UNIVERSITE MOHAMED I École Supérieure de Technologie Département Génie Informatique Oujda Année Universitaire 2019/20 Filière : GIE1/ASR1 Feuille d'exercices de probabilités I. Combien de nombres diérents de 5 chires existe-t-il (1) s'il n'y a aucune restriction ? (2) si les nombres doivent être divisibles par 10 ? (3) si les nombres doivent être divisibles par 5 ? (4) si les répétitions de chires sont exclues ? II. À partir d'un groupe de 5 femmes et de 6 hommes, combien de comités diérents composés de 2 femmes et de 3 hommes peut-on former ? ∩ III. Soit ∪ A et B des évènements tels que P (A B) = 41 , P (Ā) = 13 et P (B) = 12 . Donner P (A B). IV. On lance deux dés équilibrés. (1) Quelle est la probabilité de l'évènement A : "obtenir au moins un six" ? (2) Calculer la probabilité d'obtenir un numéro pair sur chaque dé. V. Une urne contient 12 boules : 3 blanches, 4 rouges et 5 noires. On tire simultanément 3 boules. Calculer la probabilité des événements suivants : (1) A="les trois boules sont blanches" ; (2) B="on a tiré une boule de chaque couleur" ; (3) C="aucune des trois boules n'est blanche" ; (4) D="au moins une des trois boules est blanche" ; (5) E="au moins une des trois boules est rouge" ; (6) F="au plus une des trois boules est rouge" ; VI. Soient A1 et A2 deux ensembles de boules. On suppose que A1 contient 75% de boules blanches et que A2 en contient 50%. En outre, on suppose que A1 contient 3 fois plus de boules que A2 . On place les boules de A1 et de A2 dans une même urne et on en tire une au hasard : on constate qu'elle est blanche. Quelle est la probabilité que cette boule provienne de A1 ? VII. Dans une certaine ville, 36% des familles possèdent un chien et 22% de celles qui ont un chien possèdent aussi un chat. De plus, 30% des familles ont un chat. Quelle est (1) la probabilité qu'une famille sélectionnée au hasard possède un chien et un chat ; (2) la probabilité conditionnelle qu'une famille choisie au hasard possède un chien sachant qu'elle a un chat ? VIII. La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est donnée par le tableau : xi P [X = xi ] -2 -1 0 1 2 3 0.1 0.2 0.15 0.2 0.15 (1) Calculer P [X > 0]. (2) Calculer l'espérance mathématique de X , sa variance et son écart type. IX. Le chevalier de Méré (contemporain de Blaise Pascal) avait remarqué que l'événement A1 =" au moins un 6 apparaît dans 4 lancers d'un dé à 6 faces " avait une probabilité strictement plus grande que suivant avait la même probabilité de se réaliser : 1 2 de se réaliser. Il croyait que l'événement A2 =" au moins un double 6 apparaît dans 24 lancers d'un couple de dés à 6 faces ". (1) Donner un espace de probabilité (Ω1 , P1 ) pour modéliser l'expérience aléatoire correspondant à A1 , puis calculer P1 (A1 ). (2) Donner un espace de probabilité (Ω2 , P2 ) pour modéliser l'expérience aléatoire correspondant à A2 , puis calculer P2 (A2 ). (3) Comparer P1 (A1 ) et P2 (A2 ), et conclure. X. En 1693, Samuel Pepys posa la question suivante à Isaac Newton : Lequel des deux événements suivants a la plus grande chance de se réaliser ? (1) A : "Parmi deux lancers de dés à 6 faces, on obtient au moins un 6" ; (2) B : "Parmi quatre lancers de dés à 6 faces, on obtient au moins deux 6". Pepys penche en faveur de (B), et Newton en faveur de (A). Lequel des deux a raison ? Justier précisément vos calculs. XI. Soit X une v.a.r. discrète prenant les valeurs 1, 2, 3 et 4 telle que : P ([X < 3]) = 1/3; P ([X > 3]) = 1/2; P ([X = 1]) = P ([X = 2]). (1) Déterminer la loi de probabilité de X . (2) Calculer l'espérance mathématique de X , sa variance et son écart type. XII. Un QCM comporte 5 armations. Pour chaque armation, on doit répondre par vrai (V) si l'armation est toujours vraie, faux (F) si elle est toujours fausse ou par (P) si on ne peut pas conclure. Une réponse au QCM est une suite de 5 lettres parmi V, F ou P. (1) a. Quel est le nombre de réponses possibles pour le QCM ? b. Le nombre de réponses comprenant exactement 3 V est-il égal à C53 ? (2) On décide d'attribuer 2 points pour chaque réponse exacte. Combien de points doit-on retirer par réponse inexacte pour que le score d'un candidat qui répond au hasard ait une espérance mathématique nulle ? (3) Un candidat répond au hasard et on appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de bonnes réponses. Indiquer la loi suivie par X et préciser ses paramètres et calculer E(X). XIII. Pixels morts . Un écran d'ordinateur compte 2 millions de pixels. Au cours de la première année d'utilisation, chacun de ces pixels a une probabilité 10−6 de cesser (dénitivement) de fonctionner ; on parle alors de "pixel mort". On suppose les durées de vie des pixels indépendantes les unes des autres. (1) Quelle est la loi du nombre X de pixels morts sur un écran après un an d'utilisation d'un écran ? Proposer une approximation de cette loi (qui pourra être utilisée dans la suite). (2) On propose au client d'acheter une garantie qui permet d'avoir son écran remboursé si 5 pixels ou plus sont morts durant la première année d'utilisation. a. Quelle est la probabilité que cela arrive ? b. L'écran coûte 2000DH et l'assurance coûte 120DH. On note W (∈ R) le gain que représente l'assurance d'un écran pour l'assureur (le gain sera négatif si l'assureur doit payer un écran neuf). Quelle est la loi de W ? Quelle est son espérance ? L'assureur va-t-il faire un bénéce en vendant un grand nombre de telles assurances ? Justier rigoureusement. c. Le client achète deux écrans. Quelle est la probabilité que l'assurance soit utile pour exactement l'un des deux ? (On fera une hypothèse d'indépendance entre les écrans)
