Exercice corrigé en régime sinusoïdal monophasé On demande d’établir les expressions des intensités du courant dans chaque branche et des tensions aux bornes de chaque dipôle, par rapport à la tension d’alimentation U, dans le cas du circuit ci-dessous. On donne : u(t) =220 2 sin( 314 t) Correction 1- Méthode vectorielle: Sachant que u(t) =220 2 sin( 314 t) , on peut déduire ce qui suit: o U = 220V : tension efficace; o ω = 314rd / s , soit f = 50 Hz ; o Le déphasage à l'origine est nul. v Déterminons, d'abord, l'impédance équivalente du circuit R-L parallèle: Représentation de Fresnel: La tension uR (t) = uL(t), aux bornes du circuit parallèle est prise comme référence pour les courants dans les deux branches. Ce qui nous permet de tracer le graphique suivant: Nous avons donc: r r r I = I R + I L et par conséquent: I 2 = I R2 + I L2 U R2 U L2 U L2 U L2 Soit : 2 = 2 = 2 + Z RL Z RL R ( Lω ) 2 D'où, - module: 1 1 1 = 2 + = YRL = 0,010346s 2 Z RL R ( L ω ) - et Z RL = 1 = 96,65Ω YRL r r déphasage de I par rapport à U R : I R ϕ Z ( I /U ) = −arctg L = − arctg = −14,86° Lω IR Z RL peut s'écrire, alors: Z RL = 96,65Ω + 14,86° v Déterminons, ensuite, l'impédance équivalente totale: Le circuit est composé d'une impédance Z RL en série avec une capacité C . Le courant leur est donc commun, dans la représentation de Fresnel ce dernier sera pris comme référence. Nous avons: r r r U = U Z + UC D'où: - Module: ( r r U 2 = U Z2 + U C2 + 2U Z U C cos U Z , U C ) Ce qui nous permet d'écrire, en simplifiant par I : ( r r 2 Z 2 = Z RL + Z C2 + 2Z RL Z C cos U Z ,U C ( ) r r 2 Soit Z = Z RL + Z C2 + 2Z RL Z C cos U Z ,U C ) r r 1 Sachant que (U Z , U C ) = 90 + ϕ Z = 104,86° et Z C = X C = = 31,85Ω Cω Z = 93,7Ω - Déphasage de U par rapport à I: On a: U sin ϕ = U Z sin ϕ Z − U C Ou encore: Z sin ϕ = Z RL sin ϕ Z − Z C Soit Z sin ϕ Z − Z C ϕ = arcsin RL Z ϕ = −4,32° : L'impédance totale est de type capacitive, la tension est en retard sur le courant. Z = 93,7Ω − 4,32° v Détermination des grandeurs partielles : v Détermination du l'intensité du courant total: I= U 220 = = 2,35 A Z 93,7 r r Le déphasage de entre I et U est ϕ = 4,32° = 0,075rd , le courant est en avance sur la tension. L'intensité du courant instantané i (t ) s'écrit: i (t ) = 2,35 2 sin( 314t + 0,075) v Détermination de la tension aux bornes de Z RL : U Z = Z RL I = 96,65 × 2,35 = 227,13V Son déphasage par rapport à I est ϕ Z = −14,86° = −0,26rd Sachant que le déphasage entre I et U est ϕ , le déphasage de U Z par rapport à U est − (ϕ + ϕ Z ) = 4,32 + 14,86 = 19,18° = 0,33rd La tension instantanée u Z (t ) s'écrit: u Z (t ) = 227,13 2 sin( 314t + 0,33) v Détermination de l'intensité du courant dans la résistance R : U Z 227,13 = = 2,27 A R 100 r r Sachant que le courant I R et la tension U Z sont en phase, l'intensité du courant instantané s'écrit: IR = i R ( t ) = 2, 27 2 sin( 314t + 0,33) v Détermination de l'intensité du courant dans l'inductance L : IL = UZ 227,13 = = 0 ,6 A Lω 376,8 r r r r Sachant que le courant I L est en quadrature de phase retard sur U Z et I R , le déphasage de I L par rapport à r U est: − 90° − (ϕ + ϕ Z ) = −90 − ( −14,86 − 4,32) = −90 + 19,18 = −70,82° = −1,24rd L'intensité du courant instantané i L (t ) s'écrit: i L (t ) = 0,6 2 sin( 314t − 1,24) v Détermination de la tension aux bornes de C: UC = I 2,35 = = 74,84V Cω 100e − 6 × 314 r r Sachant que la tension U C est en quadrature de phase arrière sur le courant I , son déphasage par rapport r à U est:ϕ − 90° = 4,32 − 90 = −86,68° = −1,5rd La tension instantanée u C (t ) s'écrit: u C (t ) = 74,84 2 sin( 314t − 1,5) 2- Méthode complexe: v Détermination de l'impédance complexe Z RL : jRL ω j 37680 37680e j 90 = = = 96,66e j (90−75,13) = 96,66e j14,87 = 96,66(cos 14,87 + j sin 14,87 ) j 75,13 R + jLω 100 + j 376,8 389,8e = 93,42 + j 24,8 Z RL = v Détermination de l'impédance complexe totale Z : Z= 1 + Z RL = − j 31,84 + 93, 42 + j 24,8 = 93,42 − j 7,04 = 93,68e − j 4,3 jCω Z = 93,7e − j 4, 3° v Détermination des grandeurs partielles complexes : Les intensités et les tensions seront déterminées par rapport à la tension totale U . On a alors: U = Ue j 0 = 220e j0 o Détermination du courant total: I = U 220 j 4 ,3 ° = = 2,35e − j 4 , 3° Z 93,7e I = 2,35e j 4, 3° i (t ) = 2,35 2 sin( 314t + 0,075) o Détermination de la tension u Z (t ) : U Z = Z RL .I = 96,66e j14,87 .2,35e j4, 3 = 227,15e j19,17° U Z = 227,15e j19,17° u Z (t) = 227,15 sin( 314t + 0,33) o Détermination de l'intensité I L : UZ UZ 227,15e j19,17 IL = = = = 0,6e j(19,17−90) = 0,6e − j70, 83° j 90 ° j 90 jLω Lωe 376,8e I L = 0,6e − j70, 83 i L (t ) = 0,6 2 sin( 314t − 1,24) o Détermination de l'intensité I R : U Z 227,15e j19,17 IR = = = 2,27 e j19,17° R 100 I R = 2,27 e j19,17 i R ( t ) = 2, 27 2 sin( 314t + 0,33) o Déterminatio n de la tension U C : UC = I 2,35e j 4, 3 = = 74,84e j( 4, 3+90) = 74,84e j94,3° jCω 0,0314e − j90 U C = 74,84e j 94,3° u C (t ) = 74,84 2 sin( 314t + 1,65) B.N: Prière de signaler toute erreur éventuelle.
