Caractérisation des mesures et grandeurs à mesurer

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© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
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D 1 500
9 - 1995
Caractérisation des mesures
et grandeurs à mesurer
par André LECONTE
Ancien Directeur des Études à la Société Chauvin-Arnoux
e chapitre Mesures en électrotechnique fait l’objet de trois fascicules :
D 1 500
Caractérisation
D 1 501 Dispositifs
D 1 502 Mise en œuvre
et les sujets traités ne sont pas indépendants les uns des autres. Le lecteur
devra assez souvent se reporter aux autres fascicules. Les renvois seront notés,
au cours du texte, par le numéro du fascicule suivi du numéro de paragraphe
ou du numéro de figure.
Notons que, dans ce chapitre, certains appareils ne sont pas décrits. Ils font
l’objet de chapitres spécifiques dans le présent traité. Le lecteur peut s’y reporter.
Il peut également, pour plus de détails, consulter les chapitres de la rubrique
Grandeurs électriques du traité Mesures et contrôle.
L’électrotechnique s’intéresse aux applications de l’électricité. Son domaine
est traditionnellement celui des
« courants forts » , par opposition aux courants
faibles qui sont le lot des techniques de la transmission et du traitement de
l’information dominées par l’électronique. Bien que cette distinction subsiste au
niveau de l’objet des mesures, elle est périmée pour ce qui est des moyens mis
en jeu pour les effectuer qui font de plus en plus appel à l’électronique analo-
gique et numérique.
Les mesures, objets de ce chapitre, concernent d’abord les grandeurs définis-
sant les
caractéristiques de l’énergie électrique (tensions, courants, puissances)
1. Appréciation de la valeur des informations fournies
par un appareil de mesure ..................................................................... D 1 500 - 2
1.1 Adéquation du procédé de mesure aux caractéristiques
de la grandeur à mesurer............................................................................ — 2
1.2 Précision escomptable d’une mesure........................................................ — 2
2. Caractérisation des signaux périodiques .......................................... — 3
2.1 Définition des amplitudes........................................................................... — 3
2.1.1 Valeur efficace et valeur moyenne redressée .................................. — 3
2.1.2 Décomposition d’un signal périodique en série de Fourier............ — 4
2.1.3 Erreurs provoquées par l’emploi d’un dispositif redresseur
pour la mesure de la valeur efficace d’une grandeur
non sinusoïdale................................................................................... — 5
2.2 Grandeurs associées aux mesures de puissance en courant alternatif.. — 6
2.3 Réseaux polyphasés.................................................................................... — 7
2.3.1 Caractéristiques générales................................................................. — 7
2.3.2 Réseaux triphasés équilibrés et déséquilibrés.
Composantes symétriques ................................................................ — 7
2.3.3 Puissance fournie par un réseau triphasé ........................................ — 8
Pour en savoir plus ............................................................................ Doc. D 1 503
L

CARACTÉRISATION DES MESURES ET GRANDEURS À MESURER ________________________________________________________________________________
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et ses paramètres annexes (fréquence, déphasage, facteur de puissance). Elles
concernent aussi les
grandeurs passives des matériaux entrant dans la
construction électrique (résistance, qualités magnétiques, etc.).
Sont exclues les mesures relatives aux transmissions des signaux électriques à
grande distance soit par des moyens matériels (câbles, fibres optiques, etc.), soit
par des ondes radioélectriques (faisceaux hertziens, satellites, etc.), ainsi que les
mesures de grandeurs physiques telles que la température, l’humidité, l’éclaire-
ment à partir de capteurs fournissant des signaux électriques représentatifs de
ces grandeurs, bien que soient évoqués les moyens permettant la mesure des
faibles courants et des faibles tensions issus généralement de ces capteurs.
Enfin, sont également exclus les procédés de mesure de très grande précision
mis en œuvre dans les laboratoires de métrologie.
1. Appréciation de la valeur
des informations fournies
par un appareil de mesure
1.1 Adéquation du procédé de mesure
aux caractéristiques de la grandeur
à mesurer
Le signal à mesurer est rarement simple comme, par exemple,
une tension rigoureusement continue et parfaitement stable.
■ S’il varie périodiquement, l’appareil de mesure doit être choisi de
façon à fournir la valeur désirée, par exemple la valeur moyenne, la
valeur efficace, la valeur crête...
■ Si le signal présente des pics répétitifs d’amplitude notable, il faut
s’assurer qu’ils ne sont pas écrêtés par le dispositif de mesure.
■ Certaines grandeurs électriques doivent être mesurées dans les
conditions où il est prévu de les exploiter : par exemple, la capacité
de certains condensateurs est largement tributaire de la fréquence
de la tension qu’on leur applique ou de l’amplitude de cette tension ;
la valeur d’une résistance peut aussi être fonction de la tension
qu’on lui applique, du temps d’application, de la température, etc.
1.2 Précision escomptable d’une mesure
■ Composantes d’une erreur
Indépendamment des erreurs de principe éventuelles évoquées
paragraphe 1.1, l’incertitude d’une mesure comporte une
compo-
sante aléatoire (ou erreur aléatoire) et une composante systématique
(ou erreur systématique).
●
L’ erreur aléatoire peut théoriquement être éliminée en réali-
sant un grand nombre de mesures et en effectuant la moyenne de
celles-ci, tous les autres paramètres pouvant influencer la mesure
(température, position, etc.) étant maintenus constants.
Comme, en règle générale, une mesure ne peut être répétée un
nombre suffisant de fois, l’erreur aléatoire est particulièrement
gênante et doit être rendue si possible négligeable vis-à-vis de la
précision à laquelle prétend un appareil.
●
La composante systématique de l’erreur englobe tous les
facteurs qui affectent la mesure d’une manière reproductible. Pour
fournir à l’utilisateur un mode d’appréciation de l’incertitude
entachant une mesure dans des conditions données, plusieurs pro-
cédés ont été proposés (cf. norme NF C 42-600). Le mode le plus
usuel consiste à définir :
— d’une part, l’ erreur intrinsèque qui concerne la limite de l’erreur
affectant une mesure effectuée dans des conditions spécifiées par le
fabricant, dites conditions de référence ;
— d’autre part, les variations maximales pouvant s’ajouter à
l’erreur intrinsèque quand les différentes grandeurs d’influence
s’écartent des conditions de référence.
La norme NF C 42-100 relative aux appareils indicateurs analo-
giques utilise ce procédé, en le complétant par la notion de classe
de précision.
La discrétion d’un appareil de mesure est son aptitude à ne
pas modifier la grandeur à mesurer.
Interviennent notamment dans cette qualité la résistance
interne et la capacité d’entrée d’un voltmètre, la faible chute de
tension aux bornes d’un ampèremètre, etc.
On peut ainsi être amené à choisir un appareil d’une moindre
précision intrinsèque mais d’une plus grande discrétion pour
optimiser la précision d’une mesure.
Exemple : cela peut être pour un indicateur à affichage numérique
la présence d’un bruit perturbateur ou, pour un indicateur galvanomé-
trique, un certain défaut de pivotage.
L’ indice de classe fournit la limite de l’erreur intrinsèque,
c’est-à-dire de l’écart exprimé en pour-cent entre une mesure et
la valeur conventionnellement vraie de la grandeur mesurée
dans les conditions de référence, écart rapporté à une grandeur
conventionnelle qui est souvent l’étendue de mesure.

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Simultanément, les limites tolérées pour les variations , éventuel-
lement provoquées par les grandeurs d’influence, sont également
fonction du niveau de la classe de précision.
Il faut noter que, à une valeur de référence, par exemple 23
o
C,
peut être substitué un domaine de référence , par exemple 15,...,
30
o
C, à l’intérieur duquel l’erreur ne doit pas dépasser sa valeur
intrinsèque.
■ Appréciation statistique de l’incertitude de mesure :
l’erreur opérationnelle
Lorsque l’on peut considérer que les paramètres d’influence sont
indépendants et que l’on souhaite connaître une limite probable de
l’incertitude de mesure quand on opère dans des conditions qui
s’écartent des conditions de référence tout en restant à l’intérieur
du domaine d’utilisation, la norme NF C 42-600 propose un mode
de calcul fournissant cette limite probable dite erreur opéra-
tionnelle pour un niveau d’incertitude de 95 % à savoir :
avec A
0
limite de l’erreur intrinsèque,
A
1
, A
2
, ..., A
n
limites des variations provoquées par les
différents paramètres d’influence à l’intérieur
du domaine d’utilisation.
■ Importance de la recoupe des calibres pour un multimètre
La valeur conventionnelle servant à définir la limite de l’erreur rela-
tive étant généralement la fin d’échelle, il apparaît que, pour un appa-
reil de classe de précision C , l’erreur relative possible pour une
mesure effectuée à une fraction
τ de l’étendue d’échelle prend la
valeur C / τ .
Il est donc souhaitable d’utiliser le calibre immédiatement inférieur
dès que la valeur de ce dernier le permet. Si celle-ci est dans le rap-
port 1/ k , la limite de l’erreur relative sur la mesure est égale à kC .
■ Justesse. Son acquisition et son maintien
● Dans ces conditions, un défaut de fidélité ne peut provenir que
d’une évolution dans le temps de certains composants internes de
l’instrument tels que les valeurs des résistances, la tension d’une
diode de référence, la fréquence d’un quartz, le couple de rappel
d’un ressort spiral, l’induction rémanente d’un aimant, etc.
La valeur maximale escomptable d’une telle évolution est parfois
fournie, notamment par les fabricants de voltmètres numériques,
sous la forme d’une variation de la tolérance en fonction du temps,
cette variation pouvant couramment doubler l’erreur intrinsèque
au bout d’un an.
Pour restaurer sa précision initiale , l’appareil doit être réajusté
en fonction des indications fournies par un étalon de référence.
Notons à cet égard qu’un tel réajustage ne peut généralement
s’effectuer que sur deux points de l’échelle : le zéro et, le plus sou-
vent, la fin d’échelle. Pour les mesures des valeurs intermédiaires,
la précision dépend de la linéarité de réponse de l’appareil (pour
une échelle linéaire) ou, plus généralement, de la conformité de
réponse de l’appareil à une fonction définie.
●
L’opération d’ étalonnage consiste à relever, pour un certain
nombre de points de mesure, les valeurs exactes lues sur un appa-
reil de référence fonctionnant en parallèle. Une telle opération n’est
valable que si la précision de l’appareil de référence (ou étalon) est
dans un rapport suffisant avec celle de l’appareil à étalonner (en pra-
tique, au moins 5 fois meilleure).
La précision de cet étalon doit elle-même être périodiquement
contrôlée au moyen d’appareils dont l’exactitude est connue par
comparaison aux étalons nationaux de la grandeur concernée. La
garantie apportée par cette chaîne de raccordement aux étalons offi-
ciellement reconnus est désignée sous le vocable de traçabilité .
■ Remarque sur la fidélité pratique
En toute rigueur, la fidélité d’un appareil est appréciée en repro-
duisant soigneusement toutes les conditions dans lesquelles cette
mesure est effectuée (qualité de répétabilité ).
En pratique, on apprécie qu’une mesure soit indépendante du
respect de certaines de ces conditions. Citons, en particulier, la non-
influence des états antérieurs comme les effets d’hystérésis (iden-
tité des mesures effectuées par valeurs croissantes ou décroissan-
tes du mesurande), la non-influence du temps durant lequel la
mesure est effectuée (dérive de la réponse de l’appareil lors de
l’application d’une grandeur constante), la non-influence des varia-
tions de la tension d’alimentation à l’intérieur de son domaine
assigné, etc.
Bien souvent, des mesures successives d’une même grandeur
ont pour but non d’en connaître la valeur exacte, mais de s’assurer
de sa constance. Dans ces conditions, la connaissance des qualités
évoquées ci-avant garantissant la reproductibilité des mesures
dans des conditions non exagérément contraignantes, c’est-à-dire
la fidélité pratique d’un appareil, est d’une importance primordiale.
Exemple : pour un indicateur analogique de classe 1, la limite de
l’erreur intrinsèque est de 1 % de la valeur conventionnelle pour des
mesures effectuées dans les conditions de référence (cf. tableau I. 1
de NF C 42-100), à savoir :
— température : 23
o
C ± 2 ;
— humidité relative : 50 % ± 10 ;
— position : position de référence indiquée sur l’appareil ;
— champ magnétique extérieur : 0, avec une tolérance de 40 A/m ;
— champ électrique extérieur : 0, avec une tolérance de 1 kV/m du
continu à 65 Hz.
Si l’une de ces grandeurs d’influence s’écarte de sa valeur de réfé-
rence, il peut en résulter une variation de l’erreur admissible, mais dans
une limite proportionnelle à la classe de précision (cf. tableau II.1 de NF
C 42-100). Ainsi, pour un écart de température de ± 10
o
C, la variation
tolérée de l’erreur ne peut excéder 100 % de l’indice de classe.
Exemple : avec un appareil de classe 0,5 et un rapport k (dit rap-
port de recoupe de calibre ) de valeur 3, l’erreur relative limite sur la
mesure varie de 0,5 % en fin d’échelle à 1,5 % au 1/3 de l’échelle.
Avec un appareil numérique à 2 000 points dont la précision serait de
0,2 % de la fin d’échelle, l’erreur relative à la récoupe du calibre infé-
rieur, soit au 1/10 de l’échelle, est de 2 %.
Ainsi, en voulant mesurer une tension de 230 V, un voltmètre analo-
gique de classe 0,5, de calibre 300 V, donne lieu à une erreur maxi-
male de :
tandis que celle de l’appareil numérique à 2 000 points, de classe 0,2,
est de :
A
AA01,15 A1
2A2 2... An 2
++++=
0,5 300
230
----------0,65 % =
0,2 2
000
230
---------------
1,7
% =
La justesse est l’aptitude d’un instrument à donner des indica-
tions exemptes d’erreur systématique. Cette qualité implique la
fidélité c’est-à-dire la capacité de fournir des indications
identiques dans les mêmes conditions de mesure, après élimina-
tion des erreurs aléatoires éventuelles comme indiqué précé-
demment.

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2. Caractérisation
des signaux périodiques
2.1 Définition des amplitudes
2.1.1 Valeur efficace et valeur moyenne redressée
■ La valeur efficace I d’un courant alternatif est l’amplitude d’un
courant continu qui, parcourant une résistance R , donnerait lieu à
une même dissipation de puissance que le courant alternatif
parcourant cette même résistance. En toute rigueur, cette équiva-
lence est à considérer pour un temps correspondant à une période
ou un nombre entier de périodes. Sachant que la puissance instan-
tanée dissipée dans une résistance, Ri
2
, varie comme le carré du
courant, il en résulte que :
i ( t ) étant la valeur instantanée d’un courant alternatif de période T .
Cette notion s’étend immédiatement à la caractérisation de la
valeur efficace d’une tension alternative v qui, appliquée à une
même résistance R , dissipe une puissance instantanée v
2
/ R .
En conclusion, courant efficace I et tension efficace V ont pour
expressions :
■ Dans le cas particulier important d’une variation sinusoïdale
d’amplitude  (figure 1 ) :
x = Â sin ω t
de pulsation ω = 2 π/ T = 2 π f ,
f étant la fréquence,
la valeur efficace est :
■ Pour mesurer un courant alternatif sinusoïdal :
avec un appareil sensible au courant continu tel qu’un indicateur gal-
vanométrique, il est commode d’utiliser un dispositif redresseur
qui fournit ce courant sous forme de demi-alternances de même
polarité (figure 2 ).
La valeur moyenne I
m
d’une alternance est :
On en déduit la valeur efficace :
I = 1,11 I
m
■ Un autre cas important est le signal alternatif rectangulaire
d’amplitude  (figure 3 ). Dans ce cas, la valeur efficace et la valeur
moyenne redressée sont identiques :
A = A
m
= Â
2.1.2 Décomposition d’un signal périodique
en série de Fourier
Un signal périodique x ( t ), de fréquence f et de forme quelconque,
peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux de
fréquences multiples de f , associés éventuellement à un signal
continu si sa valeur moyenne est non nulle. Ce signal prend alors
la forme :
avec A
0
,
Â
n
,
,
,
La composante de pulsation n ω (ou de fréquence nf ) est appelée
harmonique de rang n , celle de pulsation ω étant la composante
fondamentale .
I21
T
--- 0
Ti2t() dt=
I1
T
----- 0
Ti2t() dt
=
V1
T
----- 0
Tv2t() dt
=
A1
T
------- 0
TÂ2 sin2
ω t dtÂ
2
---------==
iI 2 sin ω t=
Im2
T
------ 0
T
2
–
=2 I sin ω t dt2
2
π
--------------I0,9 I==
Figure 1 – Fonction sinusoïdale
Figure 2 – Courant sinusoïdal redressé
xt() A0Ân n ω tcos B
ˆn n
ω tsin+()
n1=
∞
∑
+=
A0S
ˆncos ( n
ω t ϕ
n)–
n1=
∞
∑
+=
1
T
------- 0
T
xt() dt
=
2
T
------- 0
T
xt() n ω tcos dt
=
B
ˆn2
T
------- 0
T
xt() nsin ω t dt
=
ˆ
SnÂn
2B
ˆn
2
+=
ϕ
n.arctan B
ˆn
A
ˆn
--------
=

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La connaissance de l’amplitude des harmoniques de chaque
rang permet de prévoir le comportement de ce signal lorsqu’il doit
parcourir un réseau à réponse linéaire. Par ailleurs, la présence
d’harmoniques dans une tension ou un courant réputés sinusoïdaux
introduit des perturbations, notamment dans les appareillages
triphasés (moteurs, transformateurs, etc.), qui justifient la nécessité
de leur évaluation.
La valeur efficace X du signal périodique a pour expression :
Pour caractériser l’importance relative des harmoniques
contenus dans une grandeur non sinusoïdale dépourvue de
composante continue, on définit :
—le taux de l’harmonique de rang n
—le taux de distorsion :
Pour caractériser sa forme, on introduit son facteur de crête :
Pour les grandeurs comportant essentiellement une composante
continue et accessoirement une composante alternative, on définit
le taux d’ondulation :
Il est par ailleurs utile, notamment dans l’analyse de la fourniture
de puissance, de situer la valeur de la composante fondamentale
vis-à-vis de la valeur efficace incorporant l’ensemble des harmo-
niques, en utilisant le facteur de déformation :
2.1.3 Erreurs provoquées par l’emploi
d’un dispositif redresseur pour la mesure
de la valeur efficace d’une grandeur
non sinusoïdale
Nous n’envisageons ici que le cas particulier important où cette
grandeur alternative ne comporte pas de composante continue.
Les harmoniques pairs donnent lieu à des alternances positives et
négatives dissymétriques (figure 4b) tandis que les harmoniques
impairs conduisent à modifier symétriquement les alternances
positives et négatives (figure 4a). Dans les deux cas, l’absence de
composante continue implique que les valeurs moyennes des
alternances successives sont identiques et de signes contraires.
La valeur efficace d’une grandeur alternative comportant un
terme fondamental d’amplitude et un harmonique de rang n
d’amplitude soit un taux d’harmonique , est :
La valeur moyenne du signal redressé, égale à 0,9 pour
le fondamental seul, a ici pour expression :
étant un écart relatif fonction du rang n et du déphasage
ψ de
l’harmonique.
La valeur efficace X déduite de cette valeur moyenne est affectée
du même écart.
Pour les harmoniques de rang impair, varie de – qn/n à + qn/n
pour ψ variant de – 180o à 0.
Figure 3 – Signal rectangulaire
XA
0
21
2
---S
ˆn
2
n1=
∞
∑
+=
qnS
ˆn
S
ˆ1
------=
dvaleur efficace du contenu en harmoniques
valeur efficace de la grandeur périodique
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=
S
ˆ
2
2S
ˆ
3
2... S
ˆ
n
2
+++
S
ˆ
1
2S
ˆ
2
2S
ˆ
3
2... S
ˆ
n
2
++++
---------------------------------------------------------------- q2
2q3 2... qn 2
+++
1q2
2q3 2... qn 2
++++
-----------------------------------------------------------==
Fcamplitude de la valeur de crête
valeur efficace
---------------------------------------------------------------------------------------=
τ
valeur efficace de la composante alternative
valeur de la composante continue
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=
λ
S
ˆ1
S
ˆ
n
2
n0=
∞
∑
----------------------=
Figure 4 – Variation de la forme d’onde suivant le rang
et le déphasage de l’harmonique
S
ˆ1
S
ˆn′
qnS
ˆn/S
ˆ1
=
XS
ˆ1
2
-------- 1 qn
2
+=
S
ˆ1/2
XmR 0,9 S
ˆ1
2
------- 1 +()=