TD 8

Mathématiques
L3 MIAGE
TD 8
Exercice 1 : Approximation gaussienne
Soit X le nombre de Pile obtenus en 400 lancers d’une pièce équilibrée.
1.
Grâce à l’approximation normale, estimer P(190 ≤ X ≤ 210).
2.
Idem pour P(210 ≤ X ≤ 220).
3.
Reprendre les questions précédentes pour une pièce biaisée où P(Pile) = 0.51.
Exercice 2 : Trop d’étudiants
Dans une université, une promotion de première année ne doit pas dépasser 200 étudiants. En
se basant sur le constat que seulement un candidat accepté sur trois viendra effectivement à la
rentrée, la politique de l’université est d’accepter systématiquement 500 étudiants.
1.
Sur 500 candidats acceptés, quelle est la loi de la variable X correspondant au nombre
d’étudiants effectivement présents à la rentrée ?
2.
En utilisant l’approximation normale, estimer la probabilité qu’il y ait plus de 200 étudiants
présents à la rentrée.
Exercice 3 : Surbooking (bis)
Des études effectuées par une compagnie aérienne montrent qu’il y a une probabilité de 5%
qu’un passager ayant fait une réservation n’effectue pas le vol. Dès lors, elle vend toujours 94
billets pour ses avions à 90 places. On veut évaluer la probabilité qu’il y ait un problème à
l’embarquement, c’est-à-dire qu’il y ait au plus 3 absents.
1.
Estimer cette probabilité en approximant une loi binomiale par une loi normale.
2.
Comparer à la vraie valeur d’une part et à la valeur obtenue par l’approximation de Poisson
d’autre part. Comment expliquez-vous que l’approximation ne marche pas ici ?
Exercice 4 : Assurance & Co
Les statistiques antérieures d’une compagnie d’assurances permettent de prévoir qu’elle recevra
en moyenne 300 réclamations durant l’année en cours.
1.
Quelle loi suit la variable aléatoire X du nombre de réclamations en un an ?
2.
Quelle est la probabilité que la compagnie reçoive plus de 350 réclamations pendant l’année
en cours ?
3.
Donner une valeur approchée en approximant par une loi de Poisson.
Exercice 5
Un fabricant de pièces de machine prétend qu’au plus 10% de ses pièces sont défectueuses. Un
acheteur a besoin de 120 pièces. Pour disposer d’un nombre suffisant de bonnes pièces, il en
commande 140. Si l’affirmation du fabricant est valable, quelle est la probabilité que l’acheteur
reçoive au moins 120 bonnes pièces ?
Mathématiques
L3 MIAGE
Exercice 6 : Loi du khi-deux
Soit X une variable distribuée selon une loi normale centrée réduite N (0, 1).
1.
Rappeler la moyenne et la variance de X. En déduire E[X 2 ].
2.
Rappeler la densité de X. Grâce à une intégration par parties et en utilisant la question
précédente, montrer que E[X 4 ] = 3.
3.
Soit Y = X 2 . Exprimer la variance de Y en fonction des moments de X. Déduire des
questions précédentes que Var(Y ) = 2.
4.
Soit n ∈ N∗ un entier naturel non nul. Si X1 , . . . , Xn sont des variables indépendantes
et identiquement distribuées suivant la loi normale centrée réduite, on dit que la variable
Sn = X12 + · · · + Xn2 suit une loi du khi-deux à n degrés de liberté, notée Sn ∼ χ2n .
a.
b.
Calculer la moyenne et la variance de Sn .
On tire 200 variables gaussiennes centrées réduites, on les élève au carré et on les
ajoute pour obtenir un nombre S. Donner un intervalle dans lequel se situe S avec
environ 95% de chances.
Exercice 7 : Sondage
Deux candidats, Alice et Bob, sont en lice lors d’une élection. On note p la proportion d’électeurs
pour Alice dans la population totale. Afin d’estimer p, on effectue un sondage (avec remise)
auprès de n personnes. Notons X le nombre d’électeurs favorables à Alice dans cet échantillon
1.
Quelle est la loi suivie par X ?
2.
Grâce à l’approximation normale, donner en fonction de n et p un intervalle où X a 95%
de chances de se situer.
3.
Donner un estimateur naturel p̂ de p. Quelle est sa moyenne ?
4.
Donner en fonction de n et p un intervalle où p̂ a 95% de chances de se situer.
5.
Donner un majorant de x(1 − x) lorsque x ∈ [0, 1]. En déduire un intervalle de confiance
à 95% pour p.
6.
Quelle est la taille de cet intervalle lorsqu’on interroge 1000 personnes ?
7.
Combien de personnes faut-il interroger pour obtenir une estimation à ± 2% ?
Exercice 8 : Vitesse d’une molécule
La vitesse d’une molécule au sein d’un gaz homogène en état d’équilibre est une variable aléatoire
de densité :
mx2
f (x) = ax2 e− 2kT 1{x≥0} ,
où k est la constante de Boltzmann, T la température absolue et m la masse de la molécule.
Déterminer a en fonction de ces paramètres.