Rappels Rappels Sur Les Calculs Matriciels

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QUELQUES RAPPELS
DE CALCUL MATRICIEL
Benoît MULKAY
Faculté de Sciences Economiques
UNIVERSITE DE MONTPELLIER 1
Septembre 2008

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1. Définitions et Axiomes
1.1. Définition d’une matrice
Une matrice est un tableau rectangulaire de p lignes et de q colonnes avec des nombre réels
ℜ∈
ij
a à la i
ème
ligne et la j
ème
colonne tels que pi ,,1 K
=
et qj ,,1 K
=
. Cette matrice
d’ordre ou de genre
q
p
×
. Elle est notée :
[ ]
===
×
pqpp
ij
q
q
ij
qp
aaa
a
aaa
aaa
aAA
LL
MOMM
MOMM
LL
LL
21
22221
11211
.
1.2. Transposée d’une matrice
[
]
ji
aA =
′
est la transposée de la matrice A. Elle est d’ordre
p
q
×
.
1.3. Multiplication par un scalaire
Si λ est un scalaire,
[
]
ij
aA λ=λ .
1.4. Addition de deux matrices
Si
[
]
ij
bB = est aussi une matrice d’ordre
q
p
×
:
[
]
ijij
baBA +=+
1.5. Produit de deux matrices
Le produit matriciel est défini si B est aussi une matrice avec q lignes et r colonnes :
[
]
ij
cCAB == est d’ordre
r
p
×
avec :
∑
=
=
q
kkiikij
bac
1
.
1.6. Associativité du produit matriciel
(
)
(
)
.ABCBCACAB ==

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1.7. Non-commutativité du produit matriciel
L’existence du produit matriciel AB n’implique pas nécessairement l’existence du produit
matriciel BA. En général, le produit matriciel n’est pas commutatif :
BA
AB
≠
.
1.8. Distributivité
(
)
( )
.
,
ACABCBA
BCACCBA +=+
+
=
+
1.9. Quelques règles de transposition
(
)
( )
( ) .
,
,
ABAB
BABA
AA
′′
=
′′
+
′
=
′
+
=
′
′
1.10. Produit (scalaire) d’un vecteur
Si x est un vecteur-colonne 1
×
n, alors x
′
est un vecteur-ligne n
×
1 , et le produit scalaire de
ce vecteur est la somme des carrés de ses composantes :
∑
=
=
′
n
ii
xxx
1
2
1.11. Produit de Hadamard
Si les matrices A et B sont de même ordre
q
p
×
, le produit de Hadamard est un produit
élément-par-élément des deux matrices : BAC o
=
, tel que :
.
ijijij
bac =
1.12. Matrice nulle
Si tous les éléments de la matrice A sont nuls : 0=
ij
a, pour tout i et j, on écrira : .
0
=A
1.13. Orthogonalité
2 vecteurs
(
)
1×n x et y seront dits orthogonaux si et seulement si :

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.0=
′
=
′
xyyx
2 matrices compatibles A et B seront dits orthogonales si et seulement si :
.
0
=AB
1.14. Norme d’un vecteur
La norme d’un vecteur x
(
)
1×n est définie par :
.
21
1
2
=
′
=
∑
=
n
ii
xxxx
On peut prouver que : .yxyx +≤+
1.15. Rang d’une matrice
Le rang d’une matrice A, noté r(A), est le nombre minimum de lignes ou de colonnes
linéairement indépendantes.
1.16. Propriétés du rang d’une matrice
Si
(
)
pAr = (le nombre de lignes de A), on dira que A est de plein-rang (lignes). Si
(
)
qAr =
(le nombre de colonnes de A), on dira que A est de plein-rang (colonnes).
1.17. Rang d’un produit matriciel
(
)
(
)
(
)
{
}
.,min BrArABr ≤

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2. Matrices Carrées
2.1. Définition d’une matrice carrée
Une matrice A est dite carrée si le nombre de ligne est égal au nombre de colonnes :
.
q
p
=
2.2. Trace d’une matrice carrée
La trace d’une matrice carrée A, notée
(
)
Atr , est la somme des éléments sur sa diagonale
principale :
( )
.tr 1
∑
=
=p
iii
aAB
2.3. Propriété de la trace d’une matrice
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) .trtr
,trtr
,trtrtr
AA
AA
BABA
=
′λ=λ +=+
2.4. Propriété de circularité de la trace
Si AB et BA sont des matrices carrées (pas nécessairement du même ordre), alors :
(
)
(
)
.trtr BAAB =
Si les produits matriciels ABC, CAB et BCA existent, alors :
(
)
(
)
(
)
.trtrtr BCACABABC ==
2.5. Propriété de la trace d’une matrice (suite)
(
)
(
)
.trtr
1 1
2
∑∑
= =
=
′
=
′
p
i
p
jij
aAAAA
2.6. Matrice diagonale
Si 0=
ij
a, pour tout
j
i
≠
, la matrice est dite diagonale et on écrira :