Algèbre

LOGIQUE
Exercice 1 : Soit f : R→Rune fonction. Exprimer à l’aide de quantificateurs les
assertions suivantes :
1) f est constante; 2) f n’est pas constante; 3) f s’annule; 4) f est périodique.
Exercice 2 : Dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse :
1) ∀y∈R,∀z∈R∗,z−xy =0vrai Faux
2) ∃a∈R,∀e>0, |a|<eVrai Faux
3) ∀e>0, ∃a∈R,|a|<eVrai Faux
4) Pour a∈R,(∀e>0, |a| ≤ e⇒a=0)Vrai Faux
Exercice 3 : soit f : R→Rune fonction. Nier les assertions suivantes :
1) ∀M>0, ∃A>0, ∀x≥A,f(x)>M
2) ∀e>0, ∃η>0, ∀(x,y)∈R,(|x−y| ≤ η⇒ |f(x)−f(y)| ≤ e).
3) x>1⇒(y>2⇒z>3)
4) Pour qu’un étudiant quelconque passe à l’année suivante, il doit avoir sa moyenne
générale sans garder plus de trois modules non validés.
Exercice 4 : Dans une école supérieure, pour réussir son examen, il suffit que
l’étudiant prépare ses cours et ses TD. Un étudiant a échoué. Que peut-on dé-
duire?
Exercice 5 : On admet que √2 est un nombre irrationnel.
1). Soit n un entier naturel avec n>0. Démontrer par absurde que si n est le carré
d’un entier, alors 2nn’est pas le carré d’un entier.
2) Démontrer que ∀m,n,p,q∈Z,m+n√2=p+q√2⇒(m=pet p=q)
Exercice 6 : Montrer par récurrence que pour tout n∈N*, on a
2n−1≤n!≤nn
Exercice 7 : Pour la commercialisation d’un produit, une société peut utiliser
trois intermédiaires publicitaires A,B et C.
(P) Si l’entreprise utilise l’intermédiaire C, elle doit nécessairement utiliser A et B.
(Q) Elle a le choix entre A et C,ou utiliser B.
(R) Si elle utilise A, elle ne peut pas utiliser B.
Les intermédiaires A, B et C demandent respectivement 28 000 dh,52 000 dh et
15 000 dh.
1) Ecrire sous forme de propositions les contraintes (P),(Q) et (R).
2) Compléter la table de vérité des trois contraintes.
3) Quelle doit être la décision de l’entreprise?
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Exercice 8 : Dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse.
1) ∀x∈R∃y∈Rx+y2=0
2) ∀y∈R∃x∈Rx+y2=0
3) ∃x∈R∀y∈Rx+y2=0
4)Pour x,y∈Nxy pair ⇒(xpair ou y pair)
5) Pour x,y∈Nx+ypair⇒(xpair ou y pair )
6) Pour deux parties A et B, A6⊂ B⇒B⊂A
Exercice 9 : A l’aide d’une table de vérité,discuter suivant les valeurs de p, q, r
les valeurs de :
1) q ou (Non q et p) 2)(p et q)⇒r
Exercices 10 : Nier les assertions suivantes (donner leurs négations) :
1)Si la haine répond à la haine, la haine ne finira pas.
2) Quel que soit le nombre de preuves démontrant la fausseté d’une chose, il se
trouve toujours qu’un pour croire qu’elle est vraie.
3) ∀x∈R∀y∈R⇒f(x) = f(y)(f est une application de Rvers R)
Exercice 11 : On sait que :
(1) Si un homme, h, a les yeux bleus et une femme, f, a les yeux bleus alors l’enfant
de h et f a les yeux bleus.
A-t-on (2) Si h et f n’ont pas les yeux bleus, alors l’enfant de h et f n’a pas les yeux
bleus?
Exercice 12 : Montrer par un contre-exemple, que l’énoncé suivant est faux :
Si 12 divise n2alors 12 divise n.
Exercice 13 : Montrer par récurrence que
∀n∈N1+2+22+. . . . . . +2n=2n+1−1
Exercice 14 : Soient E un ensemble et A et B deux parties de E. Montrer que
(A∩B=A∪B)⇒A=B
ENSEMBLES
Exercice 1 : Soit E un ensemble et A,B,C trois éléments de P(E).
1) Démontrer que, si A∩B=A∩et A∪B=A∪C, alors B=C.
2) Une seule des deux conditions suffit-elle pour avoir B=C? Justifier votre
réponse.
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Exercice 2 : Soient A,B et C trois ensembles.
Tracer un diagramme de Venn qui présente à la fois les deux conditions sui-
vantes :
(1)Aucun A n’est B (2)Tous les B sont des C
Que peut-on déduire à propos de A et C?
Exercice 3 : Au cours d’un sondage effectué sur 100 étudiants dans une école
d’ingénieurs, on a constaté que :
45 étudiants jouent le football. 5 jouent le football et font la natation.
30 font la natation. 10 font la natation et jouent le Tennis.
32 jouent le tennis. 13 jouent le football et le tennis.
3 font les trois sports à la fois.
Combien d’étudiants :
1) jouent uniquement le football? 3) font uniquement la natation?
2) jouent uniquement le tennis? 4) ne participent aucun des trois sports ?
Exercice 4 : Soit D={(x,y)∈R2;x2+y2=1}. Démontrer que D ne peut pas
s’écrire comme le produit cartésien de deux parties de R.
Exercice 5 :
1. Déterminer P(E) pour E={a,b,c,d};a,b,c,d étant distincts deux à deux.
2. Déterminer P(E) et P(P(E)) pour un ensemble à deux éléments.
3. E ayant n éléments, quel est le nombre des éléments de P(E). (démonstration
par récurrence)
Exercice 6 : Soit A et B deux ensembles, montrer C(A∪B)=CA∩CBet C(A∩B)=
CA∪CB.
Exercice 7 : Un ensemble A dans Rest dit ouvert si la propriété suivante est
vérifiée :
∀x∈A∃e>0 tel que ]x−e,x+e[⊂A
1. En niant la définition ci-dessus, montrer que [0, 1[n’est pas un ouvert de R.
2. Quels sont les ensembles A dans Rqui vérifient la définition ci-dessus après
permutation des quantificateurs “∀x∈A” et “∃e>0”.(Justifier votre réponse)
Exercice 8 : Un touriste compte visiter certaines des trois villes A,B et C.
(P1) S’il passe par B, il ne peut pas passer par C.
(P2) Si le touriste passe par A, il doit passer par B et C.
(P3) Il a le choix de passer par A et B, ou passer par C.
1) Ecrire sous forme de propositions logiques les conditions (P1),(P2) et (P3).
2) Donner la table de vérité des trois conditions. Quelle doit être la décision du
touriste?
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Exercice 9 : Une enquête sur 100 élèves concernant la lecture des trois livres
Harry Potter, Eragon et Fascination a donné les résultats suivants :
47 élèves ont lu Eragon, 67 élèves ont lu Harry Potter et Fascination, 21 élèves ont
lu Fascination et Eragon, 10 élèves ont lu les trois livres.
Soient les événements suivants : E :« L’élève a lu Eragon »F :« L’élève a lu Fasci-
nation »H :« L’élève a lu Harry Potter »
1. Représenter la situation par un diagramme de Venn.
2. Déterminer le nombre d’élèves qui :
a) ont lu uniquement Harry Potter. b) n’ont lu aucun des trois livres.
Exercice 10 : Badr, Jalil et Sara sont prévenus de fraude fiscale :
BADR :« Jalil est coupable et Sara est innocente »
JALIL :« Si Badr est coupable, alors Sara aussi »
SARA :« Je suis innocente mais au moins l’un des deux est coupable »
Soit B,J et S les énoncés :"Badr est innocent","Jalil est innocent","Sara est inno-
cente"
1. Exprimer le témoignage de chacun des suspects dans le symbolisme logique.
2. Calculer les valeurs de vérité des trois formules obtenues (table de vérité), puis
répondre aux questions suivantes :
a) Les témoignages sont-ils compatibles?
b) En supposant que tous sont innocents, lequel aura produit un faux serment?
c) En supposant que le témoignage de chacun des suspects est vrai, qui est inno-
cent, qui est coupable?
Exercice 11 : Sur 100 étudiants, on considère les ensembles suivants :
A : ceux qui étudient l’anglais, I :ceux qui étudient l’italien, E :ceux qui étudient
l’espagnol.
a) 55 étudient l’anglais b)9 l’anglais et l’espagnol
c) 7 l”anglais et l’italien d)8 l’italien et l’espagnol
e) 6 l’anglais et l’espagnol mais pas l’italien f) 80 l’anglais ou l’espagnol
g) 12 l’italien seul.
1) Ecrire les propositions précédentes en fonction de A,I et E.
2) Combien d’étudiants travaillent les 3 langues? l’espagnol? l’italien?
3) Combien n’étudient aucune langue?
APPLICATIONS, RELATIONS
Exercice 1 : Soit f une application de E vers F.Soient A et B deux sous-ensembles
de E.
1) Montrer que f(A∪B) = f(A)∪f(B)
2) A-t-on le même résultat avec l’intersection?
BETHEX,LA MAISON D’EXCELLENCE 4

Exercices 2 : Soit A et B deux ensembles finis et f:A→Bune application.
1-Montrer que Card f (A)≤Card f (B).
2-Montrer que s’il existe une injection de A vers B alors Card(A)≤Card(B).
3-Montrer que s’il existe une surjection de A vers B alors Card(A)≥Card(B).
4-Que peut-in conclure s’il existe une bijection de A vers B?
Exercice 3 : Soit f:R→Rdéfinie par f(x) = 2x
1+x2.
1. fest-elle injective?surjective?
2.Montrer que f(R) = [−1, 1].
3.Montrer que la restriction g:[−1, 1]→[−1, 1],g(x) = f(x)est une bijection.
Exercice 4 : Montrer que Net Zsont équipotents.
Exercice 5 : Considérons dans N∗la relation :xRy ⇔il existe n dans N∗tel que y=xn.
Monter que c’est une relation d’ordre. Dire si elle est totale ou partielle.
Exercice 6 : Soit n un entier naturel non nul. Considérons dans Zla relation no-
tée ≡telle que pour tous x et y dans Z:x≡y(n)⇔x−yest un multiple de n dans Z⇔
∃k∈Ztel que x−y=kn
x≡y(n)se lit :"x est congru à y modulo n".
Montrer que cette relation est une relation d’équivalence. Décrire l’ensemble quo-
tient Z/nZ.
Exercice 7 : Soient f:R→Ret g:R→Rtelles que f(x) = 3x+1 et g(x) = x2−1.A-
t-on f◦g=g◦f?
Exercice 8 : Soit f:[0, 1]→[0, 1]telle que :
f(x) = (xsi x∈[0, 1]∩Q
1−xsinon
Démontrer que f◦f=Id.
Exercice 9 : Soit f:[1, +∞]→[1, +∞]telle que f(x) = x2−1.f est-elle bijective ?
Exercice 10 : Soit f:R→C,t7→ exp(it).Changer les ensembles de départ et
d’arrivée afin que (la restriction de) f deviennent bijective?
Exercice 11 : Dans Con définit la relation R par :
zRz0⇔ |z|=|z0|
Montrer que Rest une relation d’équivalence.
Déterminer la classe d’équivalence de chaque z de C
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