Essais de flexion

Essais de flexion
1. introduction :
Pour la résolution des problèmes de calculs des structures mécaniques on constate la
Nécessite d’avoir quelques données expérimentales concernant les matériaux utilisés.
Il est clair que par exemple les grandeurs des modules d’élasticité (E ou G) et du
coefficient de poisson μ variant en fonction des propriétés des matériaux (en premier lieu
de la composition chimique du matériau) et dans une certaine mesure , des conditions de
traitement thermique et d’usinage .
Mais , il faut encore avoir les caractéristique mécanique de résistance des matériaux (tels
la limite d’écoulement , la limite de rupture , l’allongement à la rupture , la striction à la
rupture , etc.………….).
Parfois il faut avoir des données sur les propriété du matériau de résiste de hautes
températures , de travailler sous des charges variables etc.…………..
On a conçu en conséquence une vérité d’essais mécanique qui fournissent les principales
caractéristiques du matériau, directement utilisées lors des calculs.
Les essais mécaniques des matériaux portent éprouvettes dont les dimensions et la
forme peut varier selon les appareils de mesure (machine d’essai) dont on dispose et
les conditions d’essais.
Parmi les essais l’essai de flexion qui nous permet de déterminer des caractéristiques
mécaniques du matériau.
2. but de la résistance des matériaux :
La résistance des matériaux a pour objectif de donner à l’auteur d’un projet tous les
éléments nécessaires pour réaliser une construction stable.
C’est une science qui s’appuie sur la mécanique rationnelle ,en particulier la statique ;
mais si la statique ne considère que les actions extérieures appliquées aux systèmes
étudier, la résistance des matériaux , au contraire , pénètre à l’intérieur des systèmes ,
pour étudier les forces appliquées à chaque élément de la matière , et donc les
déformations qui en résulte .en effet , aucun solide n’est strictement indéformable :
sans parler de dilatation des corps lors d’une augmentation de température ,le lecteur
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a en mémoire la planche qui plie sous une charge , le fil qui s’allonge sous un effort de
traction Etc.………
Toute fois, si la charge ne dépasse pas une certaine limite, la planche qui plie, le fil qui
s’allonge, se rompent pas, car il s’établit à la fois un équilibre extérieur (déterminé
par la statique) et un équilibre intérieur des liaisons entre élément du corps solide
(déterminé par la résistance des matériaux).
Cet équilibre intérieur amène à définir la notion de contrainte.
3. principe:
Le principe de cette manipulation est de faire savoir les caractéristiques qui influent
sur le mécanisme des matériaux qui sont les suivants :
-on prend des matériaux (Al, Cu) acier avec des mêmes dimensions.
-plusieurs poutres du même matériau avec une hauteur h et longueur l constantes, et
on fait varier la hauteur h.
-plusieurs poutres de même avec une barre b et hauteur h constantes et on fait varier
la longueur l.
-une poutre d’un même matériau et on mesure la flèche (fm) pour deux position
différents.
4. etude théorique :
4.1. Flexionoblique :
L’or que la charge produisant la flexion d’une poutre est oblique par rapport à l’axe
des c, d, g, des sections de pièce, on dit que la poutre est soumise à flexion oblique.
C’est le cas de la poutre, encastrée et appuyée AB (fig221) inclinée sur l’horizontale
qui reçoit l’action de la charge verticale p appliquée en o sur l’axe neutre m, n.
Supposons une section transversale, passant par le point o, la direction de la charge
n’est parallèle à aucun des axes principaux xx1 et yy1 de la section, la formule
générale :
M= RI
V
Ne convient plus.
Les forces données se décomposeront alors en deux autres, l’un c dirigé suivant l’axe
neutre, l’autre F perpendiculaire à cet axe.
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La première force produit par une force dirigée suivant l’axe principale yy1 de la
section transversale faite par sont point d’application, la formule générale M= RI
V
est alors utilisable.
On est ainsi ramener à deux problèmes connus, la fatigue totale de la pièce est la
soumise des fatigue partielles calculées séparément.
4.2. Flexion des poutres déversées :
On dit qu’une poutre soumise à flexion est déversé lorsque l’effet de flexion, bien que
s’exerçant perpendiculairement à l’axe neutre de la pièce n’est pas parallèle à un axe
principale de section droite.
C’est le cas des profiles posés sur les fermes d’une charpente leurs arêtes longitudinal
étant parallèle à l’arête supérieure du toit.
Ils sont soumis à des charges généralement considérées comme verticales, chacune
d’elles agit dans le plan de la section droite qui passe par sont point d’application o en
faisant avec les axes principaux xx' et yy' de cette section, des angles b et 90º-b
(fig223).
La formule générale de flexion ne peut s’utiliser directement.
L’axe neutre de la section n’est plus perpendiculaire à la section de la force passant
par le c, d, g, nous allons fixer sa position.
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4.3. Flexion pure :
Il y a flexion pure, lorsqu’un élément de poutre est soumis seulement à un moment
fléchissant, sans effort tranchant.
Cette dernière condition nécessaire que le moment fléchissant soit constante, sinon il y
aurait un effort tranchant égal à la dérivée du moment fléchissant par rapport à l’arc
de la fibre moyenne, comme indiqué ci-dessus.
Considérons un élément de la poutre compris entre deux sections infiniment voisines
(S) et (S'). les deux sections sont supposées soumises à des couples égaux au moment
fléchissant M , comme indiqué sur la figure 5.2 , la figure est faite de telle sorte que M
sois positif.
D’après le principe de Navier-Bernoulli les longueurs des fibres varient comme si les
sections restaient planes après déformation , il en résulte que la section (S') subit par
rapport à (S) une rotation relative : sa nouvelle position est (S") comme indiqué sur la
figure5.2.
On démontre que le centre de gravité G ne varie pas et que l’axe Gz est l’axe de
rotation de la section (S').
En application de la loi de Hooke, les contraintes normales sont proportionnelles aux
allongements des fibres telles que pp'. En posant Gp=y, on voit (figure 5.2) que
l’allongement p'p" de pp' est égale à ytan (α), α étant l’angle de rotation de la section
(S') par rapport à sont centre de gravité G. l’allongement des fibres étant
proportionnel à y, la contrainte normale est donc également proportionnelle à y. elle
est égale à :
Σ =MY
I
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-M étant le moment fléchissant, exprimé en mN.
-I étant le moment d’inertie de la section par rapport à l’axe Gz.
Sur Gz, y étant nul, la contrainte est nulle : pourquoi on appelle Gz l’axe neutre. Dans
le cas de la flexion pure, il n’y a pas d’autre contrainte que la contrainte normale.
Quant à la rotation relative de la section (S') par rapport à la section (S), elle
provoque un allongement des fibres telle que la fibre p'p". Qui est égal, d’après la loi
de Hooke, à :
p'p"=σΔr
E
Soi en remplaçant σ par sa valeur on obtient :
p'p"=MyΔx
EI
Considérons maintenant la figure5.3 montrant la rotation de la section (S') autour de
l’axe G'z passant par son centre de gravité (G').
La section (S') parallèle à la section (S) avant déformation, vient couper celle-ci selon
une droite représentée sur le plan de projection par le point O.
En considérant les triangles semblables G'P'P"et OGG' le théorème de Thalès permet
d’écrire :
p'p" = GG' soit MyΔx = Δx
p'G' GO
EIy
R
En simplifiant l’équation devient :
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I=M
R EI
Dans le cas de la flexion pure, le moment M est supposé constant. En considérant une
poutre constituée d’un matériau homogène (c’est-à-dire E constant). Et de section
constante (donc moment a même p constante), le centre de gravité de toutes les
sections se trouvent ainsi disposés sur un cercle de centre O c’est pourquoi la flexion
pure est également appelée flexion circulaire.
Remarque :
Pour obtenir dans une poutre un moment constant, ou du moins quasi constant on
retient le dispositif suivant :
Entre les sections (S) et (S'), si l’on néglige le poids de la poutre par rapport aux
forces extérieures, il existe un moment constant égal à M= -pd.
4.4. Flexion simple :
Lorsque le moment fléchissant n’est pas constant, il est accompagné d’un effort
tranchant, égal à sa dérivée par rapport à l’arc de la fibre moyenne.
S’il n’y a pas d’effort normal, on dit qu’il y a flexion simple. S’il y a un effort normal,
on dit qu’il y a flexion composée.
Les résultats de l’étude de la flexion simple sont très semblables à ceux de la flexion
pure :
-chaque section (S) pivote autour de l’axe Gz, toutefois , le rayon de courbure R de la
fibre moyenne déformée (lieu de Gz après déformation) n’est plus constant , puisque
le moment fléchissant n’est pas constant ;
-la contrainte normal est toujours N=My/I, mais elle n’est plus seule : des contraintes
tangentielles s’y ajoutent.
4.5. Flexion composée :
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Une section est dite sollicitée à la flexion composée, lorsqu’elle supporte à la fois un
moment fléchissant M, un effort normal N et un effort tranchant T.
L’étude de la flexion composée (figure5.5) résulte immédiatement de la superposition
des résultats obtenus dans l’étude de la compression simple et dans celle de la flexion
simple.
Elle implique le les phénomènes suivants :
-le déplacement relatif de la rotation (S) voisine de (S') pendant la déformation
comprend une translation (due à l’effort normal N) et une rotation autour de l’axe Gz
(due au moment fléchissant) ;
-la contrainte normal en un point p situé à une distance y de la fibre moyenne est
égale à :
Σ = N + My
S I
D’ou:
Y= - NI
SM
Cet axe neutre est parallèle à celui du au seul moment fléchissant, mais il ne passe pas
par le centre de gravité.
Or la section est soumise à un effort N appliqué en son centre de graviter, et à un
couple M.
Il est donc possible de remplacer ce couple par une force unique F , appliquée en un
point C différent du centre de gravité (figure5.6).
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Pour respecter les principes de statique, il faut que :
-cette force soit égale à l’effort normal : F = N (égalité des résultantes générales des
deux systèmes) ;
-le moment de cette force par rapport à G soit égale au couple M : M=N. GC.
La position du point C est ainsi connue. Le point C est appelé le passage de la force
extérieure. Lorsque (S) varie, il décrit la courbe des pressions.
5. manipulation :
Détermination de Ep module d’élasticité.
Le bute de cette première manipulation et de déterminer pour 4 barre
géométriquement identique et de matériaux différent (acier, aluminium, cuivre,
bronze) et partir de la relation théorique.
Fm = Fl
48.G.Iz
avec Iz = bh
12
Donc Ep = FL
48. Fm.Iz
8
Flèche fm (mm)
3,78
2,14
1,36
2,66
Al
Cu
Acier
Bronze
Ep [N/mm]
63364,26
111293,79
176115,38
90043,95
Eth [N/mm]
70.000
125.000
210,000
80.000
h=1/Eth[mm/N]
14.10
8.10
4,7.10
12.10
Interpretation:
La courbe fm est une équation d’une droite qui passe par l’origine se qui montre que
les flèches fm sont proportion ou k (l’inverse du module d’élasticité Ep théorique) donc
quand E fm
Deuxième manipulation :
Etude de l’influence des paramètres géométrique sur la flèche.
Influence de base (b).
Dans cette manipulation on prend plusieurs poutres en aluminium (Al) de différentes
base (b) et on mesure la flèche au point (A) pour chacune des poutres, la force
appliquée, étant toujours F=9,81N.
section
1/b
fm (mm)
10Χ5
0,10
4,12
15X5
0,0666
2,6
20X5
0,05
2,1
25X5
0,04
1,5
30X5
0,0333
13,1
Interprétation :
La courbe fm (1/b) est l’équation d’une droite qui passe par l’origine se qui signifie que
les valeurs obtiennes de fm sont proportionnelles au 1/b donc quand b fm
Influence de hauteur (h) :
On prend plusieurs poutres en (Al) de différentes hauteur (h) et on mesure la flèche
maximale au point après avoir appliquer la force F=9,81N pour tentes les poutres.
section
1/h
fm
20X4
15,63.10
3,64
20X5
8.10
1,64
20X6
4,63.10
1,02
20X8
1,95.10
0,4
Interprétation :
La courbe fm (1/h) l’équation d’une droite qui passe par l’origine, alors quand h fm
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Influence de la distance entre les deux appuis (l) sur une poutre en (Al) de section
S=20X4mm chargée en son milieu par une force de 9,81N on fait varier la longueur de
la poutre (l) entre 30 et 50cm et on mesure la flèche maximale on point
Soit le tableau suivant :
Distance (l) [mm]
Fm (mm)
300
0,91
400
3,11
500
3,78
Interprétation :
La courbe fm (l) est une équation d’une droite qui passe par son origine c’est à dire la
flèche maximale est proportionnelle à la longueur de la poutre (l) donc quand l fm
Influence du moment d’inertie :
On prend une poutre en (Al) chargée en son milieu par F=1Kg après avoir disposer
cette poutre sur les appuis de deux différentes comme suite :
Après avoir mesurer la flèche fm pour les deux cas on a obtenue les résultas suivantes :
 Pour la position 1→ fm= 0,25mm
 Pour la position 2→ fm=0,125mm
Donc on constate que Iz'< Iz" donc le changement de position de la poutre influe
énormément sur la flèche et même la relation théorique (1) plus le moment d’inertie
diminue plus la flèche augmente quant Iz
fm
Conclusion :
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11