à la forme voulue
Exemple :
On considère la fonction g définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = 2𝑒 3𝑥+1
Si on pose 𝑢(𝑥) = 3𝑥 + 1, en dérivant on obtient 𝑢′ (𝑥) = 3 ≠ 2
3
2
2
Mais en écrivant que 𝑔(𝑥) = 2𝑒 3𝑥+1 = 2 × 3 × 𝑒 3𝑥+1 = 3 × 3 × 𝑒 3𝑥+1 = 3 × 𝑢′ (𝑥) × 𝑒 𝑢(𝑥)
2
On obtient finalement 𝐺(𝑥) = 3 𝑒 3𝑥+1
Remarque : Parfois il n’est pas possible de « manœuvrer », comme on l’a déjà dit par exemple
pour la fonction 𝑥 → 𝑥 3 𝑒 𝑥
IV.
INTEGRALE D’UNE FONCTION QUELCONQUE :
Dans tout ce paragraphe les fonctions considérées ne sont plus nécessairement positives !
1. Définition :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, F une de ses primitives, et a et b deux réels
appartenant à I (sans avoir nécessairement a<b !) on définit l’intégrale de a à b de f par :
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑎
Exemple : Calculons
2
∫−3 𝑥𝑑𝑥
La fonction f définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 a pour
primitive
2
∫−3 𝑥𝑑𝑥 =
22
2
−
(−3)2
2
4
9
5
= 2 − 2 = − 2 = −2,5
Remarques :
- L’intégrale d’une fonction quelconque
peut donc être négative, plus précisément ici on a :
2
∫ 𝑥𝑑𝑥 = 𝐴1 − 𝐴2
−3
-
Dans le cas d’une fonction négative on aura donc
𝑏
𝐴 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
-
On a
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
=
𝑎
𝑎
− ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2. Propriétés :
a. Linéarité : Soit f et g deux fonctions continues sur [a ;b] et 𝑘 un nombre
réel
𝑏
𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
Démonstration : Cela découle immédiatement du fait de la linéarité de la primitivation, à
savoir que F+G est une primitive de f+g et que kF est une primitive de kf
𝐶𝑄𝐹𝐷
Exemple :
𝑏
𝑏
𝑏
∫ 3𝑥² + 5𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥²𝑑𝑥 + 5 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑎
Remarque : Par contre comme FG N’EST PAS une primitive de fg, on N’A PAS
𝑏
𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑎
b. Relation de Chasles :
Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle I, et a,b et c trois réels appartenant à I :
𝑏
𝑐
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑐
Remarque : Ceci généralise la formule du I. car c n’est plus forcément un élément de [a ;b]
3. Intégrales et inégalités
Positivité :
𝑏
Si 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] 𝑓(𝑥) ≥ 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0
𝑏
Si 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] 𝑓(𝑥) ≤ 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 0
Croissance de l’intégrale :
𝑏
𝑏
Si pout tout 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
2
2
Exemple : On ne sait pas calculer ∫0 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 mais on sait que pour tout 𝑥 ∈ [0 ; 2]
2
0 ≤ 𝑒 −𝑥 ≤ 𝑒 −4
2
2
2
4. Valeur moyenne d’une fonction continue
La valeur moyenne d’une fonction
f continue sur un intervalle [a ;b]
est le nombre m défini par :
1
𝑏
2
1
2
donc ∫0 0𝑑𝑥 ≤ ∫0 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ≤ ∫0 𝑒 −1 𝑑𝑥 d’où 0 ≤ ∫0 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ≤ 2𝑒 −1
m=𝑏−𝑎 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥