Modélisation d’un moteur à courant continu. Un moteur à courant continu commandé par l’induit est utilisé pour commander en vitesse un axe de robot. Le schéma fonctionnel décrivant le fonctionnement du moteur est le suivant: Cr Les équations différentielles régissant le comportement du moteur sont: di u(t ) = e(t ) + R .i(t ) + L . dt dw J. = Cm(t ) - Cf (t ) - Cr(t ) dt e(t ) = K e .w(t ) Cm(t ) = Kc .i(t ) Cf (t ) = a.w(t ) avec les notations suivantes: u : tension aux bornes de l’induit en V i : courant dans l’induit en A R : resistance aux bornes de l’induit R=0.1 W L : inductance aux bornes de l’induit L=0,5 mH e : force électro-motrice en V J : moment d’inertie J=0.01 kg.m² Cf :couple de frottement en m.N a : coefficient de frottement visqueux en m.N.rad-1.s Cm : couple moteur en m.N Cr : couple résistant en m.N Ke : constante de f.e.m. Ke =0,1 V/rd/s Kc : constante de couple Kc =0,1 Nm/A w : pulsation de rotation du moteur en rad.s-1 MOTEUR A COURANT CONTINU 1/6 MOTEUR A COURANT CONTINU I. Equations : (1) u(t ) = Ri(t ) + L di + e(t ) dt (I) U(p) = ( R + Lp )I(p) + E(p ) dw = Cm(t ) - Cf (t ) - Cr(t ) (II) JpW(p ) = Cm(p ) - Cf (p ) - Cr(p ) dt e(t ) = Kew(t ) (III) E(p) = KeW(p ) Cm(t ) = Kci(t ) (IV) Cm(p) = KcI(p ) Cf (t ) = aw(t ) (V) Cf (p ) = aW(p) dq w(t ) = (VI) W(p ) = pQ(p ) dt (2) J (3) (4) (5) (6) Cr(p) II. Schéma Bloc : U(p) 1 R + Lp I(p) Kc Cm(p) 1 Jp Ω(p) 1 p Θ(p) Cf(p) E(p) a Ke III. Fonction de transfert : 3.1. Couple résistant nul : Cr(t)=0èCr(p)=0 U(p) H(p) Ω(p) Cm(p ) KcI(p) Jp + a ; (IV)è W(p ) = è I (p ) = W( p ) Jp + a Jp + a Kc (I) et (III) è U(p) = (R + Lp )I(p) + KeW(p ) ( Jp + a )(R + Lp ) ( Jp + a)(R + Lp ) + KeKc U(p ) = W(p ) + KeW(p ) = W(p ) Kc Kc W (p ) Kc Kc H( p ) = = = U(p ) KeKc + (Jp + a )(R + Lp ) KeKc + aR + ( RJ + aL )p + JLp 2 (II) et (V) è W(p ) = Kc W (p ) K KeKc + aR H( p ) = = = 2 RJ + aL JL U(p ) 1+ p+ p 2 1 + 2x p + p KeKc + aR KeKc + aR w0 w0 2 Fonction de transfert du deuxième ordre, de classe 0 avec : Kc : gain statique en rad.s-1.V-1, KeKc + aR KeKc + aR 1 JL = è w0 = pulsation propre du système en rad.s-1, 2 JL KeKc + aR w0 2x RJ + aL w0 RJ + aL = è x= amortissement du système (sans unité). w0 KeKc + aR 2 KeKc + aR K= MOTEUR A COURANT CONTINU 2/6 Cas particuliers : Cf et L négligeables 1 W (p ) K Ke H( p ) = = = RJ U(p) 1 + Tp 1+ p KeKc Fonction de transfert du premier ordre, de classe 0 avec : 1 : gain statique en rad.s-1.V-1, Ke RJ T= constante de temps du système en s. KeKc K= Applications numériques : Kc=0.1m.N.A-1, Ke=0.1 V.rad-1.s-1,R=0.1Ohm, a=0, L=0.5mH et J=0.01kg.m2 Remarque : Ke et Kc sont souvent égaux ( en valeurs numériques ) Ke peut être à calculer à partir d’une valeur de ω et de e : Exemple : pour une vitesse de N=1000tr/min, e=100V 2P * 1000 100 w= = 104.7rad / s ® Ke = = 0.955V .rad - 1s - 1 60 104.7 Cas général : Kc 0. 1 K= = = 10 rad.s-1.V-1 : gain statique, KeKc + aR 0.1 * 0.1 KeKc + aR 0.1 * 0.1 w0 = = = 2000 = 20 5 = 44.7 rad.s-1 pulsation propre du JL 0.01 * 0.5.10 - 3 système, 20 5 0.1 * 0.01 x= = 5 = 2.23 amortissement du système (sans unité). 2 0.1 * .01 Donc H(p) = W (p ) == U(p) 10 p p2 1+ p + 10 2000 , deuxième ordre, de classe 0. Cas particuliers : L négligeable 1 1 = = 10 rad.s-1.V-1 : gain statique, Ke 0.1 RJ 0.1 * 0.01 T= = = 0.1 s constante de temps du système. KeKc 0.1 * 0.1 K= H( p ) = W (p ) == U (p ) 10 , premier ordre, de classe 0. p 1+ 10 MOTEUR A COURANT CONTINU 3/6 Cr(p) U(p) 3.2. Couple résistant non nul : H(p) Ω(p) (II) et (V) è ( Jp + a )W(p) = Cm(p ) - Cr(p) ; (IV)è KcI(p ) = ( Jp + a)W(p ) + Cr(p) (I) et (III) è U(p) = (R + Lp )I(p) + KeW(p ) U(p ) = (R + Lp ) (Jp + a )W(p ) + Cr(p) + KeW(p ) Kc U(p) - (R + Lp ) (R + Lp )(Jp + a ) + KeKc Cr(p ) = W (p ) Kc Kc W (p ) = Kc ( R + Lp ) U(p) Cr(p ) ( R + Lp )(Jp + a ) + KeKc (R + Lp )(Jp + a ) + KeKc Kc R + Lp KeKc + aR KeKc + aR W (p ) = U (p ) Cr(p ) RJ + aL JL RJ + aL JL 2 2 1+ p+ p 1+ p+ p KeKc + aR KeKc + aR KeKc + aR KeKc + aR Cr(p) H2(p) Ω(p) U(p) W(p ) = H1(p )U(p) - H 2(p )Cr(p ) H1(p) Kc KeKc + aR et H1(p) = H(p ) = RJ + aL JL 2 1+ p+ p KeKc + aR KeKc + aR R + Lp KeKc + aR H 2(p ) = RJ + aL JL 1+ p+ p2 KeKc + aR KeKc + aR Cas particuliers : Cf et L négligeables 1 R Ke et H 2(p ) = KeKc H1(p) = H(p) = RJ RJ 1+ p 1+ p KeKc KeKc MOTEUR A COURANT CONTINU 4/6 U0 p 4.1. Fonction de transfert du deuxième ordre : la réponse dépend de la valeur de ξ. I.V. Réponse à un échelon de tension : u(t)=U0 è U(p) = si ξ>1 : régime apériodique, si ξ=1 : régime critique, si ξ<1 : régime pseudo périodique. ω(t) ξ<1 ξ =1 ξ>1 t 4.1.1. Couple résistant nul : Kc Kc U0 KeKc + aR KeKc + aR W (p ) = U (p ) = . RJ + aL JL RJ + aL JL p 1+ p+ p2 1+ p+ p2 KeKc + aR KeKc + aR KeKc + aR KeKc + aR Kc U0 Kc KeKc + aR w(¥ ) = lim w(t ) = lim pW(p ) = lim p . = U0 RJ + aL JL KeKc + aR t®¥ p®0 p ®0 2 p 1+ p+ p KeKc + aR KeKc + aR Kc En régime permanent : w(¥ ) = U0 = KU0 KeKc + aR 60 * 100 A.N. : U0=10V, K=10 rad.s-1.V-1è w(¥ ) = 100 rad.s-1è N = = 955tr / min 2* p x == 5 = 2.23 è régime apériodique. C0 4.1.2. Couple résistant non nul : Cr(t)=C0è Cr(p) = p Kc R + Lp U0 C0 KeKc + aR KeKc + aR W (p ) = RJ + aL JL RJ + aL JL p p 1+ p+ p2 1+ p+ p2 KeKc + aR KeKc + aR KeKc + aR KeKc + aR Kc R w(¥ ) = lim w(t ) = lim pW(p ) = U0 C0 KeKc + aR KeKc + aR t®¥ p®0 R A.N. : U0=10V, K=10 rad.s-1.V-1, C0=5m.N, = 10 rad.s-1. m-1.N-1 KeKc + aR 60 * 50 w(¥ ) = 100 -50=50 rad.s-1è N = = 477.5 tr / min 2* p MOTEUR A COURANT CONTINU 5/6 4.2. Fonction de transfert du premier ordre : 4.2.1. Couple résistant nul : ω(t) K*U0 0.95*K* U0 0.63*K* U0 Tangente à l’origine KU0 de pente T tr5%=3T T t 1 U0 K U0 Ke H( p ) = W ( p ) = = RJ p 1 + Tp p 1+ p KeKc w(¥ ) = lim w(t ) = lim pW(p ) == KU0 = t®¥ p®0 U0 Ke A.N. : U0=10V, K=10 rad.s-1.V-1è w(¥ ) = 100 rad.s-1è N = T= 60 * 100 = 955tr / min 2* p RJ 0.1 * 0.01 = = 0.1 sè tr5%=3T=0.3s KeKc 0.1 * 0.1 4.2.2. Couple résistant non nul :Cr(t)=C0è Cr(p ) = C0 p 1 R U0 C0 Ke W (p ) = - KeKc RJ RJ p p 1+ p 1+ p KeKc KeKc w(¥ ) = lim w(t ) = lim pW(p ) = t®¥ p®0 1 R U0 C0 Ke KeKc R = 10 rad.s-1. m-1.N-1 KeKc 60 * 50 w(¥ ) = 100 -50=50 rad.s-1è N = = 477.5 tr / min 2* p A.N. : U0=10V, K=10 rad.s-1.V-1, C0=5m.N, MOTEUR A COURANT CONTINU 6/6
