Solution TD chapitre I

Université Sultan Moulay Slimane
Faculté des Sciences et Techniques de Beni-Mellal
Département de Mathématiques
A. ABBASSI
Exercices Analyse II
Travaux Dirigés N1
Première version:
Décembre, 2017
FST Beni-Mellal.
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Université Sultan Moulay Slimane Année universitaire 2017/2018
Faculté des Sciences et Techniques de Beni Mellal Filières : MIPC/GE-GM
Travaux Dirigés N1
Module Analyse II
Exercice 1 : On considère la fonction fdé…nie par f(x) = x2xE(x), où Edésigne la fonction
partie entière.
1- Représenter le graphe de fsur R+.
2- En désignant par nun entier positif, calculer Zn
0
f(t)dt.
3- En désignant par xun nombre réel positif, calculer Zx
0
f(t)dt.
Rappelons que:
i=p
P
i=1
k2=p(p+ 1)(2p+ 1)
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Exercice 2 : Soient aet bdeux réels tel que a<b, soit f:[a; b]!Rune fonction continue.
On pose: un=Rb
ajsin ntjdt.
1- Soient K2Zet N2N,
a- Calculer IKN =Z(K+N)
n
K
njsin ntjdt.
b- Déduire que lim
n!+1un=2
(ba).
2- Soit fune fonction en escalier, montrer que. lim
n!+1Rb
af(t)jsin ntjdt =2
Rb
af(t)dt.
Exercice 3 : Calculer les primitives des fonctions:
1- arctan x,arctan x
1 + x2et xln(1 + x2) 1 + x2
2- En déduire Rln(1 + x2) arctan x dx.
Exercice 4 : Calculer les primitives des fonctions [ln(1 + x)]2
1 + xet sin px.
Exercice 5 : Calculer R1
0
1
(1 + x)2(x2+ 1)dx.
Exercice 6 : Calculer les primitives des fonctions:
1- cos4x,cos6xet cos4xsin2x
2- (sin x+ sin 2x)1,sin x(1 + sin x)1,(shx)3.

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Solutions série d’exercices
Exercice 1 :
1-Remarquons que lorsque x2N, alors
f(x) = 0;
2- Par dé…nition,
E(x) = ksur [k; k + 1[;
Soit n2N, on a
Zn
0
E(x)dx =
n1
X
k=0 Zk+1
k
E(x)dx
=
n1
X
k=0 Zk+1
k
kdx
=
n1
X
k=0
k=n(n1)
2:
Notons par
In=Zn
0
f(x)dx
=Zn
0
x2dx 
n1
X
k=0 Zk+1
k
kxdx
= [x3
3]n
0
n1
X
k=0
k[x2
2]k+1
k
=n3
3
n1
X
k=0
k21
2
n1
X
k=0
k
=n3
3(n1)n(2(n1) + 1) 61 2
n(n1)
2
=1
4n2+1 12n:
3- Soit x2R;il existe n2Ntel que
nxn+ 1;

4 A. ABBASSI
l’intégrale Ix=Rx
0f(t)dt se décompose sous la forme:
Ix=Zn
0
f(t)dt +Zx
n
f(t)dt
=In+Zx
n
(t2tn)dt
=n
3+ [t3 3]x
nn[t2
2]x
n
=x3
3nx2 2+n3 6+n2 4+n 12:
Exercice 2 :
1-a) Soit K2Zet N2N
IKN =
(K+N)
n
Z
K
n
jsin(nt)jdt
=
K+N1
X
j=K
(j+1) 
n
Z
j
n
jsin(nt)jdt:
Puisque la fonction t! jsin(nt)jest 
npériodique ( poser g(t) = sin nt; montrer que g(t+ n) =
g(t)), de plus sin(nt)0sur l’intervalle [0;
n], donc
IKN =N
n
Z0
sin(nt)dt
=N[cos(nt)
n]
n
0
=2N
n:
b) Soit n2N, il existe k=E(an
)2Ntel que
kan
k+ 1;
ou encore:
(1) k
na(k+ 1) n:
De la même manière, il existe N2Ntel que
(2) (k+N1
| {z }
p
)
nb(k+N
|{z}
p+1
)
n:
On a la majoration suivante de Un:
p
n
Z
(k+1) 
n
jsin(nt)jdt 
b
Za
jsin(nt)jdt 
(p+1) 
n
Z
k
n
jsin(nt)jdt;

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ou encore
I(k+1)(pk)
b
Za
jsin(nt)jdt Ik(p(k1));
grâce à la question précédente a)
I(k+1)(p(k+1)) =2
n(p(k+ 1));et Ik(p(k1)) =2 n(p(k1)):
Pour …nir, il su¢ t d’encadrer la quantité (pk), chose qu’on peut établir grâce aux inégalités
(1) et (2):(a
nk na
b
np nb;
d’où n
(ba)1pkn (ba)+1;
i.e. 2
(ba)4 nUn2 (ba) + 4 n:
On en conclut que
lim
n!+1Un=2
(ba):
2- La fonction fétant en escalier, il existe donc une subdivision q= (a=a0< a1< ::: <
aq=b)de l’intervalle [a; b]et il existe une suite …nie de réels (k)k=1::q tel que 8k= 1; ::; q on a:
f(x) = ksur ]ak1; ak[;
donc
b
Za
f(t)jsin(nt)jdt =
q
X
k=1
k
ak
Z
ak1
jsin(nt)jdt:
D’après la question 1
lim
n!+1
b
Za
f(t)jsin(nt)jdt =
q
X
k=1
k2
4lim
n!+1
ak
Z
ak1
jsin(nt)jdt3
5:
=2
q
X
k=1
k(akak1)
| {z }
Rb
af(t)dt
=2
b
Za
f(t)dt:
Dans les exercices qui suivent, nous cherchons les primitives des fonctions là où elles sont dé…nies
et continue. Attension, l’intégration par parties nécéssite des fonctions de classe C1.
Exercice 3 : Calcul des primitives.