oscillateur harmonique

PCSI1
Lycée Michelet
L’OSCILLATEUR HARMONIQUE
Plan
I. Première observation : mouvement d’une masse accrochée à un ressort
1. En classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Tracé direct de x(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
II. Rappels mathématiques
1. Fonctions sinusoïdales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Un peu d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
III.Expression mathématique de x(t)
1. Expression générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Facteurs influençant A et ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
IV.Étude cinématique du mouvement harmonique
1. Position, vitesse, accélération. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Lien entre mouvement circulaire uniforme et mouvement sinusoïdal . . . . . .
6
6
8
V. Équation de l’oscillateur harmonique
1. Force élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Établissement de l’équation de l’oscillateur harmonique
3. Résolution de l’équation de l’oscillateur harmonique . .
4. Différentes formes des solutions . . . . . . . . . . . . .
5. Retour sur le ressort vertical . . . . . . . . . . . . . . .
6. Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VI.Bilan énergétique
1. Intégrale première du mouvement. . . . . . . . . . . . . .
2. Évolution temporelle de Ec et Ep . . . . . . . . . . . . .
3. Interprétation graphique : puits de potentiel harmonique
4. Passage de E = cte à l’équation du mouvement . . . . .
1
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8
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PCSI1
Lycée Michelet
Introduction
Lorsqu’une onde se propage (onde acoustique, onde à la surface de l’eau), on observe localement un mouvement oscillant (oscillation des particules fluides pour une onde acoustique,
oscillation d’un flotteur à la surface de l’eau), c’est à dire un mouvement périodique borné,
autour d’une position correspondant à la position de repos. C’est pourquoi, avant d’aborder
l’étude générale des ondes, nous allons nous intéresser au mouvement oscillant et plus particulièrement au mouvement harmonique.
Le mouvement harmonique privilégie les fonctions sinus (ou cosinus). Ce n’est en rien restrictif, car nous verrons que tout mouvement périodique (de période T , de fréquence f = 1/T )
peut se décomposer en une superposition (comprendre une somme) de signaux sinusoïdaux de
fréquence multiple de f . C’est l’analyse de Fourier, que vous avez déjà rencontrée en terminale, par exemple lors de la détermination du spectre d’un son.
Il existe une manière très simple de visualiser un mouvement harmonique : il suffit d’accrocher
une masse à l’extrémité d’un ressort et de la laisser osciller.
I.
1.
Première observation : mouvement d’une masse accrochée à un ressort
En classe
Expérience : si on accroche une masse à un ressort vertical à spires jointives (ce ressort ne
peut être qu’étiré et non comprimé), on peut s’arranger pour que la position de cette masse
se stabilise à une position d’équilibre.
. Quelles sont les forces intervenant dans cet équilibre ?
– le poids P~ = m~g
– la force de rappel du ressort T~
. Quelle relation s’applique à l’équilibre ?
Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen la condition d’équilibre s’exprime sous
la forme : P~ + T~ = ~0
On écarte la masse de sa position d’équilibre et on la lâche : on observe alors des oscillations
de part et d’autre de sa position d’équilibre.
~ = P~ + T~ . Vérifier que cette
. Indiquer sur un schéma, le sens de la résultante des forces R
résultante tend à ramener la masse vers sa position d’équilibre.
2
O
x<xe
x=xe →
→
→
R
→
R=0
R
x>xe
x
Le poids reste constant alors que la tension du ressort augmente quand son étirement augmente. Pour x < xe le poids l’emporte sur la tension, pour x > xe la tension l’emporte sur
le poids. On vérifie que la résultante des forces tend à ramener la masse vers sa position
d’équilibre.
On peut alors tracer l’allure de x(t) au cours du temps :
Indiquer sur le schéma ci-contre :
– la position d’équilibre xe
– la période T des oscillations
– l’amplitude A des oscillations
2.
Tracé direct de x(t)
Sur cette vidéo extraite des cours de physique au MIT de Walter Levine : Lien vidéo, on peut
suivre une leçon sur l’oscillateur harmonique. Toute la leçon mérite d’être suivie, mais si on
s’intéresse plus particulièrement à ce qui se passe entre 10 min et 12 min 20 s, on observe le
tracé en direct de x(t) où x représente la position d’une masse accrochée à des ressorts et t
est la variable temporelle.
La courbe obtenue évoque clairement une courbe sinusoïdale (fonction sinus ou cosinus).
Au laboratoire, on a filmé les ocillations dans un plan horizontal d’une masse (un palet
sur coussin d’air) fixée à l’extrémité de deux ressorts, fait un pointage avec avimeca et une
modélisation de la courbe obtenue avec Regressi... qui renvoie une fonction sinusoïdale ! Nous
pourrons le vérifier en TP.
Avant d’aller plus loin, il peut être utile de faire quelques rappels sur les fonctions sinus et
cosinus
3
II.
1.
Rappels mathématiques
Fonctions sinusoïdales
cf polycopié
2.
Un peu d’entraînement
• Tracer l’allure des fonctions :
f (x) = cos(x − π3 )
g(x) = sin(x + 2π
)
3
h(x) = 1 + 0, 5 cos(x)
Retenir :
cos(x − π3 ) décale la courbe de cos x de
) décale la courbe de sin x de
sin(x + 2π
3
π
vers la droite (sens des x
3
2π
vers la gauche (sens des
3
croissants)
x décroissants)
Dans cette partie, on a gardé les notations habituelles des mathématiciens pour lesquels la
variable est généralement notée x. En physique, les notations sont adaptées à la grandeur
physique décrite.
Dans la suite du cours, la variable physique pertinente est le temps. Elle sera notée t alors
que x deviendra une fonction...
• Dériver, puis intégrer les fonctions, ω étant une constante dont on précisera la dimension :
f (t) = cos(ωt)
g(t) = sin(ωt)
III.
1.
Expression mathématique de x(t)
Expression générale
On observe un mouvement sinusoïdal autour de la position d’équilibre xe , d’amplitude A et
de période T . De manière générale, x(t) pourra s’écrire sous la forme :
x(t) = xe + A cos(ωt + ϕ)
. xe représente la position d’équilibre autour de laquelle le mouvement se produit. Elle
correspond également à la valeur moyenne de x(t) notée < x(t) > car la valeur moyenne
d’un cosinus est nulle (sur une période, on peut toujours associer à une valeur, sa valeur opposée, décalée d’une demi-période). On reviendra plus tard sur la notion de valeur moyenne
d’un signal.
. A représente l’amplitude du mouvement (xe − A 6 x 6 xe + A).
. ωt + ϕ est appelé phase (avec ϕ phase à t = 0). T étant la période du mouvement,
x(t) = x(t + T )
xe + A cos(ωt + ϕ) = xe + A cos(ω(t + T ) + ϕ)
4
cos(ωt + ϕ) = cos(ωt + ωT + ϕ)
la fonction cosinus étant périodique de période 2π on en déduit la relation
ωT = 2π
ω=
2π
T
ω est appelée pulsation (on rencontre également le terme fréquence angulaire) et est homogène à l’inverse d’un temps. On donne généralement sa valeur en rad.s−1 .
On définit également f fréquence du mouvement par f =
1
T
on a alors ω = 2πf .
La fréquence est homogène à l’inverse d’un temps. L’unité SI est le Hertz (1 Hz=1 s−1 ).
2.
Facteurs influençant A et ϕ
Pour une masse et un ressort donné, on peut jouer initialement sur deux paramètres lors de
la mise en mouvement :
– la position initiale x0 = x(0)
– la vitesse initiale v0 = ( dx
)
(autre notation : ( dx
) = ẋ(0)).
dt t=0
dt t=0
On peut écarter la masse de sa position initiale et la lâcher sans vitesse, ou bien transmettre
une vitesse à la masse alors qu’elle est à sa position d’équilibre, voire les deux, c’est à dire
écarter la masse de sa position initiale et lui fournir une vitesse.
Reconnaître chacune des ces situations sur les courbes suivantes (pour lesquelles xe = 0) et
déterminer dans chaque cas les valeurs de x0 et v0 :
a)
5
b)
c)
IV.
1.
Étude cinématique du mouvement harmonique
Position, vitesse, accélération.
Choisissons une origine des temps telle que ϕ = 0 et une origine des x telle que xe = 0.
x(t) = A cos(ωt)
On se place dans le référentiel du laboratoire. Le mouvement étant à 1 dimension (mouvement
−−→
−
axial), on peut écrire le vecteur position sous la forme OM = x~ex , le vecteur vitesse →
v = v~ex
−
et le vecteur accélération →
a = a~ex avec
v(t) = dx
= ẋ = −Aω sin(ωt)
dt
a(t) =
dv
dt
= ẍ = −Aω 2 cos(ωt) = −ω 2 x
On remarque que
ẍ = −ω 2 x
6
La vitesse s’annule pour chaque position extrémale : ẋ = 0 pour x = ±A.
La vitesse est maximale (en norme) lors de chaque passage à 0 : ẋ = ±ωA pour x = 0.
L’accélération est extrémale lorsque la position est extrémale :
ẍ = −ω 2 A pour x = A : décélération maximale
ẍ = ω 2 A pour x = −A : accélération maximale
On peut vérifier sur le schéma ci-dessous (en vert le vecteur vitesse, en rouge le vecteur accélération). On note amax = Aω 2 et vmax = Aω .
7
2.
Lien entre mouvement circulaire uniforme et mouvement sinusoïdal
Le mouvement sinusoïdal peut être produit par
la projection d’un mouvement circulaire uniforme sur un diamètre quelquonque.
On a représenté sur la figure ci-contre un mouvement circulaire uniforme de rayon A, de vi, avec T période de rotesse angulaire ω = 2π
T
tation. La projection du mouvement sur l’axe
Ox donne s(t) = A cos(ωt + ϕ).
ϕ correspond à l’angle que fait OM avec l’axe
Ox à t = 0.
Exemple : scie sauteuse.
Dans une scie sauteuse, un dispositif transforme le mouvemement circulaire uniforme
en un mouvement d’oscillations harmoniques : quand A fait un tour, B fait un allerretour.
V.
Équation de l’oscillateur harmonique
Pour l’instant, nous avons décrit les propriétés du mouvement harmonique. Nous allons à
présent établir l’équation du mouvement d’un oscillateur harmonique et montrer qu’une masse
accrochée à un ressort décrit nécessairement ce type de mouvement.
1.
Force élastique
On considère un ressort, caractérisé par
– sa longueur à vide `0
– sa constante de raideur k (homogène à une force par unité de longueur)
Lorsqu’on étire ou que l’on comprime un ressort celui-ci exerce à chacune de ses extrémités,
des forces qui tendent à le ramener vers sa longueur à vide
8
la tension du ressort au niveau de l’extrémité B s’exprime sous la forme :
T~B = −T~A = −k(` − `0 )~uBext
avec ` longueur du ressort
~uBext vecteur unitaire sortant du ressort au point B considéré ~uBext = ~uA→B =
−→ AB
−→
kABk
Remarque : quand on étire trop un ressort, on sort du domaine d’élasticité et cette loi n’est
plus applicable. Le ressort se déforme et ne revient pas à sa longueur à vide quand on cesse
d’exercer une force : on dit qu’il y a de l’hystérésis.
Par ailleurs, un ressort à spires jointives ne peut être utilisé qu’en détente.
2.
Établissement de l’équation de l’oscillateur harmonique
Système : masse m
Référentiel : référentiel du labo supposé galiléen
Bilan des forces : – poids P~ = m~g
~ avec R
~ ⊥ ~ux
– réaction normale du support R
– tension du ressort : T~ = −k(` − `0 )~ux = −kx~ux
L’équation du mouvement se déduit du principe fondamental de la dynamique (ou deuxième
loi de Newton) appliqué à la masse m :
9
d~v
~ + T~
= P~ + R
dt
~ − kx ~ux
mẍ ~ux = P~ + R
m~a = m
Le mouvement de la masse étant horizontal on projette cette équation sur ~ux on obtient
l’équation du mouvement :
mẍ = −kx
~ ⊥ ~ux donc P~ .~ux = 0 et R.~
~ ux = 0.
car P~ ⊥ ~ux et R
~ = ~0 : la réaction normale du
Remarque : suivant la direction perpendiculaire à ~ux on a P~ + R
support compense le poids.
Équilibre : on remarque que x = 0 correspond à une position d’équilibre (T~ = ~0 pour x = 0).
Si on place la masse en O sans vitesse elle y demeure.
On peut faire passer tous les termes à gauche de l’égalité et s’arranger pour que le coefficient
multiplicatif de ẍ soit égal à 1. On obtient :
ẍ +
k
x=0
m
k
Déterminons la dimension de m
:
ẍ est homogène à une accélération [ẍ] = L.T −2 donc, les termes d’une somme ayant tous
k
x] = L.T −2 également. On en déduit, x étant homogène à une longueur,
même dimension, [ m
k
] = T −2 .
[m
r
k
k
= ω02 avec ω0 homogène à l’inverse d’un temps, soit ω0 =
On pose alors m
m
ẍ + ω02 x = 0
(OH)
C’est une équation différentielle d’ordre 2 car elle fait intervenir la dérivée seconde ẍ. Elle est
linéaire : si x1 (t) est une solution vérifiant x¨1 + ω02 x1 = 0, si x2 (t) est une solution vérifiant
x¨2 + ω02 x2 = 0, alors X(t) = x1 (t) + x2 (t) vérifie Ẍ + ω02 X = 0.
3.
Résolution de l’équation de l’oscillateur harmonique
L’équation (OH) peut s’écrire
ẍ = −ω02 x.
D’après notre étude du mouvement harmonique, on constate que x(t) = A cos(ω0 t + ϕ) est
solution de l’équation.
Les mathématiciens se posent toujours la question de l’unicité de la solution : est-ce la seule
solution possible ?...et bien Mr Cauchy, que l’on remercie au passage, a montré que si l’on
connaît :
x0 = x(t0 ) la position à un instant t0 (en général on choisit t0 = 0)
ẋ0 = ẋ(t0 ) la vitesse à un instant t0
alors la solution existe et est unique.
10
Ce sont ces deux conditions initiales qui vont fixer les valeurs de A et ϕ.
• Prenons les conditions initiales suivantes :
À t = 0 on écarte la masse de sa position d’équilibre et on la lâche sans vitesse :
x(0) = x0 > 0 et ẋ(0) = 0
on cherche une solution sous la forme : x(t) = A cos(ω0 t+ϕ), de dérivée ẋ(t) = −Aω0 sin(ω0 t+ ϕ)
(avec A > 0 et ϕ ∈] − π, π]).
À t=0 x(0) = A cos ϕ = x0
ẋ(0) = −Aω0 sin ϕ = 0.
Puisque A 6= 0 (la solution nulle n’a que peu d’intérêt) et ω 6= 0 on a sin ϕ = 0 d’où ϕ = 0 ou
π
Comme on prend A > 0 et A cos ϕ = x0 > 0 alors ϕ = 0 et donc A = x0 .
La solution est donc de la forme
x(t) = x0 cos(ω0 t)
• Prenons d’autres conditions initiales :
À t = 0 la masse est en O et on la lance avec une vitesse v0 > 0.
x = 0 et ẋ(0) = v0 > 0
On cherche toujours une solution sous la forme : x(t) = A cos(ω0 t + ϕ), de dérivée
ẋ(t) = −Aω0 sin(ω0 t + ϕ) (avec A > 0).
À t=0 x(0) = A cos ϕ = 0
ẋ(0) = −Aω0 sin ϕ = v0
A 6= 0 d’où cos ϕ = 0. On en déduit ϕ = ± π2 .
0
> 0 on en déduit sin ϕ < 0, ϕ = − π2 .
A = − ω0 vsin
ϕ
d’où A = ωv00 et x(t) = ωv00 cos(ω0 t − π2 ) qui se simplifie en
v0
sin(ω0 t)
ω0
est bien homogène à une longueur.
x(t) =
On vérifie que
v0
ω0
p
Remarque : La période des oscillations T0 = ω2π0 = 2π m
est indépendante de l’amplitude
k
des oscillations. Par exemple, même si on double l’amplitude, la période des
oscillations reste inchangée. On dit qu’il y a isochronisme des oscillations.
4.
Différentes formes des solutions
Une même fonction trigonométrique peut s’exprimer sous des formes différentes. Ainsi
x(t) = A cos(ω0 t + ϕ)
peut s’écrire avec une fonction sinus.
En effet sin(α + π2 ) = cos(α) d’où x(t) = A cos(ω0 t + ϕ) = A sin(ω0 t + ϕ + π2 ) = A sin(ω0 t + ψ).
On peut donc chercher une solution sous la forme
x(t) = A sin(ω0 t + ψ)
11
Enfin, x(t) = A cos(ω0 t + ϕ) = A cos ω0 t cos ϕ − A sin ω0 t sin ϕ
qui peut s’écrire sous la forme générale :
x(t) = a cos ω0 t + b sin ω0 t
avec a = A cos ϕ et b = −A sin ϕ (on a donc A2 = a2 + b2 d’où A =
√
a2 + b2 car A > 0).
Bilan :
On peut chercher les solutions de l’équation de l’oscillateur harmonique ẍ + ω02 x = 0 sous
les formes équivalentes :
x(t) = A cos(ω0 t + ϕ)
x(t) = A sin(ω0 t + ψ)
x(t) = a cos ω0 t + b sin ω0 t
les couples de valeurs (A, ϕ), (A, ψ) ou (a, b) étant déterminés par les conditions initiales
x0 et ẋ0 .
la dernière forme est souvent pratique à utiliser.
Considérons le cas général où les conditions initiales sont :
– à t = 0 la masse est en x = x0 et on la lance avec une vitesse ~v0 = v0~ux :
x(0) = x0 et ẋ(0) = v0
On cherche une solution sous la forme : x(t) = a cos ω0 t + b sin ω0 t, de dérivée ẋ(t) =
−aω0 sin ω0 t + bω0 cos ω0 t.
x(0) = a = x0
À t=0
on en déduit a = x0 et b = ωv00 et donc :
ẋ(0) = bω0 = v0
v0
x(t) = x0 cos ω0 t +
sin(ω0 t)
ω0
5.
Retour sur le ressort vertical
Idée : on peut toujours se ramener à l’équation (OH) lorsqu’on étudie le mouvement autour
de la position d’équilibre.
On reprend le cas très simple d’une masse m accrochée à un ressort.
Système : masse m
Référentiel : référentiel du labo supposé
galiléen
Bilan des forces :
– poids P~ = m~g
– tension du ressort :
T~ = −k(` − `0 )~ux
= −k(x − `0 )~ux
– on suppose les frottements négligeables
12
On a choisi l’origine des x au point de fixation du ressort.
Condition d’équilibre
Soit xe la position d’équilibre de la masse m.
À l’équilibre P~ + T~ = ~0 qui donne, après projection sur ~ux
mg − k(xe − `0 ) = 0
(E0)
mg
On en déduit la position d’équilibre : xe = `0 +
k
Équation du mouvement
L’équation du mouvement se déduit du principe fondamental de la dynamique (ou deuxième
loi de Newton) appliqué à la masse m :
m~a = m
d~v
= P~ + T~ = mẍ~ux
dt
après projection sur ~ux
mg − k(x − `0 ) = mẍ
(E)
On s’intéresse à l’équation du mouvement autour de la position d’équilibre. On pose
ε = x − xe
en calculant (E)-(E0) on obtient
−k(x − xe ) = mẍ
or ε = x − xe et ε̈ = ẍ, on retrouve alors l’équation (OH) de l’oscillateur harmonique.
ε̈ + ω02 ε = 0
ε suit l’équation de l’oscillateur harmonique. x(t) = xe + ε(t) = xe + A cos(ω0 t + ϕ).
Ainsi, lorsque l’origine est choisie au niveau de la position d’équilibre, on retrouve
l’équation de l’oscillateur harmonique.
6.
Généralisation
Si l’équation du mouvement s’exprime sous la forme :
ẍ + ω02 x = K
où K est une constante homogène à une accélération.
À l’équilibre x = xe , ẋ = 0, ẍ = 0. On en déduit la relation ω02 xe = K et on réécrit l’équation
sous la forme
ẍ + ω02 x = ω02 xe
ẍ + ω02 (x − xe ) = 0
En posant ε = x − xe , ε̈ = ẍ, on retrouve l’équation (OH) ε̈ + ω02 ε = 0. On en déduit
13
x(t) = xe + ε(t) = xe + A cos(ω0 t + ϕ) = xe + a cos(ω0 t) + b sin(ω0 t) avec xe =
VI.
K
ω02
Bilan énergétique
Quelques rappels de terminale :
−→
Travail d’une force constante : WAB (F~ ) = F~ .AB
Force conservative (dont le travail est indépendant du chemin suivi), force non conservative
(force de frottement)
Travail d’une force conservative WAB (F~ ) = Ep (A) − Ep (B).
Exemple de travail de forces conservatives :
– travail du poids WAB (P~ ) = mg(zA − zB ) (axe Oz orienté vers le haut)
~ = qUAB
– travail de la force électrique WAB (q E)
Pour un mouvement conservatif : les seules forces qui travaillent au cours du mouvement sont
conservatives, donc en l’ absence de frottement, Em = Ec + Ep = Cte.
En présence de frottement l’énergie mécanique diminue ∆Em = Wf rottements < 0.
1.
Intégrale première du mouvement.
Le mouvement étudié s’effectue sans frottement. On est tenté de croire qu’il est conservatif. Reste à déterminer l’expression de l’énergie mécanique associée. Pour cela, on part de
l’équation du mouvement. Les termes contenus dans cette équation sont homogènes à des
forces.
Une énergie se mesure en joule (force×longueur), une puissance en watt (énergie/temps
=force×vitesse). On peut donc faire apparaître une puissance en multipliant les termes de
l’équation du mouvement par une vitesse.
On a établi, pour le mouvement horizontal sans frottement :
mẍ = −kx
On multiplie chaque terme par ẋ
mẋẍ = −kxẋ
mẋẍ + kxẋ = 0
1 2
d 1
2
mẋ + kx = 0
dt 2
2
1
1
mẋ2 + kx2 = Cte
2
2
Cette Cte étant homogène à une énergie.
On reconnaît Ec = 21 mẋ2 l’énergie cinétique de la masse m.
On identifie le terme 12 kx2 à l’énergie potentielle du ressort. Elle est définie à une constante
additive près. On choisit en général Ep = 0 pour x = 0. On a alors Ep = 21 kx2 .
14
De manière générale l’énergie potentielle d’un ressort, également appelée énergie potentielle
élastique, s’écrit sous la forme
1
Ep = k(` − `0 )2
2
si on choisit Ep = 0 pour ` = `0 .
On pose Em = Ec + Ep l’énergie mécanique : elle se conserve au cours du mouvement étudié.
1
1
Em = Ec + Ep = mẋ2 + kx2 = Cte
2
2
2.
Évolution temporelle de Ec et Ep
x(t) = A cos(ω0 t + ϕ)
ẋ(t) = −Aω0 sin(ω0 t + ϕ)
Ep = 12 kx2 = 21 kA2 cos2 (ω0 t + ϕ)
k 2
m
Ec = 12 mẋ2 = 12 mω02 A2 sin2 (ω0 t + ϕ) = 12
m
A sin2 (ω0 t + ϕ) = 21 kA2 sin2 (ω0 t + ϕ)
Em = Ec + Ep = 21 kA2 (cos2 (ω0 t + ϕ) + sin2 (ω0 t + ϕ)) = 21 kA2
|
{z
}
=1
1
Em = Ec + Ep = kA2 = cte
2
On vérifie que l’énergie mécanique est constante au cours du mouvement. Sa valeur se retrouve
facilement en considérant une des positions extrémales de la masse (où x = ±A et ẋ = 0).
On a alors Ec = 0 et donc Em = Ep = 12 kA2 .
Au cours du mouvement il y a passage de l’énergie cinétique à l’énergie potentielle et réciproquement.
L’énergie potentielle est maximum, lorsque la masse occupe les positions extrémales (Ec = 0)
L’énergie cinétique est maximale lorsque la masse par O (Ep = 0).
15
On a représenté dans la partie supérieure du graphe ci-dessous l’évolution temporelle de Ep
et Ec dans le cas où ϕ = 0, ainsi que la valeur de l’énergie mécanique Em = 21 kA2 . La partie
inférieure du graphe indique l’allure de x(t).
On visualise ainsi l’échange permanent entre les deux formes d’énergie (cinétique et potentielle).
Question : que pourrait-on dire de l’évolution de Em s’il y avait des frottements ? Quelle en
serait la conséquence sur l’amplitude du mouvement ?
16
3.
Interprétation graphique : puits de potentiel harmonique
On trace le profil parabolique de l’énergie potentielle Ep = 12 kx2
1
Em = Ec + Ep = mẋ2 +Ep
|2 {z }
>0
Em > Ep
Le mouvement n’est possible que pour des valeurs de x où l’inégalité Em > Ep est vérifiée :
la zone indiquée en pointillée n’est donc pas accessible, le mouvement est borné à l’intervalle
[−A, A].
Ec se lit graphiquement comme l’écart entre Em la courbe Ep (x).
Ec = 0 lorsque Em = Ep , ce qui se produit aux deux valeurs extrémales du mouvement ±A.
4.
Passage de E = cte à l’équation du mouvement
Si l’expression de l’énergie potentielle est connue et si au cours du mouvement Em = cte alors
la dérivée de Em par rapport au temps permet de retrouver l’équation du mouvement.
1
1
Em = Ec + Ep = mẋ2 + kx2 = Cte
2
2
dEm
1
1
= m2 ẋẍ + k 2 xẋ = ẋ (mẍ + kx) = 0
dt
2
2
qui permet de retrouver mẍ + kx = 0.
17
Correction II.2
• Tracé de f (x) = cos(x − π3 ) :
On peut poser cos(x − π3 ) = cos(x0 ) avec x0 = x − π3 : on retrouve donc la courbe du cosinus
dans un repère d’origine O0 . En O0 , x0 = 0, x − π3 = 0, x = π3 .
La courbe est décalée vers la droite de
• Tracé de g(x) = sin(x +
π
3
2π
)
3
) = sin(x0 ) avec x0 = x + 2π
. x0 = 0 pour x = − 2π
. On
De même on peut poser sin(x + 2π
3
3
3
retrouve la courbe du sinus dans un repère d’origine O0 situé en x = − 2π
.
3
La courbe est décalée vers la gauche de
2π
3
Remarque : les fonctions sinus et cosinus étant périodiques de période 2π, on peut écrire
f (x) = cos(x − π3 ) = cos(x − π3 + 2π) = cos(x + 5π
).
3
18
• Tracé de h(x) = 1 + 0.5 cos(x)
−1 6 cos x 6 1,
−0, 5 6 0.5 cos x 6 0, 5
0, 5 6 h(x) 6 1, 5
La fonction h(x) oscille autour de la valeur 1 avec une amplitude de 0.5.
Calculs de dérivés et de primitives :
ωt est sans dimension (angle en radian), ω homogène à l’inverse d’un temps (rad.s−1 ).
f (t) = cos(ωt)
f 0 (t) = −ω sin(ωt)
g(t) = sin(ωt)
g 0 (t) = ω cos(ωt)
1
sin(ωt) + cte
ω
R
1
g(t)dt = − cos(ωt) + cte
ω
R
f (t)dt =
19