Arithmético-géométrie

Rapport Immersion Recherche
Double Licence Mathématiques et Physique - 2ème année
Novembre - Décembre 2019
Arithmético-géométrie
Aymane Rouabah et Noémie Damerval
Tuteur : Pierre Pansu

Résumé
Dans ce document, nous allons tenter de rendre de compte de notions d’arithmético-géométrie, et
de leurs applications. A partir d’un simple pliage, nous pourrons montrer simplement en quoi consiste
une suite arithmético-géométrique. Celle-ci nous permettra de mettre en avant le phénomène de
convergence quadratique, qui nous amènera ensuite d’étudier la moyenne arithmético-géométrique.
Abstract
This paper as a way of giving account of arithmetico-geometric notions and their applications. A
simple paper folding will allow to easily illustrate what is an arithmetico-geometric sequence. Thus, it
will enlight the quadratic convergence which will eventually lead to the arithmetico-geometric mean.
Sommaire
1 Introduction 2
2 Pliage papier et convergence 2
2.1 Lepliage.............................................. 2
2.2 Laconvergence .......................................... 2
2.3 RésolutionGraphique ...................................... 4
3 Moyenne Arithmético-Géométrique 5
3.1 Moyenne Arithmétique et Moyenne Géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Convergence............................................ 5
3.3 ConvergenceQuadratique .................................... 7
4 Moyenne Arithmético-géométrique réelle 10
4.1 Définition ............................................. 10
4.2 Intégraleselliptiques ....................................... 11
1

1 Introduction
Dans le cadre de l’UE Immersion Recherche de notre formation Double Licence Maths-Physique
Deuxième Année, nous avons eu à réaliser un travail de recherche au sein du Laboratoire de Mathéma-
tiques d’Orsay en présence de Pierre Pansu, notre tuteur pour ce semestre.
Nous allons être amenés à porter une réflexion sur la notion d’arithmético-géométrie. Cette notion
est introduite au moyen d’un problème récréatif, portant sur un pliage papier. De ce point de départ,
nous commencerons a travailler sur la notion de suite aritmético-géométrique. Ce travail fait appel a un
certain nombre de notions de L1 et L2, sur lequelles nous nous appuierons, la plupart des notions se
rattachant à la géométrie ou à l’analyse.
Suite a cela, nous nous intéresserons progressivement aux moyenne arithmétiques et géométriques. En
particulier, en couplant ces deux suites, nous pourrons en dégager une limite commune, que l’on appellera
moyenne arithmético-géométrique.
Cette limite a par le passé fait l’objets de travaux mathématiques poussés. En effet, cette dernière a en
particulier servit comme point de départ pour le calcul de périmètres d’éllipses, ou l’approximation de pi.
Nous ferons l’effort de détailler les démonstrations de la plupart de nos affirmations, les quelques
résultats admis sont démontrables aisément ou hors-programme.
2 Pliage papier et convergence
2.1 Le pliage
Commençons par un pliage.
Pliez une bande de papier suivant un angle quelconque. Rabattez ensuite la partie pliée contre le bord
du haut. Cela revient a plier selon la bissectrice de l’angle déjà formé. Répétez ensuite cette opération
autant de fois que le permet votre bande.
Figure 1 – Étapes du pliage
Vous devriez obtenir la figure 2. On peut alors observer que cette suite de pliage semble faire apparaître
des triangles équilatéraux sur notre bande de papier.
2.2 La convergence
Vérifions que cette suite de pliage nous mène bien a des triangles équilatéraux.
2

Figure 2 – Pliage final
Figure 3 –
Soit α0∈[0; π]notre angle de départ. Les bords de notre bande de papier sont parallèles, donc si l’on
suit les notations de la figure 3, on a : ∆1k∆2. Le pliage nous fait alors créer la bissectrice de l’angle
π−α0. Par les propriétés d’angles alternes internes, on en déduit que α1=π−α0
2.
Par récurrence, on a alors :
αn+1 =π
2−αn 2
Il s’agit la de l’expression d’une suite arithmético-géométrique, que l’on nommera (αn)n.
Puisque cette suite est doit construire des triangles équilatéraux, il semble pertinent de supposer que :
lim
n→+∞
αn=π
3
L’enjeu du problème est alors de déterminer la forme explicite de cette suite, afin de vérifier notre hy-
pothèse sur sa limite. Cela confirmera alors la natures des triangles observés après un certain nombre de
pliages.
Pour se faire, reprenons la définition d’une suite arithmético-géométrique (un)n. Celle-ci est définie
telle que un+1 =aun+b, avec aet bdeux réels. Cherchons maintenant le terme général d’une telle suite.
•Si a= 1, on a : un+1 =un+b. La suite est alors arithmétique.
•Si b= 0, on a :un+1 =aun. La suite est alors géométrique.
Interressons nous aux cas ou a6= 1 et b6= 0.
On aimerais pouvoir se ramener a une suite arithmétique ou une suite géométrique, dont il sera alors
aisé de trouver le terme général. On pose alors une suite (vn)ntelle que vn=un−r, avec run réel.
(vn)nsatisfait donc la condition suivante :
vn+1 =un+1 −r
=aun+b−r
=a(vn+r) + b−r
=avn+ (a−1)r+b
On peut alors aisément faire de (vn)nune suite géométrique géométrique. Il nous suffit pour cela de
poser la condition suivante :
(a−1)r+b= 0
Soit :
r=b
a−1
3

Cette définition de rest possible, puisque nous nous plaçons dans le cas ou a6= 1.
Étant donné que (vn)nest une suite géométrique de raison a, son terme général est :
vn=anv0
On peut, a partir de cela, trouver la forme explicite de (un)n:
vn=un−r=anv0
En particulier, on a :
v0=u0−r
On trouve alors l’expression explicite de (un)n:
un=an(u0−r) + r
Dans notre situation, nous avions :
αn+1 =π
2−αn 2
Soit, a=−1
2et b=π 2. Nous trouvons ainsi l’expression de rpuis le terme général de (αn)n:
r=b
1−a=
π
2
1−−1
2
=
π
2
2+1
2
=π
2
2
3=π 3
αn= (−1
2)n(u0−π 3) + π 3
Il semble évident que lim
n→+∞(−1
2)n= 0.
De plus (α0−π
3)est constant. Par conséquent :
lim
n→+∞(−1
2)n(α0−π 3) + π 3= 0 + π 3=π 3
La suite (αn)nconverge donc bel et bien vers π
3. Cela fini de prouver que les triangles crées lors du
pliages tendent a devenir équilatéraux.
2.3 Résolution Graphique
Représentation d’une suite définie par récurrence
Une telle suite est définie par une relation de type un+1 =f(un)et la donnée du terme initial. Pour
représenter graphiquement cette suite, nous pouvons utiliser la méthode de construction graphique sui-
vante :
1. Tracer Γfla courbe représentant la fonction f.
2. Tracer la droite ∆d’équation y = x. Chaque point de cette droite possède une abscisse égale à son
ordonnée
3. Chercher le point d’ordonnée f(u0), on l’obtient en traçant une droite verticale passant par (u0; 0)
et en cherchant son intersection avec Γf. Ce point a comme ordonnée f(u0), ce qui correspond à
u1 (puisque u1=f(u0))
4. Projeter horizontalement le point de coordonnées (u0;u1)sur la droite ∆pour obtenir le point de
coordonnées (u1;u1), une projection verticale permet ensuite de reporter le point (u1; 0) sur l’axe
des ordonnées.
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