reduc (1)

Réduction des endomorphismes
Calculs
Exercice 1. Calcul de valeurs propres
Chercher
les valeurs propres
des matrices :


0 ···
0
..
.
 ..
1)  .
0 ···
1 ···
1
..
.
0
n−1
n−1
n
0
sin α
sin 2α
2)


sin α
0
sin α
sin 2α
sin 2α
0
!
.
Exercice 2. Calcul de valeurs propres
a1
..
.


Soient a1 , . . . , an ∈ R. Chercher les valeurs et les vecteurs propres de A = 
(0)
a1
···
an−1
an−1
an
distinguera les cas :
1) (a1 , . . . , an−1 ) 6= (0, . . . , 0).
2) (a1 , . . . , an−1 ) = (0, . . . , 0).
Exercice 3. Polynômes de Chebychev

0
1
(0)
..
1

Soit A = 

..
.
..
.
.
..
.
(0)
1
0
1

 ∈ Mn (R).

1) Calculer Dn (θ) = det(A + (2 cos θ)I) par récurrence.
2) En déduire les valeurs propres de A.
Exercice 4. Matrice tridiagonale

Déterminer les valeurs propres de la matrice A =
1 −1
 −1 2

..

.

(0)
−1
..
.
−1
..
.
2 −1
−1 1
(0)
Exercice 5. Diagonalisation
Diagonaliser les matrices suivantes :
1 5
2 5
5
3
4
1) 2 4 2) 4 3 3) −8 −6 4) 1
2
−1
−1
8)
−1 −1
2 −1
−1
2

13)
1
1
1
 1 1 −1
1 −1
1
1 −1 −1
!
1 −1
3 −3
2 −2
9)

1
−1 
−1
1

14)
2
6
4
!
0
 −2
−2
2
10)
1)
−3
−6
−3
−4
0
0
1
0
3
13 
3
8
2)
5)

3 −1
1
9
−3
−7

0
0
4
0
0
2
0
1
1
7 −12 −2
3 −4
0
−2
0 −2
2 −2 2
0
2 2
2
0 2
2 −2 0
Exercice 6. Trigonalisation
Trigonaliser
les matrices
suivantes
:



1
−2

0
−1
4
4
!
11)
−5
2
 0 −11
0
7
0
3

15)
1
2
1
1
0 −1
!
1
2
4
6)
−2
8
−4 10
4 −8
0
5
−9
1

0
0
0
2
−7
−1 
−8
−4

reduc.tex – vendredi 28 septembre 2018



 ∈ Mn (R).

!
2
1
2
3
3
0
6
6
−4
!
7)
12)

2
3
16)  0
0
0
1
0
0
1 1 0
−1 1 2
0 0 2

0 1 0
3 0 2
0 2 0
0 0 1
3
4
2
1
3
0
4 −1
!

0
0
3
0


. On
Exercice 7. Diagonalisation

(0)
Diagonaliser M = 
..
1
.

 ∈ Mn (K).
1
(0)
Exercice 8. Diagonalisation
 0

Diagonaliser M = 

1
1
..
.
..
.

(0)


..
.
1 0
(0)
Exercice 9. Calcul

Diagonaliser la matrice M =
Exercice 10. Calcul
Soit Cpq =

Upq
0
Upq
0 Upq
0
0
0 Upq
e a
a e
b c
c b
∈ Mn (C).

b c
c b
e a
a e
∈ M4 (R).
!
∈ Mn (R) où Upq est la matrice p × q dont tous les coefficients valent 1.
Chercher les éléments propres de Cp,q .
Exercice 11.
 Matrice triangulaire

Soit A =
1 a
0 1
0 0
0 0
b
c
d
e 
.
−1 f
0 −1
A quelle condition A est-elle diagonalisable ?
Exercice 12. Sommes par lignes ou colonnes constantes
Soit A ∈ Mn (K) telle que la somme des coefficients par ligne est constante (= S). Montrer que S est
une valeur propre de A. Même question avec la somme des coefficients par colonne.
Exercice 13. Matrices stochastiques
Soit M = (mij ) ∈ Mn (R) telle que : ∀ i, j, mij > 0 et ∀ i, mi,1 + mi,2 + . . . + mi,n = 1 (matrice
stochastique).
1) Montrer que 1 est valeur propre de M .
2) Soit λ une valeur propre complexe de M . Montrer que |λ| 6 1 (si (x1 , . . . , xn ) ∈ Cn est un vecteur
propre associé, considérer le coefficient xk de plus grand module). Montrer que si tous les coefficients
mij sont strictement positifs alors |λ| = 1 ⇒ λ = 1.
Exercice 14. (X 2 − 1)P 00 + (2X + 1)P 0
E
P
1) Chercher la matrice de u dans la base canonique de Kn [X].
2) Montrer que u est diagonalisable.
Soit K un corps de caractéristique nulle, E = Kn [X] et u :
Exercice 15. (X − a)P 0 E
Soit E = Kn [X] et u :
P
u.
−→
7−→
E
(X 2 − 1)P 00 + (2X + 1)P 0 .
−→
7−→
E
Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de
(X − a)P 0 .
Exercice 16. X(X − 1)P 0 −
2nXP
E −→
Soit E = K2n [X] et u :
P 7−→
propres de u.
E
Chercher les valeurs propres et les vecteurs
X(X − 1)P 0 − 2nXP.
Exercice 17. X 3 P mod (X − a)(X −b)(X − c)
K2 [X] −→ K2 [X]
Soient α, β, γ ∈ K distincts, et ϕ :
où R est le reste de la division euclidienne de
P 7−→ R
X 3 P par (X − α)(X − β)(X − γ). Chercher les valeurs et les vecteurs propres de ϕ.
reduc.tex – page 2
Exercice 18. P (2 − X)
K[X]
P
−→
7−→
K[X]
P (2 − X).
K[X]
P
−→
7−→
K[X]
P (X + 1) − P 0 .
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme θ :
Exercice 19. P (X + 1) − P 0
Soit K un corps de caractéristique nulle.
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme θ :
Exercice 20. (X − a)P 0 + P − P (a)
Soit f ∈ L(Rn [X]) qui à P associe (X −a)P 0 +P −P (a). Donner la matrice de f dans la base (X k )06k6n .
Chercher Im f , Ker f et les éléments propres de f .
Exercice 21. tr(A)M + tr(M )A
Soit A ∈ Mn (C). L’endomorphisme f de Mn (C) défini par f (M ) = tr(A)M + tr(M )A est-il diagonalisable ?
Exercice 22.
d’une matrice
 Étude
a1
1
(0) 
..
 a2
Soit A = 
 .
..
an
1)
2)
3)
4)
.
(0)
1
0

 où les ai sont des réels positifs ou nuls, avec a1 an > 0.

Quel est le polynôme caractérique de A ?
Montrer que A admet une unique valeur propre r > 0 et que l’on a r < 1 + max(a1 , . . . , an ).
Soit λ une valeur propre complexe de A. Montrer que |λ| 6 r et |λ| = r ⇒ λ = r.
Montrer qu’il existe un entier k tel que Ak a tous ses coefficients strictement positifs.
Espaces fonctionnels
Exercice 23. f 7→ f (2x)
E −→ E
R −→ R
et u :
x→±∞
f 7−→ f ◦ ϕ.
x 7−→ 2x
Montrer que u n’a pas de valeurs propres (si u(f ) = λf , étudier les limites de f en 0 ou ±∞).
Soit E = {f : R → R continues tq f (x) −→ 0}, ϕ :
Exercice 24. Translation
Soit E le sous-espace vectoriel de C(R+ , R) des fonctions ayant une limite finie en +∞. Soit T ∈ L(E)
défini par T (f )(x) = f (x + 1). Trouver les valeurs propres de T .
Exercice 25. Équation intégrale
Z x
E −→ E
Soit E = C([0, +∞[, R) et u :
avec f̃ (x) = 1
f (t) dt.
x t=0
f 7−→ f̃
1) Montrer que f̃ peut être prolongée en une fonction continue sur [0, +∞[.
2) Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de u.
Exercice 26. Endomorphisme sur les suites
Soit E l’espace vectoriel des suites réelles u = (un )n>1 et f l’endomorphisme de E défini par :
(f (u))n =
u1 + 2u2 + . . . + nun
.
n2
Quelles sont les valeurs propres de f ?
Exercice 27. Opérateur intégral
Z 1
E −→ E
Soit E = C([0, 1], R) et f :
avec ũ(x) =
min(x, t)u(t) dt.
u 7−→ ũ
t=0
Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de f .
reduc.tex – page 3
Polynôme caractéristique
Exercice 28. Formules pour une matrice 3 × 3
Soit A = (aij ) ∈ M3 (R).
a
1) Vérifier que χA (λ) = −λ3 + (tr A)λ2 − a11
21
a12
a22
+
a11
a31
a13
a33
+
a22
a32
a23
a33
λ + det(A).
2) Soit λ une valeur propre de A et L1 , L2 deux lignes non proportionnelles de A − λI (s’il en existe).
On calcule L = L1 ∧ L2 (produit vectoriel) et X = t L. Montrer que X est vecteur propre de A pour
la valeur propre λ.
Exercice 29. Recherche de vecteurs propres pour une valeur propre simple
Soit A ∈ Mn (K) et λ ∈ K une valeur propre de A telle que rg(A − λI) = n − 1.
1) Quelle est la dimension du sous espace propre Eλ ?
2) Montrer que les colonnes de t com(A
! − λI) engendrent Eλ .
0
1
1
3) AN : Diagonaliser A =
1
2
1
1
0 −1
.
Exercice 30. Éléments
propres de C t C

Soit C = 
a1
.. 
.
an
∈ Mn,1 (R) et M = C t C.
1) Chercher le rang de M .
2) En déduire le polynôme caractéristique de M .
3) M est-elle diagonalisable ?
Exercice 31. (i/j)
Soit A = (aij ) ∈ Mn (R) telle que aij = i/j. A est-elle diagonalisable ?
Exercice 32. Matrice compagne
Pn−1
On considère pour n ∈ N∗ le polynôme défini par : Pn (x) = xn − i=0 αi xi avec α0 > 0 et αi > 0 pour
1 6 i 6 n − 1.
1) Montrer qu’il existe une unique racine dans R+∗ pour Pn .
 1 1 0 ··· 0
2
.
2) Soit A = 
 ..
 ..
0
..
.
.
. ..
n 0
1
..
.
..
..
..
···
.
.
.
···
..
.



0 . Montrer que A admet une unique valeur propre réelle strictement

1
0
positive.
Exercice 33. I + (xi yj )
Soient x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ C. Calculer ∆n = det(I + (xi yj )).
Exercice 34. Centrale MP 2000

0
b
On considère la matrice de Mn (C), A = 
.
..
b
a
..
.
..
.
···
···
..
.
..
.
b

a
..
.
a
0
, a 6= b.

1 (a(X + b)n − b(X + a)n ).
a−b
2) Montrer qu’en général les valeurs propres de A sont sur un cercle.
1) Montrer que le polynôme caractéristique de A est
reduc.tex – page 4
Exercice 35. Centrale MP 2000
Soit a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R et An =

a1 + b1
 b1
 ..
 .
 .
 .
.
b1
b2
a2 + b2
b2
..
.
b2
···
b3
..
.
..
.
···
···
···
..
.
..
.
bn−1
bn
bn
..
.
bn
an + bn






1) Calculer det An .
2) Calculer χA , le polynôme caractéristique de A.
3) On suppose a1Q
< a2 < . . . < an et, pour tout i, bi > 0. Montrer que An est diagonalisable (on pourra
n
utiliser χA (t)/ i=1 (ai − t)).
4) Le résultat reste-t-il vrai si l’on suppose a1 6 a2 6 . . . 6 an et, pour tout i, bi > 0 ?
Exercice 36. Polynômes caractéristiques
Soit A ∈ Mn (K) inversible et B = A−1 , C = A2 . Exprimer les polynômes caractéristiques χB et χC en
fonction de χA .
Exercice 37. Matrice compagne
Soit P = X n − (a0 + a1 X + . . . + an−1 X n−1 ) ∈ Kn [X].
 0
(0)
a0 

La matrice compagne de P est M = 

1
(0)
..
.
..
.
0
1
a1
..
.

.

an−1
Soit E un K-ev de dimension n, B = (e1 , . . . , en ) une base de E et ϕ l’endomorphisme de E de matrice
M dans B.
1) Déterminer le polynôme caractéristique de M .
2) Calculer ϕk (e1 ) pour 0 6 k 6 n.
3) En déduire que µM = P .
Exercice 38. sp(A) ∩ sp(B) = ∅
Soient A, B ∈ Mn (C). Montrer que sp(A) ∩ sp(B) = ∅ si et seulement si χA (B) est inversible.
Application : Soient A, B, P trois matrices carrées complexes avec P 6= 0 telles que AP = P B. Montrer
que A et B ont une valeur popre commune.
Exercice 39. Matrices à spectres disjoints
Soient A, B ∈ Mn (C). Montrer l’équivalence entre :
a) ∀ C ∈ Mn (C), il existe un unique X ∈ Mn (C) tel que AX − XB = C.
b) ∀ X ∈ Mn (C) on a AX = XB ⇒ X = 0.
c) χB (A) est inversible.
d) A et B n’ont pas de valeur propre en commun.
Exercice 40. AB et BA ont même polynôme caractéristique
Soient A, B ∈ Mn (K).
1) Montrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres.
2) Montrer que si A ou B est inversible,
polynôme
alors AB
et BA
ont même
caractéristique.
BA −B
0 −B
In 0
3) Dans le cas général, on note M = 0
,
N
=
,
P
=
(M, N, P ∈ M2n (K)).
0
0 AB
A In
Vérifier que M P = P N , montrer que P est inversible, et conclure.
Exercice 41. X 2014
Soient A, B ∈ M2 (Z) telles que A, A + B, A + 2B, A + 3B, A + 4B sont inversibles. Montrer que A + 5B
l’est.
Exercice 42. Trace
Mn (R) −→ Mn (R)
Calculer sa trace par un moyen simple.
M 7−→ t M.
Exercice 43. Fermat pour la trace, ULM-Lyon-Cachan MP∗ 2005
Soit p premier et A ∈ Mn (Z). Montrer que tr(Ap ) ≡ tr(A) (mod p).
Soit l’application Φ :
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Exercice 44. Facteurs irréductibles (Lacouture)
Soit K un corps quelconque, n ∈ N∗ , M ∈ Mn (K). On note µ le polynôme minimal de M et χ son
polynôme caractéristique. Le but de l’exercice est de prouver que µ et χ ont mêmes facteurs irréductibles.
1) Traiter le cas où χ est scindé.
2) Cas général.
a) Montrer que pour tout P ∈ K[X], il existe R ∈ Mn (K[X]) tel que
P (M ) − P (X)In = (M − XIn )R(X).
b) Montrer que χ divise µn puis conclure.
Exercice 45. AM + B et AM ont même polynôme caractéristique, Centrale MP 2012
1) Soient A, B ∈ Mn (C) ayant même polynôme caractéristique. Montrer que tr(A2 ) = tr(B 2 ).
2) Soient A, B ∈ Mn (C). Montrer l’équivalence entre :
(a) ∀ M ∈ Mn (C), AM + B et AM ont même polynôme caractéristique ;
(b) B est nilpotente et BA = 0.
Polynôme annulateur
Exercice 46. Matrice bitriangulaire

0
(a)
..
Donner une CNS sur a, b ∈ C pour que la matrice M = 
 soit diagonalisable.
.
(b)

0
Exercice 47. A2 = A et tr(A) = 0
Trouver les matrices A ∈ Mn (R) telles que A2 = A et tr(A) = 0.
Exercice 48. u3 = u2
Soient E un ev de dimension finie sur C et u un endomorphisme de E.
On suppose que u3 = u2 , u 6= id, u2 6= 0, u2 6= u.
1) Montrer qu’une valeur propre de u ne peut être que 0 ou 1.
2) Montrer que 1 et 0 sont effectivement valeurs propres de u.
3) Montrer que u n’est pas diagonalisable.
4) Montrer que E = Im(u2 ) ⊕ Ker(u2 ).
5) Monter que u|F avec F = Im(u2 ) est l’identité.
Exercice 49.
 INT gestion 94 
1
1
1
1
−1 −1
−1
Soit A =  −1
1
1
−1
1
.
1 −1
1
1
1) Calculer det A.
2) Calculer (A − xI)( tA − xI) et en déduire χA (x).
3) Montrer que A est C-diagonalisable.
Exercice 50. X n P (1/X) E −→ E
P 7−→ X n P (1/X).
1) Déterminer u ◦ u. En déduire que si car(K) 6= 2 alors u est diagonalisable.
2) Étudier le cas car(K) = 2.
3) Lorsque u est diagonalisable, donner une base de vecteurs propres de u.
Soit E = Kn [X] et u :
Exercice 51. A = A−1
k
P∞
Soit A ∈ Mn (C) telle que A = A−1 . A est-elle diagonalisable ? Calculer eA (eA = k=0 A ).
k!
reduc.tex – page 6
Exercice 52. Endomorphisme de rang 1
Soit E un ev de dimension finie et u ∈ L(E) tel que rg(u) = 1. Montrer que :
Im u ⊂ Ker u ⇔ u n’est pas diagonalisable.
Exercice 53. u2 diagonalisable
Soit E un C-ev de dimension finie et u ∈ GL(E) tel que u2 est diagonalisable. Montrer que u est
diagonalisable. Donner un contre-exemple dans un R-ev.
Exercice 54. Racine p-ème
Soit A ∈ Mn (C) inversible diagonalisable et B ∈ Mn (C), p ∈ N∗ tels que B p = A.
1) Montrer que B est diagonalisable.
2) Si A n’est pas inversible la conclusion subsiste-t-elle ?
Exercice 55. X 2014
0
Résoudre dans M2 (R) : X 2 = 0
1
0
.
Exercice 56. p2 est un projecteur
Soit E un espace vectoriel de dimension n et p ∈ L(E) tel que p2 est un projecteur. Quelles sont les
valeurs propres éventuelles de p ? Montrer que p est diagonalisable si et seulement si p3 = p.
Exercice 57. A3 = A + I
Soit A ∈ Mn (R) telle que A3 = A + I. Montrer que det(A) > 0.
Exercice 58. A3 + A2 + A = 0
Soit A ∈ Mn (R) telle que A3 + A2 + A = 0. Montrer que rg A est pair.
Exercice 59. An = I
Soit A ∈ Mn (C) telle que An = I et (I, A, . . . , An−1 ) est libre. Montrer que tr(A) = 0.
Exercice 60. Ap = I et sp(A) ⊂ R ⇒ A2 = I
Soit A ∈ Mn (R). On suppose que les valeurs propres de A sont réelles et qu’il existe p > 1 tel que
Ap = I. Montrer que A2 = I.
P
Exercice 61. P (u) =
P (λi )ui
Soit E un K-ev de dimension finie et u ∈ L(E).
1) On suppose u diagonalisable et on note λ1 , . . . , λp ses valeurs propres distinctes.
a) Montrer qu’ilPexiste des endomorphismes u1 , . . . , up tels que pour tout polynôme P ∈ K[X], on
p
ait : P (u) = i=1 P (λi )ui .
b) Montrer qu’il existe un polynôme Pi tel que ui = Pi (u).
2) Réciproquement, soit u, u1 , . . . , up ∈ L(E) et λ1 , . . . , λp ∈ K tels que :
∀ P ∈ K[X], P (u) =
p
X
P (λi )ui .
i=1
Montrer que u est diagonalisable et sp(u) ⊂ {λ1 , . . . , λp }.
Exercice 62. Projecteurs
Soit E un espace vectoriel de dimension n, et f1 , . . . , fn , n applications linéaires toutes non nulles. On
suppose : ∀ (i, j) ∈ [[1, n]]2 , fi ◦ fj = δi,j fi . Montrer les fi sont toutes de rang un.
Exercice 63. Projecteurs spectraux
Soit f un endomorphisme diagonalisable d’un ev E de dimension finie, λ une valeur propre de f et pλ
le projecteur sur le sous-espace propre associé parallèlement à la somme des autres sous-espaces propres.
Montrer que pλ est un polynôme en f .
reduc.tex – page 7
Exercice 64. Endomorphismes anticomutant, Centrale MP 2003
Soit E un C-ev de dimension n ∈ N∗ et u1 , . . . , up (p > 2) des endomorphismes de E vérifiant :
∀ k, u2k = − idE ,
1)
2)
3)
4)
5)
∀ k 6= `, uk ◦ u` = −u` ◦ uk .
Montrer que les uk sont des automorphismes et qu’ils sont diagonalisables.
Montrer que n est pair.
Donner le spectre de chaque uk .
Donner les ordres de multiplicité des valeurs propres des uk .
Calculer det(uk ).
Exercice 65. u2 = 0
Soit E un ev de dimension finie et u ∈ L(E) tel que u ◦ u = 0.
1) Quelle relation y a-t-il entre Ker u et Im u ? Montrer que 2 rg u 6 dim E.
2) On suppose ici dim E = 4 et rg u = 2. Montrer qu’il existe une base (e1 , e2 , e3 , e4 ) de E telle que :
u(e1 ) = e2 , u(e2 ) = 0, u(e3 ) = e4 , u(e4 ) = 0.
3) On suppose dim E = n et Im u = Ker u. Est-ce que u est diagonalisable ?
Exercice 66. Réduction de M tq M 3 = I
Soit M ∈ M3 (R) telle que M 6= I, et M 3 = I.
1) Quelles sont les valeurs propres complexes de M ?!
2) Montrer que M est semblable à
1
0
√0
0 √
−1/2 − 3/2
0
3/2 −1/2
.
Exercice 67. Centrale PSI 1998
Soient u, v, h trois endomorphismes de Rn tels que :
u ◦ v = v ◦ u,
1) Cas particulier, n = 3, Mat(u) =
u ◦ h − h ◦ u = −2u,
!
0
0
0
1
0
0
0
1
0
v ◦ h − h ◦ v = −2v.
. Déterminer si v et h existent et si oui, les donner.
2) Cas général.
a) Que peut-on dire de tr(u) et tr(v) ?
b) Montrer que u et v sont non inversibles. Montrer que Ker u et Ker v sont stables par h.
c) Déterminer uk ◦ h − h ◦ uk pour k ∈ N. Déterminer P (u) ◦ h − h ◦ P (u) pour P ∈ R[X].
d) Quel est le polynôme minimal de u ?
Exercice 68. Indépendance du polynôme minimal par rapport au corps
Soient K ⊂ L deux corps et A ∈ Mn (K). On note µK (A) et µL (A) les polynômes minimaux de A en tant
que matrice à coefficients dans K ou dans L. Montrer que ces polynômes sont égaux.
Exercice 69. Trace entière, X MP∗ 2004
Caractériser les polynômes P tels que : ∀ A ∈ Mn (C), (P (A) = 0) ⇒ (tr(A) ∈ Z).
Exercice 70. Valeurs propres communes
Soient A, B, C ∈ Mn (C) telles que AC = CB et rg(C) = r. Montrer que A et B ont au moins r valeurs
propres communes.
Exercice 71. Polynôme minimal imposé, Centrale MP 2005
Le polynôme X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 peut-il être le polynôme minimal d’une matrice de M5 (R) ?
Exercice 72. Ker up ⊕ Im up , Polytechnique MP∗ 2006
Soit E un K-ev de dimension n. Soit u ∈ L(E), P son polynôme minimal et p le plus petit exposant
de X dans l’écriture de P .
1) Si p = 0, que dire de u ?
2) Si p = 1, montrer que E = Im u ⊕ Ker u.
3) Dans le cas général, montrer que E = Ker up ⊕ Im up .
reduc.tex – page 8
Exercice 73. f 2 + αf + β id = 0, Centrale 2015
Soit E un R-ev de dimension finie n > 1. Soit P = X 2 + αX + β ∈ R[X] sans racine réelle et f ∈ L(E)
tel que P (f ) = 0. Le but de l’exercice est de prouver qu’il
existe une base de E dans laquelle la matrice
de f est diagonale par blocs avec pour blocs diagonaux
0
−β
1
−α
.
1) Montrer que f n’admet aucune valeur propre puis que n est pair.
2) Soit x ∈ E non nul et y = f (x) + αx. On note Hx = hx, yi. Montrer que Hx est un plan stable par f
et que c’est le plus petit sev de E stable par f et contenant x.
3) Prouver la propriété annoncée.
Exercice 74. P (A) est nilpotente, Mines-Ponts 2015
Soit A ∈ Mn (C). Déterminer les polynômes P tels que P (A) soit nilpotente.
Exercice 75. Ap = In , Mines 2015
Soit A ∈ Mn (Z) telle qu’il existe p ∈ N vérifiant Ap = In . On suppose de plus qu’il existe m > 3 tel que,
pour tous i, j, m divise [A − In ]i,j . Déterminer A.
Endomorphismes de composition
Exercice 76. Équation AM = λM
Soit A ∈ Mn (K). Déterminer les scalaires λ et les matrices M ∈ Mn (K) telles que AM = λM .
Exercice 77. v 7→ v ◦ u, Centrale MP 2003
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). On considère l’application Φu qui à v ∈ L(E)
associe v ◦ u.
1) Montrer que Φu ∈ L(L(E)).
2) Montrer l’équivalence : (u est diagonalisable) ⇔ (Φu est diagonalisable). . .
a) en considérant les polynômes annulateurs de u et de Φu .
b) en considérant les spectres et sous-espaces propres de u et de Φu .
Exercice 78. f 7→ p ◦ f ◦ p
Soit p ∈ L(E) une projection et Φ :
L(E)
f
−→
7−→
Exercice 79. f 7→ u ◦ f et f 7→ f ◦ u
Soit E un K-ev de dimension finie
 et u ∈ L(E)
 L(E) −→
On considère les applications :
 ϕ : f 7−→
ψ : f 7−→
1) Montrer que ϕ et ψ sont diagonalisables.
2) Montrer que ϕ − ψ est diagonalisable.
L(E)
Déterminer les éléments propres de Φ.
p ◦ f ◦ p.
diagonalisable.
L(E)
u◦f
f ◦ u.
Exercice 80. u ◦ v − v ◦ u = id
Soient K un corps de caractéristique nulle, E un K-ev non nul et u, v deux endomorphisme de E tels que
u ◦ v − v ◦ u = idE .
1) Simplifier uk ◦ v − v ◦ uk pour k ∈ N puis P (u) ◦ v − v ◦ P (u) pour P ∈ K[X].
2) Montrer que u et v n’ont pas de polynômes minimaux.
Exercice 81. f ◦ g − g ◦ f = αf
Soit K un corps de caractéristique nulle, E un K-ev de dimension finie et f, g ∈ L(E), α ∈ K∗ tels que
f ◦ g − g ◦ f = αf .
1) Montrer pour tout entier naturel n : f n ◦ g − g ◦ f n = nαf n .
2) Montrer qu’il existe n ∈ N tel que f n = 0 (raisonner par l’absurde et considérer l’application h 7→
h ◦ g − g ◦ h de L(E) dans L(E)).
3) Donner un contre-exemple avec car(K) 6= 0.
reduc.tex – page 9
Exercice 82. X MP∗ 2001
Soit f un endomorphisme de E (ev de dimension finie sur K) tel que χf soit irréductible. Montrez que
pour aucun endomorphisme g le crochet de Lie [f, g] = f ◦ g − g ◦ f n’est de rang un.
Exercice 83. 12 (p ◦ u + u ◦ p), Mines MP 2003
Soit E un R-espace vectoriel de dimension n finie, p un projecteur de rang r et
L(E) −→ L(E)
ϕ:
u 7−→ 12 (p ◦ u + u ◦ p).
1) Est-ce que ϕ est diagonalisable ?
2) Déterminer les valeurs propres de ϕ et les dimensions des sous-espaces propres.
Exercice 84. Crochet de Lie, Ens Cachan MP∗ 2003
Soit Φ : Mn (C) → Mn (C) un automorphisme d’ev tel que : ∀ A, B ∈ Mn (C), Φ([A, B]) = [Φ(A), Φ(B)]
où [X, Y ] = XY − Y X. Montrer : ∀ D ∈ Mn (C), (D est diagonalisable) ⇔ (Φ(D) est diagonalisable).
Indication : considérer ϕD : X 7→ [D, X] et montrer que (D est diagonalisable) ⇔ (ϕD est diagonalisable).
Similitude
Exercice 85. Matrices réelles semblables sur C
Soient A, B ∈ Mn (R) semblables sur C : Il existe P, Q ∈ Mn (R) telles que : P + iQ ∈ GLn (C) et
(P + iQ)A = B(P + iQ).
1) Montrer : ∀ λ ∈ R, (P + λQ)A = B(P + λQ).
2) En déduire que A et B sont semblables sur R.
Exercice 86. Trigonalisation
! de matrices
Soit A =
1)
2)
3)
4)
5)
−1
2
−2
2
2
2
0
−3
1
et ϕ l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à A.
Vérifier que A n’est pas diagonalisable.
Chercher deux vecteurs propres de A linéairement indépendants.
Compléter ces vecteurs en une base de R3 .
Écrire la matrice de ϕ dans cette base.
Résoudre le système différentiel : X 0 = AX.
Exercice 87. Somme de projecteurs
Soit E un K-ev de dimension finie et u ∈ L(E). Montrer que u est diagonalisable si et seulement s’il
existe des projecteurs p1 , . . . , pk ∈ L(E) et des scalaires λ1 , . . . , λk tels que : u = λ1 p1 + . . . + λk pk et
∀ i 6= j, pi ◦ pj = 0.
Exercice 88. A3 est semblable à A4
Quelles sont les matrices A ∈ M3 (C) telles que A3 est semblable à A4 ? On étudiera séparément les cas :
1) A a trois valeurs propres distinctes.
2) A a deux valeurs propres distinctes
3) A a une seule valeur propre.
Exercice 89. Décomposition de Dunford
Soit A ∈ Mn (C). Montrer qu’il existe deux matrices D, N telles que A = D + N , D est diagonalisable,
N est nilpotente, DN = N D.
Exercice 90. Réduction de Jordan, Mines MP 2003
Soit f ∈ L(R3 ) telle que sp(f ) = {λ} et dim(Ker(f − λ id)) = 2. !
Montrer qu’il existe une base B dans laquelle Mat(f ) =
λ 0 0
0 λ 1
0 0 λ
Exercice 91. A et 2A sont semblables
Soit A ∈ Mn (C) nilpotente. Montrer que A et 2A sont semblables.
reduc.tex – page 10
.
Usage de la réduction
Exercice 92. Ensi PC 1999
!
Soit A =
−1
2
1
2 −1 −1
−4
4
3
.
1) Calculer An .
!
2) Soit U0 =
3) Soit X(t) =
−2
4
et (Un ) défini par
1
!
x(t)
y(t) . Résoudre dX
dt
z(t)
la relation : Un+1 = AUn . Calculer Un en fonction de n.
= AX.
Exercice 93. Puissances de A
Soit A ∈ M3 (R) ayant pour valeurs propres 1, −2, 2, et n ∈ N.
1) Montrer que An peut s’écrire sous la forme : An = αn A2 + βn A + γn I avec αn , βn , γn ∈ R.
2) On considère le polynôme P = αn X 2 +βn X +γn . Montrer que : P (1) = 1, P (2) = 2n , P (−2) = (−2)n .
3) En déduire les coefficients αn , βn , γn .
Exercice 94. Suites récurrentes linéaires
Soit (un ) une suite réelle !
vérifiant l’équation de récurrence : un+3 = 6un+2 − 11un+1 + 6un .
1) On pose Xn =
un
un+1
un+2
. Montrer qu’il existe une matrice A ∈ M3 (R) telle que Xn+1 = AXn .
2) Diagonaliser A. En déduire un en fonction de u0 , u1 , u2 et n.
Exercice 95. Endomorphisme cyclique
Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n.
1) On suppose que pour tout sous-ev D de dimension 1 il existe x ∈ D tel que E = vect(x, f (x), f 2 (x), . . .).
Que dire de E et f ?
2) On suppose qu’il existe x ∈ E tel que E = vect(x, f (x), f 2 (x), . . .). Montrer que si f est diagonalisable
alors ses valeurs propres sont toutes distinctes. Montrer que si f est nilpotente alors f n−1 6= 0.
Exercice 96. Suite de points
Soit (Mn ) une suite de points dans le plan, de coordonnées (xn , yn ) définies par la relation de récurrence :
xn+1 = −xn + 2yn ,
yn+1 = −3xn + 4yn .
1) Montrer que, quelque soit M0 , les points Mn sont alignés.
2) Étudier la suite (Mn ) quand n tend vers l’infini.
3) Quelle est la limite de yn /xn (utiliser une méthode géométrique) ?
Exercice 97. Commutant d’une matrice à valeurs propres distinctes
1) Soit D = diag(λ1 , . . . , λn ) une matrice diagonale à valeurs propres distinctes.
a) Montrer qu’une matrice M commute avec D si et seulement si M est diagonale.
b) Montrer que pour toute matrice M diagonale, il existe un polynôme P ∈ Kn−1 [X] unique tel que
M = P (D).
2) Soit A ∈ Mn (K) une matrice à valeurs propres distinctes. Montrer que les matrices M commutant
avec A sont les polynômes en A.
Exercice 98.
XY= Y X = A
1 1
Soit A = 1 1 .
1) A est-elle diagonalisable ?
2) Trouver toutes les matrices X, Y ∈ M2 (K) telles que XY = Y X = A.
Exercice 99. Racine!carrée
Soit A =
9
1
1
0
4
1
0
0
1
. Trouver les matrices M ∈ M3 (R) telles que M 2 = A.
reduc.tex – page 11
Exercice 100. Racine carrée
!
Soit A =
5 −4
8 −7
12 −12
1
2
4
. Trouver une matrice B différente de A et −A telle que B 2 = A.
Exercice 101. Commutant
2 −2 1
2 −3 2
1
2 0
1) Trouver le commutant de
!
∈ M3 (R).
2) Même question, en considérant M ∈ M3 (Q).
Exercice 102. Commutant, Centrale MP 2000
Si A ∈ Mn (C), on note C(A) le commutant de A.
1) Pour n = 2, montrer que C(A) est de dimension 2 ou 4, en donner une base.
2) Pour n ∈ N∗ , montrer que C(A) est de dimension > n (traiter d’abord le cas où A est diagonalisable).
Exercice 103. Ulm MP∗ 2001
En se déplaçant uniquement sur les arêtes d’un cube de côté 1, combien y a-t-il de chemins de longueur n
pour aller d’un point à un autre ?
Réduction par blocs
Exercice 104. Matrice bloc
0
Soit A ∈ Mn (K) non nulle et M = 0
A
0
∈ M2n (K). Montrer que M n’est pas diagonalisable.
Exercice 105. Matrice bloc
A
Soit K un corps de caractéristique nulle, A ∈ Mn (K) et M = A
0
A
∈ M2n (K).
1) Comparer les valeurs propres de A et M .
2) Soit P ∈ K[X] et Q = XP 0 . Montrer que P (M ) =
P (A)
Q(A)
0
P (A)
.
3) A quelle condition sur A, M est-elle diagonalisable ?
Exercice 106. Ensi P 90
M
Soit M ∈ Mn (C) diagonalisable. Soit A = M
Exercice 107. Matrice bloc 0
Soit A ∈ GLn (C) et M = I
A
0
M
M
∈ M2n (C). La matrice A est-elle diagonalisable ?
∈ M2n (C). Montrer que M est diagonalisable si et seulement si A
l’est (chercher les sous-espaces propres de M en fonction de ceux de A).
Exercice 108.
Matrice
triangulaire par blocs
A B
Soit M = 0 C avec A, C carrées. On suppose que A et C sont diagonalisables sans valeurs propres
communes. Montrer que M est diagonalisable.
Exercice 109.
Matrice
bloc
A B
Soit M = C D ∈ Mn (K) diagonalisable avec A carrée d’ordre p.
Soit λ une valeur propre de M de multiplicité m. Montrer que si p > n − m, alors λ est valeur propre
de A.
Exercice 110. Réduction par
blocs,
Centrale MP 2003
0 A
Soit A ∈ Mn (R) et B = A 2A ∈ M2n (R). Déterminer sp(B) et fonction de sp(A).
Exercice 111. Am −→ 0, Mines MP 2003
m→+∞
 2
2 
a
ab
Soit A =  ab
b2
ab
a2
b2
ab
ab
b2
a2
ab
b
ab 
.
ab
2
a
Représenter dans un plan l’ensemble des couples (a, b) tels que Am −→ 0.
m→+∞
reduc.tex – page 12
Image et noyau
Exercice 112. Chimie P 1996
Soit E un espace vectoriel réel de dimension n et f un endomorphisme de E.
Est-il vrai que : f est diagonalisable ⇔ Ker f + Im f = E ?
Exercice 113. u est diagonalisable ⇔ Ker(u − λ id) + Im(u − λ id) est directe
Soit E un K-ev de dimension finie et u ∈ L(E) tel que χu est scindé. Pour λ ∈ sp(u), on note Eλ =
Ker(u−λ id) et Fλ = Im(u−λ id). Montrer que u est diagonalisable si et seulement si pour tout λ ∈ sp(u),
Eλ ⊕ Fλ = E.
Exercice 114. Ker f ⊕ Im f
Soit E un K-ev de dimension finie et f ∈ L(E). On suppose qu’il existe P ∈ K[X] tel que P (f ) = 0 et
P 0 (0) 6= 0. Montrer que Ker f ⊕ Im f = E.
Exercice 115. rg(f − λ id)
Soit E un C-ev de dimension finie et f ∈ L(E). Montrer que f est diagonalisable si et seulement si pour
tout λ ∈ C on a rg(f − λ id) = rg(f − λ id)2 .
Exercice 116. Nombre de noyaux et d’images
Soit E un K-ev de dimension finie et u ∈ L(E). Montrer que les ensembles K = {Ker(P (u)), P ∈ K[X]}
et I = {Im(P (u)), P ∈ K[X]} sont finis et ont même cardinal.
Exercice 117. dim(Ker f 2 ) = 2 dim(Ker f ), Mines-Ponts MP 2005
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E) tel que dim(Ker f 2 ) = 2 dim(Ker f ) = 2d.
Montrer que s’il existe g ∈ L(E) et k ∈ N∗ tels que g k = f alors k divise d.
Sous-espaces stables
Exercice 118. Droites et hyperplans stables
Soit E un C-ev de dimension finie et u ∈ L(E).
1) Montrer qu’il existe une droite vectorielle stable par u.
2) Montrer qu’il existe un hyperplan stable par u (considérer Im(u − λ id) où λ est une valeur propre
de u).
3) Donner un exemple où ces propriétés sont en défaut pour un R-ev.
Exercice 119. Plan stable pour une valeur propre non réelle
Soit M ∈ Mn (R) et λ = a + ib une valeur propre non réelle de M (a ∈ R, b ∈ R∗ ). On note X un vecteur
propre complexe de M .
1) Montrer que X est aussi vecteur propre de M .
2) Montrer que (X, X) est libre dans Cn .
1
3) Soient U = 12 (X + X), V = 2i
(X − X). Montrer que (U, V ) est libre dans Rn .
4) Soit F = vect(U, V ). Montrer que F est stable par ϕ (endomorphisme de Rn associé à M ) et donner
la matrice de ϕ|F dans la base (U, V ).
Exercice 120. Plans stables
Soit E un K-ev de dimension finie et f ∈ L(E).
1) Soit F un plan vectoriel. Montrer que si F est stable par f alors il existe P ∈ K2 [x] non constant,
diviseur de µf , tel que F ⊂ Ker P (f ).
2) Réciproquement, soit P ∈ K[x] un diviseur de µf de degré 2. Montrer que Ker P (f ) contient un plan
stable par f .
3) Si K = R montrer que f admet toujours une droite ou un plan stable.
reduc.tex – page 13
Exercice 121. Recherche
! de sev stables
Soit A =
1
1 0
−3 −2 0
0
0 1
.
1) Déterminer les sev de R3 stables pour l’endomorphisme associé à A.
2) Quelles sont les matrices réelles commutant avec A ?
Exercice 122. Plan affine stable
Soit E = R3 et H : x + 2y + 3z = 1 un plan affine de E. Montrer que si H est stable par f ∈ L(E) alors
1 est valeur propre de f .
Exercice 123. χu irréductible
Soit u un endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension n sur le corps K. Montrez que seuls {0}
et E sont stables par u si et seulement si χu est irréductible sur K.
Exercice 124. Endomorphisme semi-simple.
Un endomorphisme f est dit semi-simple si tout sous-espace stable par f admet un supplémentaire stable
par f . Montrer qu’un endomorphisme d’un C-ev de dimension finie est semi-simple si et seulement s’il
est diagonalisable.
Exercice 125. Endomorphisme semi-simple, Polytechnique MP∗ 2000
Soit E un espace vectoriel, f un endomorphisme de E tel que tout sous-espace de E admette un supplémentaire stable par f . Que peut-on dire de f ? Réciproque ?
Exercice 126. Sous-espaces stables, Centrale MP 2003 !
Soit f ∈ L(R3 ) ayant pour matrice M =
1
1
−1
1
1
1
1
1
1
dans la base canonique de R3 . Déterminer les
sous-espaces de R3 stables par f .
Exercice 127. Mines 2017
Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n, et f ∈ L(E). Montrez que
Tn f est diagonalisable si et
seulement s’il existe H1 , . . . , Hn des hyperplans de E stables par f tels que i=1 Hi = {0}.
Trigonalisation
Exercice 128. AB = 0
Soient A, B ∈ Mn (C) telles que AB = 0. Montrer que A et B sont simultanément trigonalisables.
Exercice 129. Produit de matrices nilpotentes
Soient A1 , . . . , An ∈ Mn (K) nilpotentes et commutant deux à deux. Montrer que A1 . . . An = 0.
Exercice 130. Matrices nilpotentes
Soit A ∈ Mn (C). Montrer que A est nilpotente si et seulement si pour tout k ∈ N∗ on a tr(Ak ) = 0.
Exercice 131. Mines MP 2003
Soit E un ev de dimension finie et (un ) une suite d’endomorphismes diagonalisables convergeant vers un
endomorphisme u. u est-il diagonalisable ?
Exercice 132. Mines-Ponts MP 2005
On donne une matrice carrée réelle M d’ordre n non inversible. Soient α, β les multiplicités de zéro dans
χM et µM . Montrer que dim(Ker M ) = α si et seulement si β = 1.
Exercice 133. ENS 2014
Soit K un corps fini. Les matrices de Mn (K) sont-elles toutes diagonalisables ? Sinon, trigonalisables ?
reduc.tex – page 14
Divers
Exercice 134. kg − id k < 1, Ulm MP 2012
Soit k k une norme d’algèbre sur Mn (R). Soit G un sous-groupe de GLn (R) tel que pour tout g ∈ G :
kg − id k < 1. Montrer que G est réduit à {id}.
Exercice 135. Matrices nilpotentes, Mines MP 2012
Déterminer le sous-espace vectoriel de Mn (K) engendré par les matrices nilpotentes.
Exercice 136. Ens Lyon MP 2012
Soient S, R ∈ GLn (C) telles que S 2 = R3 = In et RS = SR−1 . Montrer que S et R sont simultanément
diagonalisables par blocs, avec des blocs de taille 1 ou 2.
Exercice 137. Rangs itérés, ULC 2010
Soit V un C-espace vectoriel de dimension d et f ∈ L(V ).
1) Montrer que la suite (rg(f n )) converge. On note r(f ) sa limite.
2) Montrer que si f ◦ g = g ◦ f alors r(f + g) 6 r(f ) + r(g). Trouver un contre-exemple si g ◦ f 6= f ◦ g.
3) Exprimer r(f ) à partir du polynôme caractéristique de f .
reduc.tex – page 15
solutions
Exercice 1.
1) 0 et les racines de 6λ2 − 6nλ − n(n − 1)(2n − 1) = 0.
2) sin α + sin 2α, − sin α, − sin 2α.
Exercice 2.
1) rg(A) = 2 ⇒ 0 est valeur propre d’ordre au moins n − 2. E0 = {a1 x1 + . . . + an−1 xn−1 = xn = 0}.
vp λ 6= 0 : λ2 −an λ−(a21 +. . .+a2n−1 ) = 0. Il y a deux racines distinctes, Eλ = vect((a1 , . . . , an−1 , λ)).
2) A est diagonale. vp = 0 et an .
Exercice 3.
sin(n + 1)θ
1) Dn = 2 cos θDn−1 − Dn−2 ⇒ Dn =
.
sin θ
kπ , 1 6 k 6 n.
2) −2 cos
n+1
Exercice 4.
Soit Pn (x) le polynôme caractéristique de A et Qn (x) celui de la matrice obtenue à partir de A en
remplaçant le premier 1 par 2. On a les relations de récurrence :
Pn (x) = (1 − x)Qn−1 (x) − Qn−2 (x),
Qn (x) = (2 − x)Qn−1 (x) − Qn−2 (x).
D’où pour x ∈
/ {0, 4} :
Pn (x) =
(1 − α)(1 − α2n )
,
αn (1 + α)
avec x = 2 − α −
1
.
α
Les valeurs propres de A autres que 0 et 4 sont les réels xk = 2(1 − cos(kπ/n)) avec 0 < k < n et 0 est
aussi valeur propre (somme des colonnes nulle) donc il n’y en a pas d’autres.
reduc.tex – page 16
Exercice 5.
1 −5
1) P = 1 2 , D = diag(6, −1).
5 1
2) P = −4 1 , D = diag(−2, 7).
3
1
3) P = −8 −1 , D = diag(−3, 2).
2 −2
4) P = 1 1 , D = diag(6, 2).
!
5) P =
6) P =
7) P =
8) P =
9) P =
10) P =
11) P =
12) P =
13) P =
14) P =
15) P =
16) P =
1 3 −1
−2 4
0 , D = diag(0, 2, −2).
1 1
1
!
2
1 1
−5
1 1 , D = diag(−1, −3, 6).
2 −2 1
!
1
1 1
i −i 1 , D = diag(1 + i, 1 − i, 2).
0
0 1
!
1
1
1
1 −1
0 , D = diag(0, 3, 3).
1
0 −1
!
1
2 1
1
0 3 , D = diag(0, 0, 2).
0 −1 2
!
−4 −1 −2
−3 −1 −1 , D = diag(0, −1, 2).
4
2
!1
−1 2 3
−1 1 0 , D = diag(0, 2, 2).
1 0 2


−1 −1 1 −1
 −1 1 3 3 , D = diag(1, −1, 3, −3).
1
1 3 −3
1
−1
1 1

1 1 1
1
 1 0 0 −1 , D = diag(2, 2, 2, −2).
0 1 0 −1
 0 0 1 −1 
0 1 1
0
1
0
0
−1

, D = diag(2, 2, −2, −2).
1 0 1
0
0 1 0 1

1 0
30
18
0
0
15
−99

, D = diag(−5, 2, −4, −16).
0 0
21
99
11
 0 1 −11 
1 0
7 −8
 3 1 12 9 , D = diag(2, 1, 3, −1).
0 0
1
0
0 0
1
6
Exercice 6.

1) P =
2) P =
0
0
1
0
1
3
0
0
3
1
0
1
0
1
0
0
6
0
1
1
0
0
2
1

1
0
,
0
0
0
0
,
0
1
−1
−2 

.
1
1


0 −1 −5 −7
0
0 20 

.
0 −4
0

T =
T =
1
0 3
1 1
1

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Exercice 7.
1
1
..



n pair : P = 


.
.
1
1
..
1

..



, D = diag(1, . . . , 1, −1, . . . , −1).


1
−1
.
..
.
−1
1
1
..




n impair : P = 



.
.
1
..




, D = diag(1, . . . , 1, −1, . . . , −1).



1
1
−1
1
.
..
..

.
−1
1
Exercice 8.
P = (ω (i−1)(1−j) ), D = diag(1, ω, . . . , ω n−1 ) avec ω = exp(2iπ/n).
Exercice
 9.
P =
1
1
1
1

1
1
1
1 −1 −1 
,
−1
1 −1
−1 −1
1
D = diag (a + b + c + e, a − b − c + e, −a + b − c + e, −a − b + c + e).
Exercice 10.
λ = 0 : E0 = {x tq x1 + . . . + xq + xn−q+1 + . . . + xn = 0},
λ = 2 min(p, q) : Eλ = vect((1, . . . , 1, 0, . . . , 0, 1, . . . , 1)).
| {z }
| {z }
p
Exercice 14.

0



1) M = 


1
−2
2
2
6
(0)
..
.
..
.
..
.
(0)
p




.
−n(n − 1) 


n
n(n + 1)
Exercice 16.
u(X k ) = −kX k + (k − 2n)X k+1 ⇒ la matrice de u est triangulaire inférieure. sp(u) = {0, −1, . . . , −2n}.
λ = −k : Résoudre l’équation différentielle ⇒ P = cX k (X − 1)2n−k .
Exercice 17.
α3 : (X − β)(X − γ), β 3 : (X − α)(X − γ), γ 3 : (X − α)(X − β).
Exercice 18.
λ = 1 : P = Q((X − 1)2 ). λ = −1 : P = (X − 1)Q((X − 1)2 ).
Exercice 19.
λ = 1 : P = aX + b.
Exercice20.
0


M =


(0)
−2a −a2 · · ·
2
−2a
..
.
3
..
.
−an
(0)
−na
n+1



.


Ker f = {polynômes constants}, Im f = {polynômes divisibles par X − a}.
Valeurs propres : 0, 2, 3, . . . , n + 1. Pour 2 6 k 6 n + 1, Ek = vect((X − a)k−1 ).
Exercice 21.
Oui ssi tr(A) 6= 0 ou A = 0.
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Exercice 22.
1) (−1)n (X n − an X n−1 − . . . − a1 ).
2) Étude de x 7→ (xn − an xn−1 − . . . − a1 )/xn .
3) Inégalité triangulaire.
4) Expression générale de Ak .
Exercice 24.
spec(T ) = ] − 1, 1].
Exercice 25.
2) 0 < λ 6 1 : f (x) = Cx1/λ−1 .
Exercice 26.
1/k, k > 1.
Exercice 27.
1
λ=
: u(x) = C sin(π/2 + kπ)x.
(π/2 + kπ)2
Exercice 29.
3) P =
−1
2
−1
3
4
1
3
0
−3
!
, D = diag(0, 2, −2).
Exercice 30.
1) 1 si C 6= 0, 0 si C = 0.
2) dim(E0 ) > n − 1 ⇒ X n−1 divise χM ⇒ χM = (−1)n (X n − (a21 + . . . + a2n )X n−1 ).
3) Oui.
Exercice 31.
rg A = 1 donc dim Ker A = n − 1 et 0 est valeur propre d’ordre au moins n − 1. La somme des valeurs
propres est tr A = n donc la dernière valeur propre est n et le sous-espace propre associé est de dimension 1.
Donc A est diagonalisable.
Exercice 32.
1) La fonction fn : x 7→ P
Pn (x)/xn croît strictement de −∞ à 1 quand x varie de 0 à +∞.
n
n n
2) χA (x) = (−1) (x − k=1 kxn−k ).
Exercice 33.
Soit M = (xi yj ) : M est de rang inférieur ou égal à 1, donc 0 est valeur propre de M d’ordre au moins
n − 1. Comme tr(M ) = x1 y1 + . . . + xn yn , le polynôme caractéristique de M est
χM (x) = (−x)n−1 (x1 y1 + . . . + xn yn − x),
et le déterminant demandé est ∆n = χM (−1) = x1 y1 + . . . + xn yn + 1.
Exercice 34.
1) det(M + (t)) est une fonction affine de t.
2) |λ + a| = k|λ + b| et λ = x + iy ⇒ (1 − k 2 )(x2 + y 2 ) + . . . = 0, équation d’un cercle si |a| 6= |b|.
Exercice 35.
1) a1 . . . an + b1 a2 . . . an + a1 b2 a3 . . . an + . . . + a1 . . . an−1 bn .
Pn
χ (t)
3) Qn A
= 1 + i=1 bi change de signe entre deux ai successifs et dans l’un des intervalles
(a
−
t)
ai − t
i
i=1
] − ∞, a1 [ ou ]an , +∞[ donc χA admet n racines distinctes.
4) Oui. Supposons par exemple a1 = . . . = ap < ap+1 < . . . < an : La question précédente met en
évidence n − p racines simples de χA entre les ai et ±∞, et a1 est aussi racine d’ordre p − 1 de χA . Or
les p premières lignes de A − a1 I sont égales donc rg(A − a1 I) 6 n − p + 1 et dim(Ker(A − a1 I)) > p − 1
d’où la diagonalisabilité. Le cas où il y a plusieurs groupes de ai égaux se traite de même.
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Exercice 36.
(−X)n
χB (X) =
χA 1 , χC (X 2 ) = χA (X)χA (−X).
det(A)
X
Exercice 39.
a ⇔ b : thm du rang.
c ⇔ d : immédiat.
c ⇒ b : si AX = XB alors pour tout polynôme P on a P (A)X = XP (B).
c ⇒ b : prendre U vecteur propre de A, V vecteur propre de t B associés à la même valeur propre et
X = U tV .
Exercice 41.
On suppose que inversible signifie inversible dans M2 (Z), c’est-à dire que le déterminant vaut ±1.
det(A + kB) est un polynôme en k de degré inférieur ou égal à 2 prenant la même valeur, 1 ou −1 en
trois points distincts ; il est constant.
Exercice 42.
Somme des valeurs propres = n.
Exercice 43.
Soit K = Z/pZ. Il faut en fait prouver que pour toute matrice A ∈ Mn (K), on a tr(Ap ) = tr(A).
Remarquer qu’on n’a pas forcément Ap = A dans Mn (K), c’est faux, entre autres, si A est nilpotente
non nulle. Soit X une indéterminée sur K. On a dans l’anneau Mn (K[X]) : (A − XIn )p = Ap − X p In ,
d’où, en prenant les déterminants : χAp (X p ) = χA (X)p = χA (X p ) et on égale les coefficients de X (n−1)p .
Exercice 44.
1) µ divise χ par Cayley-Hamilton et a les mêmes racines, les valeurs propres de M .
2) a) Pour P (X) = X p c’est la factorisation bien connue de ap − bp ; pour P quelconque additionner les
factorisations pour chaque monôme.
b) Prendre P = µ et calculer les déterminants.
Exercice 45.
1) Trigonaliser.
2) (a)=⇒(b) : B a même polynôme caractéristique que la matrice nulle, (−X)n , donc (−B)n = 0. De
plus, pour M quelconque, tr((AM + B)2 ) = tr((AM )2 ), d’où 0 = tr(AM B + BAM ) = 2 tr(BAM ).
Ceci entraîne classiquement BA = 0.
(b)=⇒(a) : pour λ 6= 0, la matrice B − λI est inversible et on a pour M ∈ Mn (C),
det(AM + B − λI) = det(B − λI) det((B − λI)−1 AM + I)
= (−λ)n det((B − λI)−1 AM + I)
= det(−λ(B − λI)−1 AM − λI).
De plus, (B − λI)A = −λA, donc A = −λ(B − λI)−1 A et il vient det(AM + B − λI) = det(AM − λI)
pour tout λ 6= 0, donc aussi pour λ = 0 par caractère polynomial en λ des deux membres.
Exercice 46.
a = b ou a, b non nuls.
Exercice 49.
2) (A − xI)( tA − xI) = (x2 − 2x + 4)I, χA (x) = x2 − 2x + 4.
3) tA = 2I − A donc (A − xI)((2 − x)I − A) = (x2 − 2x + 4)I. En prenant pour x une des racines du
polynôme x2 − 2x + 4, on obtient un polynôme scindé à racines simples annulant A.
Exercice 51.
A est diagonalisable car A2 = I. eA = (ch 1)I + (sh 1)A.
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Exercice 52.
Si Im u ⊂ Ker u alors u2 = 0 donc 0 est l’unique valeur propre de u et u 6= 0 donc u n’est pas diagonalisable.
Si Im u6⊂ Ker u alors Im u ∩ Ker u = {0} et donc Im u + Ker u = E. Or Im u et Ker u sont des sous-espaces
propres de u donc u est diagonalisable.
Exercice 54.
1) polynôme annulateur simple.
2) Non, ctrex = B nilpotent.
Exercice 55.
X 4 = 0 donc X est nilpotente et son indice est strictement supérieur à 2 ; il n’y a pas de solution.
Exercice 56.
sp(p) ⊂ {−1, 0, 1}. p est diagonalisable si et seulement s’il annule un polynôme scindé à racines simples.
Exercice 57.
A est C-diagonalisable et les valeurs propres sont α > 0 et β, β avec la même multiplicité.
Exercice 59.
A est diagonalisable et a n valeurs propres distinctes, sinon il existerait un polynôme annulateur de degré
inférieur ou égal à n − 1. Ces racines sont les n racines n-èmes de 1 et leur somme est nulle.
Exercice 60.
A est C-diagonalisable (polynôme annulateur à racines simples) ⇒ dim(E1 ) + dim(E−1 ) = n. Les
dimensions sont conservées sur R.
Exercice 62.
Les fi sont des projecteurs commutant deux à deux, ils sont simultanément diagonalisables. Soit e1 tel
que f1 (e1 ) = e1 : fi (e1 ) = fi ◦ f1 (e1 ) = 0 si i > 2 donc les supports des restrictions des fi à une base
propre commnue sont deux à deux disjoints non vides, ce sont des singletons.
Exercice 63.
Soit P un polynôme tel que P (λ) = 1 et P (µ) = 0 pour toutes les autres valeurs propres, µ, de f . Alors
pλ = P (f ).
Exercice 64.
3) sp(uk ) ⊂ {i, −i} d’après la relation u2k = − idE . Si le spectre était réduit à un élément alors uk serait
scalaire car diagonalisable, mais ceci est incompatible avec la relation d’anticommutation entre uk et
u` . Donc sp(uk ) = {i, −i}.
4) u` avec ` 6= k échange les sous-espaces propres de uk donc ils ont même dimension n/2.
Exercice 67.
1) Calcul Maple : h =
c+4
0
0
b
a
c+2 b
0
c
!
, v = ku.
2) c) uk ◦ h − h ◦ uk = −2kuk , P (u) ◦ h − h ◦ P (u) = −2u ◦ P 0 (u).
d) Si P (u) = 0 alors u◦P 0 (u) = 0 donc P (polynôme minimal) divise XP 0 ce qui implique P (X) = X k
pour un certain k.
Exercice 69.
Aucun polynôme constant ne convient. Si P est non constant et α est une racine de P alors en considérant
A = αIn on obtient une première condition nécessaire : nα ∈ Z. Si P a une autre racine β alors en
prenant A = diag(α, . . . , α, β) on obtient une deuxième condition nécessaire : β − α ∈ Z. Ainsi les
polynômes P cherchés ont la propriété suivante : deg(P ) > 1 et il existe u ∈ Z tel que toutes les racines
de P sont congrues à u/n modulo 1. Cette condition est clairement suffisante.
Exercice 70.
On écrit C = P JQ où P, Q sont inversibles et J est la matrice canonique de rang r.
Alors (P −1 AP )J = J(QBQ−1 ) donc P −1 AP et QBQ−1 sont triangulaires par blocs avec le même bloc
diagonal r × r, ce qui prouve que χA et χB ont un facteur de degré r en commun.
reduc.tex – page 21
Exercice 71.
Le polynôme s’écrit (X 2 + 1)(X 2 + X + 1). Il n’a donc pas de racine réelle. Or tout élément de M5 (R)
possède au moins une valeur propre et cette valeur propre devrait être également racine du polynôme
minimal. Par conséquent la réponse est non.
Exercice 72.
1) Que c’est un isomorphisme (et réciproquement).
2) Soit Q(X) = P (X)/X. On a u ◦ Q(u) = 0 et X, Q sont premiers entre eux, d’où E = Ker u ⊕ Ker Q(u)
et Im u ⊂ Ker Q(u). On conclut avec le théorème du rang.
3) Même méthode.
Exercice 73.
1) Toute valeur propre de f doit être racine de P , d’où sp(f ) = ∅. En dimension impaire, χf est de
degré impair donc admet au moins une racine réelle ; c’est absurde.
2) Immédiat.
0
1
3) La matrice de la restriction de f à Hx dans la base (y, x) est A = −β −α . Supposons avoir trouvé
un sev F stable par f et une base de F dans laquelle la matrice de la restriction de f est diagonale
par blocs avec des blocs diagonaux égaux à A. Si F = E le problème est résolu. Sinon, on choisit
x ∈ E \ F et on considère le plan Hx . Il est en somme directe avec F car F ∩ Hx est un sev non
trivial de Hx stable par f donc de dimension impaire. Le sev F ⊕ Hx vérifie la même propriété que F
(stable par f et la restriction est diagonalisable par blocs avec des blocs diagonaux égaux à A). On
peut donc continuer jusqu’à atteindre E.
Exercice 74.
Toute valeur propre de A est racine de P .
Exercice 75.
2ikπ/p
− 1 avec
On écrit A = In + mB avec B ∈ Mn (Z). Les valeurs propres de B sont de la forme e
m
k ∈ Z ; elles ont un module inférieur ou égal à 2/m < 1. Le produit des valeurs propres non nulles,
s’il y en a, est au signe près le coefficient de plus bas degré de χB donc un entier. On en déduit que
sp(B) ⊂ {0} et B est C-diagonalisable, comme A, d’où B = 0 et A = In .
Exercice 77.
2) a) Pour p ∈ K[X] on a P (Φu ) = v 7→ v ◦ P (u) donc u et Φu ont mêmes polynômes annulateurs.
b) (λ ∈ sp(Φu )) ⇔ (∃ v 6= 0 tq v ◦ (u − λ idE ) = 0) ⇔ (u − λ idE n’est pas surjectif) ⇔ (λ ∈ sp(u)).
Ainsi Φu et u ont même spectre. Si λ ∈ sp(u) et v ∈ L(E) on a :
(Φu (v) = λv) ⇔ (Im(u − λ idE ) ⊂ Ker v)
donc Ker(Φu − λ idL(E) ) est isomorphe à L(H, E) où H est un supplémentaire de Im(u − λ idE ).
On en déduit : dim(Ker(Φu − λ idL(E) )) = dim(E) dim(Ker(u − λ idE ).
Exercice 78.
λ = 1 : Dir(p) ⊂ Ker f , Im f ⊂ Base(p).
λ = 0 : f (Base(p)) ⊂ Dir(p).
Exercice 80.
1) Pour P ∈ K[X] on a P (u) ◦ v − v ◦ P (u) = P 0 (u).
Exercice 81.
0
3) K = Z/2Z, Mat(f ) = 1
1
0
, Mat(g) =
0
0
0
1
.
reduc.tex – page 22
Exercice 82.
Supposons qu’il existe g ∈ L(E) tel que rg(f ◦ g − g ◦ f ) = 1. Alors il existe ` ∈ E ∗ et a ∈ E tous deux
non nuls tels que :
∀ x ∈ E, f (g(x)) − g(f (x)) = `(x)a.
D’où par récurrence sur k :
∀ x ∈ E, f k (g(x)) − g(f k (x)) = `(x)f k−1 (a) + `(f (x))f k−2 (a) + . . . + `(f k−1 (x))a.
Comme χf est irréductible, le sous-espace f -monogène engendré par a est égal à E, soit : (a, . . . , f n−1 (a))
est une base de E avec n = dim E et f n (a) = α0 a + . . . + αn−1 f n−1 (a).
Alors µf (f ) = f n − αn−1 f n−1 − . . . − α0 f 0 = 0 et :
∀ x ∈ E, 0 = µf (f )(g(x)) − g(µf (f )(x)) = `(x)f n−1 (a) + . . . + `(f n−1 (x) − . . . − α1 x)a.
Ceci implique `(x) = 0 pour tout x, en contradiction avec l’hypothèse rg(f ◦ g − g ◦ f ) = 1.
Exercice 83.
1) Oui, les applications u 7→ p ◦ u et u 7→ u ◦ p le sont (ce sont des projecteurs) et elles commutent.
2) Soit B une base
d’une base de Ker p et d’une base de Im p.
de Eobtenue par concaténation
Si MatB (u) =
A
C
B
D
alors MatB (ϕ(u)) =
A
B/2
C/2 D
, d’où sp(ϕ) ⊂ {0, 12 , 1}, d0 = (n − r)2 , d1 = r2
et d1/2 = 2r(n − r).
Exercice 84.
Si D est diagonalisable alors les applications X 7→ DX et X 7→ XD le sont (annulateur scindé à racines
simples) et elles commutent, donc elles sont simultanément diagonalisables et leur différence, ϕD , est
aussi diagonalisable.
Pour la réciproque, on commence par constater que si P est un polynôme quelconque, alors :
deg(P )
∀ X ∈ Mn (C), P (ϕD )(X) =
X
k=0
(−1)k Dk X
deg(P )
X
P (k) (D)
P (k) (D)
=
(−1)k
XDk .
k!
k!
k=0
(formule du binôme pour P = X m et linéarité de chaque membre par rapport à P pour P quelconque).
Supposons ϕD diagonalisable, prenons P annulateur scindé à racines simples de ϕD , X = U t V où U est
un vecteur propre de D associé à une certaine valeur propre λ et V un vecteur arbitraire. Donc :
deg(P )
0=
X
k=0
deg(P )
X
P (k) (D)
P (k) (D)
t
(−1) λ U V
=U V
(−1)k λk
= U t V P (D − λI).
k!
k!
k=0
k k
t
Comme U 6= 0, ceci implique t V P (D − λI) = 0 pour tout V , donc P (D − λI) = 0. Ainsi D − λI est
diagonalisable et D itou.
Exercice 86.
1) 1 est
! valeur
! propre double, d1 = 1.
2)
3)
4)
5)
1
2
1 ,
1 .
1
2
!
1
0 .
0
!
1 0
6
0 0 −4 .
0 0
1
!
(6αt + γ)et + 2β
X = (6αt + γ + 3α)et + β .
(6αt + γ − α)et + 2β
reduc.tex – page 23
Exercice 88.
1) A ∼ diag(1, α, α−1 ) où α est une racine primitive 7ème de 1,
A ∼ diag(α, α10 , α−11 ) où α est une racine primitive 37ème de 1.
2) pas de solution.
3) vp = 0 ou 1.
Exercice 90.
On se ramène à λ = 0 en remplaçant f par f − λ id. Im f est de dimension 1 stable par f donc f| Im f est
une homothétie, c’est l’application nulle vu sp(f ). On en déduit Im f ⊂ Ker f . Soit e2 ∈ Im f \ {0}, e3
un antécédant de e2 par f et e1 ∈ Ker f indépendant de e2 . Alors B = (e1 , e2 , e3 ) convient.
Exercice 91.
Soit f un endomorphisme d’un ev E ayant A pour matrice. On doit trouver g ∈ GL(E) tel que
f ◦ g = 2g ◦ f . Construction de g par récurrence sur n = dim E.
n 6 1 : on a f = 0 donc g = idE convient.
0, . . . , n − 1 ⇒ n : f est non surjectif donc l’hypothèse de récurrence s’applique à f| Im(f ) .
Soit g1 ∈ GL(Im(f )) tel que f (g1 (x)) = 2g1 (f (x)) pour tout x ∈ Im(f ). Soit E = H ⊕ I ⊕ K ⊕ L
avec H = Im(f ) ∩ Ker(f ), H ⊕ I = Im(f ) et H ⊕ K = Ker(f ). La restriction de f à I ⊕ L induit un
isomorphisme sur Im(f ), on note ϕ l’isomorphisme réciproque. Soit g ∈ L(E) définie par :
g(h + i + k + `) = g1 (h + i) + k + 2ϕ(g1 (f (`))).
On vérifie facilement que f ◦ g = 2g ◦ f et il reste à prouver que g est injective. Si x = h + i + k + ` ∈ Ker g
alors g(f (x)) = g1 (f (i + `)) = 0 donc i + ` ∈ Ker f = H ⊕ K soit i = ` = 0. Il reste g1 (h) + k = 0 ce qui
implique h = k = 0 car g1 (h) ∈ Im f = H ⊕ I.
Remarque : la démonstration passe à tout corps de caractéristique différente de 2.
Exercice 92.
1) A2k = I, A2k+1 = A.
Exercice 93.
3) αn = − 13 +
2n
4
Exercice 94.
2) P =
1
1
1
1
2
4
1
3
9
+
(−2)n
12 ,
βn =
2n −(−2)n
,
4
γn =
4
3
−
2n
2
+
(−2)n
6 .
!
, D = diag(1, 2, 3).
2un = (6 − 6.2n + 2.3n )u0 + (−5 + 8.2n − 3.3n )u1 + (1 − 2.2n + 3n )u2 .
Exercice 95.
1) Le polynôme minimal de f est de degré supérieur ou égal à n et n’a pas de diviseurs non triviaux.
Donc dim E = 1 et f est une homothétie si K = C. Si K = R on peut aussi avoir dim E = 2 et f n’a
pas de valeurs propres réelles.
Exercice 96.
1) Diagonaliser t M ⇒ yn − 32 xn = cste.
2) yn − xn = 2n (y0 − x0 ) donc si y0 6= x0 alors Mn → ∞ sinon la suite est constante.
3) 32 si y0 6= x0 .
Exercice 98.
a+b
2) X = 12 b − a
b−a
a+b
,Y =
Exercice 99.
M =±
3
0
0
1/5
±2
0
7/30 ±1/3 ±1
1
b
1
1
1
1
!
ou M = ±
ou l’inverse.
3
0
0
1 ∓2 0
1/2 ∓1 ±1
!
.
reduc.tex – page 24
Exercice 100.
A = P DP −1 avec P =
1
1 0
2
0 1
3 −4 4
!
et D = diag(0, 1, 1). On prend B = P M P −1 avec M =
0
0
0
0
0
1
0
1
0
!
.
Exercice 101.
√
√
1) sp(M ) = {1, 6 − 1, 6 + 1}, M est diagonalisable et son commutant est l’ensemble des polynômes
en M : aI + bM + cM 2 , a, b, c ∈ R.
2) M est cyclique.
Exercice 102.
λ
1) Par similitude on se ramène aux cas : A = 0
λ 1
A = 0 λ , C(A) = C[A].
0
λ
λ
, C(A) = M2 (C) ou A = 0
0
µ
, C(A) = C[A] ou
P 2
2) Si A est diagonalisable de valeurs propres λi avec les multiplicités ni alors dim(C(A)) =
ni > n.
Dans le cas général, soit (Ak ) une suite de matrices diagonalisables convergeant vers A et (Ck1 , . . . , Ckn )
une suite de n-uplets de matrices commutant avec Ak telles que (Ck1 , . . . , Ckn ) est une famille orthonormale pour un produit scalaire quelconque choisi sur Mn (C). Par compacité il existe une
i
sous-suite convergente, donc n matrices C∞
formant une famille orthonormale et commutant avec A
d’où dim(C(A)) > n.
Exercice 103.
Soit dn (i, j) le nombre de chemins de longueur n allant du sommet i au sommet j. j admet trois voisins
k1 , k2 , k3 et l’on a : dn (i, j) = dn−1 (i, k1 ) + dn−1 (i, k2 ) + dn−1 (i, k3 ). On numérote les sommets de 0 à 7
de sorte que les voisins du sommet i sont les sommets i + 1 mod 8, i + 2 mod 8 et i + 4 mod 8. Le vecteur
dn = (dn (0, 0), . . . , dn (0, 7)) vérifie la relation de récurrence dn = Adn−1 où A est la matrice suivante
(. désigne 0) :
.
A=
. 1 . . .
1 . 1 . .
1 . . 1 .
. . . . 1

. . 1 1 .

. 1 . . 1
. 1 . . 1
1 . 1 1 .
1 1
1 . .
1 . .
. 1 1

1 . .
. 1 .

. . 1
. . .

avec

B=
. 1
1 .
1 .
. 1
=
B
I4
I4
B
=P
B + I4
0
0
B − I4
P −1

.
1
1
.
1
.
.
1
et P =
I4
I4
I4
−I4
.
De même,
B ± I4 =
C ± I2
I2
I2
C ± I2
C ± I2 + I2
=Q
0
0
C ± I2 − I2
Q−1
et enfin,
C ± I2 ± I2 =
±I1 ± I1
I1
I1
±I1 ± I1
=R
±I1 ± I1 + I1
0
0
±I1 ± I1 − I1
R−1 .
Donc A est diagonalisable de valeurs propres −3, −1, 1, 3 et on peut certainement terminer les calculs
pour obtenir dn = An d0 .
Exercice 105.
2) Par récurrence pour P = X k , puis par linéarité.
3) Si M est diagonalisable, on prend P = µM : donc µA divise P et XP 0 et P est scindé à racines
simples. La seule racine simple possible est 0, d’où A = 0.
Exercice 106.
I
S’inspirer du cas n = 1. Soit P = I
I
−I
: P −1 AP =
2M
0
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0
0
est diagonalisable, donc A aussi.
Exercice 107.
n o
λY
2
Eλ (M ) =
tq
AY
=
λ
Y
.
Y
Exercice 110.
Calcul du polynôme caractéristique de B par opérations en blocs. On obtient
χB (x) = det(x2 I − 2xA − A2 ) = (−1)n χA
donc
sp(B) = {(1 +
Exercice 111.
En prenant P =
√
2)λ, λ ∈ sp(A)} ∪ {(1 −
x x √ χA
√
1+ 2
1− 2
√
2)λ, λ ∈ sp(A)}.
a2 − ab ab − b2
0
0
ab − b2 a2 − ab
0
0
M1
0
−1

on trouve P M P =  0
=
.
0
a2 + ab b2 + ab
0 M2
2
2
0
b + ab a + ab
0
(a − b)2
0
a2 − b2
0
−1
on a P1−1 M1 P1 =
et
P
M
P
=
.
2 1
1
0
a2 − b2
0
(a + b)2

En prenant P1 =
I2
−I2
I2
I2
1 1
−1 1

Ainsi, sp(A) = {(a + b)2 , (a − b)2 , (a + b)(a − b)}, donc l’ensemble cherché est la boule unité ouverte
pour k k1 .
Exercice 114.
Si P (0) 6= 0 alors f est bijective. Si P (0) = 0 alors f 2 ◦ qqch = −P 0 (0)f ⇒ Ker f 2 = Ker f .
Exercice 116.
Soit µ le polynôme minimal de u et D l’ensemble des diviseurs unitaires de µ. Pour P ∈ K[X] et d = P ∧µ
on a facilement Ker(P (u)) = Ker(d(u)) et Im(P (u)) = Im(d(u)). Ceci montre déjà que K et I sont finis.
De plus, si d ∈ D alors l’annulateur minimal de u| Im(d(u)) est µ/d donc l’application d 7→ Im(d(u))
est injective sur D et card(I) = card(D). De même, l’annulateur minimal de u| Ker(d(u)) est d car
Ker(d(u)) ⊃ Im( µd (u)) et d est l’annulateur minimal de u| Im(µ/d(u)) donc l’application d 7→ Ker(d(u)) est
injective sur D et card(K) = card(D).
Exercice 117.
En appliquant le théorème du rang à f| Ker f 2 , on a : dim(Ker f 2 ) = dim(Ker f ) + dim(f (Ker f 2 )), et
f (Ker f 2 ) ⊂ Ker f , donc f (Ker f 2 ) = Ker f . Soit Gi = Ker g i . Montrons que g(Gi+1 ) = Gi pour
tout i ∈ [[0, k]] : si x ∈ Gi+1 alors g i (g(x)) = g i+1 (x) = 0 donc g(x) ∈ Gi . Réciproquement, si
y ∈ Gi alors y ∈ Gk = f (G2k ), donc y a un antécédant x par f , cet antécédant appartient à Gi+k , et
y = g(g k−1 (x)) ∈ g(Gi+1 ).
On en déduit, avec le théorème du rang appliqué à g|Gi+1 , que dim(Gi+1 ) = dim(Gi ) + dim(Ker g) pour
tout i ∈ [[0, k]], d’où d = dim(Gk ) = dim(G0 ) + k dim(Ker g) = k dim(Ker g).
Exercice 121.
1) Valeurs propres : 1, j, j 2 . sev stables : {0}, he3 i, he1 , e2 i et R3 .
t t
t
t
2) AB = BA ⇒ ϕB (e3 ) = λe3 , A B = B A ⇒ ϕt B (e3 ) = λe3 , d’où B =
a+µ
a
0
−3a −2a + µ 0
0
0
λ
!
.
Exercice 122.
Soit ϕ(x, y, z) = x + 2y + 3z. f conserve la surface de niveau ϕ = 1 donc par linéarité ϕ ◦ f = ϕ et ϕ est
vecteur propre de t f .
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Exercice 123.
Si χu est irréductible, pour x 6= 0 le polynôme minimal de x en u est égal à χu donc le sous-espace
cyclique engendré par x est égal à E et il n’y a pas de sous-espace stable non trivial.
Si seuls {0} et E sont stables, soit x 6= 0. Le sous-espace cyclique engendré par x est égal à E donc
l’annulateur minimal de u en x est égal à χu . Soit P un diviseur non trivial de χu et y = P (u)(x) :
l’annulateur minimal de u en y est χu /P , absurde.
Exercice 125.
Si E est de dimension finie, soit F un hyperplan de E, hei un supplémentaire stable et H un supplémentaire
de hei stable. Si K est un sev de H, alors K admet un supplémentaire K 0 dans E stable et H ∩ K 0 est
un sev de H stable, en somme directe avec K. K 0 6⊂H car K ⊂ H et K ⊕ K 0 = E donc K 0 + H = E et
dim(H ∩ K 0 ) = dim(H) + dim(K 0 ) − dim(E) = dim(H) − dim(K) soit K ⊕ (H ∩ K 0 ) = H. f|H vérifie la
même propriété que f et on obtient par récurrence que f est diagonalisable.
Réciproquement, soit f diagonalisable, F un sev de E et (e1 , . . . , en ) une base propre pour f . On montre
que F admet un supplémentaire stable par récurrence sur codim(F ) : si F = E alors {0} convient et
si F 6= E alors il existe i tel que ei ∈
/ F d’où F ⊕ hei i est un sur-espace strict de F , admettant un
supplémentaire G stable, d’où G ⊕ hei i est supplémentaire de F stable.
Cas E de dimension infinie : ???
Exercice 126.
sp(f ) = {0, 1, 2} donc f est diagonalisable et chaque sous-espace propre est de dimension 1. Comme la
restriction d’un diagonalisable à un sous-espace stable est encore diagonalisable, les sous-espaces stables
par f sont les huit sous-sommes de E0 ⊕ E1 ⊕ E2 .
Exercice 127.
La condition est nécessaire : prendre une base propre pour f et considérer les hyperplans engendrés par
n − 1 de ces vecteurs propres. On démontre sa suffisance par récurrence sur n :
Le cas n = 1 est trivial.
Dans le cas général, il résulte de la formule de Grassman que si F et G sont deux sous-espaces de E
on a codim(F ∩ G) 6 codim(F ) + codim(G) où codim(X) = dim(E) − dim(X). Puis, par itération :
codim(H1 ∩ . . . ∩ Hp ) 6 p pour tous hyperplans H1 , . . . , Hp . En conséquence dim(H1 ∩ . . . ∩ Hn−1 ) > 1
et le fait que ce sous-espace ait une intersection avec Hn nulle implique dim(H1 ∩ . . . ∩ Hn−1 ) 6 1. Ainsi
H1 ∩. . .∩Hn−1 est une droite stable par f et Hn est un hyperplan lui aussi stable par f et supplémentaire
de H1 ∩ . . . ∩ Hn−1 . Les sous-espaces Hi0 = Hi ∩ Hn (i 6 n − 1) sont des hyperplans de Hn (s’il y en
a un égal à Hn , l’intersection complète ne peut être nulle vu sa codimension). Ils sont stables par f et
leur intersection est nulle. Par hypothèse de récurrence, il existe une base de Hn propre pour f et on la
complète avec un vecteur non nul dans H1 ∩ . . . ∩ Hn−1 .
Exercice 130.
0 est valeur propre, se placer dans un hyperplan stable et récurer.
Exercice 131.
0
Non. Prendre Mat(un ) = 0
1
1/n
.
Exercice 132.
Trigonaliser fortement M .
Exercice 133.
Q
Non, il existe une matrice ayant pour polynôme caractéristique 1 + a∈K (X − a), non scindé.
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Exercice 134.
Soit g ∈ G et λ ∈ C une valeur propre de g où g est considérée comme une matrice complexe. La suite
(g k )k∈Z est à valeurs dans G, donc est bornée dans Mn (R) et dans Mn (C). Il en résulte que la suite
(λk )k∈Z est bornée dans C, soit : |λ| = 1. De même, (g − id)k −→ 0 quand k → +∞ dans Mn (R) puis
dans Mn (C), donc (λ − 1)k −→ 0, soit : |λ − 1| < 1 et plus généralement |λp − 1| < 1 pour tout p ∈ N.
Ceci implique λ = 1. Ainsi
1 est l’unique
valeur propre de g. On écrit alors g = id +h avec h nilpotente,
n−1
k
d’où g k = id +kh + k2 h2 + . . . + n−1
h
est un polynôme en k à valeurs bornées quand k décrit N.
Ceci implique h = 0 et finalement g = id.
Exercice 135.
Soit V ce sous-espace. V contient toutes les matrices Eij de la base canonique de Mn (K) telles que
i 6= j, donc toutes les matrices à diagonale nulle. Par ailleurs V est inclus dans l’hyperplan constitué des
matrices à trace nulle. Reste donc à étudier le cas des matrices diagonales à trace nulle. Ces matrices
sont engendrées par les matrices E11 − Ejj pour j ∈ [[2, n]].
1 0
1
1
0 1
0 0
On a 0 −1 = −1 −1 − 0 0 + 1 0 et ces trois matrices sont nilpotentes, donc toute matrice
E11 − Ejj est combinaison linéaire de nilpotentes et V est l’ensemble des matrices de trace nulle.
Exercice 136.
La propriété est immédiate si n = 1 ou n = 2. On procède alors par récurrence en supposant la propriété
vraie pour tout k < n. Soient S et R vérifiant les hypothèses pour n :
on a Cn = Ker(R − In ) ⊕ Ker(R2 + R + In ) et ces deux sous-espaces sont stables par R et S. En effet, la
stabilité par R est évidente et si RX = X alors RSX = SR−1 X = SX. De même, si (R2 +R+In+1 )X = 0,
alors (R2 + R + In )SX = R2 SX + RSX + SX = SRX + SR2 X + SX = S(X + RX + R2 X) = 0.
Si aucun de ces sous-espaces n’est égal à Cn alors on peut appliquer l’hypothèse de récurrence aux
endomorphismes induits par les restrictions de R et de S.
Si Ker(R − In ) = Cn alors R = In et R, S sont simultanément diagonalisables.
Si Ker(R2 + R + In ) = Cn , alors 0 = R2 + R + In = (R − jIn )(R − j 2 In ). Soit X tel que RX = jX. Alors
RSX = SR2 X = S(−R−In )X = S(−j −1)X = j 2 SX. On en déduit S induit un isomorphisme de Ej (R)
sur Ej 2 (R) (on savait que ces deux sous-espaces étaient de même dimension car R est semblable à R−1 .
On prend donc (X1 , X2 , . . . , Xq ) une base de Ej (R). Alors (X1 , SX1 , . . . , Xq , SXq ) est une base dans
laquelle les matrices des endomorphismesreprésentés
par R et S dans
la base canonique sont diagonales
j 0
0 1
par blocs, chaque bloc étant de la forme 0 j 2 pour R et 1 0 pour S.
Exercice 137.
1) La suite est décroissante
Qp minorée, donc elle converge.
2) On écrit χf = (−1)n Lk=1 (X − λk )mk . Les théorèmes de Cayley-Hamilton et de décomposition des
p
noyaux donnent V = k=1 Ker(f − λk id)mk . La matrice de f dans une base adaptée à cette somme
directe est diagonale par blocs, chaque bloc étant de la forme λk I + Nk , avec Nk nilpotente. On voit
alors que r(f ) = d − m0 , m0 multiplicité de la valeur propre 0 (éventuellement m0 = 0). Si g commute
k
avec f alors les sous-espaces Ker(f − λk id)m
Lq sont stables par g.nk On considère w l’endomorphisme
m0
m0
de Ker f
induit par g. On a Kerf
= k=1 Ker(w − µk id) . Chacun de ces sous-espaces est
stable par f , on fait une trigonalisation forte de la restriction de f . La matrice de f + g dans la base
ainsi construite sera diagonale par blocs, chaque bloc étant de la forme µk I + Ñk . On rajoute donc
au plus r(g) coefficients diagonaux non nuls. On en déduit que r(f + g) 6 r(f ) + r(g).
3) On a vu à la question précédente que r(f ) = d − m0 .
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