Algèbre

LOGIQUE
Exercice 1 : Soit f : R → R une fonction. Exprimer à l’aide de quantificateurs les
assertions suivantes :
1) f est constante ; 2) f n’est pas constante ; 3) f s’annule ; 4) f est périodique.
Exercice 2 : Dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse :
1) ∀y ∈ R, ∀z ∈ R∗ , z − xy = 0
vrai
Faux
2) ∃ a ∈ R, ∀e > 0, | a| < e
Vrai
Faux
3) ∀e > 0, ∃ a ∈ R, | a| < e
Vrai
Faux
4) Pour a ∈ R, (∀e > 0, | a| ≤ e ⇒ a = 0)
Vrai
Faux
Exercice 3 : soit f : R → R une fonction. Nier les assertions suivantes :
1) ∀ M > 0, ∃ A > 0, ∀ x ≥ A, f ( x ) > M
2) ∀e > 0, ∃η > 0, ∀( x, y) ∈ R, (| x − y| ≤ η ⇒ | f ( x ) − f (y)| ≤ e).
3) x > 1 ⇒ (y > 2 ⇒ z > 3)
4) Pour qu’un étudiant quelconque passe à l’année suivante, il doit avoir sa moyenne
générale sans garder plus de trois modules non validés.
Exercice 4 : Dans une école supérieure, pour réussir son examen, il suffit que
l’étudiant prépare ses cours et ses TD. Un étudiant a échoué. Que peut-on déduire ?
√
Exercice 5 : On admet que 2 est un nombre irrationnel.
1). Soit n un entier naturel avec n > 0. Démontrer par absurde que si n est le carré
d’un entier, alors 2n n’est pas le carré d’un
√ entier. √
2) Démontrer que ∀m, n, p, q ∈ Z, m + n 2 = p + q 2 ⇒ (m = p et p = q)
Exercice 6 : Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N*, on a
2n − 1 ≤ n! ≤ nn
Exercice 7 : Pour la commercialisation d’un produit, une société peut utiliser
trois intermédiaires publicitaires A,B et C.
(P) Si l’entreprise utilise l’intermédiaire C, elle doit nécessairement utiliser A et B.
(Q) Elle a le choix entre A et C,ou utiliser B.
(R) Si elle utilise A, elle ne peut pas utiliser B.
Les intermédiaires A, B et C demandent respectivement 28 000 dh,52 000 dh et
15 000 dh.
1) Ecrire sous forme de propositions les contraintes (P),(Q) et (R).
2) Compléter la table de vérité des trois contraintes.
3) Quelle doit être la décision de l’entreprise ?
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Exercice 8 : Dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse.
1) ∀ x ∈ R ∃y ∈ R x + y2 = 0
2) ∀y ∈ R ∃ x ∈ R x + y2 = 0
3) ∃ x ∈ R ∀y ∈ R x + y2 = 0
4)Pour x, y ∈ N xy pair ⇒ ( x pair ou y pair)
5) Pour x, y ∈ N x + y pair⇒ ( x pair ou y pair )
6) Pour deux parties A et B, A 6⊂ B ⇒ B ⊂ A
Exercice 9 : A l’aide d’une table de vérité,discuter suivant les valeurs de p, q, r
les valeurs de :
1) q ou (Non q et p) 2)(p et q)⇒ r
Exercices 10 : Nier les assertions suivantes (donner leurs négations) :
1)Si la haine répond à la haine, la haine ne finira pas.
2) Quel que soit le nombre de preuves démontrant la fausseté d’une chose, il se
trouve toujours qu’un pour croire qu’elle est vraie.
3) ∀ x ∈ R ∀y ∈ R ⇒ f ( x ) = f (y) (f est une application de R vers R)
Exercice 11 : On sait que :
(1) Si un homme, h, a les yeux bleus et une femme, f, a les yeux bleus alors l’enfant
de h et f a les yeux bleus.
A-t-on (2) Si h et f n’ont pas les yeux bleus, alors l’enfant de h et f n’a pas les yeux
bleus ?
Exercice 12 : Montrer par un contre-exemple, que l’énoncé suivant est faux :
Si 12 divise n2 alors 12 divise n.
Exercice 13 : Montrer par récurrence que
∀ n ∈ N 1 + 2 + 22 + . . . . . . + 2n = 2n+1 − 1
Exercice 14 : Soient E un ensemble et A et B deux parties de E. Montrer que
(A ∩ B = A ∪ B) ⇒ A = B
ENSEMBLES
Exercice 1 : Soit E un ensemble et A,B,C trois éléments de P(E).
1) Démontrer que, si A ∩ B = A ∩ et A ∪ B = A ∪ C, alors B = C.
2) Une seule des deux conditions suffit-elle pour avoir B = C ? Justifier votre
réponse.
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Exercice 2 : Soient A,B et C trois ensembles.
Tracer un diagramme de Venn qui présente à la fois les deux conditions suivantes :
(1)Aucun A n’est B
(2)Tous les B sont des C
Que peut-on déduire à propos de A et C ?
Exercice 3 : Au cours d’un sondage effectué sur 100 étudiants dans une école
d’ingénieurs, on a constaté que :
45 étudiants jouent le football.
5 jouent le football et font la natation.
30 font la natation.
10 font la natation et jouent le Tennis.
32 jouent le tennis.
13 jouent le football et le tennis.
3 font les trois sports à la fois.
Combien d’étudiants :
1) jouent uniquement le football ?
2) jouent uniquement le tennis ?
3) font uniquement la natation ?
4) ne participent aucun des trois sports ?
Exercice 4 : Soit D = {( x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 = 1}. Démontrer que D ne peut pas
s’écrire comme le produit cartésien de deux parties de R.
Exercice 5 :
1. Déterminer P(E) pour E = { a, b, c, d} ;a,b,c,d étant distincts deux à deux.
2. Déterminer P(E) et P(P(E)) pour un ensemble à deux éléments.
3. E ayant n éléments, quel est le nombre des éléments de P(E). (démonstration
par récurrence)
Exercice 6 : Soit A et B deux ensembles, montrer C( A∪ B) = C A ∩ CB et C( A∩ B) =
C A ∪ CB .
Exercice 7 :
vérifiée :
Un ensemble A dans R est dit ouvert si la propriété suivante est
∀ x ∈ A∃ e > 0 tel que ] x − e, x + e[⊂ A
1. En niant la définition ci-dessus, montrer que [0, 1[ n’est pas un ouvert de R.
2. Quels sont les ensembles A dans Rqui vérifient la définition ci-dessus après
permutation des quantificateurs “∀ x ∈ A” et “∃e > 0”.(Justifier votre réponse)
Exercice 8 : Un touriste compte visiter certaines des trois villes A,B et C.
(P1) S’il passe par B, il ne peut pas passer par C.
(P2) Si le touriste passe par A, il doit passer par B et C.
(P3) Il a le choix de passer par A et B, ou passer par C.
1) Ecrire sous forme de propositions logiques les conditions (P1),(P2) et (P3).
2) Donner la table de vérité des trois conditions. Quelle doit être la décision du
touriste ?
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Exercice 9 : Une enquête sur 100 élèves concernant la lecture des trois livres
Harry Potter, Eragon et Fascination a donné les résultats suivants :
47 élèves ont lu Eragon, 67 élèves ont lu Harry Potter et Fascination, 21 élèves ont
lu Fascination et Eragon, 10 élèves ont lu les trois livres.
Soient les événements suivants : E :« L’élève a lu Eragon »F :« L’élève a lu Fascination »H :« L’élève a lu Harry Potter »
1. Représenter la situation par un diagramme de Venn.
2. Déterminer le nombre d’élèves qui :
a) ont lu uniquement Harry Potter. b) n’ont lu aucun des trois livres.
Exercice 10 : Badr, Jalil et Sara sont prévenus de fraude fiscale :
BADR :« Jalil est coupable et Sara est innocente »
JALIL :« Si Badr est coupable, alors Sara aussi »
SARA :« Je suis innocente mais au moins l’un des deux est coupable »
Soit B,J et S les énoncés :"Badr est innocent","Jalil est innocent","Sara est innocente"
1. Exprimer le témoignage de chacun des suspects dans le symbolisme logique.
2. Calculer les valeurs de vérité des trois formules obtenues (table de vérité), puis
répondre aux questions suivantes :
a) Les témoignages sont-ils compatibles ?
b) En supposant que tous sont innocents, lequel aura produit un faux serment ?
c) En supposant que le témoignage de chacun des suspects est vrai, qui est innocent, qui est coupable ?
Exercice 11 : Sur 100 étudiants, on considère les ensembles suivants :
A : ceux qui étudient l’anglais, I :ceux qui étudient l’italien, E :ceux qui étudient
l’espagnol.
a) 55 étudient l’anglais
b)9 l’anglais et l’espagnol
c) 7 l”anglais et l’italien
d)8 l’italien et l’espagnol
e) 6 l’anglais et l’espagnol mais pas l’italien
f) 80 l’anglais ou l’espagnol
g) 12 l’italien seul.
1) Ecrire les propositions précédentes en fonction de A,I et E.
2) Combien d’étudiants travaillent les 3 langues ? l’espagnol ? l’italien ?
3) Combien n’étudient aucune langue ?
APPLICATIONS, RELATIONS
Exercice 1 : Soit f une application de E vers F.Soient A et B deux sous-ensembles
de E.
1) Montrer que f ( A ∪ B) = f ( A) ∪ f ( B)
2) A-t-on le même résultat avec l’intersection ?
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Exercices 2 : Soit A et B deux ensembles finis et f : A → Bune application.
1-Montrer que Card f ( A) ≤ Card f ( B).
2-Montrer que s’il existe une injection de A vers B alors Card( A) ≤ Card( B).
3-Montrer que s’il existe une surjection de A vers B alors Card( A) ≥ Card( B).
4-Que peut-in conclure s’il existe une bijection de A vers B ?
2x
.
Exercice 3 : Soit f : R → R définie par f ( x ) = 1+
x2
1. f est-elle injective ?surjective ?
2.Montrer que f (R) = [−1, 1].
3.Montrer que la restriction g : [−1, 1] → [−1, 1],g( x ) = f ( x ) est une bijection.
Exercice 4 : Montrer que N et Z sont équipotents.
Exercice 5 : Considérons dans N∗ la relation :xRy ⇔ il existe n dans N∗ tel que y = x n .
Monter que c’est une relation d’ordre. Dire si elle est totale ou partielle.
Exercice 6 : Soit n un entier naturel non nul. Considérons dans Z la relation notée ≡ telle que pour tous x et y dans Z : x ≡ y (n) ⇔ x − y est un multiple de n dans Z ⇔
∃k ∈ Z tel que x − y = kn
x ≡ y (n) se lit :"x est congru à y modulo n".
Montrer que cette relation est une relation d’équivalence. Décrire l’ensemble quotient Z/nZ.
Exercice 7 : Soient f : R → R et g : R → R telles que f ( x ) = 3x + 1 et g( x ) = x2 − 1.At-on f ◦ g = g ◦ f ?
Exercice 8 : Soit f : [0, 1] → [0, 1] telle que :
(
x
si x ∈ [0, 1] ∩ Q
f (x) =
1 − x sinon
Démontrer que f ◦ f = Id.
Exercice 9 : Soit f : [1, +∞] → [1, +∞] telle que f ( x ) = x2 − 1.f est-elle bijective ?
Exercice 10 : Soit f : R → C,t 7→ exp(it).Changer les ensembles de départ et
d’arrivée afin que (la restriction de) f deviennent bijective ?
Exercice 11 : Dans C on définit la relation R par :
zRz0 ⇔ |z| = |z0 |
Montrer que R est une relation d’équivalence.
Déterminer la classe d’équivalence de chaque z de C
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Exercice 12 : Montrer que la relation R définie sur R par :
xRy ⇐⇒ x exp(y) = y exp( x )
est une relation d’équivalence. Préciser, pour x fixé dans R, le nombre d’éléments
de la classe de s modulo R.
Exercice 13 : Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre total noté≤. On
considère la relation R dans E définie par les couples (( x, y), ( x 0 , y0 )) tel que x <
x 0 ou que x = x 0 et y ≤ y0 .
Montrer que R est une relation d’ordre total.
Exercice 14 : Soient E, F et G des ensembles, f une application de E dans F et g
une application de F dans G. On pose h = g ◦ f .
1. Montrer que si h esst injective, f l’est aussi.
2. Montrer que si, en outre, f est surjective, g est injective.
Exercice 15 : Soit E un ensemble et A une partie de ses parties, l’application φ A
de E dans 0,1 définie par :
(
1 si x ∈ A
φA (x) =
0 si x ∈ AC
est appelé fonction caractéristique de la partie A de C.
Démontrer que, A et B étant deux parties de E non vides, pour tout x ∈ E :
• φE \ A ( x ) = 1 − φ A .
• φ A ∩ B ( x ) = φ A ( x ) φB ( x ).
• φ A ∪ B ( x ) = φ A ( x ) + φB ( x ) − φ A ( x ) φB ( x ).
Exercice 16 : Soient f : E → F,g : F → G et h : G → H trois applications. Montrer
que si g ◦ f et h ◦ g sont bijectives, alors f, g et h sont bijectives.
Exercice 17 : Soit f : E → F une application. On définit g de P(F) dans P(E)
par g(Y ) = f −1 (Y ) = x ∈ E/ f ( x ) ∈ Y pour toute partie Y de E.
1. Montrer que f est surjective si et seulement si g est injective.
2. Montrer que f est injective si et seulement si g est surjective.
Exercice 18 : Montrer qu’il n’existe pas de surjection d’un ensemble E sur l’ensemble de ses parties. On pourra considérer la partie de A de E définie par
A=x ∈E:x ∈
/ s( x )
où s est une surjection de E sur P(E).
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Exercice 19 : Soient E, F et G trois ensembles et g une application définie de F à
valeurs dans G. On définit l’application f de F E à valeurs dans G E par :
∀h ∈ F E : f (h) = g ◦ h
Montrer que
1. l’application f est injective si et seulement si g est injective.
2. l’application f est surjective si et seulement si g est surjective.
Exercice 20 : Soit E un ensemble. Montrer que P(E) et 0, 1E sont en bijection.
Exercice 21 : Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est injective, surjective,
( bijective.
(
R→R
R → [−1, 1]
f1
f
2
x 7→ x3
x 7→ cos x
Exercice 22 : Déterminer une bijection de N vers Z.
Exercice 23 : Etudier les propriétés de chacune des relations suivantes :
1. Sur l’ensemble des animaux, la relation« Etre de la même espèce que »
2. Sur un ensemble d’étudiants, la relation « !avoir une moyenne générale meilleure »
exercice 24 : Dire si les relations suivantes sont réflexives, symétriques, antisymétriques,transitives.
Lesquelles des relations d’ordre ? Lesquelles des relations d’équivalence ?
1. E = R : xRy ⇔ cos2 x + sin2 s = 1
2. E = N∗ : xRy ⇔ il existe n dans N∗ tel que y = x n
Exercice 25 : Démontrer que si f est une application d’un ensemble E vers
f ( A)
un ensemble F vérifiant f (CEA ) = CF
, pour toute partie A de E, alors f est
A
bijective.(CE est le complémentaire de A dans E).
Exercice 26 : Soit la relation binaire définie sur ]1, +∞[ par xRy ⇔
1. Montrer que R est une relation d’ordre.
2. R est-elle totale ou partielle ? (Justifier votre réponse)
Exercice 27 : Soit f une application de R vers R. f est croissante si
∀ x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y ⇒ f ( x ) ≤ f (y)
f n’est pas croissante si. . . . . . . . .
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x
1 + x2
≥
y
1 + y2
Exercice 28 : Soit E l’ensemble des parties finies de N. On définit l’application
f de E dans N par :
Pour A ∈ E, f(A) = ∑x∈A x et f (∅) = 0.
1) f est-elle surjective ? Justifier votre réponse.
2) f est-elle injective ? Justifier votre réponse.
3) Soit An = {12 ; 22 , 32 ; . . . . . . ; n2 }.Montrer que f ( An ) =
n(n+1)(2n+1)
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Exercice 29 : On définit sur R la relation x R y si et seulement si x2 − y2 = x − y.
1. Montrer que R est une relation d’équivalence.
2. Calculer la classe d’équivalence d’un élément x de R ;
ENSEMBLES FINIS,
DENOMBREMENT
Exercice 1 :
1. Quelle est la capacité théorique d’un réseau téléphonique à neuf chiffres ?
2. Une assemblée élit son bureau (un président, un vice-président, un trésorier). Combien existe-t-il de bureaux possibles si cinq candidats se présentaient ?
Un responsable de ressources humaines désire recruter 4 personnes dans
une société.
De combien de manières peut-il effectuer ces recrutements si 10 personnes
se présentaient ?
Exercice 2 : En utilisant la formule du binôme,calculer pour tout entier naturel
n les expressions :
n
A=
∑
Ckn ;
n
B=
∑ (−1)k Ckn ;
k=0
k=0
Exercice 3 : Soit x ∈ R et n ∈ N*.
1) Calculer
n
Sn ( x ) =
∑ xk
k =0
2) En déduire la valeur de
n
Tn ( x ) =
∑ kCnk
k =0
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n
C=
∑ kCkn
k=0
Exercice 4 : Soient n, p des entiers naturels avecn ≥ p. Démontrer que
n
∑ Ck
k= p
p
p +1
= Cn+1
.
Exercice 5 :
1. Quel est le nombre de surjections d’un ensemble à n éléments dans un ensemble à 2 éléments ?
2. Déduire le nombre de surjections d’un ensemble à n éléments dans un ensemble à 3 éléments ?
Exercice 6 : Pour A, B deux ensembles de E on note A∆B = ( A ∪ B)\( A ∩ B).
Pour E un ensemble fini, montrer : cardA∆B = cardA + cardB − 2card( A ∩ B).
Exercice 7 : On part du point de coordonnées (0,0) pour rejoindre le point de
coordonnées (p,q) (p et q entiers naturels donnés) en se déplaçant à chaque étape
d’une unité vers la droite ou vers le haut. Combien y a t-il de chemins possibles ?
Exercice 8 : Déterminer le cardinal de l’ensemble des relations binaires dans un
ensemble E à n éléments.
Exercice 9 :
1. Soit E un ensemble à n éléments. Calculer le cardinal de l’ensemble des
couples (P,Q) tels que P ∪ Q = E.
2. Soit E un ensemble fini à n éléments et P(E) l’ensemble de ses parties. Quel
est le nombre de couples ( X, Y ) ∈ P( E) × P( E) tels que X ⊂ Y ?
Exercice 10 : Soit E un ensemble. Montrer que si P(E) est fini, alors E est fini.
Exercice 11 :
1. Montrer que pour tout entier m ≥ 1 et tout entier n ≥ 1 Cnm = Cnn−m .
2. Montrer que Cnm = Cnmm + Cnm−−m1 et Cnm = Cnm−2 + 2Cnm−−21 + Cnm−−22 .(en
isolant un élément a de E, puis deux éléments a et b de E).
3. ∑nm=0 Cnm = 2n (Soit φ A la fonction caractéristique d’une partie A de E, on
montrera que l’application de P(E) dans l’ensemble des fonctions caractéristiques définis sur E : A → φ A est une bijection, et on calculera cardF ( E, 0, 1).
En déduire que si cardE = n alors cardP( E) = 2n .
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Exercice 12 : Soit E un ensemble, f : E → E une involution, c’est-à-dire f 2 =
Id E , A = x ∈ E/ f ( x ) 6= x. Soit R la relation définie sue E par :
xRy ⇔ (y = x ou y = f ( x ))
1. Montrer que R est une relation d’équivalence.
2.On suppose A fini, montrer que cardA est pair.
Exercice 13 : Calculer les sommes suivantes :
∑
n p−1
ij et
i+j=n
∑ ∏ (i + j)
i=1 j=0
.
Exercice 14 : Trouver toutes les applications f : N → N strictement croissante
telles que :
f (2) = 2 et que pour tout (m, n) ∈ N2 , f (mn) = f (m) f (n)
Exercice 15 : Soit l’application :
f : N×N →
N
( p, q) 7→ f ( p, q) =
1. Montrer que :
et
( p + q)( p + q + 1)
+p
2
∀ q ∈ N, f (q + 1, 0) = f (0, q) + 1
∀ p ∈ N∗ , q ∈ N, f ( p − 1, p + 1) = f ( p, q) + 1
.
2. Montrer par récurrence sur n que f est une bijection (on montrera que pour tout
n ∈ N,il existe un unique couple ( p, q) ∈ N ∗ N tel que f ( p, q) = n ).
Exercice 16 :
dire :
Soit f : (N, ≤) → (N, ≤) est une application croissante,c’est-àx ≤ y ⇒ f ( x ) ≤ f (y)
On suppose que f est une bijection
1. Montrer par récurrence sur n que ∀ n ∈ N, f (n) ≥ n.
2. Montrer que f est une application identique (on pourra faire un raisonnement
par l’absurde et considérer A = n ∈ N/ f (n) 6= n).
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Exercice 17 : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1.Calculer le cardinal de l’ensemble E des couples (i,j) d’éléments de [1,n] tels que
i < j.
2. En déduire le cardinal de l’ensemble E’ des couples (i,j) d’éléments de [1,n] tels
que i ≤ j.
n ( n +1)
3. Retrouver la relation :1 + 2 + . . . + n = 2 .
Exercice 18 : Soit E un ensemble non vide et A partie de E fixe on définit l’application suivante :
f : P( E) → P( A) × P( A)
X → ( X ∩ A, X ∩ A)
1. Montrer que f est bijective en déduire que :
(1) ∀(n, m, p) ∈ N3 ,
n
p−k
∑ Cnk Cm
p
= Cn+m , p ≤ n + m
k =0
En déduire la valeur de ∑nk=0 (Cnk )2 en fonction de n.
2. Montrer la relation (1) en calculant de deux manières (1 + x )n (1 + m)m .
Exercice 19 : Soit E un ensemble fini ayant n éléments (n ≥ 1), et ξ ( E, r ) (resp.ξ 0 ( E, r ))
l’ensemble des applications f de E dans l’intervalle [0,r] de N telles que ∑ x∈E f ( x ) ≤
r (resp. ∑ x∈E f ( x ) = r ). Un élément de ξ 0 ( E, r ) s’appelle parfois combinaison avec
répétition de n objets r à r.
1. Choisissant un élément a de E, prouver que l’application :
φ : ξ 0 ( E, r ) → ξ ( E\ a, r )
f
→ f E \a
est bijective.
2. En déduire la formule :
cardξ ( E, r ) = cardξ ( E\ a, r ) + cardξ ( E, r − 1)
3. Montrer que :cardξ ( E, r ) = Cnn+r .(raisonner par récurrence sur n+r), calculer
aussi card ξ 0 ( E, r ).
4. Montrer que le nombre de suites ( x1 , x2 , . . . , x p ) ∈ N p qui sont solutions en
nombres entiers positifs de l’équation x1 + x2 + . . . + x p = n (p et n fixés) est
Cnn+ p−1 .
NOMBRES COMPLEXES
Exercice 1 : Exprimer sous forme algébrique le nombre complexe (1 + i )44 .
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Exercice 2 : Soient a et b deux nombres complexes tels que ab 6= 1. On pose
b
c = 1a−−ab
.
Montrer que (|c| = 1) ⇔ (| a| = 1 ou |b| = 1)
Exercice 3 : Résoudre l’équation suivante sachant qu’elle admet une solution
imaginaire pure
Z3 + 2Z2 + 4Z + 8 = 0
Exercice 4 : Trouver les couples de nombres complexes tels que chacun soit le
carré de l’autre.
Exercice 5 : Résoudre dans C l’équation ( Z + i )n = ( Z − i )n .
Exercice 6 : Déterminer l’ensemble des points M d’affixe Z tels que :
1) Les points d’affixes 1, Z, Z2 soient alignés.
2)| Z − 1 − 2i | = | Z − 7 + 2i |.
Exercice 7 : 1)Montrer que ∀ Z ∈ C, ∀u ∈ C , | Z + u|2 + | Z − u|2 = 2(| Z |2 + |u|2 )
2) Soit ABC un triangle et soit A’ le milieu de [BC]. Déduire la longueur de la
médiane AA’ en fonction de AB,AC et BC.
Exercice 8 : Considérons l’équation dans C (n est un entier naturel non nul) :
P ( z ) = ( z − i )n − (i − z )n = 0
1. Soit A, M et M’ les points d’affixes i, e et z.
a Montrer que si z est une racine de l’équation P(z) = 0, alors AM =
AM0 .
b En déduire que si z est une racine de l’équation P(z) = 0, alors z est
réel.
2. Résoudre l’équation P(z) = 0
Exercice 9 : Montrer que pour tout couple (a,b) de nombres complexes, on a
l’égalité suivante :
1
| a|2 + |b|2 = (| a + b|2 + | a − b|2 )
2
Donner une interprétation géométrique de cette égalité.
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12
→
→
Exercice 10 : Le plan orienté est rapporté au repère orthogonal (O, −
u ,−
v ). t
désigne un nombre réel tel que 0 < t < π2 .
1. Résoudre dans C l’équation
z2 − 2(1 + cos 2t)z + 2(1 + cos 2t) = 0
Les solutions seront appelées z1 et z2 , désignant celle dont la partie imaginaire est strictement positive. On note A le point d’affixe 1.
2. Soit M et M1 les points d’affixes z = 1 + eit et z1 . Montrer que la droite
(OM1 ) est parallèle à la droite( AM).
3. Comparer l’aire A(t) du triangle AM1 M à celle du triangle AOM.
Etudier le maximum de l’aire A(t) lorsque t parcourt ]O, π2 [.
Exercice 11 : A tout point M d’affixe u 6= 1, on associe le point N d’affixe v =
u −1
1− u .
1. Montrer que v est de module 1,
v −1
u −1
est réel et que
v +1
u −1
est imaginaire pur.
2. En déduire une construction géométrique du point N connaissant le point
M.
Exercice 12 : Etudier la suite définie parla donnée de u0 ∈ C et la relation de
récurrence :
1
un+1 = (2un − un )
3
Exercice 13 : Dans C, on considère la transformation :
f : z 7→
z + |z|
2
et la suite définie par la donnée de z0 et zn+1 = f (zn ). Etudier la suite (zn )n .
Exercice 14 :
1. Soit l’équation :(E) z5 − 1 = 0
2iπ
4iπ
6iπ
8iπ
Vérifier que les racines de ( E) sont :1, e 5 , e 5 , e 5 , e 5 .
2. Déterminer le polynôme Q tel que, pour tout z de C, on ait :z5 − 1 = (z −
1) Q ( z ).
3. (a) Resoudre l’équation Q(z) = 0 en effectuant le changement d’inconnue
défini par :
1
z + =u
z
(b) De la question précédente, déduire les valeurs de :
cos
B ETHEX ,
2π
4π
π
2π
4π
π
, cos
, cos , sin
, sin
, sin
5
5
5
5
5
5
LA MAISON D ’ EXCELLENCE
13
Exercice 15 : Soit A,B et C trois points distincts du plan complexe d’affixes a,b et
c, respectivement. Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes :
1. ABC est un triangle équilatéral.
2. aj2 + bj + c = 0 ou aj + bj2 + c = 0
3. a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
Exercice 16 : Soit w = e
2iπ
7
, S = w + w2 + w4 et T = w3 + w5 + w6
1. Montrer que S et T sont conjugués et que la partie imaginaire de S est positive.
2. Calculer S + T et ST. En déduire S et T.
Exercice 17 : Montrer que pour tout x réel, on a | sin x | ≤ | x |. En déduire l’inégalité
∀ x, y ∈ R; |eix − eiy | ≤ | x − y|
Donner une interprétation géométrique de cette inégalité ;
Exercice 18 : Dans le plan complexe on considère les points A(2 + 4i ), B(3 −
3i ), C (4) et D (−1 + 5i ).
Montrer que ces quatres points sont cocycliques.
Exercice 19 : Soit n un entier naturel non nul et w = e
suivantes :
n
S1 =
∑ kw
k =1
k −1
n −1
;
S2 =
∑ kw
kp
k =0
, p ∈ Z;
i2π
n
. Calculer les sommes
n −1
et
S3 =
∑ Cnk wk
k =0
ARITHMETIQUE
Exercice 1 : Dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse.
1) 313 est premier
Vrai
Faux.
2n
2) Le nombre 3 − 1 est un multiple de 8
Vrai
Faux
3) 3n+3 − 44n+2 est divisible par 11
Vrai
Faux.
4) ∀k ∈ N*,∀ a ∈ N*( a 6= 1), k/n ⇒ ak − 1/an − 1
Vrai
Faux.
5) Le reste de la division euclidienne de 20152014 par 8 est 2
Vrai
Faux
Exercice 2 : Une fraction a/b (a et b deux entiers relatifs) est dite irréductible si
a et b sont premiers entre eux.
1) A l’aide du théorème de Bézout, montrer que toute fraction s’écrit sous forme
irréductible.
Ecrire sous forme irréductible la fraction 325/1053.
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14
Exercice 3 : Soit n en entier naturel avec n>1. Montrer que si 2n − 1 est premier,
alors n est premier aussi. A-t-on la réciproque ?
Exercice 4 : Montrer que si a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux
tels que a>b, alors PGCD(a+b,a-b) est soit 1 ou 2.
Exercice 5 : 1)Vérifier que 442 et 495 sont premiers entre eux.
2) Trouver tous les couples (x,y) de Z2 tels que 442x + 495y = 1.
(vérifier que (28,-25) est une solution particulière)
Exercice 6 : Soient a,b,c dans N*. Montrer que pgcd( ab, ac) = apgcd(b, c).
Exercice 7 : Trouver trois chiffres non tous nuls a,b et c tels que ( abc)7 = (cba)9 .
Exercice 8 : Démontrer que ∀n ∈ N∗ , n2 + 1 n’est pas le carré d’un nombre
positif.
Exercice 9 : Soient n ∈ N, n > 1 et a ∈ N, a > 1.
1. Montrer que si a est impair, alors an + 1 n’est pas premier.
2. Montrer que si n est divisible par un entier impair, alors an + 1 n’est pas premier.
Exercice 10 :
1. Montrer que :∀n ∈ N∗ , un = 1 +
impair.
1
3
+
2. Montrer de même que : ∀n ≥ 2, 1 +
naturel.
1
5
1
3
+ ... +
+
1
3
1
2n+1
est à dénominateur
1
n
n’est pas un entier
+ ... +
Exercice 11 : Calculer les sommes suivantes :
∑
n p −1
ij et
i + j=n
∑ ∏ (i + j )
i =1 j =0
Exercice 12 :
1. Montrer que :
p
p
p
p
p +1
(1) C p + C p+1 + C p+2 + . . . + Cn = Cn+1 (0 ≤ p ≤ n)
En déduire, à partir de (1), les valeurs de ∑nk=1 k et ∑nk=1 k2 .
2. En déduire la somme :S = 1 + 3 + 5 + . . . + (2p + 1)
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15
Exercice 13 : Soit (un )n≥0 la suite définie par la relation suivante :
√ √ n
√ n
5
un =
(1 + 5) − (1 − 5)
5
1. Montrer que pour tout n, le terme un est entier.
2. Montrer que pour tout n, on a un+2 = 2un+1 + 4un .
3. Montrer que pour tout n, l’entier un est divisible par2n .
Exercice 14 : Etant donné une progression arithmétique :
a1 , a2 = a1 + r, . . . , ai = ai−1 + r, . . . , an = an−1 + r
On pose
S p = ( a1 ) p + ( a2 ) p + . . . + ( a n ) p
1. En développant pour 1 ≤ i ≤ n, ( ai + r ) p+1 par la formule de binôme,
trouver une relation entre S0 , S1 , . . . , S p .
2. Appliquer les calculs précédents au cas a1 = r = 1 et démontrer
S1 = 1 + 2 . . . + n =
n ( n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
6
h n ( n + 1) i2
S3 = 13 + 23 + . . . + n3 =
= ( S1 ) 2
2
S2 = 12 + 22 + . . . + n2 =
Exercice 15 : Soit f une fonction numérique définie sur R telle que
∀( x, y) ∈ R2 , f ( x + y) = f ( x ) + f (y)
Montrer que
1. ∀n ∈ N, f (n) = n f (1)
2. ∀n ∈ Z, f (n) = n f (1).
3. ∀q ∈ Q, f (q) = q f (1).
4. ∀ x ∈ R, f ( x ) = x f (1) si f est croissante sur R (c’est-à-dire si x < y ⇒
f ( x ) ≤ f (y)).
Exercice 16 : Soit a = 3n + 1 et b = 2n où n ∈ N∗ \{1}
1. Montrer que a ∧ b = 2 ∧ (n − 1).
2. En déduire les valeurs de n pour lesquelles a et b sont premiers entre eux.
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16
Exercice 17 : Soient a = 7n2 + 5n + 1 et b = 7n + 3.Montrer que : ∀ n ∈ N, a ∧
b = 1.
Exercice 18 :
1. Montrer que, ∀b ∈ N, b ≥ 2, les entiers b2 et b − 1 sont premiers entre eux.
2. Résoudre dans Z × Z l’équation : b2 x + (b − 1)y = 1 où b ∈ N, b ≥ 2.
3. Application : Résoudre dans Z × Z l’équation 9x + 2y = 1.
Exercice 19 : Soit dans Z × Z l’équation 13x + 31y = 1 (1)
1. (a) Dire pourquoi l’équation (1) admet des solutions dans Z × Z
(b) En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière ( x0 , y0 ) de (1)
2. (a) Montrer que :
( x, y) solution de (1) ⇔ 13( x − x0 ) = 31(y − y0 )
(2)
(a) En utilisant le théorème de Gauss, déterminer les solutions de (2).En
déduire toutes les solutions de (1).
Exercice 20 :
1. Soit m ∈ Z. Résoudre dans Z × Z l’équation mx + (2m + 1)y = 2.
2. Application : Résoudre dans Z × Z l’équation 3x + 7y = 2.
Exercice 21 : Montrer que pour tout n ∈ N, (3 +
entier divisible par 2n .
√
5) n + (3 −
√
5)n est un
Exercice 22 :
1. Montrer que pour tout entier naturel n, 5/23n + 5 + 3n + 1 .
2. Montrer que pour tout entier n, 30/n5 − n.
1000
3. Quel est le reste de la division euclidienne de 162
par 7 ?
Exercice 23 :
1. Montrer que l’ensemble des nombres premiers est infini.
n
2. Pour tout entier n, on pose Fn = 22 + 1 (nombre de Fermat)
(a) Montrer que les nombres ( Fn )n ∈ N sont premiers entre eux deux à
deux.
(a) En déduire une autre démonstration du fait qu’il y a une infinité de
nombres premiers.
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Exercice 24 :
1. Montrer l’équivalence
∀ a ∈ Z, ∀b ∈ Z, a ∧ b = 1 ⇔ a2 ∧ b2 = 1
2. (a) On suppose a et b quelconques. Montrer que a2 ∧ b2 = ( a ∧ b)2 .
(a) Application :Déterminer 114 ∧ 81.
Exercice 25 :
1. Soit n = p1α1 où p1 est premier et α1 ∈ N∗ .
Quels sont les diviseurs de n dans N ? Quel est leur nombre ?
2. Soit n = p1α1 p2α2 . . . pk k , pi premier et αi ∈ N∗ , pi 6= p j pour i 6= j.
Montrer par récurrence sur k que le nombre de diviseurs de n dans N est
α
d(n) = (1 + α1 )(1 + α2 ) . . . (1 + αk )
3. Application : calculer d(n) dans le cas où n = 360.
Exercice 26 :
4
3
1. Déterminer x pour que : 1x2 = 2x1
2. Ecrire 7x + 1 dans la base 5.
Exercice 27 :
1. Soit m ∈ N∗ , et a un entier naturel divisible par m. Montrer que ∀b ∈ N
a + b divisible par m ⇐⇒ b divisible par m
2. Montrer que pour tout entier naturel n, 10n − 1 est divisible par 3.
3. Soit x = qn rn−1 . . . r1 r0 10
(a) Montrer que :
n −1
x est divisible par 3 ⇐⇒ qn +
∑ ri est divisible par 3
i =0
(b) Montrer que :
x est divisible par 4 ⇐⇒ 2r1 + r0 est divisible par 4
4. Application : Le nombre : 1 345 689 401 572 est-il divisible par 3 ? par 4 ?
Exercice 28 : Soit a un entier naturel et m un entier impair.
1. Montrer que a + divise am + 1
2. Soit q un nombre premier.
(a) Démontrer que q divise ( a + 1)q − aq 1.
(b) En déduire que q divise aq − a.(petit théorème de fermat)
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18
Exercice 29 : (Nombre de Fibonacci) Considérons la suite numérique ( f n )n≥1
définie par la relation de récurrence :
(1) ∀n ≥ 3, f n = f n−1 + f n−2 et f 1 = f 2 = 1
Cette suite est appelée la suite de Fibonacci et les termes de cette suite sont appelés nombres de Fibonaaci.
1. Montrer que :
(2 ) f 1 + f 2 + · · · + f n = f n +2 − 1
2. Montrer que :
(3) f 12 n + f 22 + · · · + f n2 = f n f n+1
3. Démontrer la formule :
(4) f n2 = f n−1 f n+1 + (−1)n+1
4. Montrer que ∀n ∈ N∗ , ∀m ∈ N on a : f m+n = f m+1 f n + f m f n−1 .
5. Montrer que si m divise n, alors f m divise f n .
6. Montrer que tout terme de la suite de Fibonacci est premier avec son voisin,
c’est-à-dire pgcd( f n , f n+1 ) = 1, ∀n ≥ 1
7. Montrer que pgcd( f m , f n ) = f pgcd(m,n) .En déduire l’équivalence : m divise n
si et seulement si f m divise f n .
La dernière proposition affirme le pgcd de deux nombres de Fibonacci est aussi un nombre
de Fibonacci et que, de plus, ce n’est pas n’importe lequel : le rang du pgcd est le pgcd des
rangs
Exercice 30 : Chercher le PGCD de 5748 et 144.En déduire leur PPCM.
Exercice 31 : Donner les 20 premiers nombres premiers. 217 est-il premier ? 289
est-il premier ?
Exercice 32 :
1. Donner la décomposition en facteurs premiers de 6300 et 315.
2. Déduire le PGCD et PPCM de 6300 et 315.
3. Simplifier 6300/315.
Exercice 33 : Trouver tous les couples d’entiers relatifs (x,y) tels que :
1. 12x + 18y = 7
2. 2x + 3y = 7
Exercice 34 : Compléter le tableau suivant :
Décimal (base 10)
43
Binaire (base 2)
Hexadécimal (base 16)
1001101
2B7
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