CHAPITRE 7. FLEXION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.1 7.1. Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.1 7.1.1. Flexion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.1 7.1.2. Glissement et cisaillement dans les pièces fléchies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.1 7.1.3. Flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.3 7.2. Appuis et charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.4 7.2.1 Types d’appuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.4 7.2.2. Charges supportées par les poutres et les planchers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.4 7.3. Diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.6 7.3.1. Conventions de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.6 7.3.2. Diagrammes des moments fléchissants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.6 7.3.3. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.8 A) Poutre sur deux appuis : charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.8 B) Poutre sur deux appuis soumise à une charge uniformément répartie sur la partie droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.9 C) Poutre soumise à une charge ponctuelle et répartie . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.10 7.3.4. Relation entre le Mf, le V et le type de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.12 A) Relations entre le moment fléchissant et l’effort tranchant . . . . . . . . . . . . - 7.12 B) Relations entre le type de charges et l’allure des diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.12 C) Relation entre le moment fléchissant et la déformée d’une poutre . . . . . . . - 7.12 D) Relation entre le type de charge et la position du moment fléchissant maximum d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.13 E) Trucs et astuces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.13 7.4. Distribution des contraintes normales dans une section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.14 7.4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.14 7.4.2. Relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.14 7.5. Distribution des contraintes tangentielles dans une section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.16 7.6. Choix de la forme de la section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.18 7.6.1. En flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.18 A) Cas des matériaux ductiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.18 B) Cas des matériaux fragiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.19 7.6.2. En cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.19 7.6.3. Section(s) dangereuse(s) d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.20 7.7. Contraintes admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.20 7.7.1. En flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.20 7.7.2. En cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.20 7.8. Déformation de flexion des poutres isostatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.24 7.8.1. Calcul de la flèche en un point : “Méthode des aires” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.24 A) Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.24 B) Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.25 C) Récapitulatif - Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.27 7.8.2. Calcul de la flèche en un point : “Méthode différentielle” . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.28 7.8.3. Flèche admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.29 7.9. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.30 7.9.1. Calcul (simplifié) d’une dent de roue dentée (engrenage cylindrique) . . . . . . . - 7.30 7.9.2. Calcul de poutres de plancher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.33 7.9.3. Charges roulantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.36 A) Charge roulante unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7.36 - Version du 4 mai 2012 (11h03) CHAPITRE 7. FLEXION 7.1. Définitions et exemples 7.1.1. Flexion pure La flexion pure est un état de charge tel que, dans toute section droite d’une pièce, il n’existe qu’un moment fléchissant Mf. Ce moment fléchissant doit être constant. La figure ci-contre donne un exemple d’une barre soumise à flexion pure. Les deux couples C agissent dans un plan de symétrie longitudinal de la poutre : dès lors, en effectuant une coupure suivant une section droite quelconque, on constate que tous les efforts internes y sont nuls sauf le moment fléchissant autour de l’axe Oz (perpendiculaire au plan dans lequel ce trouve la poutre) qui est constant et égal à C. Par des considérations de symétrie, on peut montrer que toute section droite de la barre le reste après déformation. fig. 7.1. - Le moment fléchissant étant, par définition, constant, la barre se déformera partout de façon identique. Elle adoptera donc une courbure constante en prenant la forme d’un arc de cercle. 7.1.2. Glissement et cisaillement dans les pièces fléchies La rupture par glissement et cisaillement se produit dans un corps quand, par suite des charges qui agissent sur lui, une partie de ce corps glisse par rapport à l’autre partie, les efforts intérieurs que la matière subit ayant dépassé la résistance à la rupture. Ce genre d’effort intérieur se produit également dans les pièces fléchies. Deux exemples simples permettent de s’en rendre compte. Supposons qu’une poutre soit formée d’une série de blochets B juxtaposés et serrés l’un contre l’autre par un étau, comme le montre la première figure ci-dessous. Plaçons cette poutre sur deux appuis C et D et chargeons-là d’une série de forces F. La poutre étant ainsi sectionnée suivant les sections S, il est évident que les blochets B vont glisser les uns par rapport aux autres et, par exemple, vont se présenter à un moment donné dans les positions données par la seconde figure ci-dessous. © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.1 - fig. 7.2. - Ces déplacements par glissement étaient à prévoir puisque la matière manque de continuité suivant les plans S. Dans ces plans la résistance de la matière est nulle, seul le serrage des blochets par frottement les uns contre les autres s’opposent à leur déplacement par glissement. Dans la mesure du possible les poutres fléchies sont d’une seule pièce, cependant elles présentent la même tendance au glissement transversal et si la résistance de la matière est insuffisante, les mêmes déplacements verticaux auront tendance à se produire également. Dans la grande majorité des cas ces efforts tranchants sont négligeables par rapport aux autres efforts sollicitant la poutre, il faudra cependant en tenir compte au moment de la conception des poutres soumises à flexion (raidisseurs aux appuis). Supposons en second lieu que la poutre fléchie soit constituée d’une série de planches empilées et posées sur les appuis C et D. Une charge F fait fléchir l’ensemble. fig. 7.3. - L’expérience très simple à réaliser, montre que chacune des planches fléchit et s’incurve pour son propre compte, ce qui les oblige à glisser les unes par rapport aux autres dans le sens longitudinal. Les extrémités des planches qui, avant l’application de la charge F, se trouvaient en coïncidence dans un même plan AA et BB, ne le sont plus après déformation. La seule résistance opposée à ce glissement longitudinal provient du frottement des planches les unes sur les autres. En réalité, on ne tient compte de ce glissement que dans les calculs des soudures ou des rivets des poutres composées. © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.2 - 7.1.3. Flexion simple Il apparaît donc dans les sections transversales d’une barre, en même temps que les moments de flexion, des efforts tranchants, d’où : La flexion simple est un état de charge tel que dans toute section droite d’une pièce il n’existe qu’un moment fléchissant Mf et un effort tranchant V associé. La flexion simple entraîne sur toute la section perpendiculaire à la fibre moyenne de la pièce des contraintes normales et tangentielles. Ces dernières provoquent un gauchissement des sections droites. Toutefois, la déformation du plan des sections transversales n’influe pas d’une façon notable sur la grandeur des contraintes normales. fig. 7.4. - L’erreur que l’on commet en ne tenant pas compte de cette déformation dans le calcul des contraintes normales est faible (voir nulle si l’effort tranchant est constant). Une barre travaillant principalement à la flexion est appelée poutre. Un exemple concret de poutre isostatique soumise à flexion simple est donné à la figure cidessous. Les charges sont toujours appliquées dans un plan longitudinal de symétrie. En effectuant une coupure au droit de la charge P, on constate que comme efforts internes, il existe un moment fléchissant Mf et un effort tranchant V. fig. 7.5. - © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.3 - 7.2. Appuis et charges 7.2.1 Types d’appuis Si on se limite au cas plan, on rencontre trois types d’appuis : fig. 7.6. - 1) l’encastrement : Degré de liberté : aucun. D’où l’encastrement interdit tout mouvement (horizontal, vertical, rotation). Il crée une force de réaction (qui peut se décomposer en une composante verticale et une composante horizontale) et un couple appelé moment d’encastrement. 2) l’appui fixe : Degré de liberté : un (rotation) (L’appui fixe est aussi appelé : appui à rotule ou appui articulé). D’où l’appui fixe permet uniquement la rotation. Il crée une force de réaction uniquement (qui peut se décomposer en une composante verticale et une composante horizontale). 3) l’appui mobile : Degré de liberté : deux (rotation, glissement) (L’appui mobile est aussi appelé : appui simple, appui à rouleau, appui glissant). D’où l’appui mobile empêche uniquement le déplacement suivant une perpendiculaire au chemin de roulement. Il crée une force de réaction perpendiculaire au chemin de roulement. Cet appui est largement utilisé afin de rendre possible les déplacements horizontaux et empêcher ainsi la naissance de contraintes thermiques éventuelles. Rappel : Si les réactions peuvent se déterminer à partir des équations de la statique, la poutre est dite isostatique. Dans le cas contraire, elle est hyperstatique. 7.2.2. Charges supportées par les poutres et les planchers Les charges que les poutres et planchers ont à supporter se divisent en deux catégories : < le poids propre; < les charges proprement dites. Le poids propre de la pièce s’évalue en Newton par mètre courant [N/m] pour les poutres, et en [N/m²] pour les planchers et les passerelles. Les charges proprement dites sont les charges qui sollicitent les pièces. Il en existe de deux sortes : < les charges concentrées; < les charges réparties. © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.4 - A) Les charges concentrées sont celles qui sont ramassées sur une très petite surface, tel une poutre s’appuyant sur une autre poutre qui lui est perpendiculaire, une colonne reposant sur une poutre, une charge pendue ( cas d’un palan ) fixe ou roulante. fig. 7.7. - B) Au contraire un mur élevé sur la longueur d’une poutre ou une matière répartie sur la surface d’un plancher sont des charges réparties. Elles sont dites uniformément réparties quand elles ont une valeur constante sur toute la longueur de la poutre ou sur toute la surface du plancher (le poids propre étant un exemple de charge répartie). fig. 7.8. - Suivant la position sur la poutre du point d’application d’une charge concentrée, la déformation et les efforts internes que la poutre subit varient beaucoup. Il en est de même, si à égalité de poids total, la charge est concentrée au lieu d’être répartie. Conclusions : < Une poutre peut être capable de supporter une charge répartie de valeur donnée et peut ne pas pouvoir supporter la même charge appliquée localement. < Une charge concentrée locale peut agir très différemment sur une poutre suivant l’emplacement de son point d’application. A ce point de vue il y a toujours intérêt à reporter la charge aussi près que possible des appuis. Nous verrons les différentes possibilités de charge d’une poutre aussi bien encastrées que sur deux appuis et de l’influence des celles-ci sur la manière dont elles sont sollicitées. © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.5 - 7.3. Diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants 7.3.1. Conventions de signes Par convention : fig. 7.9. - Le moment fléchissant est positif : L’effort tranchant associé est positif : La charge (p(x)) est positive : s’il tend à mettre en traction les fibres inférieures longitudinales de la poutre. s’il tend à faire tourner le petit élément dans le sens horlogique. si elle agit vers le bas. Pour retrouver facilement le signe des moments fléchissants Mf , on peut se servir de la règle suivante : Si une force F ou p agit vers le bas, le Mf correspondant est : (!) Si une force F ou p agit vers le haut, le Mf correspondant est : (+) Pour le signe des efforts tranchants V : Si une force F ou p agit vers le bas, le V correspondant est : (!) Si une force F ou p agit vers le haut, le V correspondant est : (+) Remarque : Ne fonctionne que si on établit le diagramme des efforts tranchants de la gauche vers la droite. 7.3.2. Diagrammes des moments fléchissants Ces diagrammes joueront un rôle très important dans la recherche des sections les plus sollicitées ainsi que dans la détermination des flèches. Ils remplissent donc une fonction primordiale dans le dimensionnement des poutres. Pour construire les diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants, on effectue un certain nombre de coupures (entre les charges extérieures, entre une charge et une extrémité non appuyée, dans les zones où agissent les charges réparties). Pour chaque coupure on détermine l’expression de Mf et de V en équilibrant le tronçon © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.6 - compris entre une extrémité de la poutre et la coupure. Les diagrammes sont tracés à partir des équations obtenues pour Mf et V. La convention de signe adoptée pour le dessin des diagrammes est celle explicitée ci-dessus. Ce choix implique que le diagramme des moments soit orienté du coté de la fibre tendue. Effort tranchant dans une section : Somme des forces (réactions comprises) situées soit à droite, soit à gauche de la section considérée. Moment fléchissant dans une section : Somme des moments, de toutes les forces (réactions comprises) situées soit à droite, soit à gauche de la section considérée. © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.7 - 7.3.3. Applications A) Poutre sur deux appuis : charge ponctuelle 1) Recherche des réactions d’appuis. : R A − F + RB = 0 ( fi ) = 0 : − R A l + F lb = 0 (MB ) = 0 RA = F lb l F la l 2) Recherche des moments fléchissants. (On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite) Mf A =0 Coupure en A : RB = Entre A et C : Mf AC Coupure en C : Mf C Entre C et B : Mf CB Coupure en B : Mf B = RA x F l a lb l = R A x − F ( x − la ) = + R A la = = + R A l − F lb = 0 3) Recherche des efforts tranchants. (On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite) F lb Coupure (juste après) en A : TA = R A = l F la Coupure (juste après) en C : TC = R A − F = − l fig. 7.10. - © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.8 - B) Poutre sur deux appuis soumise à une charge uniformément répartie sur la partie droite Remarque importante : Lorsqu’il existe une charge répartie, on la remplace par une charge ponctuelle au centre de gravité de la charge répartie. 1) Recherche des réactions d’appuis. F = p lp On pose : : R A − F + RB = 0 ( fi ) = 0 (M B )=0 : − R A l + F lb = 0 RA = F lb p l p lb = l l F la p l p la = l l 2) Recherche des moments fléchissants. (On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite) Mf A =0 Coupure en A : RB = = RA x Entre A et C : Mf Coupure en C : x = lC CB : M f M f = R A x − ( x − lC ) p CB = R A x − ( x − lC ) Entre C et B AC Coupure en G : x = la Coupure en B : Mf B Mf Mf C G ( ) = + RA l − l p = 2 F lb l − lp l ( ) x − lC 2 p 2 = + R A la − lp l F lp =F b − 2 4 2 8 = + R A l a − F lb = 0 3) Recherche des efforts tranchants. (On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite) F lb Coupure (juste après) en A : TA = R A = l F lb Coupure (juste après) en C : TC = R A = l F la Coupure (juste avant) en B : TB = R A − p l p = − l © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.9 - fig. 7.11. - C) Poutre soumise à une charge ponctuelle et répartie Remarque importante : Si dans la zone où agit une charge répartie existe en outre des forces ponctuelles (actives ou réactives), il faut diviser la zone de charge répartie en tronçons limités par les lignes d’actions des charges ponctuelles. 1) Recherche des réactions d’appuis. On pose : F = pl : R A − F − F1 + R B = 0 ( fi ) = 0 l l F : + R A l − F − F1 lb = 0 R A = + F1 b (MB ) = 0 2 2 l la F R B = + F1 2 l 2) Recherche des moments fléchissants. (On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite) Mf A =0 Coupure en A : la F la F l l l = + 1 a b − ( p la ) a 2 2 l 2 l F1 M f B = + RA l − F − =0 Coupure en B : 2 lb 3) Recherche des efforts tranchants. (On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite) l F Coupure (juste après) en A : TA = R A = + F1 b 2 l l F Coupure (juste avant) en C : TC avant = R A − p la = + F1 b − p la 2 l Coupure (juste après) en C : TC après = TC avant − F1 Coupure en C © R. Itterbeek : Mf C = + R A la − ( p la ) Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.10 - la F Coupure (juste avant) en B : TB = − R B = − + F1 2 l fig. 7.12. - © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.11 - 7.3.4. Relation entre le Mf, le V et le type de charge A) Relations entre le moment fléchissant et l’effort tranchant < Le moment fléchissant Mf est maximum là où l’effort tranchant V s’annule. < Le moment fléchissant Mf croît dans une zone où l’effort tranchant V est positif. < Le moment fléchissant Mf décroît dans une zone où l’effort tranchant V est négatif. < A chaque ressaut du diagramme des efforts tranchants correspond un point d’inflexion (cassure) dans le diagramme des moments fléchissants. < Le moment fléchissant est nul (Mf = 0) au droit des appuis d’extrémités et aux extrémités libres d’une poutre. Le moment fléchissant n’est jamais nul à un encastrement. < Le moment fléchissant en un point P d’une poutre est égal à la surface du diagramme des efforts tranchants d’une extrémité de cette poutre à ce point P. B) Relations entre le type de charges et l’allure des diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants < Sur une zone de poutre sans charge : V : constant ou : évolue linéairement Mf V Mf : nul (= 0) : constant < Sur une zone de poutre soumise à une charge uniformément répartie constante : V : évolue linéairement : évolue paraboliquement Mf < Au droit d’une force concentrée (action ou réaction) V : subit un ressaut ou une chute : montre un point d’inflexion (cassure) Mf C) Relation entre le moment fléchissant et la déformée d’une poutre Les conventions dans le signe des moments fléchissants que nous avons adopté est tel que le diagramme des moments fléchissants est positionné du côté de la fibre tendue (en traction). En résumé : < Si le diagramme des moments fléchissants est positif, la déformée présente une concavité vers le haut. < Si le diagramme des moments fléchissants est négatif, la déformée présente une concavité vers le bas. < Dans la section où le moment fléchissant est nul (Mf = 0), il y a changement de sens de courbure de la déformée; celle-ci présente en cette section un point d’inflexion. © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.12 - D) Relation entre le type de charge et la position du moment fléchissant maximum d’une poutre Pour trouver la position du moment fléchissant maximum voir (A) 1) ). < Charge(s) ponctuelle(s) uniquement : Au droit d’une des charges ponctuelles. : Position : d = < Charge répartie RA p fig. 7.13. - Remarque importante : 1) Ne fonctionne que si la charge répartie est telle qu’elle agit de manière continue entre l’appui et l’endroit du moment fléchissant maximum. 2) et sans charge ponctuelle en superposition. E) Trucs et astuces Dans le cas d’un dimensionnement de poutre à la contrainte, il s’agira de déterminer d’abord le diagramme des efforts tranchants. Le moment fléchissant maximum se situe à l’endroit ou l’effort tranchant s’annule. Le calcul s’effectuera pour cette position uniquement. © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.13 - 7.4. Distribution des contraintes normales dans une section droite 7.4.1. Généralités Si on considère une barre sur appuis simples, possédant un plan de symétrie longitudinal, dans lequel s’exerce une force F, celleci va se déformer comme indiqué à la figure ci-contre. Vu la courbure de la barre, les fibres longitudinales inférieures vont s’allonger et les fibres longitudinales supérieures se raccourcir. Dès lors on fig. 7.14. peut montrer, par la loi de Hooke [contrainte proportionnelle au déplacement], que lors de la flexion d’une poutre, les contraintes dans une section transversale varie selon une loi linéaire (figure ci-contre). Ce sont donc bien des contraintes normales (c’est-à-dire perpendiculaires à la fig. 7.15. - section). Si les fibres inférieures s’allongent et les fibres supérieures se raccourcissent, il doit donc logiquement exister des fibres qui vont conserver leur longueur. D’où la définition : Définition : Le lieu géométrique des points d’une section vérifiant la condition σ = 0 est appelé : ligne (ou fibre) neutre de la section. Et dans le cas de la flexion pure et de la flexion simple, on peut montrer, par ailleurs, que la fibre neutre se confond toujours avec le centre de gravité de la section (sauf dans le cas particulier des pièces à fortes courbures). 7.4.2. Relation fondamentale Explicitons maintenant le lien existant entre la contrainte σ et le moment fléchissant Mf dans une section droite. L. Navier (1) à démontrer que toute fibre longitudinale située à une distance y de l’axe neutre est le siège d’une contrainte donnée par la formule suivante : σ= Mf I y Notations : (1) = Mf y I Mf I y (éq. 7.42) fig. 7.16. - [N/mm2] moment fléchissant moment d’inertie de la section distance à partir de la fibre neutre Nmm mm4 mm Navier Louis : ingénieur français des Ponts et Chaussées (1785 - 1836) © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.14 - Démonstration de la formule de Navier pour la flexion L’allongement relatif d’une fibre se trouvant à une distance y de la fibre neutre peut être établi, pour le cas de flexion pure (la déformée dans ce cas est un arc de cercle), en analysant la déformation d’une longueur élémentaire dz de la barre : ( ρ + y) dθ − dz ε= dz (1) ρ + y ) dθ − ρ dθ y ( = = ρ dθ ρ Si on introduit cette dernière équation dans l’équation physique de la loi σ E y de Hooke ε = , on obtient : σ = ρ E (2) ( 1 ρ ) étant la courbure. fig. 7.17. - Si on se rappelle la définition d’une contrainte en un point : Sur un petit élément dA (appelé facette) appartenant à la surface de la coupure et entourant le point B, agit une force dF. Par définition, la contrainte s’exerçant sur la dF coupure au point B vaut : σ B = (3) dA Si, de plus, on utilise la condition d’équilibre qui lie les contraintes et les efforts internes dans une section transversale d’une poutre qui peut s’écrire sous la forme : y dF = M A f y (σ dA) = M f (4) A et si on introduit (2) dans (4), on obtient : Mf Mf E 1 y y dA = M f = = (5) ρ E y 2 dA E I ρ A A et si l’on introduit cette dernière équation dans (2), on établit la formule pour le calcul de la contrainte normale dans une couche quelconque de la section de la barre à une distance y de l’axe Ox : σ= Mf I y Remarque : Dans le cas d’une flexion simple l’expression ci-dessus est approchée, mais suffisamment exacte que pour une utilisation dans la pratique courante. © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.15 - On remarque que les contraintes maximales en flexion apparaissent aux points les plus éloignés de la fibre neutre et donc : σ max = Mf I v = Mf Wx (éq. 7.51) [N/mm2] avec : v : la distance entre la fibre neutre et le point, de la section, le plus éloigné v = y max De plus : I/v : est appelé module de résistance à la flexion et est noté : Wx [mm] [mm3] Remarque : La formule de la contrainte maximum en flexion est à rapprocher de celle de la contrainte tangentielle maximum en torsion. Ces contraintes maxima sont de signes opposés : l’une est une contrainte de traction, l’autre une contrainte de compression. Et si le profil est symétrique (par rapport à l’axe neutre), on obtient : σ max = − σ min ou σ max = σ min Remarques : 1) La flexion simple entraîne sur toute section perpendiculaire à la fibre moyenne de la pièce des contraintes normales et tangentielles. Ces dernières provoquent un gauchissement des sections droites (voir § 7.1.3.). Toutefois, la déformation du plan des sections transversales n’influe pas d’une façon notable sur la grandeur des contraintes normales. L’erreur que l’on commet en ne tenant pas compte de cette déformation dans le calcul des contraintes normales est faible (voire nulle si l’effort tranchant est constant). 2) Sous l’action des contraintes de traction s’exerçant dans la partie inférieure de la barre, un rétrécissement latéral de la section droite, dû au coefficient de Poisson, se produit. Pour la raison contraire, la partie supérieure de la barre est soumise à un gonflement latéral. En pratique, on ne tiendra pas compte de cette modification de la forme des sections transversales de la barre. fig. 7.18. - 7.5. Distribution des contraintes tangentielles dans une section droite L’objet de ce paragraphe est de rechercher la distribution des contraintes tangentielles (ou de cisaillement) agissant sur les facettes contenues dans une section droite. On peut montrer que la distribution des contraintes tangentielles est telle que ces contraintes sont nulles au bord supérieur et inférieur de la section et maximales vers le centre (maximales au centre de gravité pour les sections symétriques (axe de symétrie perpendiculaire à la force)). © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.16 - Réciprocité des cisaillements Justifions la non-uniformité des contraintes tangentielles dans une section d’une poutre fléchie. Si dans une section existe un effort tranchant V, celuici induit une contrainte tangentielle (τy) dans la “petite” surface (Ay). Cette contrainte se situe “dans” la section et est parallèle à l’axe des (y). Comme la section est statique, la sommation des forces (fi) et la sommation des moments (M) doit être nulle. Examinons un petit “cube” de matière. Par rapport au pont P, il faut que : M P = 0 , et donc : fig. 7.19. - τy ×l=τx ×l. Il y aura donc une contrainte réciproque (τx) dans le sens longitudinal qui sera égal, en grandeur, au cisaillement transversal (τy). fig. 7.20. - Par contre si nous prenons un “cube” dont une des faces est la surface extérieure de la poutre, il sera impossible d’équilibrer celle-ci, car, longitudinalement il n’y a plus de matière et par conséquent (τx) n’existera pas ! C’est pourquoi, la répartition des contraintes transversales ne sera pas uniforme. Le maximum se situera au niveau de la fibre neutre et le contraintes tangentielles seront nulles aux extrémités (surfaces supérieure et inférieure) de la poutre. fig. 7.21. - La formule permettant d’exprimer les contraintes tangentielles maximales τmax pour les sections transversales de formes quelconques peut être formulée de la manière suivante : τ max = k τ V (éq. 7.56) A [N/mm2] avec : T : effort tranchant A : surface de la section soumise à l’effort tranchant kτ : coefficient dépendant de la forme de la section [N] [mm2] [-] fig. 7.22. © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.17 - Coefficient de forme (kτ ) (Cisaillement) Section rectangulaire 3/2 Section carrée 3/2 Section circulaire 4/3 Section annulaire mince 2 Section triangulaire 3/2 Remarque : Dans certains cas il est difficile de calculer la contrainte maximale τmax, on a alors recours à la contrainte tangentielle moyenne τmoy. C’est-à-dire que l’on prend k t = 1 dans la formule précédente. Exemple : dans le cas des profils en “I” ou en “U”, nous avons : τ moy = V (éq. 7.58) Aame avec : Aâme [N/mm2] : uniquement la section de l’âme que l’on peut assimiler à : (hauteur du profilé - 2 × épaisseur semelle) × épaisseur de l’âme 7.6. Choix de la forme de la section droite 7.6.1. En flexion A) Cas des matériaux ductiles Puisque les résistances à la traction et à la compression de ce type de matériaux sont du même ordre de grandeur, on a tout intérêt à utiliser des sections symétriques (par rapport à l’axe autour duquel s’effectue la flexion). Afin de rendre le dimensionnement économique, il faudra, non seulement vérifier la condition de résistance : σ max = Mf max I v = Mf max Wx ≤ σ adm (éq. 7.59) : la contrainte normale maximale. avec : σmax (Pour un tronçon de pièce de section constante dans la section où le moment fléchissant est le plus important.) mais aussi à veiller à réduire au minimum le poids de la barre. Pour satisfaire cette double condition, il faut, à section égale, augmenter au maximum le module de résistance à la flexion. Pour ce faire, il est indispensable de rejeter la matière dans les zones les plus éloignées de l’axe neutre. Pour comparer différentes sections, on a défini le rapport sans dimensions (wf) : © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.18 - wf = Wx (éq. 7.60) A3 avec : A : la surface de la section Ce rapport doit être aussi grand que possible (voir tableau A.20). Il en ressort que les profilés en “I” sont particulièrement économiques, ce qui explique l’usage fréquent de ce type de sections en construction métallique. B) Cas des matériaux fragiles Dans ce cas il faut vérifier que la contrainte maximum est inférieure, non seulement à la contrainte admissible de compression du matériau, mais aussi que la contrainte maximum soit inférieure à la contrainte de traction du matériau. Vu le comportement différent de ces matériaux à la traction et à la compression, la forme de la section droite sera non symétrique si l’on souhaite un dimensionnement économique. On peut par exemple choisir des profils “I” dissymétriques ou des profils “T”. Les dimensions de l’(des) aile(s) seront telles que les distances de la ligne neutre aux fibres supérieures et inférieures de la barre soient dans le même rapport que la contrainte admissible en traction et en compression (prises en valeur absolue) du matériau utilisé. 7.6.2. En cisaillement En général, dans une section droite les contraintes longitudinales σ sont maximales aux points où les contraintes tangentielles τ sont nulles, inversement σ est maximal aux points pour lesquels τ est nul. De plus, dans la plupart des cas, on constate que les contraintes tangentielles sont plus faibles que les contraintes normales. Dès lors, les contraintes maximales apparaîtront le plus souvent dans la section droite soumise aux moments fléchissants les plus importants. C’est seulement dans le cas de pièces de faibles longueurs que les contraintes tangentielles seront du même ordre de grandeur (ou supérieures) que les contraintes normales (voir chapitre “Cisaillement”). Classiquement, le calcul de la résistance d’une pièce soumise à flexion simple se fera en considérant séparément l’action des contraintes normales σ et tangentielles τ. On vérifiera donc, en plus de la condition donnée par l’équation (éq. 7.59), la condition : τ max = k τ avec : τmax T A ≤ τ adm cisail (éq. 7.61) [N/mm2] : la contrainte tangentielle maximale. (Pour un tronçon de pièce de section constante dans la section où l’effort tranchant est le plus important.) Il faut remarquer que cette méthode ne tient pas compte de l’état réel des contraintes en un point caractérisé par (σ, τ) (voir chapitre “Sollicitations composées”). © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.19 - 7.6.3. Section(s) dangereuse(s) d’une poutre Par définition, et en toute généralité, une section de poutre est dite “dangereuse” lorsque les moments fléchissants et les efforts tranchants qui y agissent ont des valeurs telles que la matière de cette section est plus sollicitée qu’en toute autre section de la même poutre. Selon cette définition, il est donc certain que sont “dangereuses” les sections qui “souffrent” le plus. Dans la pratique, c’est le moment fléchissant qui détermine, et de loin, la sollicitation principale de la matière d’une poutre fléchie. D’où la règle générale : Section dangereuse pour une poutre en acier ou en bois : celle où agit le moment fléchissant, absolu, maximum. Sections dangereuses pour une poutre en béton : celles où agissent le moment fléchissant positif (traction) et négatif (compression) maximum. 7.7. Contraintes admissibles 7.7.1. En flexion La flexion engendre des contraintes normales de traction et de compression. Dès lors, pour les contraintes admissibles on se reportera au chapitre “Traction - Compression”. 1) Dans le cas d’un matériau ductile, la contrainte admissible (σadm) en flexion est obtenue en tenant compte d’un coefficient de sécurité (S) par rapport à la limite d’élasticité (Re) : σ adm = Re (éq. 7.62) S 2) Si le matériau est fragile, la contrainte admissible (σadm) se déterminera à partir de la résistance à la rupture (Rm) et non plus à partir de (Re) : σ adm = Rm (éq. 7.63) S 7.7.2. En cisaillement La flexion engendre des contraintes tangentielles (de cisaillement). Dès lors, pour les contraintes admissibles on se reportera au chapitre “Torsion”. 1) Dans le cas d’un matériau ductile, la contrainte tangentielle admissible en cisaillement (τadm) est obtenue en tenant compte d’un coefficient de sécurité (S) par rapport à la limite d’élasticité en cisaillement (τe), sachant que : τ e = (0.5) ... 0.577 ... (0.6) Re ; nous prendrons : τ adm = 0.58 Re (éq. 7.65) S 2) Si le matériau est fragile, la contrainte tangentielle admissible (τadm) se déterminera à partir © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.20 - de la résistance à la rupture (Rm) et non plus à partir de (τe) : τ adm = Rm (éq. 7.66) S Remarque : Dans le cas de poutrelles et de poutres “longues”, les contraintes de cisaillement seront toujours négligeables par rapport aux contraintes de flexion. © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.21 - Application 7.1. Cas de la poutre encastrée à une extrémité (Une seule charge à l’extrémité) Rechercher le moment fléchissant maximum afin de dimensionner cette poutrelle “I” PN sachant que : l=3m F = 10000 N σadm = 100 N/mm2 Solution : Recherche des réactions d’appuis L’équilibre suivant la verticale donne : R A = F = 10 000 N Recherche des moments fléchissants L’équilibre de rotation autour de (A) donne : M f A = F l = 30 000 Nm Le moment fléchissant maximum se trouve au droit de l’encastrement. Calcul du module de flexion minimum σ max = Mf max I v Mf = Mf max Wx ≤ σ adm fig. 7.23. - Wx ≥ Mf max σ adm F l 10 000 × 3000 = = 300 000 mm 3 = 300 cm 3 100 σ adm σ adm Dans un catalogue de poutrelles nous avons un “I” PN 240 au minimum (Wx = 354 cm3) Wx ≥ max = Vérification de la contrainte de cisaillement = 192.5 mm Dans le catalogue, on trouve : e = 8.7 mm; hauteur de l ' ame × épaisseur de l ' ame Aame = hauteur de l ' ame = 192.5 × 8.7 = 1674.7 mm 2 τ moy = © R. Itterbeek 10 000 T = = 5.9 N / mm 2 1674.7 Aame négligeable car ≤ 0.58 × 100 = 58 N / mm 2 Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.22 - Application 7.2. Cas de la poutre encastrée à une extrémité (Charge uniformément répartie sur une partie de poutrelle) Rechercher le moment fléchissant maximum afin de dimensionner cette poutrelle “H” HEB à âme verticale sachant que : l=3m l : la distance du centre de gravité de la charge à l’appui. lp : la longueur de la partie chargée. lp = 1.5 m p = 10000 N/m p : la charge par mètre courant. σadm = 100 N/mm2 Solution : Recherche des réactions d’appuis L’équilibre suivant la verticale donne : R A = p l p = F = 15000 N Recherche des moments fléchissants Equilibre de rotation autour de A : M f A = p l p = F l = 45000 Nm ( ) Le moment fléchissant maximum se trouve au droit de l’encastrement. Calcul du module de flexion minimum σ max = Mf max I v Mf max = Mf max Wx ≤ σ adm Wx ≥ Mf fig. 7.24. max σ adm ( p l ) l = (10 000 × 15. ) × 3000 = 450 000 mm p 3 = 450 cm 3 100 Dans un catalogue de poutrelles nous avons un “H” HEB 200 au minimum (Wx = 570 cm3) Wx ≥ σ adm = σ adm Vérification de la contrainte de cisaillement = 170 mm Dans le catalogue, on trouve : e = 9 mm; hauteur de l ' ame × épaisseur de l ' ame Aame = hauteur de l ' ame = 170 × 9 = 1530 mm 2 10 000 T = = 9.8 N / mm 2 1530 Aame négligeable par rapport à 58 N/mm2 (0.58 x 100 N/mm2). τ moy = © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.23 - 7.8. Déformation de flexion des poutres isostatiques 7.8.1. Calcul de la flèche en un point : “Méthode des aires” Une manière relativement simple de trouver la flèche en un point P d’une poutre isostatique soumise à flexion est de partir du diagramme des moments fléchissants. A) Théorie A.1) Poutre encastrées La flèche en un point P est donnée par le moment par rapport à ce point P de la surface du diagramme des moments fléchissants se situant entre l’encastrement et le point P considéré le tout divisé par le module de rigidité à la flexion EI. En d’autres termes, la flèche au point P s’exprime par la relation suivante : fP = 1 EI A i d v i (éq. 7.81) : module d’élasticité longitudinale [N/mm2] : moment d’inertie de la section [mm4] : aire du diagramme des moments fléchissants situés entre l’encastrement et le point P : distance du centre de gravité de la surface du diagramme des Mf à l’endroit de la recherche de la flèche. [mm] Avec : E I Ai dvi A.2) Poutre sur appuis La flèche en un point P est donnée par le moment par rapport à ce point P de la surface du diagramme des moments fléchissants se situant entre l’appuis et le point P considéré, augmenter du moment de la réaction, due au chargement par la moment fléchissant, au point P, le tout divisé par le module de rigidité à la flexion (EI). En d’autres termes : Avec : E I Ai dvi R d fP = ( 1 Rd − EI A i ) d v i (éq. 7.82) : module d’élasticité longitudinale [N/mm2] : moment d’inertie de la section [mm4] : aire du diagramme des moments fléchissants situés entre l’appui et le point P : distance du centre de gravité de la surface du diagramme des Mf à l’endroit de la recherche de la flèche. [mm] : réaction d’appuis due au chargement du moment fléchissant [N] : distance entre l’appui et le point P [mm] Dans le cas d’une poutre sur appuis, il faut tenir compte du moment du à la réaction d’appui, car il existe une déviation angulaire au droit de l’appui qui induit une flèche. Ce n’est pas le cas d’un encastrement où, au droit de celui-ci, la déviation angulaire est nulle. © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.24 - B) Exemples B.1.) Poutres encastrées B.1.1) Charge à l’extrémité (fmax à l’extrémité de la poutre) Appliquons la formule de base : 1 1 fB = Ai d v i = A dv EI EI La surface du diagramme des Mf entre (A) et (B) F l) l F l 2 ( est : A= = 2 2 (Mf est ! Y prendre +) La distance du centre de gravité de la surface des Mf 2 à l’extrémité (B) est : d v = l 3 fig. 7.25. - La flèche devient : F l2 1 2 fB = × l E I 2 3 A d v Y f max = 1 F l3 (éq. 7.87) 3 EI B.1.2) Charge répartie (fmax à l’extrémité de la poutre) avec : p : charge répartie [N/m] Appliquons la formule de base : 1 1 fB = Ai d v i = A dv EI EI La surface du diagramme des Mf entre (A) et (B) p l3 1 1 p l2 est : A = rectangle = l= 3 3 2 6 (Mf est ! Y prendre +) La distance du centre de gravité de la surface des Mf 3 à l’extrémité (B) est : d v = l 4 fig. 7.26. - La flèche devient : © R. Itterbeek p l3 1 3 fB = × l E I 6 4 dv A Y Résistance des Matériaux - Flexion f max = 1 p l4 (éq. 7.92) 8 EI Page - 7.25 - B.2) Poutres sur appuis B.2.1) Charge ponctuelle au milieu de la portée (fmax au centre) Appliquons la formule de base : 1 1 fC = Ai d v i = A dv EI EI La surface du diagramme des Mf entre (A) et (C) 1 F l l F l2 est : A= = 2 4 2 16 La distance du centre de gravité de la surface des Mf 1 l l dv = = au point (C) : 32 6 fig. 7.27. - La flèche devient : 2 F l 1 F l R= l = 4 2 16 Recherche de (R) : F l2 2 1 l Fl l fC = × − × 16 2 16 6 E I d A dv R f max = Y 1 F l3 (éq. 7.98) 48 E I B.2.2) Charge répartie (fmax au centre de la poutre) Appliquons la formule de base : 1 1 fP = Ai d v i = A dv EI EI La surface du diagramme des Mf entre (A) et (C) p l3 2 2 p l2 l est : A = rectangle = = 3 3 8 2 24 La distance du centre de gravité de la surface des Mf 3 l 3 au point (C) : dv = = l 8 2 16 fig. 7.28. - La flèche devient : © R. Itterbeek Recherche de (R) : p l3 3 1 3 l pl fC = × − × l 24 2 24 16 E I d A dv R Y Résistance des Matériaux - Flexion 2 p l 2 1 p l 3 R= = 24 3 8 2 f max = 5 p l4 (éq. 7.104) 384 E I Page - 7.26 - C) Récapitulatif - Résumé Surface (Ai) A= Mf max A= 1 Mf 2 A= 1 Mf 3 A= 2 Mf 3 ( ( ( Distance (d v i ) ×l dv i = 1 l 2 max ×l ) 2 1 d v i = ou l 3 3 max ×l ) 3 1 d v i = ou l 4 4 max ×l ) 5 3 d v i = ou l 8 8 fig. 7.29. - © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.27 - 7.8.2. Calcul de la flèche en un point : “Méthode différentielle” © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.28 - 7.8.3. Flèche admissible Dans le cas de constructions métalliques ou de charpentes (bois ou métal) le calcul à la déformation maximum devient prépondérant par rapport au calcul à la contrainte admissible. C’est pourquoi il convient dans ces cas-là de vérifier que : f max ≤ f adm (éq. 7.113) Ci-dessous quelques exemples de flèches admissibles rapportées à la portée (l) de la poutre (entre appuis). Flèches admissibles (fadm) rapportées à la portée (l) de la poutre © R. Itterbeek Poutres en général 1/250 Poutres en porte-à-faux ((l) étant ici (2 ×) la longueur du porte-à-faux) 1/200 Planchers en général (solives,...) 1/250 Planchers supportant des poteaux, murs... 1/400 Poutres des planchers d’étages 1/400 Toitures en général 1/200 Toitures supportant fréquemment du personnel autre que du personnel d’entretien 1/250 Poutres de roulement et fermes : a) pont manoeuvré à bras, poutres roulantes b) ponts roulants (Q # 50 T) c) ponts roulants (Q > 50 T) 1/500 1/600 1/750 Poutres des passerelles d’un bâtiment industriel : a) en l’absence de rails de roulement : - poutres maîtresses - autres poutres b) en présence d’un chemin de roulement 1/400 1/250 1/600 Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.29 - 7.9. Applications 7.9.1. Calcul (simplifié) d’une dent de roue dentée (engrenage cylindrique) Une dent d’engrenage se calcule suivant plusieurs critères : 1) A la résistance à la flexion et à la compression 2) A la pression spécifique 3) A l’échauffement Pour un calcul simplifié nous ne calculerons la denture qu’à la flexion en considérant la dent comme un solide encastré. Connaissant la puissance P à transmettre [en Watt] et la vitesse de rotation (n) [en tour/min] de la roue dentée, nous pouvons en déduire le couple (C) à transmettre par la roue dentée et donc la force F (en [N]) s’exerçant sur les dents de l’engrenage. Rappelons-nous l’équation liant le couple et la vitesse de rotation : C= 30 P πn Mais pour le calcul des engrenages, nous avons tout intérêt à prendre le couple maximum et non le couple nominal. Dans le cas des roues dentées, il y a deux sortes d’efforts supplémentaires : 1) celui provenant de la plus ou moins grande précision de la denture et dont on tient compte en multipliant (C) par (kp) : kp = 1.05 à 1.30 2) celui provenant de la nature des deux machines reliées par l’engrenage. Ce facteur de choc (kc) peut être assez élevé et n’est pas toujours facile à évaluer avec précision (voir chapitre “Torsion”) Dans un calcul d’avant projet on peut ce contenter du couple maximum déterminer par : Cmax = k p k c C (éq. 7.115) La force sur une dent d’engrenage s’exerce suivant un certain angle (la plupart du temps suivant un angle de 20E) sur le diamètre primitif (dprim). La force engendrant le couple est la projection de cette force sur la perpendiculaire au diamètre primitif : soit (Ft). Dès lors, sachant que : Ft = Ft = 60 P (éq. 7.117) π d prim n Cmax d prim 2 nous avons : [N] Remarque : Si P est en W, dprim doit être en m ! Connaissant maintenant la force Ft s’exerçant sur la dent, il s’agit de déterminer son module m et à partir de là, toutes ses dimensions. © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.30 - Diamètre primitif :d=m.Z Pas :p=m.π Saillie : ha = m Creux : hf = 1.25 m Hauteur de dent : ha + hf = 2.25 m Diamètre de tête : da = d + 2ha = d + 2m Diamètre de pied : df = d ! 2hf = d ! 2.5m Largeur de denture : b = K . m 7 # K # 12 suivant la qualité de l’engrènement Entr’axe : a = (d1 + d2) /2 l’indice “a” signifie de tête l’indice “f” signifie de pied fig. 7.31. - Valeurs du module [mm] Principales 0.5 0.6 0.8 1 1.25 1.5 2 Secondaires 2.5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50 0.55 0.7 0.9 1.125 1.375 1.75 2.25 2.75 3.5 4.5 5.5 7 9 11 14 18 22 28 36 45 fig. 7.32. - Hypothèses de calcul [H1] [H2] [H3] [H4] [H5] La dent est une poutre encastrée. L’épaisseur au pied = épaisseur au cercle primitif. La force (Ft) est appliquée au sommet de la dent (et non sur le primitif) de manière tangentielle. Une seule dent transmet toute la force (Ft). On ne tient pas compte des concentrations de contraintes. A partir de ces hypothèses, vérifions les contraintes normales (σ) : σ= avec : Mf Wx b e et : Mf max I v = Mf max ≤ σ adm Wx : moment fléchissant : module de résistance : largeur de dent : épaisseur de dent σ= © R. Itterbeek Ft × 2.25 × m × 6 [ ] K × m × (π 2) × m 2 fig. 7.33. - [N/mm2] Mf = Ft . hauteur de la dent = F . 2.25 m Wx = b e2 / 6 b=Km avec : K = 8 ... 12 e = (π / 2) m ≤ σ adm Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.31 - et donc : m≥ 54 π 2 Ft K σ adm ≈ 2.34 Ft K σ adm (éq. 7.120) Remarque : Le coefficient (K) détermine la largeur de la denture. On prend généralement une valeur entre 8 et 12 (en avant projet K = 10). Il va de soit que plus la largeur de denture est importante plus il est difficile de faire porter la denture sur toute sa longueur, il est alors nécessaire de rectifier les dentures ce qui fait augmenter le coût de celles-ci. Dans le cas présent la contrainte admissible (σadm) est une contrainte admissible de fatigue. Pour le cas des aciers on peut, pour un calcul simplifié, prendre : σ adm fatigue = (0.4) ... 0.5 ... Rm (éq. 7.34) Application 7.3. Un pignon, de 120 mm de diamètre primitif, est calé sur un moteur électrique de 20 kW tournant à une vitesse de rotation de 1440 tours par minute. Déterminez le module de cette roue dentée si la contrainte admissible est de 200 N/mm2. Solution : Recherche de la force tangentielle 60 P 60 × 20 000 Ft = = = 2 210 N × 1440 π d prim n π × 0120 . Appréciation des différents coefficients Coefficient de choc : kc = 1.2 Coefficient de précision : kp = 1.15 6 moteur électrique 6 précision moyenne Calcul de la force tangentielle maximale Ft max = Ft k c k p = 2 210 × 12 . × 115 . = 3 050 N Calcul du module 54 Ft 54 3050 = = 2.89 2 π K σ adm π 2 10 × 200 Avec un (K) moyen de 10. m≥ © R. Itterbeek soit 3 mm Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.32 - 7.9.2. Calcul de poutres de plancher Surcharges surfaciques des planchers en N/m2 ou Pa Locaux privés (immeubles d’habitation) Locaux publics (bureaux) Locaux accessibles au public (banques, grands magasins, ... ) Salles de cours ordinaires Salles de cours spéciaux (laboratoires, gymnastique, ... ) Salles de réunions, salle de danse non munie de sièges fixes, tribunes de sports Théâtres, cinémas, ... Escaliers et corridors : a) maisons d’habitations logements individuels logements multiples b) bureaux, écoles, salles de réunions, théâtres, etc... Locaux pour archives, magasins de librairie. Suivant le cas : minimum Toitures, terrasses (neige comprise) a) accessibles pour l’entretien b) accessibles privées c) accessibles au public Balcons de maisons d’habitation 2000 3000 4000 3000 5000 6000 4000 2500 4000 5000 5000 1000 2000 5000 5000 fig. 7.35. - Dans le cas d’un plancher, chaque poutre reprend une partie de la charge surfacique, de part et d’autre de celle-ci, sur une largeur égale à (l/2). C’est pourquoi, les différentes poutres centrales reprendront, comme charge uniformément l p = 2 p surfacique répartie tout au long de la poutre : 2 p = l p surfacique (éq. 7.125) [N/m] Par contre les poutres le long des murs ne reprennent que la moitié de la charge surfacique, c’est© R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.33 - à-dire : l p = p surfacique 2 C’est donc au moyen de l’équation (éq. 7.59) que nous déterminerons la dimension des gîtes à utiliser sachant que nous considérerons les poutres comme simplement appuyées et non encastrées. Voici les contraintes à la rupture (Rm), le module d’élasticité (E) ainsi que la contrainte à la limite élastique (Re), si celle-ci est connue, pour différentes espèces de bois utilisées en construction. Caractéristiques de différents bois Contraintes N/mm2 Espèces de bois N/mm2 Re Rm E Chêne 2 z 23 - 100 12 11000 1600 Hêtre 2 - 117 6200 Pin 2 z 16 - 80 5 9000 - Sapin 2 20 70 10000 Sapin du nord 2 - 110 - Pitchpin 2 - 140 - Bambou 2 - 45 - Dans le cas du bois nous utiliserons, pour déterminer la contrainte admissible de traction et de flexion, la relation donnée pour les matériaux fragiles (le bois n’étant pas isotrope). C’est-à-dire : σ adm = © R. Itterbeek Rm S avec S = 10 (éq. 7.127) Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.34 - Application 7.4. Quel sera la dimension des gîtes (en sapin du nord), composant un plancher, ayant une charge surfacique totale de psurfacique = 3000 N/m², sachant que la pièce à une dimension de 3 m x 4 m, que la longueur entre appuis est de 4 m et que la distance entre les différentes poutres est de d = 0.4 m. Les dimensions des gîtes standards sont : 63 x 150 (7/15), 63 x 175 (7/18) ou 75 x 225 (8/23). Vérifiez la flèche maximum du plancher. Solution : Recherche de la contrainte admissible : R 110 σ adm = m = = 11 N / mm 2 S 10 Charge reprise par les poutres : p = l p surfacique = 0.4 × 3000 = 1200 N / m Recherche du moment fléchissant maximum (charge répartie) p l 2 1200 × 4 2 M f max = = = 2 400 Nm 8 8 Recherche du ( I v ) à avoir σ adm ≥ Mf max I v I v≥ Mf max σ adm = 2 400 10 3 = 218182 mm 3 ≈ 218 cm 3 11 Recherche des ( I v ) des différentes gîtes (voir annexe pour les sections préférentielles) 63 × 175 b h 2 6.3 × 152 = = 236 cm 3 6 6 322 cm 3 75 × 225 633 cm 3 63 × 150 C' est celle − ci qui convient . Vérification de la flèche 5 p l4 dans le cas d’une poutre sur deux appuis 384 E I avec une charge répartie. Prenons : Esapin nord = 10000 N/mm2. 15 I = I v × v = 236 × = 1770 cm 4 Sachant que dans notre cas : 2 . × 4 000 4 12 5 p l4 5 = 22.6 mm f max = = 384 E I 384 10 000 × 1770 10 4 4 000 l f max = 22.6 mm ≤ ? f adm = = = 16 mm KO 250 250 17.5 I = I v × v = 322 × = 2 818 cm 4 Prenons la (7/18) : 2 . × 4 000 4 12 5 p l4 5 f max = = = 14.2 mm OK 384 E I 384 10 000 × 2 818 10 4 Celle-ci est donnée par la formule : f max = © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.35 - 7.9.3. Charges roulantes A) Charge roulante unique Soit une charge F pouvant se déplacer sur toute la longueur d’une poutre (AB) reposant sur deux appuis. C’est le cas, par exemple, d’un crochet de palan que l’on peut déplacer. Considérons, figure ci-dessous, une position quelconque de la charge, le moment fléchissant maximum est toujours donné au point d’application de celle-ci. Autrement dit : Dans le cas d’une charge roulante, le moment fléchissant maximum en une section quelconque est toujours donné quand la charge est appliquée directement en cette section. fig. 7.36. - Le calcul des réactions en (A) et (B) conduit aux résultats suivant : l−x x RA = F et R B = F (éq. 7.141) l l avec : x : la distance mesurée à partir de l’appui A (varie entre 0 et l) l : longueur entre appuis L’équation du moment fléchissant, quant à lui, est égale à : M f = RA x = F l−x F x= l x − x 2 (éq. 7.142) l l ( ) L’équation du moment fléchissant, pour une charge roulante ponctuelle, montre que la courbe des Mf est une parabole à axe vertical (le moment fléchissant varie en fonction de (x2)), au lieu d’un triangle pour une charge ponctuelle fixe, bien que le maximum se situe au milieu de la portée (en l/2) et Fl M f max = est égal, pour les deux cas de charges, à : (éq. 7.143) 4 © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.36 - De plus, contrairement au cas de charge fixe, la réaction aux appuis peut cette fois-ci varier d’un minimum égal à 0 à un maximum égal à F : RA = 0 x = l RA = F x = 0 La charge roulante se trouve en B La charge roulante se trouve en A Les appuis devront donc être calculer pour le maximum. © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page - 7.37 -
