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Arithmético-géométrie

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Rapport Immersion Recherche
Double Licence Mathématiques et Physique - 2ème année
Novembre - Décembre 2019
Arithmético-géométrie
Aymane Rouabah et Noémie Damerval
Tuteur : Pierre Pansu
Résumé
Dans ce document, nous allons tenter de rendre de compte de notions d’arithmético-géométrie, et
de leurs applications. A partir d’un simple pliage, nous pourrons montrer simplement en quoi consiste
une suite arithmético-géométrique. Celle-ci nous permettra de mettre en avant le phénomène de
convergence quadratique, qui nous amènera ensuite d’étudier la moyenne arithmético-géométrique.
Abstract
This paper as a way of giving account of arithmetico-geometric notions and their applications. A
simple paper folding will allow to easily illustrate what is an arithmetico-geometric sequence. Thus, it
will enlight the quadratic convergence which will eventually lead to the arithmetico-geometric mean.
Sommaire
1 Introduction
2
2 Pliage papier et convergence
2.1 Le pliage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 La convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Résolution Graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
4
3 Moyenne Arithmético-Géométrique
3.1 Moyenne Arithmétique et Moyenne Géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Convergence Quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
7
4 Moyenne Arithmético-géométrique réelle
10
4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Intégrales elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
1
Introduction
Dans le cadre de l’UE Immersion Recherche de notre formation Double Licence Maths-Physique
Deuxième Année, nous avons eu à réaliser un travail de recherche au sein du Laboratoire de Mathématiques d’Orsay en présence de Pierre Pansu, notre tuteur pour ce semestre.
Nous allons être amenés à porter une réflexion sur la notion d’arithmético-géométrie. Cette notion
est introduite au moyen d’un problème récréatif, portant sur un pliage papier. De ce point de départ,
nous commencerons a travailler sur la notion de suite aritmético-géométrique. Ce travail fait appel a un
certain nombre de notions de L1 et L2, sur lequelles nous nous appuierons, la plupart des notions se
rattachant à la géométrie ou à l’analyse.
Suite a cela, nous nous intéresserons progressivement aux moyenne arithmétiques et géométriques. En
particulier, en couplant ces deux suites, nous pourrons en dégager une limite commune, que l’on appellera
moyenne arithmético-géométrique.
Cette limite a par le passé fait l’objets de travaux mathématiques poussés. En effet, cette dernière a en
particulier servit comme point de départ pour le calcul de périmètres d’éllipses, ou l’approximation de pi.
Nous ferons l’effort de détailler les démonstrations de la plupart de nos affirmations, les quelques
résultats admis sont démontrables aisément ou hors-programme.
2
Pliage papier et convergence
2.1
Le pliage
Commençons par un pliage.
Pliez une bande de papier suivant un angle quelconque. Rabattez ensuite la partie pliée contre le bord
du haut. Cela revient a plier selon la bissectrice de l’angle déjà formé. Répétez ensuite cette opération
autant de fois que le permet votre bande.
Figure 1 – Étapes du pliage
Vous devriez obtenir la figure 2. On peut alors observer que cette suite de pliage semble faire apparaître
des triangles équilatéraux sur notre bande de papier.
2.2
La convergence
Vérifions que cette suite de pliage nous mène bien a des triangles équilatéraux.
2
Figure 2 – Pliage final
Figure 3 –
Soit α0 ∈ [0; π] notre angle de départ. Les bords de notre bande de papier sont parallèles, donc si l’on
suit les notations de la figure 3, on a : ∆1 k ∆2 . Le pliage nous fait alors créer la bissectrice de l’angle
0
π − α0 . Par les propriétés d’angles alternes internes, on en déduit que α1 = π−α
2 .
Par récurrence, on a alors :
αn+1 =
π αn
−
2
2
Il s’agit la de l’expression d’une suite arithmético-géométrique, que l’on nommera (αn )n .
Puisque cette suite est doit construire des triangles équilatéraux, il semble pertinent de supposer que :
lim αn =
n→+∞
π
3
L’enjeu du problème est alors de déterminer la forme explicite de cette suite, afin de vérifier notre hypothèse sur sa limite. Cela confirmera alors la natures des triangles observés après un certain nombre de
pliages.
Pour se faire, reprenons la définition d’une suite arithmético-géométrique (un )n . Celle-ci est définie
telle que un+1 = aun + b, avec a et b deux réels. Cherchons maintenant le terme général d’une telle suite.
• Si a = 1, on a : un+1 = un + b. La suite est alors arithmétique.
• Si b = 0, on a :un+1 = aun . La suite est alors géométrique.
Interressons nous aux cas ou a 6= 1 et b 6= 0.
On aimerais pouvoir se ramener a une suite arithmétique ou une suite géométrique, dont il sera alors
aisé de trouver le terme général. On pose alors une suite (vn )n telle que vn = un − r, avec r un réel.
(vn )n satisfait donc la condition suivante :
vn+1 = un+1 − r
= aun + b − r
= a(vn + r) + b − r
= avn + (a − 1)r + b
On peut alors aisément faire de (vn )n une suite géométrique géométrique. Il nous suffit pour cela de
poser la condition suivante :
(a − 1)r + b = 0
Soit :
r=
b
a−1
3
Cette définition de r est possible, puisque nous nous plaçons dans le cas ou a 6= 1.
Étant donné que (vn )n est une suite géométrique de raison a, son terme général est :
vn = an v0
On peut, a partir de cela, trouver la forme explicite de (un )n :
vn = un − r = an v0
En particulier, on a :
v0 = u0 − r
On trouve alors l’expression explicite de (un )n :
un = an (u0 − r) + r
Dans notre situation, nous avions :
αn+1 =
Soit, a = − 12 et b =
π
2.
π αn
−
2
2
Nous trouvons ainsi l’expression de r puis le terme général de (αn )n :
r=
π
b
2
=
=
1−a
1 − −1
2
π
2
2+1
2
=
π2
π
=
23
3
1
π
π
αn = (− )n (u0 − ) +
2
3
3
Il semble évident que lim (− 21 )n = 0.
n→+∞
De plus (α0 − π3 ) est constant. Par conséquent :
1
π
π
π
π
lim (− )n (α0 − ) + = 0 + =
2
3
3
3
3
n→+∞
La suite (αn )n converge donc bel et bien vers
pliages tendent a devenir équilatéraux.
2.3
π
3.
Cela fini de prouver que les triangles crées lors du
Résolution Graphique
Représentation d’une suite définie par récurrence
Une telle suite est définie par une relation de type un+1 = f (un ) et la donnée du terme initial. Pour
représenter graphiquement cette suite, nous pouvons utiliser la méthode de construction graphique suivante :
1. Tracer Γf la courbe représentant la fonction f .
2. Tracer la droite ∆ d’équation y = x. Chaque point de cette droite possède une abscisse égale à son
ordonnée
3. Chercher le point d’ordonnée f (u0 ), on l’obtient en traçant une droite verticale passant par (u0 ; 0)
et en cherchant son intersection avec Γf . Ce point a comme ordonnée f (u0 ), ce qui correspond à
u1 (puisque u1 = f (u0 ) )
4. Projeter horizontalement le point de coordonnées (u0 ; u1 ) sur la droite ∆ pour obtenir le point de
coordonnées (u1 ; u1 ), une projection verticale permet ensuite de reporter le point (u1 ; 0) sur l’axe
des ordonnées.
4
Figure 4 – Pour f =
√
2x + 3
Réaliser ensuite pour u1 les même opérations que pour u0 afin d’obtenir u2 et ainsi de suite pour les
termes de rang suivant.
Exemple :
Dans le cas d’une suite arithmético-géométrique, f serais une fonction affine. Nous pouvons inverser
le processus ci-dessus pour retrouver les paramètres a et b de cette fonction a partir de la donnée des αn .
1. Tracer la droite ∆ d’équation y = x.
2. Placer le point de coordonnées (α0 ; α1 )
3
Moyenne Arithmético-Géométrique
3.1
Moyenne Arithmétique et Moyenne Géométrique
On se donne deux suites (an )n et (bn )n définies telles que :
p
an+1 = an bn
an + bn
bn+1 =
2
(an )n est la moyenne géométrique de deux nombres tandis que (bn )n est la moyenne arithmétique.
Prenons un rectangle de cotés a0 et b0 . La moyenne arithmétique (figure 5) serais le coté d’un carré
dont le périmètre est le même que celui du rectangle. La moyenne géométrique (figure 6), elle, correspond
au coté d’un carré dont l’aire serais égale a celle du rectangle.
3.2
Convergence
Par tracé graphique des termes des deux suites, on obtient la figure 7 suivante :
On peut relever plusieurs relations d’inégalités entre les deux suite.
Pour commencer, il nous faut an bn > 0, afin que (an )n soit une suite réelle. Cela impose donc que a0
et b0 soient positifs. En effet, pour avoir an+1 bn+1 > 0, il nous faut an > 0 et bn > 0. Il pourrais suffir
que an et bn soient de même signe, mais si an 6 0 et bn 6 0, nous aurions certes le bon signe pour an+1 ,
mais bn+1 serais négatif et au rang n + 2, il serais impossible de calculer an+2 dans les réels. Nous posons
donc que a0 > 0 et b0 > 0.
La figure 7 nous laisse supposer que an 6 bn . Pour faciliter l’écriture, on pose a0 6 b0 , mais cela ne change
en rien la position des an et bn , ∀n 6 1, étant donné la définition des termes de la suite, l’addition et la
multiplication étant commutatives.
5
Figure 6 – Moyennes géométrique
Figure 5 – Moyennes arithmétique
Figure 7 – Représentation de la suite
Pour vérifier que an+1 6 bn+1 , étudions le signe de bn+1 − an+1 :
an + bn p
− an bn
2
√
an + bn − 2 an bn
=
2
√
√
( an − bn )2
=
>0
2
bn+1 − an+1 =
(1)
Ainsi, on en déduit bien que an+1 6 bn+1 .
De fait, (an )n et (bn )n sont deux suites adjacentes. Pour rappel, il s’agit de deux suites, dont l’une
est croissante et l’autre décroissante, telles que leur différence tends vers 0. D’après la figure 7, (an )n
semble être croissante, et (bn )n décroissante.
Vérifions cela :
√
√
• D’une part : an+1 = an bn > an an = an , par la propriété (1). Cela démontre bien que (an )n est
croissante, ∀n 6 1.
• D’autre part, identiquement, on montre que : bn+1 =
(bn )n est décroissante, ∀n 6 1.
an +bn
2
On remarque de plus que par (1), on a :
0 6 bn+1 − an+1
6
6
bn +bn
2
= bn . Cela démontre bien que
De plus puisque (an )n est croissante :
0 6 bn+1 − an+1 6 bn+1 − an =
bn − an
2
On peut alors poser une suite (cn )n , telle que cn = an − bn . On a alors, d’après l’inégalité ci dessus :
1
cn
2
soit :
cn+1 6
2cn+1 6 cn
On peut maintenant poser une autre suite (dn )n , telle que dn = 2n cn .
On a alors :
dn+1 = 2n+1 cn+1
= 2n × 2cn+1
6 2n cn
6 dn
On a démontré que dn est décroissante, on peut alors notamment majorer dn par d0 . Cela nous permet
alors d’écrire l’inégalité suivante :
dn+1 6 dn 6 d0
2n cn 6 20 c0
1
cn 6 ( )n c0
2
1
bn − an 6 ( )n (b0 − a0 )
2
Or ( 21 )n (b0 −a0 ) est une suite géométrique de raison 6 1, elle tends donc 0. De plus, nous avions démontré
que bn − an > 0. D’après le théorème des gendarmes, nous trouvons bien :
lim bn − an = 0
n→+∞
Cela achève de démontrer que (an )n et (bn )n sont deux suites adjacentes.
3.3
Convergence Quadratique
On s’intéresse a présent
√ a la vitesse de convergence de (an )n et (bn )n vers leur limite commune. Si
on pose a0 = 1 et b0 = 2, et que l’on calcule les 4 premiers termes de la suite, on trouve :
rang
0
1
2
3
4
an
1
1,189207115002720
1,198123521493120
1,198140234677310
1,198140234735590
bn
√
2
1,207106781186550
1,198156948094630
1,198140234793880
1,198140234735590
On constate ici que les deux suites ont la même valeur pour quinze décimales dès la 4ème itération.
Cela traduit une très grande vitesse de convergence, bien plus rapide que la convergence géométrique
observée en partie 2.2. On va alors chercher a trouver un majorant qui converge plus rapidement qu’une
7
suite géométrique a la limite de bn − an .
an + bn p
− an bn
2
√
an + bn − 2 an bn
=
2
√
√
( bn − an )2
=
√ 2 √ 2
√
√
1 ( bn − an ) × ( bn + an )2
√
=
√
2
( bn + an )2
bn+1 − an+1 =
=
1 (bn − an )2
√
√
2 ( bn + an )2
Du fait que bn 6 an , et que bn soit décroissante, on peut majorer an et bn par b0 , pour tout n. On obtient
alors l’inégalité suivante :
1 (bn − an )2
√
2 (2 b0 )2
1
6
(bn − an )2
8b0
bn+1 − an+1 6
Cette inégalité traduit ici la convergence quadratique de la suite (i.e., une vitesse de convergence
d’ordre deux). Cela signifie que la précision de l’approximation faite en calculant les décimales double a
chaque itération.
Nous allons a présent chercher le terme général d’une telle suite, afin de mettre en évidence ce
phénomène. Pour cela, on pose une suite (un )n , définie telle que :
un+1 = ku2n
Nous allons pour l’instant nous intéresser au cas avec une égalité, nous reviendrons sur l’inégalité
plus tard. On pose maintenant une autre suite (vn )n ), définie telle que :
vn = ln(un )
On a alors :
vn+1 = ln(un+1 )
= ln(ku2n )
= ln(k) + 2ln(un )
= K + 2vn
On peut alors remarquer que (vn )n est une suite arithmético-géométrique, de la forme vn = avn+1 + b,
avec a = 2 et b = K. En nous appuyant sur les démonstration faites en dans la partie 1, on peut alors
écrire :
vn = an (v0 − r) + r
Avec r =
b
1−a
=
K
1−2
= −K, donc :
vn = 2n (vo + K) − K
8
On peut a présent trouver le terme général de (un )n :
ln(un ) = 2n (ln(u0 ) + ln(k)) − ln(k)
n
un = e2
ln(ku0 )−ln(k)
un = eln((ku0 )
n
2n
)
.e−ln(k)
n
un = u20 k 2 −1
n
1
un = (ku0 )2
k
Donc, si ku0 6 1, il est évident que cette série converge bien plus rapidement qu’une suite géométrique.
Cela revient donc à :
1
(b0 − a0 ) 6 1
8b0
b0 − a0 6 8b0
−a0 6 7b0
a0 > −7b0
n
Exemple. Pour illustrer la vitesse de convergence, posons u0 = 10−1 et k = 1. On a alors un = 10−2 .
Ce choix met évidence le fait que la précision sur les décimales double a chaque itération. En effet :
• u0 = 10−1 = 0.1
• u1 = 10−2 = 0.01
• u2 = 10−4 = 0.0001
• u3 = 10−8 = 0.00000001
• u4 = 10−16 = 0.0000000000000001
Intéressons nous a présent a l’inégalité. Pour cela, posons une suite (wn )n , définie telle que :
wn 6 kwn2
w0 = u0
On cherche maintenant la relation d’inégalité entre (un )n et (wn )n . Les conditions énoncée ci dessus
entraient-elle wn 6 un pour tout n ?
Cela se démontre aisément par récurence.
En effet, puisque w0 = u0 , on peut écrire que w0 6 u0 . Si l’on suppose de plus que wn 6 un , on a :
wn 6 un
wn2 6 u2n
kwn2 6 ku2n
wn+1 6 un+1
Cela achève donc de montrer que wn 6 un , pour tout n.
Cette inégalité implique que la suite (wn )n converge au moins aussi rapidement, si ce n’est plus rapidement que la suite (un )n . En conséquence, (an )n et (an )n convergent - a minimat - quadratiquement vers
leur limite commune.
9
4
Moyenne Arithmético-géométrique réelle
4.1
Définition
On se donne a et b deux réels strictement positifs tels que leur moyenne arithmético géométrique soit
la limite commune des suites (an )n et (bn )n précédemment définies avec pour valeurs initiales a0 = a et
b0 = b. On la notera M (a, b).
Pour tout a, b réels strictement positifs, la moyenne arithmético-géométrique M (a, b) vérifie :
• Propriété de réflexivité : M (a, a) = a
• Propriété de symétrie : M (a, b) = M (b, a)
• Propriété d’homogénéité : M (ac, bc) = cM (a, b) avec c > 0
√
• M (a, b) = M ( a+b
2 , ab)
Nous avons prouvé l’existence de M dans le chapitre 2. On considérera les propriétés ci-dessus comme
admises ; elles se démontrent aisément grâce aux règle de calculs sur les limites et a la définition de (an )n
et (bn )n .
Nous choisissons de plus la notation : M (x) = M (1, x).
On peut alors en déduire plusieurs propriétés :
1
M (x)
M( ) =
x
x
(1)
Démonstration. On peut démontrer cette égalité grâce aux propriétés énoncées plus haut :
1
1
M (x, 1)
M (1, x)
M (x)
M ( ) = M (1, ) =
=
=
x
x
x
x
x
On peut également monter que, pour x ∈ [0; 1], on à :
p
M ( 1 − x2 ) = M (1 + x, 1 − x)
(2)
√
√
Démonstration. Pour tout√ x > 0, M (1, p1 − x2 ) = M ( 1 − x2 ), d’après la notation introduite précédemment. De plus, M√
(1, 1 − x2 ) = M ( (1 − x)(1 + x)). En identifiant alors a = 1 + x et b = 1 − x,
a+b
on reconnait M ( 2 , ab ; ce qui, en cosquence de la quatrième propriété, est aussi égal à M (a, b) =
M (1 + x, 1 − x).
p
p
M (1, 1 − x2 ) = M ( 1 − x2 )
De plus :
M (1,
p
p
1 − x2 ) = M ( (1 − x)(1 + x))
En identifiant alors a = 1 + x et b = 1 − x, on reconnaît :
M(
a+b √
, ab)
2
Ce qui, en conséquence de la quatrième propriété, est aussi égal à M (a, b) = M (1 + x, 1 − x).
On peut également montrer que pour tout x < 0, on a :
M (x) =
√
1+x
2 x
M(
)
2
1+x
10
(3)
Démonstration. D’une part, on peut poser :
1+x √
, x)
2
On peut alors faire apparaître le facteur 1+x
2 , et conclure par la propriété d’homogénéité, puisque celui-ci
est positif. En effet :
√
√
1+x
2 x
1 + x (1 + x) x
,
)=
M(
)
M (x) = M (
2
(1 + x)
2
1+x
M (1, x) = M (
4.2
Intégrales elliptiques
La moyenne arithmético-géométrique est une suite qui a déjà été exploitée à des fins calculatoires
notamment par Adrien-Marie Legendre et Joseph-Louis Lagrange afin de calculer approximativement des
intégrales elliptiques en les ramenant à une forme calculable, pour les travaux en astronomie notamment.
Cependant, l’étude de la suite et de ses subtilités fut négligée et c’est Carl-Friedrich Gauss qui s’y
intéressera tout particulièrement. C’est en ce sens que nous présenterons le théorème de Gauss et donc
la formulation est la suivante :
Theorème. Pour tout a, b > 0, on a :
Z
1
1
=
M (a, b)
π
∞
−∞
dt
p
(a2
+ t2 )(b2 + t2 )
Il existe deux méthodes pour démontrer cette égalité. La première est moderne et simple, consistant
en des changements de variables. La seconde est plus complexe et se repose sur un développement en
série. Gauss utilisa cette seconde méthode pour démontrer son théorème.
Nous développerons la première méthode, puis nous présenterons l’autre sommairement.
Méthode par changement de variables :
Soit une ellipse, définie par ses équations x = acos(t) et y = bsin(t), avec 0 ≤ t ≤ 2π. Son périmètre est
alors défini par p = 4q, avec q le périmètre d’un quart de l’ellipse.
dy
D’après les équations dx
dt = −asin(t) et dt = bcos(t), on a alors :
Z π2 r
dy
dx
( )2 + ( )2 dt
q=
dt
dt
0
On en déduit :
π
2
Z
p
a2 sin2 (t) + b2 cos2 (t)dt
p=4
0
On s’intéresse à l’intégrale suivante :
2
π
π
2
Z
dt
p
0
a2 cos2 (t)
+ b2 sin2 (t)
(†)
Que l’ont voudrais comparer à :
1
π
Z
∞
−∞
du
p
(a2 + u2 )(b2 + u2 )
(††)
Montrons que ces deux intégrales sont égales. Pour cela, partons de (†), et posons le changement de
variable : u = btan(t). On a alors :
du = b(1 + tan2 (t))dt
u2
)dt
b2
du
dt =
2
b(1 + ub2 )
= b(1 +
11
Or on sait que 1 + tan2 (t) =
1
cos2 (t) .
En réperant que cos2 (t) =
1
2
1+ u
b2
1
b2
1+ u
2
, et que : sin2 (t) =
. L’intégrale
(†) s’écrit alors :
2
π
Z
0
π
2
2
p
=
2
2
2
2
π
a cos (t) + b sin (t)dt
Z
2
π
Z
dt
=
=
2
π
π
2
0
∞
0
Z
du
r
2
b(1 + ub2 ) a2 (
du
r
2
b(1 + ub2 )
∞
1
2
1+ u
b2
) + b2 (
Z
2
1+ u
b2
+
b2 (1 +
u2 2
a2
b2 ) ( 1+ u2
2
π
Z
=
=
=
=
2
π
∞
b2
b2
1+ u
2
+
Z
2
π
Z
2
π
Z
0
du
r
b2 (1 +
u2
b2 )(
∞
b2
a2 (1+ u
2
2
)+b2 (1+ u
)
b2
b2
(1+ u
2
)
)
du
s
(b2 + u2 )(
u2
b2
2
a2 (1+ u
2 )+b (1+ b2
u2 +b2
( u2 )
∞
)
)
du
r
0
2
u
b
2
2
u2 2 a (1+ u2 )+b (1+ b2 )
)
u2
b2
b2 ) (
(1+ u2 )(1+ b2 )
∞
0
)
2
b2 (1 +
0
b2
b2
1+ u
2
du
r
0
)
1
a2
b2
2
=
π
1
b2
1+ u
2
du
r
0
1
2
(b2 + u2 )(
∞
2
b
u
2
2
(a2 (1+ u
2 )+b (1+ b2 ))u
)
(u2 +b2 )
du
q
((a2 (1 +
b2
u2 )
+ b2 (1 +
u2
2
b2 ))u
Z
2 ∞
du
√
π 0
a2 u2 + a2 b2 + b2 u2 + u4
Z
du
2 ∞
p
=
2
π 0
(a + u2 )(b2 + u2 )
=
Par parité sur les bornes d’intégration, on peut écrire :
Z
Z
du
1 ∞
du
2 ∞
p
p
=
2
2
2
2
2
π 0
π −∞ (a + u2 )(b2 + u2 )
(a + u )(b + u )
Ainsi, ces deux intégrales sont égales. On notera I(a, b) l’intégrale (††)
. De plus, par le changement de variables u = 21 (t − ab
t ), avec t strictement positif, on peut montrer que :
I(a, b) = I(
a+b √
, ab)
2
En effet, en posant u de cette façon, on en déduit que du = 12 (1+ ab
t2 )dt. A présent, si on note A =
12
a+b
2
et B =
√
ab, il s’ensuit d’une part que :
a+b 2
1
ab
) + ( (t − ))2
2
2
t
2
1 2
t
− ab 2
(a + 2ab + b2 )(
)
4
t
1 t2 a2 + 2t2 ab + t2 b2 + t4 − 2t2 ab + a2 b2
4
t2
2 2
2 2
2 2
1 a b + t a + t b + t4
4
t2
2
2
1 (a + t )(b2 + t2 )
4
t2
A2 + u2 = (
=
=
=
=
et d’autre part :
1
ab
B 2 + u2 = ab + (t − )2
4
t
1 2
a
= (4t ab + t − 2t2 ab + a2 b2 )
4
1
ab
= (t + )2
4
t
Si on calcule I(A, B), on trouve alors :
1
π
Z
1
π
Z
1
=
π
Z
I(A, B) =
=
1
=
π
=
2
π
∞
−∞
∞
−∞
du
p
(A2 + u2 )(B 2 + u2 )
1
ab
2 (1 + t2 )dt
q
2
2
2 +t2 )
( 14 (a +t t)(b
)( 14 (t +
2
∞
−∞ 1
4
Z ∞
−∞
∞
Z
−∞
(t+ ab
t )
t
ab 2
t ) )
1
ab
2 (1 + t2 )dt
p
(a2 + t2 )(b2 + t2 )
1
2 (1
+ ab
t2 )dt
p
1
ab
2
2
2
2
4 (1 + t2 ) (a + t )(b + t )
dt
p
2
(a + t2 )(b2 + t2 )
= I(a, b)
Ainsi, par passage a la limite de I(a, b), pour an et bn , on déduit que :
I(a, b) = I(M (a, b), M (ab, b))
Cela implique que :
Z ∞
−∞
dt
p
=
(M (a, b)2 + t2 )(M (a, b)2 + t2 )
Z
∞
−∞
dt
π
=
M (a, b)2 + t2
M (a, b)
Ce qui revient exactement a dire :
1
1
=
M (a, b)
π
Z
∞
−∞
dt
p
(a2 + t2 )(b2 + t2 )
On admettra que l’intégrale est continue et que la fonction x 7→ M (x) est de classe C ∞ , strictement
croissante sur R+∗ , telle que lim M (x) = 0 et lim M (x) = +∞.
x→0
x→+∞
13
Méthode par développement en série :
La démonstration de Gauss repose sur l’identification de développement en série. En effet, en partant de
l’égalité pour M (1 − x, 1 + x) (établie plus haut), il reconnaît les coefficients du développement en série
1
, puis obtient un développement en série qui lui permet de conclure.
de M (1−x,1+x)
Ainsi, nous avons vu que la moyenne arithmético-géométrique pouvait être traduite dans l’ensemble
des réels à travers une fonction qui rend compte des mêmes propriétés que celles de la suite précédemment
étudiée et à laquelle on pouvait rattacher la notion d’intégrale elliptique, qui a d’ailleurs mis en évidence
une forme calculable de la moyenne arithmético-géométrique réelle.
14
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