oscillateur harmonique

PCSI1Lycée Michelet
L’OSCILLATEUR HARMONIQUE
Plan
I. Première observation : mouvement d’une masse accrochée à un ressort 2
1. En classe ....................................... 2
2. Tracé direct de x(t)................................. 3
II. Rappels mathématiques 4
1. Fonctions sinusoïdales ............................... 4
2. Un peu d’entraînement ............................... 4
III.Expression mathématique de x(t)4
1. Expression générale ................................. 4
2. Facteurs influençant Aet ϕ............................ 5
IV.Étude cinématique du mouvement harmonique 6
1. Position, vitesse, accélération. ........................... 6
2. Lien entre mouvement circulaire uniforme et mouvement sinusoïdal ...... 8
V. Équation de l’oscillateur harmonique 8
1. Force élastique ................................... 8
2. Établissement de l’équation de l’oscillateur harmonique ............. 9
3. Résolution de l’équation de l’oscillateur harmonique ............... 10
4. Différentes formes des solutions .......................... 11
5. Retour sur le ressort vertical ............................ 12
6. Généralisation .................................... 13
VI.Bilan énergétique 14
1. Intégrale première du mouvement. ......................... 14
2. Évolution temporelle de Ecet Ep......................... 15
3. Interprétation graphique : puits de potentiel harmonique ............ 17
4. Passage de E=cte à l’équation du mouvement ................. 17
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PCSI1Lycée Michelet
Introduction
Lorsqu’une onde se propage (onde acoustique, onde à la surface de l’eau), on observe loca-
lement un mouvement oscillant (oscillation des particules fluides pour une onde acoustique,
oscillation d’un flotteur à la surface de l’eau), c’est à dire un mouvement périodique borné,
autour d’une position correspondant à la position de repos. C’est pourquoi, avant d’aborder
l’étude générale des ondes, nous allons nous intéresser au mouvement oscillant et plus parti-
culièrement au mouvement harmonique.
Le mouvement harmonique privilégie les fonctions sinus (ou cosinus). Ce n’est en rien res-
trictif, car nous verrons que tout mouvement périodique (de période T, de fréquence f= 1/T )
peut se décomposer en une superposition (comprendre une somme) de signaux sinusoïdaux de
fréquence multiple de f. C’est l’analyse de Fourier, que vous avez déjà rencontrée en termi-
nale, par exemple lors de la détermination du spectre d’un son.
Il existe une manière très simple de visualiser un mouvement harmonique : il suffit d’accrocher
une masse à l’extrémité d’un ressort et de la laisser osciller.
I. Première observation : mouvement d’une masse accro-
chée à un ressort
1. En classe
Expérience : si on accroche une masse à un ressort vertical à spires jointives (ce ressort ne
peut être qu’étiré et non comprimé), on peut s’arranger pour que la position de cette masse
se stabilise à une position d’équilibre.
Quelles sont les forces intervenant dans cet équilibre ?
– le poids  P=mg
– la force de rappel du ressort  T
Quelle relation s’applique à l’équilibre ?
Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen la condition d’équilibre s’exprime sous
la forme :  P+ T= 0
On écarte la masse de sa position d’équilibre et on la lâche : on observe alors des oscillations
de part et d’autre de sa position d’équilibre.
Indiquer sur un schéma, le sens de la résultante des forces  R= P+ T. Vérifier que cette
résultante tend à ramener la masse vers sa position d’équilibre.
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x=xe
x<xe
O
R
→
x>xe
x
R
→
R
→
R=0
→ →
Le poids reste constant alors que la tension du ressort augmente quand son étirement aug-
mente. Pour x<xele poids l’emporte sur la tension, pour x>xela tension l’emporte sur
le poids. On vérifie que la résultante des forces tend à ramener la masse vers sa position
d’équilibre.
On peut alors tracer l’allure de x(t)au cours du temps :
Indiquer sur le schéma ci-contre :
– la position d’équilibre xe
– la période Tdes oscillations
– l’amplitude Ades oscillations
2. Tracé direct de x(t)
Sur cette vidéo extraite des cours de physique au MIT de Walter Levine : Lien vidéo, on peut
suivre une leçon sur l’oscillateur harmonique. Toute la leçon mérite d’être suivie, mais si on
s’intéresse plus particulièrement à ce qui se passe entre 10 min et 12 min 20 s, on observe le
tracé en direct de x(t)où xreprésente la position d’une masse accrochée à des ressorts et t
est la variable temporelle.
La courbe obtenue évoque clairement une courbe sinusoïdale (fonction sinus ou cosinus).
Au laboratoire, on a filmé les ocillations dans un plan horizontal d’une masse (un palet
sur coussin d’air) fixée à l’extrémité de deux ressorts, fait un pointage avec avimeca et une
modélisation de la courbe obtenue avec Regressi... qui renvoie une fonction sinusoïdale ! Nous
pourrons le vérifier en TP.
Avant d’aller plus loin, il peut être utile de faire quelques rappels sur les fonctions sinus et
cosinus
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II. Rappels mathématiques
1. Fonctions sinusoïdales
cf polycopié
2. Un peu d’entraînement
•Tracer l’allure des fonctions :
f(x) = cos(x−π
3)
g(x) = sin(x+2π
3)
h(x) = 1 + 0,5 cos(x)
Retenir :
cos(x−π
3)décale la courbe de cos xde π 3vers la droite (sens des xcroissants)
sin(x+2π
3)décale la courbe de sin xde 2π 3vers la gauche (sens des xdécroissants)
Dans cette partie, on a gardé les notations habituelles des mathématiciens pour lesquels la
variable est généralement notée x. En physique, les notations sont adaptées à la grandeur
physique décrite.
Dans la suite du cours, la variable physique pertinente est le temps. Elle sera notée talors
que xdeviendra une fonction...
•Dériver, puis intégrer les fonctions, ωétant une constante dont on précisera la dimension :
f(t) = cos(ωt)
g(t) = sin(ωt)
III. Expression mathématique de x(t)
1. Expression générale
On observe un mouvement sinusoïdal autour de la position d’équilibre xe, d’amplitude Aet
de période T. De manière générale, x(t)pourra s’écrire sous la forme :
x(t) = xe+Acos(ωt +ϕ)
 xereprésente la position d’équilibre autour de laquelle le mouvement se produit. Elle
correspond également à la valeur moyenne de x(t)notée < x(t)>car la valeur moyenne
d’un cosinus est nulle (sur une période, on peut toujours associer à une valeur, sa valeur op-
posée, décalée d’une demi-période). On reviendra plus tard sur la notion de valeur moyenne
d’un signal.
 A représente l’amplitude du mouvement (xe−A6x6xe+A).
 ωt +ϕest appelé phase (avec ϕphase à t= 0). Tétant la période du mouvement,
x(t) = x(t+T)
xe+Acos(ωt +ϕ) = xe+Acos(ω(t+T) + ϕ)
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cos(ωt +ϕ) = cos(ωt +ωT +ϕ)
la fonction cosinus étant périodique de période 2πon en déduit la relation
ωT = 2π
ω=2π
T
ωest appelée pulsation (on rencontre également le terme fréquence angulaire) et est ho-
mogène à l’inverse d’un temps. On donne généralement sa valeur en rad.s−1.
On définit également ffréquence du mouvement par f=1
Ton a alors ω= 2πf .
La fréquence est homogène à l’inverse d’un temps. L’unité SI est le Hertz (1Hz=1 s−1).
2. Facteurs influençant Aet ϕ
Pour une masse et un ressort donné, on peut jouer initialement sur deux paramètres lors de
la mise en mouvement :
– la position initiale x0=x(0)
– la vitesse initiale v0= (dx
dt)t=0 (autre notation : (dx dt)t=0 = ˙x(0)).
On peut écarter la masse de sa position initiale et la lâcher sans vitesse, ou bien transmettre
une vitesse à la masse alors qu’elle est à sa position d’équilibre, voire les deux, c’est à dire
écarter la masse de sa position initiale et lui fournir une vitesse.
Reconnaître chacune des ces situations sur les courbes suivantes (pour lesquelles xe= 0) et
déterminer dans chaque cas les valeurs de x0et v0:
a)
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