td 6 - LMPT

Université François-Rabelais de Tours
2017
L3 Mathématiques
Probabilités et Statistiques
Feuille 6
Convergence en loi, théorème limite central, intervalle de confiance
Exercice 1
Soit λ > 0 fixé. Soit (Xn )n>λ une suite de variables aléatoires telle que Xn suit la loi géométrique de
paramètre pn = nλ , c’est-à-dire vérifiant
P[Xn = k] = pn (1 − pn )k−1 ,
∀k ≥ 1,
∀n ≥ 1.
On pose, pour tout n ≥ 1, Yn = Xn /n.
1) Montrer que la fonction de répartition Fn de Yn est donnée par
λ bntc
Fn (t) = 1 − 1 −
,
∀t ≥ 0.
n
2) Prouver que la suite (Yn )n>λ converge en loi vers une variable Y , dont on précisera la loi.
Exercice 2 (Loi des petits nombres)
Soit λ > 0 fixé et pour tout n ≥ λ, pn = λ/n. Soit Xn une variable aléatoire de loi binomiale de
paramètres n et pn .
1) Rappeler la valeur de P(Xn = k), pour tout k ∈ {0, . . . , n}.
2) Pour k ∈ {0, . . . , n} fixé, démontrer que
lim P(Xn = k) = e−λ
n→∞
λk
.
k!
3) En déduire que la suite (Xn )n≥λ converge en loi vers une variable X, dont on précisera la loi.
Exercice 3 (Fournisseur d’accès Internet)
Un fournisseur d’accès à Internet met en place un point local d’accès qui dessert 5000 abonnés. À un
instant donné, chaque abonné a une probabilité égale à 20% d’être connecté et les comportements des
abonnés sont supposés indépendants.
1) On note X la variable aléatoire égale au nombre d’abonnés connectés à un instant t. Quelle est
la loi de X ? Donner son espérance et sa variance.
2) On pose Y =
X−1000
√
.
800
Justifier que l’on peut approcher la loi de Y par une loi normale N (0, 1).
3) Le fournisseur d’accès souhaite savoir combien de connexions simultanées le point d’accès doit
pouvoir gérer pour que sa probabilité d’être saturé à un instant donné soit inférieure à 2, 5%. En
utilisant l’approximation précédente, proposer une valeur approchée de ce nombre de connexions.
Exercice 4
Une usine produit des composants dont la durée de vie X, exprimée en heures, est une variable
aléatoire de variance σ 2 = 16. On teste un échantillon de n = 100 composants qui fournit une durée
de vie moyenne de 98 heures. En supposant n assez grand pour utiliser l’approximation fournie par le
théorème limite central, déterminer un intervalle de confiance pour l’espérance µ de X au niveau 95%.
Exercice 5
Pour évaluer le nombre N de poissons dans un lac, on capture d’abord 500 poissons que l’on marque
et puis que l’on relâche dans ce lac. On suppose que tous les poissons ont la même probabilité d’être
capturés.
1
1) Quelle est la probabilité p qu’un poisson capturé soit marqué ?
2) Dans un échantillon de n = 400 individus capturés avec remise, on observe x = 100 poissons
marqués. Donner un intervalle de confiance pour p à 90% (on pourra utiliser le fait que p(1 − p) ≤
1
4 ). En déduire un intervalle de confiance pour N à 90%.
Exercices supplémentaires
Exercice 6 (Convergence en loi)
Soit (Xn )n≥0 une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi
uniforme sur [0, 1]. On pose, pour tout n ≥ 0, Mn = max{X1 , . . . , Xn }. Montrer que Zn = n(1 − Mn )
converge en loi vers une variable Z, dont on précisera la loi.
Exercice 7
Soit (Xn )n≥1 et (Yn )n≥1 des variables aléatoires indépendantes, toutes de même loi de Poisson de
paramètre λ > 0.
P
1) Montrer que la suite de variables aléatoires Zn = n1 nk=1 1l{Xk =Yk } converge en probabilité lorsque
n → +∞ vers une constante C à déterminer.
√
2) Étudier la convergence en loi de n(Zn − C) lorsque n → +∞.
Exercice 8 (Tchebychev vs. théorème limite central)
On jette 3600 fois un dé et on appelle S le nombre de fois où apparaît le numéro 1.
1) Quelle est la loi de S ? Donner sa moyenne et sa variance.
2) Exprimer sous forme d’une somme la probabilité que S ∈]480, 720[.
3) Grâce à l’inégalité de Tchebychev, minorer cette probabilité.
4) En utilisant le théorème limite central, donner une valeur approchée de cette probabilité.
Exercice 9 (Intervalle de confiance (plus difficile))
Le nombre journalier de naissances à Tours suit une loi de poisson de paramètre inconnu λ. On relève
1500 naissances pendant une période de 100 jours. Trouver un intervalle de confiance pour λ au niveau
95%.
2