NOM Probabilités Exercices 1S Février 2019 Exercice 1: La loi de probabilités ci-dessous décrit le gain possible à une loterie sans tenir compte du prix du billet : Gain (en 0 5 10 100 500 euros) Probabilité 0,6 0,2 0,1 0,075 0,025 On appelle 𝐺 la variable aléatoire égale au gain du joueur. 1. L'évènement "le joueur gagne 5 euros" est noté (𝐺 = 5). Comment peut-on noter l'évènement "le joueur gagne au moins 5 euros"? Calculer sa probabilité. 2. Calculer 𝑃(𝐺 ≤ 100); 𝑃(𝐺 ≥ 10). 3. Déterminer la probabilité de l'évènement : (𝐺 ≤ 100) ∩ (𝐺 ≥ 10). 4. L'organisateur du jeu prévoit de fixer le prix du billet à 15 euros. Quel avenir peut-on lui prédire ? Exercice 2: L'université d'Harvard, une des plus prestigieuses des Etats-Unis, sélectionne ses étudiants au travers d'épreuves composées essentiellement de QCM. On a réalisé un QCM qui comporte 8 questions. On le teste sur un grand nombre d'élèves. On admet que l'absence de réponse est considérée comme une réponse fausse. On estime que le nombre 𝑋 de bonnes réponses peut être considérée comme une variable aléatoire suivant la loi suivante : 𝑥𝑖 0 1 2 3 4 5 6 7 8 𝑝𝑖 0,1 0,1 0,2 0,15 0,125 0,125 0,1 0,05 0,05 1. Quel nombre de bonnes réponses peut-on attendre d'un candidat pris au hasard? Quel est l'écart type? 2. On décide de réaliser un barème pour ce QCM de la façon suivante : le candidat part avec la note 8. Chaque bonne réponse apporte 1,5 points et chaque mauvaise réponse retire 1 point. On appelle 𝑌 la variable aléatoire associée au nombre de points obtenus par le candidat. a. Exprimer 𝑌 en fonction de 𝑋. b. En déduire l'espérance de 𝑌. Exercice 3: 1. Deux personnes prennent ensemble, au rez de chaussée, l’ascenseur d’un immeuble comportant 4 étages. Chacune peut se rendre avec d’égales chances dans les 4 étages, indépendamment de l’autre personne. a) Représenter la situation par un arbre. b) Calculer les probabilités des événements: A: « Les deux personnes descendent au premier étage. » B: « Les deux personnes descendent au même étage. » C: « L’une descend au 3ème étage et l’autre au 4ème étage. » D: « Au moins une personne descend au 3ème étage. » 2. Dix personnes prennent ensemble, au rez de chaussée, l’ascenseur d’une tour de 49 étages. Chacune peut se rendre avec d’égales chances dans les 49 étages, indépendamment des autres personnes. a) Quelle est la probabilité qu’elles descendent toutes au 49ème étage? b) Quelle est la probabilité qu’elles descendent toutes au même étage?
