Traitement et évaluation des données statistiques

Chapitre 3
Traitement et ´ evaluation des donn´ ees
statistiques
Sommaire
3.1 Intervalles de confiance ...................... 26
3.2 Aides statistiques au test d’hypothèse ............. 30
3.3 Analyse de variance ........................ 36
Les scientifiques utilisent l’analyse de données statistiques pour évaluer la qualité des mesures expérimentales, tester différentes hypothèses et développer des modèles
pour décrire les résultats expérimentaux. Dans ce chapitre, nous examinons plusieurs des
applications les plus courantes du traitement des données statistiques. Ces applications
comprennent :
1. Définir un intervalle numérique autour de la moyenne d’un ensemble de résultats
répétés à l’intérieur desquels on peut s’attendre à ce que la moyenne de la popula-
tion se situe avec une certaine probabilité. Cet intervalle est appelé l’intervalle de
confiance. L’intervalle de confiance est lié à l’écart-type de la moyenne.
2. Déterminer le nombre de mesures répétées nécessaires pour s’assurer qu’une moyenne
expérimentale se situe dans une certaine plage avec un niveau de probabilité donné.
3. Déterminer à un niveau de probabilité donné si la précision de deux ensembles de
mesures est différente.
4. Comparer les moyennes de plus de deux échantillons pour déterminer si les dif-
férences dans les moyennes sont réelles ou le résultat d’une erreur aléatoire. Ce
processus est connu comme l’analyse de la variance.
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3.1 Intervalles de confiance
Dans la plupart des analyses chimiques quantitatives, la valeur vraie de la moyenne µ
ne peut pas être déterminée car un grand nombre de mesures (se rapprochant de l’infini)
seraient nécessaires. Avec les statistiques, cependant, nous pouvons établir un intervalle
autour de la moyenne ¯xexpérimentalement déterminée à l’intérieur de laquelle la moyenne
de la population µdevrait se situer avec un certain degré de probabilité. Cet intervalle
est reconnu comme l’intervalle de confiance. Parfois, les limites de l’intervalle sont
appelées limites de confiance. Par exemple, on pourrait dire qu’il est 99% probable
que la vraie moyenne de la population pour un ensemble de mesures de potassium se
trouve dans l’intervalle 7,25 ±0,15% K. Ainsi, la probabilité que la moyenne se situe
dans l’intervalle de 7,10 à7,40% Kest de 99%.
La taille de l’intervalle de confiance, qui est calculée à partir de l’écart-type de l’échan-
tillon, dépend de la mesure avec laquelle l’écart type de l’échantillon sestime l’écart type
de la population σ. Si sest une bonne estimation de σ, l’intervalle de confiance peut être
significativement plus étroit que si l’estimation de σest basée sur seulement quelques
valeurs de mesure.
3.1.1 Détermination de l’intervalle de confiance lorsque σest
connu ou sest une bonne estimation de σ
La Figure 3.1 montre une série de cinq courbes d’erreur normales. Dans chacun,
la fréquence relative est représentée en fonction de la quantité z(voir équation 2.7),
qui est l’écart par rapport à la moyenne, divisé par l’écart-type de la population. Les
zones ombrées dans chaque diagramme se situent entre les valeurs de −zet +zqui sont
indiquées à gauche et à droite des courbes. Les nombres sur les zones ombrées sont les
pourcentages des surfaces totales sous la courbe qui est incluse dans ces valeurs de z. Par
exemple, comme le montre la courbe (a), 50% de la surface sous n’importe quelle courbe
gaussienne est située entre −0,67σet +0,67σ. En passant aux courbes (b) et (c), nous
voyons que 80% de la superficie totale se situe entre −1,28σet +1,28σet 90% entre
−1,64σet +1,64σ.
Des relations comme celles-ci nous permettent de définir une gamme de valeurs autour
d’un résultat de mesure à l’intérieur duquel la vraie moyenne est susceptible de se situer
avec une certaine probabilité à condition d’avoir une estimation raisonnable de σ. Par
exemple, si nous avons un résultat xd’un ensemble de données avec un écart-type de σ,
nous pouvons supposer que 90 fois sur 100, la vraie moyenne µtombera dans l’intervalle
x±1,64σ(voir Figure 3.1c). La probabilité est appelée le niveau de confiance (NC).
Dans l’exemple de la Figure 3.1c, le niveau de confiance est de 90% et l’intervalle de
confiance est de −1,64σà+1,64σ. La probabilité qu’un résultat se situe en dehors de
l’intervalle de confiance est souvent appelée le niveau de signification.
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Figure 3.1 – Surfaces au-dessous de la courbe Gaussienne pour différentes valeurs ±z
Si l’on fait une seule mesure xà partir d’une distribution de σconnue, on peut dire
que la vraie moyenne doit se situer dans l’intervalle x±zσ avec une probabilité dépendant
de z. Cette probabilité est de 90% pour z= 1,64, de 95% pour z= 1,96 et de 99% pour
z= 2,58, comme le montrent les Figures 3.1c, d et e. Nous trouvons une expression
générale pour l’intervalle de confiance (IC) de la vraie moyenne en mesurant une seule
valeur xet en réarrangeant l’équation 2.7 (souvenez-vous que zpeut prendre des valeurs
positives ou négatives). Ainsi,
IC pour µ =x±z σ (3.1)
Rarement, cependant, nous estimons la vraie moyenne à partir d’une seule mesure.
Au lieu de cela, nous utilisons la moyenne expérimentale ¯xde Nmesures comme une
meilleure estimation de µ. Dans ce cas, nous remplaçons xdans l’équation 3.1 par ¯xet
σpar l’écart-type de la moyenne, σ/√N, c’est-à-dire,
IC pour µ = ¯x±z σ
√N(3.2)
Les valeurs de zà divers niveaux de confiance se trouvent dans le Tableau 3.1, et la
taille relative de l’intervalle de confiance en fonction de Nest indiquée au Tableau 3.2.
L’équation 3.2 nous indique que l’intervalle de confiance pour une analyse peut être
réduit à la moitié en faisant la moyenne de quatre mesures. Seize mesures réduiront l’in-
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Tableau 3.1 – Niveaux de confiance de dif-
férentes valeurs de z
Niveau de
confiance, %
z
50 0.67
68 1.00
80 1.28
90 1.64
95 1.96
95.4 2.00
99 2.58
99.7 3.00
99.9 3.29
Tableau 3.2 – Taille de l’intervalle de
confiance en fonction de la moyenne des
nombres de mesure
Moyenne des
nombres de
mesure
Taille relative
de l’intervalle
de confiance
1 1.00
2 0.71
3 0.58
4 0.50
5 0.45
6 0.41
10 0.32
tervalle d’un facteur de 4, et ainsi de suite. Nous atteignons rapidement un point de
rendements décroissants, cependant, en faisant la moyenne de plus de résultats. Norma-
lement, nous profitons du gain relativement important obtenu en faisant la moyenne de
deux à quatre mesures, mais nous pouvons rarement nous permettre le temps ou la quan-
tité d’échantillon requis pour obtenir des intervalles de confiance plus étroits grâce à des
mesures répétées supplémentaires.
Il est essentiel de garder à l’esprit à tout moment que les intervalles de confiance
basés sur l’équation 3.2 ne s’appliquent qu’en l’absence de biais et seulement si on peut
supposer que sest une bonne approximation de σ. Nous indiquerons que sest une bonne
estimation de σen utilisant le symbole s→σ(sproche de σ).
3.1.2 Détermination de l’intervalle de confiance lorsque σest
inconnu
Souvent, les limitations dans le temps ou dans la quantité d’échantillon disponible
nous empêchent de faire suffisamment de mesures pour supposer que sest une bonne
estimation de σ. Dans un tel cas, un seul ensemble de mesures répétées doit fournir
non seulement une moyenne, mais aussi une estimation de la précision. Comme indiqué
précédemment, scalculé à partir d’un petit ensemble de données peut être assez incertain.
Ainsi, les intervalles de confiance sont nécessairement plus larges lorsque nous devons
utiliser une valeur de sde petit échantillon comme notre estimation de σ.
Pour tenir compte de la variabilité de s, nous utilisons le paramètre statistique im-
portant t, qui est défini exactement de la même manière que z(équation 2.7), sauf que s
est substitué à σ. Pour une seule mesure du résultat x, on peut définir tcomme :
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Tableau 3.3 – Valeurs de tpour différents nivaux de probabilité
Degré de
liberté
80% 90% 95% 99% 99,9%
1 3.08 6.31 12.7 63.7 637
2 1.89 2.92 4.30 9.92 31.6
3 1.64 2.35 3.18 5.84 12.9
4 1.53 2.13 2.78 4.60 8.61
5 1.48 2.02 2.57 4.03 6.87
6 1.44 1.94 2.45 3.71 5.96
7 1.42 1.90 2.36 3.50 5.41
8 1.40 1.86 2.31 3.36 5.04
9 1.38 1.83 2.26 3.25 4.78
10 1.37 1.81 2.23 3.17 4.59
15 1.34 1.75 2.13 2.95 4.07
20 1.32 1.73 2.09 2.84 3.85
40 1.30 1.68 2.02 2.70 3.55
60 1.30 1.67 2.00 2.62 3.46
∞1.28 1.64 1.96 2.58 3.29
t=x−µ
s(3.3)
Pour la moyenne de Nmesures,
t=¯x−µ
s/√N(3.4)
Comme zdans l’équation 3.1,tdépend du niveau de confiance désiré. Cependant, t
dépend aussi du nombre de degrés de liberté dans le calcul de s. Le Tableau 3.3 donne
des valeurs de tpour quelques degrés de liberté. Des tableaux plus détaillés se trouvent
dans divers manuels mathématiques et statistiques. Notez que ts’approche de zlorsque
le nombre de degrés de liberté devient grand.
L’intervalle de confiance pour la moyenne ¯xde Nmesures de réplicats peut être
calculée à partir de tpar l’équation 3.5, qui est similaire à l’équation 3.2 en utilisant z:
IC pour µ = ¯x±t s
√N(3.5)
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