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polyTPPhys103b

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Travaux Pratiques de Mécanique
TP L1-S2 Phys103b
Arne Keller
Elias Khan
Univ. Paris-Sud 11
2013-2014
Table des matières
I
Préliminaires
I.1
Incertitudes dans les mesures
I.2
Cinématique . . . . . . . .
I.3
Dynamique . . . . . . . . .
I.4
Energie . . . . . . . . . . .
I.5
Dimensions et Unités . . . .
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II
Présentation générale du dispositif pour les TP1 et TP2
II.1
Banc à coussin d’air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2
Remarques importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
15
16
III
TP1 : mouvements de translation rectiligne
III.1
Configuration du Matériel . . . . . . . .
III.1
Mouvement rectiligne uniforme . . . . . .
III.1.1
Expérimentation . . . . . . . .
III.2
Mouvement rectiligne uniformément varié
III.2.1
Principe du dispositif . . . . .
III.2.2
Modélisation . . . . . . . . . .
III.2.3
Expérimentation . . . . . . . .
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IV
TP2 : Chocs à une dimension
IV.1
Configuration du matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2
Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3
Expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
22
22
23
V
TP3 : Le pendule simple
V.1
Configuration du Matériel . . . . . . . .
V.2
Modélisation du pendule . . . . . . . . .
V.3
Expérimentation : pendule simple vertical
V.4
Expérimentation : pendule incliné . . . .
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28
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Table des matières
4
VI
A
TP4 : Référentiels en rotation – pseudo forces
VI.1
Pendule de Foucault . . . . . . . . . . . .
VI.1.1
Modélisation . . . . . . . . . . .
VI.1.2
Expérimentation . . . . . . . . .
VI.2
Plateforme en rotation . . . . . . . . . . .
VI.2.1
Configuration du Matériel . . . .
VI.2.2
Modélisation . . . . . . . . . . .
VI.2.3
Expérimentation . . . . . . . . .
Documents
A.1
Eléments
A.2
Eléments
A.3
Eléments
A.4
Eléments
théoriques
théoriques
théoriques
théoriques
relatifs
relatifs
relatifs
relatifs
au
au
au
au
TP1
TP2
TP3
TP4
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43
5
Ce fascicule présente les quatre séances (Chapitres 2–6) de travaux pratiques (TP) de
physique du second semestre de licence à l’université Paris–Sud 11. Le premier chapitre
est une description générale du dispositif expérimental utilisé pour les travaux pratiques
TP1 et TP2. Chaque chapitre est en général divisé en 3 sections. La première est une description du dispositif expérimental, la seconde présente une modélisation de l’expérience
et la dernière présente l’expérimentation que vous devez effectuer. De plus, à chacune
des séances est associée une annexe (Annexes A3–A4) qui introduit les éléments théoriques nécessaires à la compréhension du TP et à sa modélisation. L’annexe A1 est une
introduction aux incertitudes dans les mesures et l’annexe A2 introduit des notions générales de mécanique qui seront approfondies dans le cours et les travaux dirigés (TD).
Le chapitre ainsi que les annexes correspondantes doivent impérativement être étudiés
avant la séance de TP.
L’objectif de ces séances est de se retrouver face à une situation concrète en relation
directe avec des notions abstraites que vous avez étudié (ou allez étudier) en cours et
en TD. On s’appliquera particulièrement dans la confrontation entre les résultats expérimentaux et les prédictions du modèle. C’est dans cette confrontation que l’estimation
et le calcul des incertitudes est crucial.
A la fin de chaque séance de travaux pratiques vous donnerez à votre enseignant
un compte rendu de TP qui sera noté. Ce compte rendu sera en général composé des
éléments suivants :
• Une brève introduction.
• Pour chaque manipulation une description de la façon dont on fait les mesures.
• Les résultats bruts des mesures (avant tout traitement). Par exemple : vous mesurez des temps et des longueurs et non pas directement des vitesses.
• L’évaluation des incertitudes sur les mesures.
• Les résultats après traitements (calcul des vitesses ou des énergies cinétiques par
exemple). Cette partie pourra comporter des graphiques et des calculs d’incertitudes.
• Souvent il y aura une comparaison avec un modèle théorique.
• Une conclusion (vos mesures sont elle en adéquation avec le modèle théorique ?).
Vous pourrez disposer de vos comptes rendus lors des deux séances d’interrogation de
TP à la fin du semestre.
Chapitre I
Préliminaires
I.1
I.2
I.3
I.4
I.5
Incertitudes dans les mesures
Cinématique . . . . . . . .
Dynamique . . . . . . . . .
Energie . . . . . . . . . . .
Dimensions et Unités . . . .
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7
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Préliminaires
7
I.1 Incertitudes dans les mesures
1. Origine des erreurs de mesures : Au cours d’une expérience, les erreurs de
mesures peuvent provenir de plusieurs sources :
(a) de la façon de faire la mesure. Par exemple si vous mesurez une durée entre
deux évènements à l’aide d’un chronomètre, il y aura une incertitude sur l’instant de déclenchement du chronomètre. Ce type d’incertitude doit être évaluée
sur place (en effectuant plusieurs mesures par exemples).
(b) de l’appareil de mesure lui même, par exemple, la précision du chronomètre.
Cette incertitude est en général donnée par le constructeur.
2. Définition : Au cours d’une expérience, on mesure une grandeur physique G et
on obtient la valeur Gexp . On estime que la valeur exacte Gex de G doit se trouver
dans l’intervalle [Gexp − δG, Gexp + δG] où δG > 0 est l’incertitude absolue sur G.
. L’incertitude relative
L’incertitude relative sur G sera définie par le rapport |GδG
exp |
s’exprime souvent en pourcentage.
La dimension de l’incertitude absolue δG est la même que celle de G. L’incertitude
relative n’a pas de dimension.
3. Calculs d’incertitude : Souvent, la grandeur physique que l’on cherche à évaluer
n’est pas mesurée directement. Par exemple on ne mesure pas la vitesse v d’un
mobile mais son déplacement ` pendant un temps t. v est une fonction des quantités mesurées : v = `t . De façon générale, on mesure des grandeurs x, y, z, · · · avec
les incertitudes respectives δx, δy, δz, · · · et la grandeur G cherchée est une fonction de x, y, z, · · · : G = f (x, y, z, · · · ). La question est la suivante : connaissant
les valeurs mesurées xexp , yexp , zexp , · · · et les incertitudes associées δx, δy, δz, · · ·
comment évaluer l’incertitude sur G ?
Supposons que G ne dépend que d’une quantité mesurée x : G = f (x). Si xexp est la
mesure obtenue pour x, on obtient pour G la valeur expérimentale Gexp = f (xexp ).
La valeur exacte de x peut s’écrire xex = xexp + ∆x où ∆x est dans l’intervalle
[−δx, +δx]. La valeur exacte de G sera donc donnée par :
Gex = f (xex ) = f (xexp + ∆x).
En général (si l’expérience est bien faite) l’incertitude δx (et donc aussi |∆x|) est
très petite devant |xexp |. On peut donc approcher la valeur exacte de G par son
développement limité au premier ordre :
Gex ' f (xexp ) +
df
(xexp )∆x,
dx
df
où dx
(xexp ) désigne la dérivée de la fonction f calculée en x = xexp . En utilisant
la définition Gexp = f (xexp ) on peut écrire cette dernière équation de la façon
suivante :
df
Gex − Gexp '
(xexp )∆x.
dx
L’incertitude sur G sera définie par le maximum de la valeur absolue du membre
de droite :
df
(xexp ) δx.
δG ≡
dx
Préliminaires
8
On généralise au cas où G est une fonction de plusieurs quantités mesurées de
la façon suivante : Soit G = f (x, y), et soit xexp , yexp les quantités mesurées. On
définit Gexp = f (xexp , yexp ) la valeur expérimentale de G (nous nous contentons
du cas à 2 variables (x et y), mais le cas à N variables se traite de la même façon).
La valeur exacte de G pourra s’écrire :
Gex = f (xex , yex ) = f (xexp + ∆x, yexp + ∆y),
où −δx ≤ ∆x ≤ +δx et −δy ≤ ∆y ≤ +δy. On peut approcher l’expression de
Gex par son développement limité au premier ordre (d’une fonction à plusieurs
variables) :
Gex ' f (xexp , yexp ) +
∂f
∂f
(xexp , yexp )∆x +
(xexp , yexp )∆y,
∂x
∂y
(xexp , yexp ) désigne la dérivée partielle de la fonction f par rapport à x
où ∂f
∂x
évaluée en x = xexp et y = yexp (la dérivée partielle ∂f
s’obtient en dérivant
∂x
la fonction f (x, y) par rapport à x en considérant que y est une constante). On
pourra écrire :
Gex − Gexp '
∂f
∂f
(xexp , yexp )∆x +
(xexp , yexp )∆y,
∂x
∂y
(I.1)
qui exprime (de façon approché) l’écart entre la valeur exacte et la valeur mesurée
de G. L’incertitude sur G est définie de la façon suivante :
δG ≡
∂f
∂f
(xexp , yexp ) δx +
(xexp , yexp ) δy
∂x
∂y
c’est un majorant de la valeur absolue du membre de droite de l’équation I.1.
En conclusion :
Soit G une grandeur physique dépendant de plusieurs quantités mesurées
x, y, z, · · · :
G = f (x, y, z, · · · )
l’incertitude absolue δG sur G est calculée de la façon suivante :
δG =
∂f
∂f
∂f
δx +
δy +
δz + · · ·
∂x
∂y
∂z
où les dérivées partielles sont calculées en x = xexp , y = yexp , z = zexp , · · ·
et δx, δy, δz, · · · sont les incertitudes associées aux quantités mesurées
respectives x, y, z, · · · .
4. Exemple : On veut mesurer la vitesse v d’un mobile. Pour cela on mesure le
temps t = 10 ± 1 s qu’il met pour parcourir une distance ` = 12.0 ± 0.5 cm. La
vitesse v est la grandeur G cherchée. C’est une fonction de ` et t :
`
v = f (`, t) = .
t
Préliminaires
9
On a texp = 10 s, `exp = 12.0 cm, δt = 1 s et δ` = 0.5 cm. La valeur expérimentale
vexp de la vitesse est donnée par :
vexp =
12
`exp
=
= 1.2 cm/s.
texp
10
Pour calculer l’incertitude sur v on calcule les dérivées partielles de la fonction
f (`, t) = `t :
1
∂f
(`, t) =
∂`
t
`
∂f
(`, t) = − 2 .
∂t
t
L’incertitude sur la vitesse sera donnée par :
∂f
∂f
(`exp , texp ) δ` +
(`exp , texp ) δt
∂`
∂t
1
`
=
δ` + 2 δt
texp
texp
12
1
× 0.5 + 2 × 1 = 0.05 + 0.12 = 0.17 cm/s.
=
10
10
δv =
On écrira finalement : v = 1.2 ± 0.2 cm/s.
Remarque : Nous n’avons pas écrit v = 1.2 ± 0.17 cm/s pourquoi ?
5. Incertitude relative : Pour calculer l’incertitude relative on peut calculer l’incertitude absolue δG et évaluer le rapport |GδG
. Il est souvent plus simple d’obtenir
exp |
une relation qui permet d’exprimer l’incertitude relative sur G en fonction des
δx δy δz
, |y| , |z| , · · · .
incertitudes relatives sur les quantités mesurées |x|
Pour obtenir cette relation supposons qu’au lieu de chercher l’incertitude sur G,
on cherche l’incertitude absolue sur la grandeur L = ln(G) = ln[f (x, y, z, · · · )]
(ln désigne la fonction logarithme népérien). Dans un premier temps on peut
considérer que la grandeur L ne dépend que de la variable G par l’intermédiaire
de la fonction logarithme. L’incertitude absolue sur L s’écrit donc :
δL =
δG
dL
d ln(G)
.
δG =
δG =
dG
dG
|G|
L’incertitude absolue sur L = ln(G) est justement l’incertitude relative sur G.
L’incertitude relative s’obtient par la dérivée logarithmique de G. On aura donc :
δG
∂
∂
=
ln[f (x, y, · · · )] δx +
ln[f (x, y, · · · )] δy + · · ·
|G|
∂x
∂y
(I.2)
Dans le cas particulier où la fonction f (x, y, z, · · · ) est un produit de puissances
des quantités x, y, z, · · · , l’ expression I.2 se simplifie. En effet, considérons que la
grandeur G, dont on cherche à calculer l’incertitude relative, dépend des quantités
mesurées de la façon suivante :
G = f (x, y, z) = x` y m z n ,
Préliminaires
10
où `, m et n sont des entiers relatifs (positif ou négatifs), alors :
∂
∂
`
∂
ln[f (x, y, z)] =
ln(x` y m z n ) =
[` ln(x) + m ln(y) + n ln(n)] = .
∂x
∂x
∂x
x
De la même façon on obtient :
∂
m
ln[f (x, y, z)] = ;
∂y
y
∂
n
ln[f (x, y, z)] = .
∂z
z
En utilisant l’équation I.2, on obtient l’incertitude relative sur G :
δx
δy
δz
δG
= |`|
+ |m|
+ |n| ,
|G|
|x|
|y|
|z|
qui s’exprime très simplement en fonction des incertitudes relatives sur les quantités mesurées.
En conclusion :
Si la grandeur physique G dépend des quantités mesurées x, y, z · · · de la
façon suivante :
G = x` y m z n · · · ,
δG
s’exprime directement en fonction des inalors l’incertitude relative |G|
δx δy δz
certitudes relatives |x| , |y| , |z| , · · · des quantités mesurées :
δx
δy
δz
δG
= |`|
+ |m|
+ |n|
+ ···
|G|
|x|
|y|
|z|
δv
6. Exemple : Reprenons l’exemple précédent et calculons l’incertitude relative |v|
sur la vitesse du mobile. Les incertitudes relatives sur les quantités mesurées sont :
δ`
δt
1
δv
δ`
δt
= 0.5
' 4% et |t|
= 10
= 10%. Comme v = `t = ` × t−1 on a |v|
= |`|
+ |t|
. Donc
|`|
12
δv
δv
14
donc |v|
= 14%. On vérifie que δv = |v|
× |v| = 100
× 1.2 = 0.17 cm/s ; qui est bien
le résultat que nous avions obtenu précédemment.
I.2 Cinématique
1. Référentiel : On appelle référentiel un système d’axes lié à un solide indéformable. Un observateur, immobile par rapport à ce référentiel, pourra décrire le
mouvement d’un objet : mouvement de la Terre dans un référentiel héliocentrique,
mouvement d’un satellite dans un référentiel géocentrique, ou d’un ballon dans
un référentiel terrestre.
2. Repère : Une fois le référentiel choisi, il est nécessaire de définir un repère, c’est-àdire une base orthonormée de vecteurs, permettant de déterminer les coordonnées
du point matériel dont on étudie le mouvement. Il permet également de définir
les composantes de tout vecteur associé au mouvement de ce point (vitesse, force,
etc. . .). Ainsi, la position d’un point M est définie dans un référentiel par les
−−→
coordonnées du vecteur OM , où O est un point fixe du référentiel.
Préliminaires
11
3. Equation horaire et trajectoire : Le mouvement d’un point M conduit à
étudier l’évolution de ce dernier au cours du temps et à donner l’équation horaire
−−→
du mouvement par OM (t) ou ses composantes dans le repère choisi. La courbe
décrite par un point M au cours du mouvement est appelée trajectoire.
4. Vitesse : Si, à la date t1 , le point M occupe la position M1 , et à la date t2 la
position M2 , la vitesse moyenne ~vmoy :
~vmoy
−−→
−−−−→
∆OM
M1 M2
=
,
=
t2 − t1
∆t
−−→
−−→
−−→
−−−−→
où on a noté ∆OM la variation du vecteur position OM 2 − OM 1 = M1 M2 ; et
∆t = t2 − t1 .
La notion de vitesse instantanée découle de cette définition. En effet, en prenant
des positions séparées par un intervalle de temps ∆t de plus en plus court, on se
rapproche de la vitesse à une date donnée. On définit alors la vitesse instantanée
comme étant :
−−→
∆OM
d −−→
~v (t) = lim
= OM (t).
∆t→0
∆t
dt
5. Accélération : De la même façon, on définit le vecteur l’accélération instantanée
comme la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse :
~a(t) =
d2 −−→
d
~v (t) = 2 OM (t).
dt
dt
I.3 Dynamique
1. 1ère loi de Newton : Dans un référentiel galiléen, un système isolé, c’est à dire
qui n’est soumis à aucune force, est soit au repos, soit animé d’un mouvement de
translation rectiligne et uniforme.
Ce principe postule l’existence de référentiels galiléens et en donne une définition
à partir du mouvement d’un système isolé. Pour les expériences qui seront effectuées dans le TP1, les effets du mouvement de la Terre (rotation sur elle-même,
mouvement autour du Soleil) seront négligés. Ainsi, le “référentiel du laboratoire”
sera considéré comme galiléen. En revanche, dans le TP3 où nous étudierons le
mouvement d’un mobile dans un référentiel non galiléen en rotation, le principe
d’inertie ne sera plus vérifié.
2. Seconde loi de Newton : Dans un référentiel galiléen, l’accélération ~a d’un
point matériel, de masse m, soumis à une force F~ est donnée par :
m~a = F~ .
En introduisant la quantité de mouvement p~ du point matériel définie par :
p~ ≡ m~v ,
la seconde loi de Newton peut aussi s’écrire
d~p
= F~ .
dt
Préliminaires
12
3. Théorème du centre d’inertie : Le centre d’inertie (ou centre de masse) G
d’un système de N points matériels Mi de masse mi , repérés par leurs vecteurs
−−→
positions OM i (i = 1, 2, · · · N ) est définie par :
N
−→ X −−→
M OG =
mi OM i ,
i=1
où M est la masse totale du système de N points matériels : M =
PN
i=1
mi .
Dans un référentiel galiléen, l’accélération ~aG du centre d’inertie d’un système
matériel obéit à la relation suivante :
M~aG =
N
X
F~iext ,
i=1
où F~iext est la force extérieure qui s’applique au point Mi .
4. 3ème loi de Newton : Lorsqu’un solide exerce une force sur un autre solide, ce
dernier exerce sur le premier solide une force de même norme de même direction,
mais de sens opposé.
I.4 Energie
1. Travail d’une force : Le travail WAB (F~ ) d’une force F~ constante, sur un dépla−→
cement rectiligne AB est définie par le produit scalaire entre les vecteurs force et
le vecteur déplacement :
−→
WAB (F~ ) = F~ .AB.
Cette définition sera suffisante pour les travaux pratiques. Elle sera généralisée en
cours au cas d’une force non constante et à un déplacement curviligne quelconque.
2. Energie cinétique : L’énergie cinétique Ec d’une masse m animée d’une vitesse
~v est définie par :
1 − 2
vk .
Ec = mk→
2
3. Théorème de l’énergie cinétique : Dans un référentiel galiléen, la variation
d’énergie cinétique d’un solide entre deux instants tA et tB est égale au travail des
forces extérieures sur le déplacement du centre d’inertie du solide entre les deux
instants considérés :
Ec (tB ) − Ec (tA ) = WAB (F~ ),
où A et B sont les positions du centre d’inertie du solide aux instants tA et tB
respectivement.
Préliminaires
13
I.5 Dimensions et Unités
Grandeurs scalaires
Longueur
Masse
Temps
Angle
Fréquence
Vitesse angulaire
Energie
Travail
Puissance
Grandeurs vectorielles
Vitesse
Accélération
Quantité de mouvement
Moment cinétique
Force
Dimensions
L
M
T
1
T −1
T −1
M L2 T −2
M L2 T −2
M L2 T −3
Dimensions
LT −1
LT −2
M LT −1
M L2 T −1
M LT −2
Unités (MKSA)
Mètre
Kilogramme
Seconde
Radian
Hertz
Radian par seconde
Joule
Joule
Watt
Unités (MKSA)
Mètre par seconde
Vitesse par seconde
Newton
Symboles
m
kg
s
rad
Hz
rad.s−1
J
J
W
Symboles
m.s−1
m.s−2
kg.m.s−1
kg.m2 .s−1
N
Chapitre II
Présentation générale du dispositif
pour les TP1 et TP2
II.1
II.2
Banc à coussin d’air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Remarques importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
16
On présente ici le dispositif expérimental qui sera utilisé pour les TP1 (Mouvements
Rectilignes) et le TP2 (Chocs).
Présentation générale du dispositif pour les TP1 et TP2
15
II.1 Banc à coussin d’air
Le dispositif expérimental comprend les éléments suivants :
• un banc soufflant : rail creux (2 m) percé de trous permettant de créer (grâce
à une soufflerie) “le coussin d’air” qui réduit les frottements lors du glissement du
mobile. Le rail est muni d’un ruban gradué qui permet de repérer la position des
cellules (voir ci-dessus) ;
• une soufflerie ;
• un lanceur à une extrémité du rail qui permet de reproduire des conditions
initiales quasiment identiques. Ce lanceur peut être monté dans deux positions :
— Fixé au rail dans un sens (partie noire aimantée vers le rail), il permet un lancement avec différentes vitesses initiales selon l’enfoncement du poussoir.
— En le dévissant du rail et en le positionnant dans l’autre sens, le lanceur permet
la libération du chariot avec une vitesse initiale quasi nulle.
Le lanceur est branché sur le compteur de telle sorte qu’à la libération du mobile,
un signal est envoyé au chronomètre qui démarre l’horloge. L’instant t = 0 est
donc déterminé par le lanceur.
• un ensemble de 4 cellules photoélectriques infrarouges alimentées sous 5 V.
Ces cellules, montées sur des supports individuels, sont positionnées le long du rail
en fonction de l’expérience réalisée et permettent de caractériser le mouvement
d’un mobile sur le banc ; le passage du mobile “coupe” le rayon lumineux propre
à chaque cellule et un signal est alors envoyé au chronomètre.
• un chronomètre à 4 canaux qui peux fonctionner sur deux modes :
— Un mode permettant de mesurer le temps écoulé entre l’instant t = 0 (instant du lancement du mobile) et l’instant où le mobile occulte une cellule
photoélectrique.
— Un mode permettant de mesurer la durée d’occultation d’une cellule photoélectrique.
• deux mobiles profilés (190±1 g) munis d’un écran rectangulaire (100±0, 5 mm ;
10 ± 1 g) provoquant l’occultation des cellules photoélectriques lors de leur passage. Ces mobiles peuvent être munis de différents accessoires :
— des surcharges de 50 ± 1 g et 10 ± 1 g permettant de modifier la masse des
chariots,
16
Présentation générale du dispositif pour les TP1 et TP2
— différents embouts (10 ± 1 g) : élastique, plat, aiguille, (( fiche )), aimant. Ces
embouts doivent être placés, si possible, sur les trous de fixation inférieurs des
mobiles afin de minimiser l’arc-boutement des mobiles en cas de choc.
Aussi bien pour les surcharges que pour les embouts, vous penserez à les placer
de façon symétrique, de part et d’autre du chariot pour maintenir son équilibre !
• une butée de fin de course permettant de réaliser un mouvement aller-retour ;
• un système de poulie, un plateau (1, 0 ± 0, 1 g) ;
• un ensemble de masses additionnelles (1, 0 ± 0, 1g) permettant d’entraı̂ner
le mobile ;
II.2 Remarques importantes
Vous utilisez un matériel de précision qui est fragile. Les manipulations sont donc
à effectuer avec le plus grand soin possible. Toute dégradation de matériel entraı̂nera
des erreurs inévitables dans vos mesures, ainsi que dans celles de vos camarades qui
travailleront ensuite sur cette expérience.
• Ne jamais faire glisser les mobiles sur le rail sans mettre en route au préalable la
soufflerie avec un débit d’air suffisant pour que le mobile ne frotte pas sur le rail.
• Manipuler le mobile (changement d’embout, de surcharges, d’écran. . .) sur la table
et non sur le banc.
• C’est le même boı̂tier (le chronomètre) qui permet l’alimentation des cellules et
la mesure (fils bleus et rouges pour l’alimentation, fil jaune pour la détection des
occultations et dés-occultations). Les cellules ont été connectées à l’avance, vous
n’avez pas à changer les branchements.
• Pensez à baisser la soufflerie lorsqu’elle n’est pas utilisée pour une expérience.
Chapitre III
TP1 : mouvements de translation
rectiligne
III.1
III.1
III.2
Configuration du Matériel . . . . . . . .
Mouvement rectiligne uniforme . . . . . .
III.1.1
Expérimentation . . . . . . . .
Mouvement rectiligne uniformément varié
III.2.1
Principe du dispositif . . . . .
III.2.2
Modélisation . . . . . . . . . .
III.2.3
Expérimentation . . . . . . . .
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18
18
18
19
19
19
20
TP1 : mouvements de translation rectiligne
18
III.1 Configuration du Matériel
1. Mise en marche
• Réglez la soufflerie entre 4 et 5. Le débit d’air doit être suffisant pour que le
mobile ne frotte pas sur le rail. Il n’est pas utile de mettre la soufflerie au
maximum.
• Fixez un écran sur la partie supérieure d’un mobile puis placez le mobile sur
le banc.
• Positionnez les 4 cellules de détection à intervalles réguliers le long du rail.
• Vérifiez le libre passage du mobile sous les cellules photoélectriques en veillant
à bien les positionner :
— pour ne pas risquer d’entraver le mouvement,
— pour que l’écran occulte bien le faisceau.
2. Fonctionnement du chronomètre Le chronomètre est muni d’un bouton central qui permet de travailler avec 6 modes de déclenchement des horloges. Pour
cette première partie, vous aurez besoin d’utiliser les 2 premiers modes, correspondant aux 2 positions les plus à gauche. Sauf indications contraires, vous vous
).
placerez en configuration (
• En utilisant le lanceur avec vitesse initiale, comparez les mesures que vous
obtenez avec chacun des 2 modes. N’oubliez pas d’appuyer sur “RESET” entre
chaque mesure !
• De façon succincte mais rigoureuse, décrivez dans votre compte-rendu le fonctionnement de ces 2 modes. Dans chaque cas, déterminez comment les horloges
sont déclenchées et arrêtées et ce que représentent les valeurs affichées.
III.1 Mouvement rectiligne uniforme
III.1.1 Expérimentation
Le but de cette première manipulation est de réaliser un mouvement rectiligne uniforme.
III.2 Mouvement rectiligne uniformément varié
19
Avec le matériel dont vous disposez, proposez une méthode permettant de réaliser
simplement un mouvement uniforme et assurez vous que les conditions nécessaires sont
bien remplies.
1. Sans calcul ni traitement de mesures, vérifiez que le mouvement du mobile est
uniforme. On choisira pour cela le mode du chronomètre le plus approprié.
2. Pour différentes positions du bouton poussoir du lanceur, déterminez la valeur de
la vitesse du mobile. S’agit-il d’une vitesse moyenne ou instantanée ?
3. Quelles sont les incertitudes de mesures ? En déduire l’incertitude sur les valeurs
des vitesses obtenues. Conclure.
4. Déterminer l’énergie cinétique du mobile ainsi que son incertitude. Est-elle constante
au cours du mouvement ? Que dire de l’énergie mécanique du mobile.
5. On utilise maintenant l’autre mode du chronomètre. Reprendre les deux questions
précédentes.
6. Comparer les deux méthodes.
III.2 Mouvement rectiligne uniformément varié
Documents :
Document A.1.1
III.2.1 Principe du dispositif
Pour réaliser un mouvement uniformément varié, on utilise le dispositif schématisé
ci-dessous. Le rail est horizontal et le mobile est tiré par un fil. Ce fil, qui passe sur une
poulie, est tendu par des masses posées sur un petit plateau.
III.2.2 Modélisation
Dans l’annexe l’annexe A.1.1 on montre que l’accélération a du mobile est donnée
par
a=
m
g
m+M
(III.2.1)
où m est la masse du plateau, M la masse totale du mobile et g l’accélération de la
pesanteur.
TP1 : mouvements de translation rectiligne
20
1. Déterminer l’expression de la force T qu’exerce le fil sur le mobile.
2. Déterminer l’expression du travail W de T quand le mobile parcourt une distance
d.
3. Déterminer l’expression de la vitesse et de la position du mobile en fonction du
temps t.
III.2.3 Expérimentation
1. Proposez une méthode pour vérifier que le mouvement du mobile est bien uniformément accéléré.
2. Mettez en œuvre la méthode choisie et déduisez-en par une détermination graphique la valeur de l’accélération aexp du mobile.
3. Déterminez l’incertitude δaexp sur la valeur mesurée aexp .
4. En tenant compte des incertitudes sur les valeurs des masses m et M , déterminez
l’incertitude δa sur la valeur théorique de l’accélération a.
5. Etant donnée ces incertitudes, peut-on dire que vos mesures sont conformes à la
théorie ?
6. Déduisez de vos mesures la variation d’énergie cinétique entre les passages du
mobile au premier et au dernier capteur. Comparez ce résultat au travail W de T
entre ces deux mêmes instants. Ce résultat vous parait-il cohérent ? Que dire de
l’énergie mécanique du mobile au cours du mouvement ?
Chapitre IV
TP2 : Chocs à une dimension
IV.1
IV.2
IV.3
Configuration du matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
22
23
Dans ce TP, on se propose d’étudier du point de vue dynamique et énergétique,
différentes situations de collision à une dimension : deux solides se déplacent selon une
direction donnée et entrent en interaction avec ou sans contact, avec rebond ou avec
accrochage.
TP2 : Chocs à une dimension
22
IV.1 Configuration du matériel
Vous utiliserez :
• 2 cellules photoélectriques, chacune permettant de détecter deux passages d’un
mobile. Elles doivent alors être placées sur les entrées 1 et 3. (N.B. : il n’est pas
nécessaire de débrancher les cellules connectées aux voies 2 et 4) et elles doivent
être espacées d’au moins 50 cm de façon que le choc ait lieu entre les cellules
et que la détection des passages des mobiles soit complète (occultation et désoccultation).
• le chronomètre dont le bouton central doit alors être placé sur la position 3 :
Remarques importantes :
• l’interprétation des valeurs affichées dépend de l’expérience réalisée. Un affichage
qui reste à “0.000” indique que la cellule n’a pas été occultée. Ceci est par exemple
le cas lorsqu’un mobile vient heurter un 2ème mobile au repos. Après le choc, les
deux mobiles continuent dans le même sens et le 1er mobile ne repasse pas devant
le premier capteur.
• Les durées affichée sont toujours positives mais les vitesses correspondantes peuvent
être négatives.
IV.2 Modélisation
Documents :
Document A.2.1
Document A.2.2
Document A.2.3
Document A.2.4
Les concepts essentiels à la compréhension de ce TP sont réunis dans les annexes
citées ci-dessus. La lecture de ces annexes est bien sur obligatoire ! On rappel ici les
résultats important pour ce TP :
1. conservation de la quantité de mouvement : La quantité de mouvement
d’un système isolé se conserve au cours du temps. En particulier, lors du chocs
des deux mobiles, si ceux-ci peuvent être considérés comme un système isolé, la
somme des quantités de mouvement des mobiles est la même avant et après le
choc :
p~1 + p~2 = p~0 1 + p~0 2
TP2 : Chocs à une dimension
23
où p~i = mi~vi (i = 1, 2) est la quantité de mouvement du mobile i avant le choc
(les quantités primées désignent des quantités mesurées après le choc).
2. choc élastique : Le choc est dit élastique lorsque les masses de chacun des mobiles
restent les même avant et après le choc et lorsque l’énergie cinétique initiale totale
du système constitué des deux mobiles est entièrement restituée au système après
le choc. on aura donc aussi :
0
0
Ec1 + Ec2 = Ec1
+ Ec2
où Eci = 12 mi vi2 =
0
et Eci0 = 21 mi vi2 =
p2i
2mi
0
pi 2
2mi
(i = 1, 2) est l’énergie cinétique du mobile i avant le choc
(i = 1, 2) est l’énergie cinétique du mobile i après le choc.
IV.3 Expérimentation
1. Prose en charge du matériel Effectuez un premier choc élastique en lançant
très doucement les mobiles l’un vers l’autre. Le choc doit avoir lieu entre les
cellules. Relevez les durées d’occultation et affectez les aux événements respectifs.
Pour cela vous pourrez utiliser les aimants et réaliser un choc par “répulsion sans
contact”.
2. Etude de différents chocs. Réalisez les chocs suivants :
• Choc avec “accrochage” (aiguille–cire)
• Choc avec “rebond élastique” (embout plat–élastique)
On ne traitera que le cas où l’un des mobiles est au repos. Pour chacun de ces
chocs vous noterez dans un tableau les données suivantes :
• Vitesses, quantités de mouvement et énergie cinétique de chacun des mobiles
avant et après le choc ; ainsi que les incertitudes correspondantes.
• Quantité de mouvement et énergie cinétique totale du système constitué des
deux mobiles avant et après le choc ; ainsi que les incertitudes correspondantes.
Puis vous répondrez aux questions suivantes en justifiant précisément votre réponse :
(a) Le choc est-il élastique ou inélastique ?
(b) Vos expériences sont-elles conformes aux prédictions concernant la conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique ?
3. Transfert d’énergie cinétique. On se propose d’étudier le transfert d’énergie
cinétique d’un mobile ayant une vitesse initiale v1 sur un mobile repos (v2 = 0).
0
Ec2
caractérisant le taux de
Dans l’annexe A.2.4, on montre que le rapport R = Ec1
transfert de l’énergie cinétique est donné par
−2
0
Ec2
m1
m1
R=
=4
1+
Ec1
m2
m2
0
où Ec1 est l’énergie cinétique initiale du mobile en mouvement et Ec2
est l’énergie
cinétique après le choc du mobile qui était initialement au repos.
1
variant de
(a) Réalisez plusieurs chocs élastiques pour un rapport de masse m
m2
0.5 à 2. Dans chaque cas, mesurez les valeurs des vitesses et en déduire les
valeurs des énergies cinétiques des mobiles avant et après le choc, ainsi que les
incertitudes associées.
24
TP2 : Chocs à une dimension
(b) Représentez sur un graphe l’évolution de R (exprimé en pourcentage) en fonc1
. On représentera aussi les incertition du rapport des masses des mobiles m
m2
tudes correspondantes.
(c) Tracez sur ce même graphe la courbes théorique correspondante. On représentera aussi sur ce graphe les incertitudes attachées aux valeurs théoriques.
Conclure.
(d) Dans quelles conditions le transfert d’énergie est il maximal ? minimal ?
(e) Donnez des exemples de la vie quotidienne pour les deux cas.
Chapitre V
TP3 : Le pendule simple
V.1
V.2
V.3
V.4
Configuration du Matériel . . . . . . . .
Modélisation du pendule . . . . . . . . .
Expérimentation : pendule simple vertical
Expérimentation : pendule incliné . . . .
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26
26
27
28
Cette séance est dédiée à l’étude du pendule. Les résultats expérimentaux seront
confrontés au modèle dit du pendule simple. Dans une première partie on mesurera
la période du pendule, dans le but de déterminer pour quelles valeurs de l’amplitude
l’approximation des petites oscillations est elle applicable. Dans une seconde partie on
considérera un pendule mais où le plan d’oscillation n’est plus vertical.
TP3 : Le pendule simple
26
V.1 Configuration du Matériel
Le pendule est constitué d’une tige rigide qui peut tourner autour d’un axe fixe. Le
pendule oscille dans un plan. l’axe de rotation est fixé sur un disque gradué par l’intermédiaire d’une vis. En desserrant cette vis il est possible d’incliner le plan des oscillations
par rapport à la verticale. A l’extrémité de la tige est attachée un cylindre de masse m,
à une distance ` réglable. L’amplitude des oscillations du pendule est mesurée à l’aide
d’un comparateur d’angle gradué en acier.
La période des oscillations sera mesurée à l’aide d’un chronomètre numérique. La
masse m = 100.6 ± 0.1 g. Pour mesurer la période du pendule, on mesurera le temps
correspondant à une dizaine d’oscillations, pourquoi ?
Attention :
il faut impérativement desserrer la vis centrale AVANT toute modification du plan d’oscillation du pendule. La tige étant rigide, il faut
éviter de travailler avec des grandes oscillations car la tige peut percuter vos collègues et provoquer des blessures graves. Faites toujours
attention où vos collègues se trouvent avant de faire une expérience.
V.2 Modélisation du pendule
Documents :
Document A.3.1
Les concepts essentiels à la compréhension de ce TP sont réunis dans l’annexe citée
ci-dessus. La lecture de ces annexes est bien sur obligatoire ! On rappelle ici les points
essentiels pour ce TP :
• Le modèle : Pour décrire le pendule, on considère le modèle du pendule simple. Ce
modèle consiste à négliger la masse de la tige et à considérer le cylindre de masse m
ponctuel et situé au centre de masse du cylindre. On néglige aussi les frottements.
Dans quelles conditions expérimentales ce modèle sera une description fidèle du
dispositif ? Vérifiez que ces conditions sont effectivement satisfaites.
TP3 : Le pendule simple
27
• Limite des petites oscillations : Dans la limite des petites oscillations, la
période T0 du pendule est donnée par l’expression suivante :
s
`
.
(V.1)
T0 = 2π
g
Cette expression est remarquable pour deux raisons :
— La période T0 ne dépend pas de la masse m.
— La période T0 ne dépend pas de l’amplitude des oscillations.
La première restera valable que si les frottements peuvent être négligés. La seconde
n’est valable que si l’amplitude des oscillations est suffisamment faible.
• Ecart à l’approximation des petits angles : Si l’amplitude des oscillations
n’est plus suffisamment faible, la période T du pendule peut s’écrire sous la forme
d’une série (voir Eq. (A.3.7)). La période T1 , compte tenu de la première correction
à l’approximation des faibles amplitudes est :
θ02
,
(V.2)
T1 = T0 1 +
16
où θ0 est l’amplitude du pendule.
• Plan des oscillations incliné : Incliner le plan des oscillations du pendule
simple d’un angle φ par rapport à la verticale est équivalent à diminuer la valeur
de l’accélération de la pesanteur d’un facteur cos φ. Dans le limite des petites
oscillations la période T0 (φ) du pendule incliné est donnée par :
s
`
T0 (φ) = 2π
.
(V.3)
g cos φ
V.3 Expérimentation : pendule simple vertical
1. Mesurez la période Texp du pendule pour plusieurs valeurs de l’amplitude θ0 ∈
[5◦ , 70◦ ]. Pour chaque valeur de θ0 on fera plusieurs mesures de la période et on
estimera l’incertitude δT sur la mesure de la période. On reportera ces résultats
dans un tableau.
2. Mesurez ` et calculez la valeur théorique T0 de la période du pendule dans l’approximation des petits angles. Compte tenu de l’incertitude δ` et δg, calculer δT0
l’incertitude sur T0 .
3. Faire un graphique sur du papier millimètre représentant la période Texp en fonction de θ0 . On reportera sur ce graphique la valeur théorique T0 de la période dans
la limite des petits angles. On tracera aussi les incertitudes de mesure ainsi que
l’incertitude sur la valeur théorique δT0 .
4. Pour quelles valeurs de l’amplitude θ0 l’expression théorique T0 donnée par l’équation (V.1), est elle suffisante pour décrire vos résultats de mesure ? Justifier précisément votre réponse.
5. Pour quelles valeurs de θ0 l’expression T1 , donnée par l’équation (V.2), est elle suffisante pour décrire vos résultats de mesure ? Justifier précisément votre réponse.
TP3 : Le pendule simple
28
V.4 Expérimentation : pendule incliné
1. Mesurez la période Texp des oscillations du pendule incliné, pour plusieurs valeurs
de l’angle d’inclinaison φ du plan des oscillations par rapport à la verticale. Pour
chaque valeur de φ, on estimera l’incertitude sur la mesure de la période. On
restera dans le régime des faibles amplitudes d’oscillation.
2. Faites un graphique qui permet de comparer simplement vos mesure avec l’expression théorique donnée par l’équation (V.3). Conclure.
Chapitre VI
TP4 : Référentiels en rotation –
pseudo forces
VI.1
VI.2
Pendule de Foucault . . . . . . . .
VI.1.1
Modélisation . . . . . . .
VI.1.2
Expérimentation . . . . .
Plateforme en rotation . . . . . . .
VI.2.1
Configuration du Matériel
VI.2.2
Modélisation . . . . . . .
VI.2.3
Expérimentation . . . . .
.
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30
30
30
30
31
31
32
Cette séance est dédiée à l’étude des référentiels en rotation, elle s’articule en deux
parties :
• Une première partie où l’on met en évidence la rotation de la terre en mesurant
la rotation du plan des oscillations d’un pendule de Foucault.
• Une seconde partie permettant la mesure de la pseudo–force centrifuge qui s’exerce
sur un mobile sur une plateforme en rotation.
TP4 : Référentiels en rotation – pseudo forces
30
VI.1 Pendule de Foucault
Le but du TP est de déterminer la latitude de la salle de TP en mesurant l’angle
dont a tourné le plan des oscillations du pendule, pendant un certain temps.
VI.1.1 Modélisation
Documents :
Document A.4.2
Vous trouverez dans l’annexe citée ci-dessus les éléments théoriques concernant le
pendule de Foucault. La lecture de cette annexe est bien sur obligatoire pour la compréhension de ce TP.
On rappelle dans cette section les points suivants :
• L’expérience du pendule de Foucault est une démonstration locale de la rotation
de la Terre sur elle même. L’expérience montre que le plan des oscillations du
pendule n’est pas fixe mais qu’il tourne.
• Cette rotation du plan des oscillations, peut être interprétée comme l’effet de la
force de Coriolis sur le pendule en mouvement. En effet la Terre tournant sur
elle-même, elle ne constitue pas un référentiel galiléen, le mouvement d’un mobile
dans un tel référentiel est soumis à des forces d’inertie dont la force de Coriolis.
• Soient T le temps que met le plan des oscillations à faire un tour complet et T0 le
temps que met la Terre à faire un tour sur elle même (T0 est appelé le jour sidéral,
T0 = 23h 56 mn 4 s ou encore T0 = 86164 s). On démontre que :
T =
T0
sin λ
(VI.1.1)
VI.1.2 Expérimentation
1. Mesurer l’angle α0 (par rapport à une direction arbitraire) que fait le plan des
oscillations du pendule en début de séance. Evaluer l’incertitude de mesure δα0
2. Dans quel sens le plan d’oscillation du pendule va tourner ? expliquer pourquoi.
3. Après un certain temps τ (τ ' 3 h), mesurer à nouveau cet angle qu’on notera α1 .
On note α = α1 − α0 l’angle de déviation. On estimera les incertitudes de mesure
δτ et δα1 . On donnera aussi l’incertitude δα sur l’angle α.
4. En déduire le temps T que met le plan des oscillations à faire un tour complet,
ainsi que l’incertitude δT .
5. En utilisant l’équation (VI.1.1) en déduire la latitude λ de la salle de TP.
6. Calculer l’incertitude δλ en fonction de l’incertitude δT (on négligera l’incertitude
sur T0 ). Donner la valeur de δλ.
VI.2 Plateforme en rotation
VI.2 Plateforme en rotation
31
VI.2.1 Configuration du Matériel
Une plateforme horizontale (A1) tourne
autour d’un axe vertical (A2). Ce dernier
est entraı̂né par l’intermédiaire d’une courroie, par un moteur à vitesse réglable (B).
Sur la plateforme, un chariot (C) est susceptible de se déplacer. Lorsque la plateforme tourne à vitesse constante, le centre
de masse du chariot décrit une trajectoire
circulaire uniforme avec une vitesse angulaire ω. La plateforme est un référentiel non-galiléen, puisqu’il est en rotation
par rapport à la Terre qui est considérée
comme un référentiel galiléen. Le chariot
est donc soumis à la force d’inertie centrifuge. Cette dernière est compensée (quand
le chariot est immobile par rapport à la
plateforme) par la tension exercée par un
fil et mesurée par un Newton-mètre (D),
qui donne le module de cette force agissant sur le chariot durant la rotation.
La masse du chariot est 50 g, celles des masses additionnelles noires 50 g et celle des
masses argentées 10 g. Le moteur possède un potentiomètre permettant de faire varier
la vitesse de rotation, ainsi que deux boutons pour démarrer la rotation dans un sens ou
dans l’autre.
Attention :
Ce dispositif expérimental est très fragile. Augmenter très progressivement la vitesse de rotation de la plate-forme, pour éviter de détériorer le Newton–mètre.
Vérifier toujours que le fil qui retient le mobile reste bien dans le col
de la poulie.
Ne pas dépasser la force maximale de 2 N.
VI.2.2 Modélisation
Documents :
Document A.4.1
Vous trouverez dans l’annexe citée ci dessus, les éléments théoriques nécessaires à
la compréhension de ce TP. En considérant que le plateforme est horizontale et l’axe
de rotation vertical, dans l’annexe A.4.1, on montre que la norme de la pseudo-force
centrifuge f~ qui s’applique sur le centre de masse du chariot s’écrit de la façon suivante :
→
−
k f k = mω 2 r,
(VI.2.1)
TP4 : Référentiels en rotation – pseudo forces
32
où m est la masse du chariot, ω est la vitesse angulaire de la plateforme et r la distance
entre le centre de masse du chariot et l’axe de rotation.
Pourquoi, la salle de TP est-elle considérée ici comme un référentiel galiléen ? alors
que dans l’étude du pendule de Foucault, on tient compte explicitement de la rotation
de la Terre sur elle même, et que cette dernière ne constitue pas un référentiel galiléen.
VI.2.3 Expérimentation
L’objectif est de chercher empiriquement l’expression de la pseudo-force centrifuge
qui agit sur le chariot.
On écrira la norme de la force centrifuge sous la forme
f = Amα rβ ω γ ,
où A est une constante sans dimension. Le but du TP est de déterminer les exposants
α, β et γ.
1. Etalonnage du Newton–mètre : Il est nécessaire d’étalonner le Newton–mètre,
c’est-à-dire établir la correspondance entre la valeur de la force lue sur les graduations, et celle s’exerçant sur l’appareil. Utiliser les masses de 50 g et de 10 g
pour étalonner le Newton–mètre, à l’aide des petits plateaux (m = 1 g) à votre
disposition.
2. Mesure de γ : On veut mesurer la force f pour plusieurs valeurs de la vitesse angulaire, tout en gardant r et m constants. Il est facile de garder la masse constante
mais plus difficile de vérifier que la distance à l’axe r reste la même pour des vitesses angulaires différentes.
On propose donc le protocole suivant : On choisi une distance r que l’on veut
garder constante. La plateforme étant à l’arrêt, on place le Newton–mètre de
façon à ce qu’il mesure une force f = f0 non nulle lorsque le chariot est positionné
à la distance r. On met la plateforme en mouvement et on règle la vitesse angulaire
ω de telle sorte que la force affichée sur le Newton–mètre soit justement f0 . On
mesure alors la période de rotation T de la plateforme à l’aide du chronomètre et
on en déduit la vitesse angulaire ω. Justifier que ce protocole permet effectivement
de mesurer f en fonction ω en gardant r constant.
• Faites l’acquisition d’un premier couple (f , T ), où T est la période de rotation,
avec une masse de 50 g sur le chariot. Attendre une dizaine de secondes que le
Newton–mètre se stabilise avant de débuter une mesure. Est-il préférable de
mesurer la période sur un tour ou sur plusieurs tours ? Justifier précisément
votre réponse.
• Augmentez petit à petit la vitesse de rotation et mesurer ainsi quatre points
(f ,T ) ainsi que les incertitudes associées.
• Tracez ln(f ) en fonction de ln(ω) sur du papier millimétré.
• En effectuant une régression linéaire du type y = ax + b, déduisez-en la pente
de la droite, et évaluez l’incertitude correspondante, en considérant les droites
de pentes maximun et minimum.
• La valeur de l’exposant γ mesuré est il en accord avec l’expression théorique
de l’Eq. (VI.2.1) ?
VI.2 Plateforme en rotation
33
3. Mesure de α : Le principe de la manipulation est semblable à celui de la question
précédente, mais cette fois, il faut faire varier la masse totale du chariot, tout en
conservant la même vitesse de rotation et la même distance r.
• Surchargez le chariot avec une masse de 150 g et positionnez-le à une distance
r d’environ 15 cm.
• Choisissez une période de rotation d’environ 1 s et mesurez f .
• Quel protocole expérimental imaginer pour effectuer les mesures à r constant ?
Discutez-en avec l’enseignant.
• Coupez l’alimentation du moteur sans modifier le réglage de la vitesse de rotation. Diminuez la masse de la surcharge et vérifiez que la période de rotation
est inchangée (l’ajuster si nécessaire). Faites une nouvelle acquisition.
• Refaites ainsi 3 ou 4 mesures, pour des masses de plus en plus faibles.
• Tracez f (m).
• Effectuez une régression linéaire. Quelle relation lie f et m ?
• Vos mesures sont elles en accord avec la valeur théorique de α.
Annexe A
Documents
A.1
A.2
A.3
A.4
Eléments
Eléments
Eléments
Eléments
théoriques
théoriques
théoriques
théoriques
relatifs
relatifs
relatifs
relatifs
au
au
au
au
TP1
TP2
TP3
TP4
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.
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35
36
39
43
A.1 Eléments théoriques relatifs au TP1
35
A.1 Eléments théoriques relatifs au TP1
Document A.1.1 Modélisation du mouvement rectiligne uniformément varié
TP :
Mouvement uniformément accéléré :
dispositif expérimental
L’objectif est de déterminer l’accélération du mobile dans le dispositif (voir III.2.1),
représenté sur la figure suivante :
On note M la masse totale du mobile et m la masse du plateau. On néglige les
frottements et on suppose que le banc est parfaitement horizontal. On note Ox la
direction horizontale et Oz la direction verticale (dirigé vers le bas).
1. Bilan des forces : Le mobile est soumis à son poids qui est complètement
compensé par la réaction du support, le banc étant horizontal. Le mobile est aussi
soumis à la tension du fil T~ = T ~ux . Le plateau est soumis à son poids P~ = mg~uz
→
−
et à la tension du fil T 0 = T 0~uz ; où g est l’accélération de la pesanteur.
2. Principe fondamental de la dynamique : Appliqué sur le mobile (projeté
sur l’axe Ox) donne :
M a = T,
où a est l’accélération du mobile. L’application du principe fondamental de la
dynamique sur le plateau (projeté sur l’axe Oz) donne :
ma0 = mg + T 0 ,
(A.1.1)
où a0 est l’accélération du plateau.
3. Détermination de l’accélération a : le fil restant tendu au cours du mouvement les accélérations du mobile et du plateau sont égales à chaque instant :
→
−
a = a0 . De plus, si on néglige le moment d’inertie de la poulie, les tensions k T k
→
−
et kT 0 k sont égales, on a donc T = −T 0 = M a. En remplaçant T 0 par −M a et
a0 par a dans l’Eq. (A.1.1), on obtient :
ma = mg − M a,
ce qui finalement donne l’accélération du mobile :
a=
m
g
m+M
(A.1.2)
Documents
36
4. Remarque : Cette équation peut être obtenue plus directement de la façon suivante : le système physique de masse M +m constitué du mobile et du plateau est
soumis à la seule force extérieure mg~k. Le principe fondamental de la dynamique
appliqué au système s’écrit :
(M + m)a = mg,
ce qui est bien équivalent à l’équation précédente.
A.2 Eléments théoriques relatifs au TP2
Document A.2.1 Quantité de mouvement–définitions et propriétés
On rappelle ici la définition et les propriétés de la quantité de mouvement.
1. Définition : La quantité de mouvement p~ d’un point matériel de masse m animé
d’une vitesse ~v est définie par :
p~ = m~v .
2. Quantité de mouvement d’un système de points matériels : La quantité
de mouvement d’un système de N points matériels Mi de masse mi et animés de
vitesses ~vi (i = 1, 2, · · · N ) est définie par la somme des quantités de mouvement
de chacun des points matériels :
p~ =
N
X
mi~vi .
i=1
3. Quantité de mouvement du centre de masse d’un système de points
matériels : La position du centre de masse G d’un système de N points matériels
−−→
Mi de masse mi , repérés par leurs vecteurs positions OM i (i = 1, 2, · · · N ) est
définie par :
N
−→ X −−→
M OG =
mi OM i ,
i=1
où M est la masse totale du système de N points matériels : M =
dérivant par rapport au temps cette équation on obtient :
M~vG =
N
X
i=1
−
−
→
mi~vi =
N
X
PN
i=1
mi . En
p~i ,
i=1
où ~vG = dOG
est la vitesse du centre de masse. On obtient donc le résultant
dt
important suivant :
A.2 Eléments théoriques relatifs au TP2
37
La somme des quantités de mouvement d’un système de points matériels
est la quantité de mouvement de son centre de masse, affectée de la
masse totale du système.
Un solide étant considéré comme un ensemble de points matériels, la quantité
de mouvement totale d’un solide sera la quantité de mouvement de son centre
de masse.
Document A.2.2 Conservation de la quantité de mouvement
Le principe fondamental de la dynamique donne la variation de la quantité de mouvement d’un système de points matériels soumis à des forces extérieures au système
(i.e des forces qui ne sont pas des forces d’interactions entre les points matériels) :
N
N
X
d X
p~i =
F~iext ,
dt i=1
i=1
où p~i est la quantité de mouvement du point i et F~iext est la force extérieure s’appliquant sur point matériel Mi .
P ~ ext
= 0), on obtient le résultat
Si la résultante des forces extérieures est nulle ( N
i=1 Fi
fondamental suivant :
La quantité de mouvement d’un système isolé (ou pseudo–isolé) est une
quantité qui se conserve au cours du temps.
Au cours d’un choc de deux solides, le système constitué des deux solides pouvant
être considéré comme un système isolé, on aura p~1 + p~2 qui est conservé au cours du
temps. Où p~1 et p~2 sont les quantités de mouvement des centres de masse de chacun
des solides.
Document A.2.3 Types de collisions
On distingue deux type de collisions
• Le choc élastique : Le choc entre deux mobiles est dit élastique lorsque les masses
de chacun des mobiles restent les même avant et après le choc et lorsque l’énergie
cinétique totale initiale du système constitué des deux mobiles est entièrement
restituée au système après le choc.
Lors d’un choc élastique, en plus de la conservation de la quantité de mouvement,
l’énergie cinétique totale après le choc sera égale à l’énergie cinétique initiale
totale du système.
Lors d’un choc élastique on aura à notre disposition deux lois de conservation :
p~1 + p~2 = p~0 1 + p~0 2
0
0
Ec1 + Ec2 = Ec1
+ Ec2
Documents
38
Où p~1 , p~2 désignent les quantités de mouvement respectives des mobiles avant le
choc. Ec1 , Ec2 sont les énergies cinétiques respectives avant le choc. Les quantités
primées représentent des quantités après le choc.
• Le choc inélastique : Le choc entre deux mobiles est dit inélastique si les conditions précédentes ne sont pas remplis. C’est le cas lorsqu’il y a un transfert d’une
partie de l’énergie cinétique initiale en une autre forme d’énergie : chaleur par
frottements, déformation de l’un des mobiles où échange de matière entre les mobiles par exemples. Le choc mou, dans lequel les deux mobiles restent accrochés
l’un à l’autre après la collision, est un cas particulier de choc inélastique.
Document A.2.4 Choc élastique – Transfert d’énergie cinétique
On considère un mobile de masse m1 animé d’une vitesse ~v1 = v1~ux qui entre en
collision avec un mobile de masse m2 initialement au repos. On suppose que le
mouvements des mobiles à lieu sur un rail sans frottement. Le mouvement à donc
lieu sur une droite que l’on notera Ox. Le but de cette section est de déterminer
0
du mobile de masse m2 en fonction de l’énergie
l’énergie cinétique après le choc Ec2
cinétique initiale du mobile de masse m1 .
Le choc étant élastique nous avons à notre disposition deux lois de conservation : la
conservation de l’énergie cinétique :
0
0
Ec1 = Ec1
+ Ec2
⇔
p02
p02
p21
= 1 + 2
2m1
2m1 2m2
et la conservation de la quantité de mouvement (projetée sur l’axe Ox) :
p1 = p01 + p02 ,
(A.2.1)
où les notations sont les même que dans la section précédente et on a tenu compte
du fait que le mobile de masse m2 est initialement au repos : p2 = 0, Ec2 = 0.
Ces deux équations peuvent s’écrire de la façon suivante :
m1 02
p
m2 2
= p02 ,
p21 − p02
=
1
p1 − p01
0
0
puis en utilisant l’identité p21 − p02
1 = (p1 − p1 )(p1 + p1 ) et en faisant le rapport des
deux équations, on obtient :
m1 0
p1 + p01 =
p.
m2 2
En utilisant l’équation A.2.1 pour exprimer p01 en fonction de p1 et p02 , on obtient :
2p1 − p02 =
m1 0
2m2
p2 ⇔ p02 =
p1 .
m2
m1 + m2
Le taux de transfert de quantité de mouvement est donc donné par :
−1
p02
m1
=2 1+
p1
m2
A.3 Eléments théoriques relatifs au TP3
Le rapport R =
donné par :
0
Ec2
Ec1
39
caractérisant le taux de transfert de l’énergie cinétique est donc
E0
p02
R = c2 = 2
Ec1
2m2
ce qui finalement donne :
m1
R=4
m2
p21
2m1
−1
m1
=
m2
m1
1+
m2
p02
p1
2
,
−2
On remarque que R ne dépend que du rapport des masses des mobiles
m1
.
m2
A.3 Eléments théoriques relatifs au TP3
Document A.3.1 Modélisation du Pendule simple
TP :
Pendule : modélisation
L’objectif de cette section est de déterminer la période T du pendule simple.
1. pendule simple : Le pendule simple est un modèle qui consiste en une masse
m ponctuelle accrochée à une tige de longueur ` et de masse négligeable. L’autre
extrémité de la tige, située au point O, est accrochée à un axe horizontal, de
telle sorte que la tige puisse tourner, sans frottement, dans un plan vertical. La
position de la masse m est repérée à chaque instant par son vecteur position
−−→
OM .
2. Bilan des forces : La masse m est soumise à son poids p~ = m~g et à la force de
liaison avec la tige T~ . La trajectoire de la masse m étant un arc de cercle, nous
allons utiliser les coordonnées polaires pour repérer sa position. Dans la base
locale (~uρ , ~uθ ) associées aux coordonnées polaires les vecteurs forces s’expriment
de la façon suivante :
T~ = T ~uρ ;
p~ = mg(cos θ~uρ − sin θ~uθ ),
où θ est l’angle que fait la tige avec la verticale, à chaque instant t.
(A.3.1)
Documents
40
3. Principe fondamental de la dynamique : Le but est d’écrire
p~ + T~ = m~a,
(A.3.2)
dans la base locale (~uρ , ~uθ ), pour obtenir l’équation différentielle satisfaite par
θ(t). Pour cela calculons les composantes de l’accélération ~a dans cette base. Le
vecteur position est donné à chaque instant t par :
−−→
OM = `~uρ .
En dérivant cette équation par rapport au temps on obtient le vecteur vitesse :
~v ≡
d −−→
dθ
OM = ` ~uθ .
dt
dt
En dérivant une nouvelle fois on obtient l’accélération :
2
d2 −−→
dθ
d2 θ
~a ≡ 2 OM = −`
~uρ + ` 2 ~uθ .
dt
dt
dt
(A.3.3)
En utilisant l’équation A.3.1 et l’équation A.3.3 dans le principe fondamental de
la dynamique A.3.2, et en projetant sur ~uθ on obtient :
d2 θ g
+ sin θ = 0.
dt2
`
(A.3.4)
C’est une équation différentielle du second ordre et non linéaire (à cause du terme
sin θ). C’est cette équation que doit satisfaire la fonction θ(t). On l’appelle :
équation différentielle du mouvement.
4. Approximation des petits angles : Pour de petits angles d’oscillation, on
peut faire l’approximation
sin θ ' θ,
et l’équation différentielle du mouvement Eq. (A.3.4) devient :
d2 θ g
+ θ = 0.
dt2
`
C’est l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation ω =
que :
(A.3.5)
pg
`
. On en déduit
Pour de faibles amplitudes des oscillations, la période T0 du pendule est
donnée par :
s
`
T0 = 2π
(A.3.6)
g
A.3 Eléments théoriques relatifs au TP3
41
5. Ecart à l’approximation des petits angles : Il faut bien faire attention et
se rappeler que l’expression A.3.6 donnant T0 n’est valable que pour de faibles
angles. Quand l’amplitude des oscillations devient plus grande, la période du
pendule devient une fonction de l’amplitude des oscillations. On peut calculer
les corrections à l’approximation des petits angles, la période du pendule peut
s’écrire sous la forme d’une série.
La période T du pendule dépend en général de l’amplitude des oscillations
θ0 . T peut s’écrire sous la forme d’une série :
(
2
2
1×3
1
θ0
θ0
2
4
+
T = T0 1 +
sin
sin
2
2
2×4
2
)
2
1×3×5
θ
0
+
sin6
+ ···
2×4×6
2
(A.3.7)
La période T1 du pendule compte tenu de la première correction à l’approximation des petits angles, pour la période du pendule est donc :
θ02
T1 = T0 1 +
16
(A.3.8)
6. Pendule incliné : Le pendule oscille dans un plan incliné d’un angle φ par
rapport à la verticale. On note Oxyz un trièdre direct où Oz est vertical (orienté
vers le haut). Soit Oxy 0 z 0 le trièdre qui s’obtient par une rotation de Oxyz d’un
angle φ autour de l’axe Ox. On choisi de définir par Oxz 0 le plan des oscillations
du pendule. L’axe Oz 0 matérialise la direction de la tige quand le pendule est
à l’équilibre. On repère la position de la masse m dans le plan Oxz 0 par l’angle
θ que fait la tige avec sa position d’équilibre. Dans le plan des oscillations, on
peut décomposer les vecteurs forces sur la base locale associée aux coordonnées
polaires (~uρ , ~uθ ).
Documents
42
La seule force qui possède une projection non nulle sur ~uθ est le poids p~ et :
p~.~uθ = −mg cos φ sin θ.
La projection sur ~uθ du principe fondamental de la dynamique s’écrit donc :
m~a.~uθ = −mg cos φ sin θ
d2 θ
⇔ m` 2 = −mg cos φ sin θ
dt
d2 θ g cos φ
⇔ 2 +
sin θ = 0.
dt
`
L’équation différentielle du mouvement est la même que celle du pendule simple
vertical, donnée par l’Eq. (A.3.5), au remplacement près de g par g cos φ. Incliner
le plan des oscillations du pendule d’un angle φ est une façon de simuler une
accélération de la pesanteur plus faible que g donnée par g cos φ.
En conclusion :
L’équation différentielle du mouvement d’un pendule dont le plan des
oscillations est incliné d’un angle φ par rapport à la verticale, est la
même que celle du pendule simple, au changement près de g par g cos φ :
d2 θ g cos φ
+
sin θ = 0.
(A.3.9)
dt2
`
Dans la limite des petites oscillations, la période T0 (φ) du pendule incliné
est donc donnée par
s
`
.
(A.3.10)
T0 (φ) = 2π
g cos φ
A.4 Eléments théoriques relatifs au TP4
43
A.4 Eléments théoriques relatifs au TP4
Document A.4.1 Chariot sur plateforme tournante
TP :
Plateforme en rotation TP4
On considère une plateforme horizontale qui tourne autour d’un axe vertical à la
vitesse angulaire ω constante. Sur cette plateforme, un chariot de masse m est maintenu immobile, à une distance r de l’axe de rotation par un ressort de raideur k. Le
point M désigne le centre de masse du chariot. On suppose que lorsque la plateforme
est à l’arrêt le ressort est à vide et le chariot est à une distance r = r0 de l’axe de
rotation.
Z
R
O
f
fe
X’
r
p
L’objectif est de montrer qu’en mesurant l’allongement du ressort, on peut obtenir
la norme de la force centrifuge. Le ressort est donc utilisé comme un Newton-mètre.
Le chariot peut être étudier depuis deux référentiels différents : le référentiel de
la plateforme R0 qui est non–galiléen ou le référentiel du laboratoire R qui est
considéré comme galiléen. Le référentiel R est muni du repère Oxyz où l’axe Oz est
l’axe vertical de rotation et où Oxy est le plan dans lequel tourne la plateforme. Le
référentiel R0 est muni du repère Ox0 y 0 z où l’axe Ox0 désigne la direction du ressort.
1. Dans le référentiel du laboratoire R : Lorsque le chariot est immobile par
rapport à la plateforme, son mouvement dans le référentiel du laboratoire est
connu : c’est un mouvement circulaire et uniforme (norme de la vitesse constante)
à la vitesse angulaire ω. Il est avantageux de repérer le chariot par ses coordonnées
polaires (ρ, θ) et d’exprimer les vecteurs (position, vitesse et accélération) par
leurs composantes dans la base locale (~uρ , ~uθ ) associée à ces coordonnées.
−−→
(a) Détermination de l’accélération : En partant du vecteur position OM (t)
Documents
44
et en dérivant deux fois par rapport au temps on obtient l’accélération :
−−→
d −−→
dθ
OM = r~uρ ⇔ ~v ≡ OM = r ~uθ
dt
dt
2
d2 −−→
dθ
⇔ ~a ≡ 2 OM = −r
~uρ = −rω 2~uρ ,
dt
dt
où on a explicitement utilisé le fait que le chariot est immobile par rapport à
R0 ce qui implique que dr
= 0 et que le mouvement circulaire de la plateforme
dt
d2 θ
dω
est uniforme : d2 = dt = 0. L’accélération a la même direction que ~uρ mais
elle est de sens opposé. Elle est dirigée vers l’axe de rotation, on dit que
l’accélération est centripète.
(b) Bilan des force : Le chariot est soumis à son poids p~ et à la réaction du
~ qui compense complètement ce dernier : p~ + R
~ = ~0. Le chariot est
support R
~
aussi soumis à la force de rappel du ressort f :
f~ = −k(r − r0 )~uρ .
(A.4.1)
(c) Principe fondamental de la dynamique : Le référentiel R étant galiléen
on peut appliquer le principe fondamental de la dynamique :
−
~ + f~ = m~a ⇒ k→
p~ + R
f k = mrω 2 .
(A.4.2)
En utilisant l’expression de f~ donné par l’Eq. (A.4.1), on obtient
k(r − r0 ) = mrω 2 .
(A.4.3)
Si on connaı̂t la raideur du ressort k, en mesurant l’allongement du ressort,
on obtient mrω 2 qui s’interprète ici comme l’accélération du chariot mesurée
dans R.
2. Dans le référentiel de la plateforme R0 :
(a) Bilan des forces et pseudo–forces : Dans le référentiel R0 lié à la plateforme, le chariot est soumis à son poids qui est complètement compensé
par la réaction du support. Le ressort exerce la force f~ = −k(x − x0 )~i0 . Le
référentiel R0 dans lequel on étudie l’équilibre du chariot n’étant pas galiléen, il faut tenir compte des forces d’inertie (appelées aussi pseudo-forces).
Le chariot étant immobile dans R0 il n’est pas soumis à la pseudo–force de
Coriolis, il est néanmoins soumis à la force d’entraı̂nement centrifuge :
−−→
f~e = −m~ω ∧ ω
~ ∧ OM
= mω 2 r~i0 .
(b) Condition d’équilibre : Dans le référentiel non galiléen de la plateforme la
condition d’équilibre est :
~ + f~ + f~e = ~0,
p~ + R
A.4 Eléments théoriques relatifs au TP4
45
qui projetée sur l’axe Ox0 nous donne :
→
−
→
−
k f k = k fe k = mω 2 r.
La norme de la force exercée par le ressort est bien égale à la norme de la
force centrifuge. En mesurant l’allongement r − r0 du ressort on peut donc
→
−
mesurer la force centrifuge. En effet, en remplaçant k f k par son expression
on obtient :
k(r − r0 ) = mω 2 r.
L’étalonnage du Newton–mètre effectué au début de la séance du TP4, est
équivalent à une mesure de k. Si on connaı̂t k, en mesurant l’allongement du
ressort on obtient la force centrifuge.
Document A.4.2 Le pendule de Foucault
TP :
Pendule de Foucault (TP4)
1. Introduction : La première démonstration publique date de 1851. Le pendule
était accroché à la voûte du Panthéon de Paris. Le pendule était constitué d’une
masse de 28 kg accrochée à un fil d’acier de 67 mètres. Depuis, cette expérience à
été réalisée de nombreuses fois dans divers endroits. Aujourd’hui on peut visiter
facilement le pendule de Foucault installé au Musée des Arts et Métiers à Paris.
L’expérience met en évidence que le plan des oscillations du pendule est en
rotation, autour de la verticale, dans le sens horaire dans l’hémisphère nord et
dans le sens inverse dans l’hémisphère sud.
Cette rotation du plan d’oscillation du pendule peut s’expliquer par le fait que la
Terre n’est pas un référentiel galiléen car elle tourne sur elle même. L’expérience
du pendule de Foucault est donc une démonstration locale de la rotation de la
Terre.
On montre que le temps T que met le plan d’oscillation pour revenir à sa position
initiale est donnée par l’expression suivante :
T =
T0
sin λ
(A.4.4)
où λ est la latitude du lieu et T0 est le temps que met la Terre à faire un tour
sur elle même. T0 est appelé le jour sidéral et T0 = 23 h 56 mn 4 s ou encore
T0 = 86164 s.
2. Explications : Considérons dans un premier temps le pendule au pôle Nord.
Vu depuis un référentiel fixe par rapport aux étoiles, le plan des oscillations
du pendule est immobile. Pour un observateur fixe sur la Terre, le plan des
oscillations du pendule tourne dans le sens inverse de la rotation de la Terre. La
Terre tournant vers l’Est (le soleil se “lève” à l’Est), le plan des oscillations du
pendule tourne donc vers l’Ouest (dans le sens des aiguilles d’une montre). Le
plan reviendra à sa position initiale lorsque la Terre aura fait un tour complet
sur elle-même ; ce qui est conforme avec l’Eq. (A.4.4), pour une latitude λ = 90◦ .
Documents
46
On peut faire le même raisonnement au pôle Sud : le sens de rotation du plan
des oscillation est l’opposée de celui du pôle Nord.
La situation aux pôles est particulièrement simple, et l’argument précédent est
basé sur le fait que la trajectoire du pendule dans un référentiel galiléen, fixe par
rapport aux étoiles, est particulièrement simple, dans ce cas. Lorsque le pendule
n’est pas aux pôles, mais à une latitude quelconque, le mouvement exact du
pendule n’est pas si simple, dans les deux référentiels (Terre ou fixe par rapport
aux étoiles). Essayons tout de même de préciser quelle est la force qui fait tourner
le plan des oscillations du pendule.
3. Bilan des forces : Le masse m accrochée à l’extrémité du fil est soumise à l’attraction gravitationnelle de la Terre p~ et à la tension du fil T~ . Dans le référentiel
lié à la Terre qui n’est pas galiléen, il faut aussi considérer les forces d’inertie qui
sont la force d’entraı̂nement f~e et la force de Coriolis f~c . Parmi ces forces, seule
la force de Coriolis peut faire tourner le plan des oscillations. En effet la force
p~a ≡ p~ + f~e ne fait que corriger légèrement le poids du pendule et la verticale du
→
−
lieu. p~a est quelquefois appelée le poids apparent. La tension T étant toujours
dans la direction du fil, elle ne peut être responsable de la rotation du plan des
oscillations.
L’expression de la force de Coriolis est :
~ ∧ ~v
f~c = −2mΩ
(A.4.5)
~ est le vecteur vitesse angulaire de la Terre, dont
où ~v est la vitesse de m et Ω
la norme est la vitesse angulaire de la Terre et sa direction est l’axe de rotation
de la Terre. Dans l’hémisphère Nord, f~c tend à dévier le pendule vers sa droite,
c’est cette force qui va faire tourner lentement le plan des oscillations du pendule
dans le sens des aiguilles d’une montre.
4. Remarque : Considérons le pendule de Foucault vu d’un référentiel galiléen,
fice par rapport aux étoies. Si le pendule n’est pas situés aux pôle, alors le plan
des oscillations n’est pas fixe non plus dans ce référentiel. En effet comme le fait
remarquer Norman Phillips (Norman Phillips, La Météorologie - nı̈£¡ 34 - août
2001. http://www.smf.asso.fr/Ressources/Phillips34.pdf) :
“Considérons l’exemple du pendule du Panthéon. Le sinus de la latitude de Paris
est proche de 0.75 et, d’après la formule de Foucault (Eq. (A.4.4)), 32 heures
A.4 Eléments théoriques relatifs au TP4
47
sidérales sont nécessaires pour une rotation complète (mesuré dans le référentiel
fixe par rapport à la Terre). Ainsi, le plan des oscillations a tourné de trois
quarts de tour au bout de 24 heures et il est donc orienté perpendiculairement à
sa position initiale dans le Panthéon (mesuré dans le référentiel fixe par rapport à
la Terre). Mais comme le Panthéon a retrouvé la même orientation par rapport
aux étoiles que 24 heures sidérales plus tôt, le plan des oscillations est aussi
perpendiculaire à celui des oscillations initiales quand on le regarde (depuis un
référentiel fixe par rapport aux étoiles). En dépit de cette explication directe, qui
mérite le nom d’observation, il est encore courant de trouver des musées et leurs
sites Web où l’on soutient que la trajectoire du pendule est fixe dans l’espace.”
Document A.4.3 Principe d’équivalence
La genèse de la relativité générale repose sur une idée simple et ancestrale (qui
remonte à Galilée et Newton), liée au principe d’inertie : tous les référentiels doivent
être équivalents pour la formulation générale des lois de la nature.
1. Position du problème : La question posée par Einstein repose sur un constat
très simple que l’on peut exprimer sous différentes formes :
• Tous les référentiels ne sont pas équivalents pour la formulation générale des
lois de la nature.
• Dans un référentiel accéléré (dit non-galiléen ), le principe d’inertie n’est pas
valable.
• Dans un référentiel non-galiléen, le Principe Fondamental de la Dynamique
(PFD) n’est pas valable : il faut rajouter les pseudo-forces (entrainement,
centrifuge, Coriolis) au bilan des forces, pour décrire les mêmes phénomènes
que dans un référentiel galiléen.
Un mouvement accéléré est donc absolu : le voyageur dans un wagon est capable
de déterminer si c’est le wagon qui freine dans un paysage immobile, ou si c’est le
paysage qui accélère autour d’un wagon immobile. Dans le premier cas seulement,
il subira une pseudo-force d’entrainement qui va l’écarter de son siège. Cette nonuniversalité des lois de la nature, et le caractère absolu de ces mouvements sont
difficilement acceptables. La relativité générale permet d’y remédier.
Newton avait déjà remarqué le caractère absolu de ces mouvements accélérés avec
l’expérience du sceau rempli d’eau, qui tourne sur lui-meme : la surface de l’eau
prend une forme parabolique. Si, au contraire, le reste de l’Univers tournait par
rapport au sceau immobile, la surface de l’eau resterait plane, d’après Newton.
Il est cependant impossible de réaliser cette dernière expérience. Ernst Mach
(1872) prit le parti inverse et postulat que la surface de l’eau prendrait aussi
une forme parabolique si le sceau était immobile, mais que le reste de l’Univers
tournait autour de lui. Grace au principe de Mach, l’accélération redevenait un
mouvement relatif. Ce principe, impossible à vérifier expérimentalement, n’a pas
de conséquence sur les observables physiques. Il est donc tombé en désuétude,
mais il inspira Einstein et son principe de relativité générale.
2. Le cas de la rotation : Dans le TP4 sur la rotation, on considère deux référentiels : celui, galiléen, de la salle de TP, et celui, non-galiléen, de la plate-forme
Documents
48
en rotation. On étudie les forces subies par le chariot dans ces deux référentiels.
La pseudo-force est ici la force centrifuge.
• Vu du référentiel galiléen de la salle de TP, le chariot est en mouvement
circulaire uniforme (il est entrainé par les rails de la plate-forme et retenu
par le fil). Le PFD s’écrit :
f~ = m~a = −mrω 2~uρ
où f~ est la tension du fil.
• Vu du référentiel non-galiléen de la plate-forme, le chariot, à l’équilibre, subit
la pseudo-force centrifuge et la tension f~ du fil. Le PFD s’écrit :
f~ + f~e = 0 → f~e = mrω 2~uρ
Comment prouver que c’est la Terre qui tourne sur elle-même et non
l’Univers qui tourne autour de la Terre ? Dans le cas de la rotation de la Terre
sur elle-même, un observateur à la surface de celle-ci subit une accélération centrifuge (dans le référentiel de la Terre) : rω 2 ' 3,4.10−2 N ' g/300. Cette force
centrifuge due à la rotation de la Terre n’a aucun lien direct avec l’attraction
gravitationnelle du noyau terrestre. Un pendule s’écarte très légèrement de la
verticale sous l’effet de cette force centrifuge (cf p. 100 de L’Univers MécaniqueL. Valentin). Cet effet est difficile à détecter, c’est pourquoi il a fallu attendre le
pendule de Foucault pour mettre en évidence la rotation absolue de la Terre
sur elle-meme à l’aide de la pseudo-force de Coriolis. Ainsi les pseudos forces sont
la preuve que l’on est dans un référentiel non Galiléen, c’est à dire que l’on subit une certaine accélération. L’existence d’une pseudo force rend l’accélération
absolue.
3. Le principe d’équivalence : Le principe d’équivalence permet de considérer
une pseudo force comme une force gravitationnelle. Par exemple, la force centrifuge subie par le chariot de masse m peut etre simulée par une force gravitationnelle générée par une masse M située a une distance D du chariot, telle
que :
mM G
mω 2 r =
D2
En simplifiant par m à gauche (masse inerte) et à droite (masse pesante) on
obtient :
ω 2 rD2
M=
G
M est indépendante de l’etat physique du chariot (masse, charge,...), ce qui permet d’introduire le principe d’équivalence : grace à l’égalité de la masse inerte
(PFD) et de la masse pesante (gravitation), il est toujours possible de remplacer
une pseudo-force par une force de gravitation (et vice-versa). Vu de la plateforme, le chariot est donc comme attiré vers l’extérieur par une masse de ' 1010
kg. située à ' 1 m du chariot. Noter que M se situerait à l’extérieur de l’orbite
circulaire de la plate-forme, et que ce principe d’équivalence n’est valable qu’en
un point de l’espace donné (principe local).
Ainsi les pseudos forces dues aux mouvement accélérés peuvent toujours se ramener à une force de gravitation et inversement. Le chariot qui subit une force
A.4 Eléments théoriques relatifs au TP4
49
centrifuge peut etre considéré comme libre mais plongé dans un champ de gravitation qui l’attire vers l’exterieur. Du point de vue du chariot il est impossible
de faire la distinction !
Enfin la theorie de la relativité générale montre que la gravitation déforme l’espace : un mouvement du à la graviation (ou à une pseudo force) est un mouvement libre dans un espace deformé ce qui permet de rendre tous les référentiels
équivalents pour la formulation générale des lois de la nature. Dans le cadre de
cette théorie le référentiel de la plate forme tournante est donc équivalent à celui
de la salle de TP pour décrire les phénomènes physiques subis par le chariot.
50
Documents
Index des TP
Pendule de Foucault (TP4) . . . . . . . . . . . . 22
Pendule de Foucault : expérimentation . 22
Pendule incliné : expérimentation . . . . . . 20
Pendule vertical : expérimentation . . . . . 19
Pendule : dispositif expérimental . . . . . . . 18
Pendule : modélisation . . . . . . . . . . . . . 18, 41
Plateforme en rotation TP4 . . . . . . . . 23, 44
Banc à coussin d’air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Plateforme tournante TP4 : expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Le gras indique un grain où le concept est
défini ; l’italique indique un renvoi à un exercice ou un exemple, le gras italique à un document, et le romain à un grain où le concept est
mentionné.
B
C
Chocs à une dimension : Modélisation . . 14
Chocs : dispositif expérimental . . . . . . . . . 14
Référentiel en rotation TP4 : dispositif exChocs : Expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . 15
périmental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Remarques importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
R
M
Mouvement rectiligne uniforme : Expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Mouvement translation rectiligne : dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Mouvement uniformément accéléré : dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . 36
Mouvement uniformément accéléré : dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . 11
Mouvement uniformément accéléré : Expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Mouvement uniformément varié : modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
P
Pendule de Foucault (TP4) . . . . . . . . . . . 46
Index des notions
A
R
accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
accélération centripète . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 référentiel galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
C
T
centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
choc élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . 35
choc inélastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 théorème du moment cinétique . . . . . . . . . 50
couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 transfert de l’énergie cinétique . . . . . . . . . .40
travail d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
F
V
force centrifuge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
force de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 vitesse instantanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
I
incertitude absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
incertitude relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
M
moment d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
P
période du pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Q
quantité de mouvement (conservation). .39
quantité de mouvement (définition). . . . .38
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