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Moteur à courant continu JJD

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Modélisation d’un moteur à courant continu.
Un moteur à courant continu commandé par l’induit est utilisé pour commander en vitesse
un axe de robot.
Le schéma fonctionnel décrivant le fonctionnement du moteur est le suivant:
Cr
Les équations différentielles régissant le comportement du moteur sont:
di
u(t ) = e(t ) + R .i(t ) + L .
dt
dw
J.
= Cm(t ) - Cf (t ) - Cr(t )
dt
e(t ) = K e .w(t )
Cm(t ) = Kc .i(t )
Cf (t ) = a.w(t )
avec les notations suivantes:
u : tension aux bornes de l’induit
en V
i : courant dans l’induit
en A
R : resistance aux bornes de l’induit
R=0.1 W
L : inductance aux bornes de l’induit
L=0,5 mH
e : force électro-motrice
en V
J : moment d’inertie
J=0.01 kg.m²
Cf :couple de frottement
en m.N
a : coefficient de frottement visqueux
en m.N.rad-1.s
Cm : couple moteur
en m.N
Cr : couple résistant
en m.N
Ke : constante de f.e.m.
Ke =0,1 V/rd/s
Kc : constante de couple
Kc =0,1 Nm/A
w : pulsation de rotation du moteur
en rad.s-1
MOTEUR A COURANT CONTINU
1/6
MOTEUR A COURANT CONTINU
I. Equations :
(1) u(t ) = Ri(t ) + L
di
+ e(t )
dt
(I) U(p) = ( R + Lp )I(p) + E(p )
dw
= Cm(t ) - Cf (t ) - Cr(t )
(II) JpW(p ) = Cm(p ) - Cf (p ) - Cr(p )
dt
e(t ) = Kew(t )
(III) E(p) = KeW(p )
Cm(t ) = Kci(t )
(IV) Cm(p) = KcI(p )
Cf (t ) = aw(t )
(V) Cf (p ) = aW(p)
dq
w(t ) =
(VI) W(p ) = pQ(p )
dt
(2) J
(3)
(4)
(5)
(6)
Cr(p)
II. Schéma Bloc :
U(p)
1
R + Lp
I(p)
Kc
Cm(p)
1
Jp
Ω(p)
1
p
Θ(p)
Cf(p)
E(p)
a
Ke
III. Fonction de transfert :
3.1. Couple résistant nul : Cr(t)=0èCr(p)=0
U(p)
H(p)
Ω(p)
Cm(p )
KcI(p)
Jp + a
; (IV)è W(p ) =
è I (p ) =
W( p )
Jp + a
Jp + a
Kc
(I) et (III) è U(p) = (R + Lp )I(p) + KeW(p )
( Jp + a )(R + Lp )
( Jp + a)(R + Lp ) + KeKc
U(p ) =
W(p ) + KeW(p ) = W(p )
Kc
Kc
W (p )
Kc
Kc
H( p ) =
=
=
U(p ) KeKc + (Jp + a )(R + Lp ) KeKc + aR + ( RJ + aL )p + JLp 2
(II) et (V) è W(p ) =
Kc
W (p )
K
KeKc + aR
H( p ) =
=
=
2
RJ + aL
JL
U(p )
1+
p+
p 2 1 + 2x p + p
KeKc + aR
KeKc + aR
w0
w0 2
Fonction de transfert du deuxième ordre, de classe 0 avec :
Kc
: gain statique en rad.s-1.V-1,
KeKc + aR
KeKc + aR
1
JL
=
è w0 =
pulsation propre du système en rad.s-1,
2
JL
KeKc + aR
w0
2x
RJ + aL
w0 RJ + aL
=
è x=
amortissement du système (sans unité).
w0 KeKc + aR
2 KeKc + aR
K=
MOTEUR A COURANT CONTINU
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Cas particuliers : Cf et L négligeables
1
W (p )
K
Ke
H( p ) =
=
=
RJ
U(p)
1 + Tp
1+
p
KeKc
Fonction de transfert du premier ordre, de classe 0 avec :
1
: gain statique en rad.s-1.V-1,
Ke
RJ
T=
constante de temps du système en s.
KeKc
K=
Applications numériques :
Kc=0.1m.N.A-1, Ke=0.1 V.rad-1.s-1,R=0.1Ohm, a=0, L=0.5mH et J=0.01kg.m2
Remarque : Ke et Kc sont souvent égaux ( en valeurs numériques )
Ke peut être à calculer à partir d’une valeur de ω et de e :
Exemple : pour une vitesse de N=1000tr/min, e=100V
2P * 1000
100
w=
= 104.7rad / s ® Ke =
= 0.955V .rad - 1s - 1
60
104.7
Cas général :
Kc
0. 1
K=
=
= 10 rad.s-1.V-1 : gain statique,
KeKc + aR 0.1 * 0.1
KeKc + aR
0.1 * 0.1
w0 =
=
= 2000 = 20 5 = 44.7 rad.s-1 pulsation propre du
JL
0.01 * 0.5.10 - 3
système,
20 5 0.1 * 0.01
x=
= 5 = 2.23 amortissement du système (sans unité).
2 0.1 * .01
Donc H(p) =
W (p )
==
U(p)
10
p
p2
1+ p +
10
2000
, deuxième ordre, de classe 0.
Cas particuliers : L négligeable
1
1
=
= 10 rad.s-1.V-1 : gain statique,
Ke 0.1
RJ
0.1 * 0.01
T=
=
= 0.1 s constante de temps du système.
KeKc 0.1 * 0.1
K=
H( p ) =
W (p )
==
U (p )
10
, premier ordre, de classe 0.
p
1+
10
MOTEUR A COURANT CONTINU
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Cr(p)
U(p)
3.2. Couple résistant non nul :
H(p)
Ω(p)
(II) et (V) è ( Jp + a )W(p) = Cm(p ) - Cr(p) ; (IV)è KcI(p ) = ( Jp + a)W(p ) + Cr(p)
(I) et (III) è U(p) = (R + Lp )I(p) + KeW(p )
U(p ) = (R + Lp )
(Jp + a )W(p ) + Cr(p)
+ KeW(p )
Kc
U(p) -
(R + Lp )
(R + Lp )(Jp + a ) + KeKc
Cr(p ) =
W (p )
Kc
Kc
W (p ) =
Kc
( R + Lp )
U(p) Cr(p )
( R + Lp )(Jp + a ) + KeKc
(R + Lp )(Jp + a ) + KeKc
Kc
R + Lp
KeKc + aR
KeKc + aR
W (p ) =
U (p ) Cr(p )
RJ + aL
JL
RJ + aL
JL
2
2
1+
p+
p
1+
p+
p
KeKc + aR
KeKc + aR
KeKc + aR
KeKc + aR
Cr(p)
H2(p)
Ω(p)
U(p)
W(p ) = H1(p )U(p) - H 2(p )Cr(p )
H1(p)
Kc
KeKc + aR
et
H1(p) = H(p ) =
RJ + aL
JL
2
1+
p+
p
KeKc + aR
KeKc + aR
R + Lp
KeKc + aR
H 2(p ) =
RJ + aL
JL
1+
p+
p2
KeKc + aR
KeKc + aR
Cas particuliers : Cf et L négligeables
1
R
Ke
et H 2(p ) = KeKc
H1(p) = H(p) =
RJ
RJ
1+
p
1+
p
KeKc
KeKc
MOTEUR A COURANT CONTINU
4/6
U0
p
4.1. Fonction de transfert du deuxième ordre : la réponse dépend de la valeur de ξ.
I.V. Réponse à un échelon de tension : u(t)=U0 è U(p) =
si ξ>1 : régime apériodique,
si ξ=1 : régime critique,
si ξ<1 : régime pseudo périodique.
ω(t)
ξ<1
ξ =1
ξ>1
t
4.1.1. Couple résistant nul :
Kc
Kc
U0
KeKc + aR
KeKc + aR
W (p ) =
U (p ) =
.
RJ + aL
JL
RJ + aL
JL
p
1+
p+
p2
1+
p+
p2
KeKc + aR
KeKc + aR
KeKc + aR
KeKc + aR
Kc
U0
Kc
KeKc + aR
w(¥ ) = lim w(t ) = lim pW(p ) = lim p
.
=
U0
RJ + aL
JL
KeKc + aR
t®¥
p®0
p ®0
2 p
1+
p+
p
KeKc + aR
KeKc + aR
Kc
En régime permanent : w(¥ ) =
U0 = KU0
KeKc + aR
60 * 100
A.N. : U0=10V, K=10 rad.s-1.V-1è w(¥ ) = 100 rad.s-1è N =
= 955tr / min
2* p
x == 5 = 2.23 è régime apériodique.
C0
4.1.2. Couple résistant non nul : Cr(t)=C0è Cr(p) =
p
Kc
R + Lp
U0
C0
KeKc + aR
KeKc + aR
W (p ) =
RJ + aL
JL
RJ + aL
JL
p
p
1+
p+
p2
1+
p+
p2
KeKc + aR
KeKc + aR
KeKc + aR
KeKc + aR
Kc
R
w(¥ ) = lim w(t ) = lim pW(p ) =
U0 C0
KeKc + aR
KeKc + aR
t®¥
p®0
R
A.N. : U0=10V, K=10 rad.s-1.V-1, C0=5m.N,
= 10 rad.s-1. m-1.N-1
KeKc + aR
60 * 50
w(¥ ) = 100 -50=50 rad.s-1è N =
= 477.5 tr / min
2* p
MOTEUR A COURANT CONTINU
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4.2. Fonction de transfert du premier ordre :
4.2.1. Couple résistant nul :
ω(t)
K*U0
0.95*K* U0
0.63*K* U0
Tangente à l’origine
KU0
de pente
T
tr5%=3T
T
t
1
U0
K U0
Ke
H( p ) = W ( p ) =
=
RJ
p
1 + Tp p
1+
p
KeKc
w(¥ ) = lim w(t ) = lim pW(p ) == KU0 =
t®¥
p®0
U0
Ke
A.N. : U0=10V, K=10 rad.s-1.V-1è w(¥ ) = 100 rad.s-1è N =
T=
60 * 100
= 955tr / min
2* p
RJ
0.1 * 0.01
=
= 0.1 sè tr5%=3T=0.3s
KeKc 0.1 * 0.1
4.2.2. Couple résistant non nul :Cr(t)=C0è Cr(p ) =
C0
p
1
R
U0
C0
Ke
W (p ) =
- KeKc
RJ
RJ
p
p
1+
p
1+
p
KeKc
KeKc
w(¥ ) = lim w(t ) = lim pW(p ) =
t®¥
p®0
1
R
U0 C0
Ke
KeKc
R
= 10 rad.s-1. m-1.N-1
KeKc
60 * 50
w(¥ ) = 100 -50=50 rad.s-1è N =
= 477.5 tr / min
2* p
A.N. : U0=10V, K=10 rad.s-1.V-1, C0=5m.N,
MOTEUR A COURANT CONTINU
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