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Exercice corrigé en régime sinusoïdal monophasé
On demande d’établir les expressions des intensités du courant dans chaque branche et des tensions aux bornes de chaque
dipôle, par rapport à la tension d’alimentation U, dans le cas du circuit ci-dessous.
On donne : u(t) =220 2 sin( 314 t)
Correction
1- Méthode vectorielle:
Sachant que u(t) =220 2 sin( 314 t) , on peut déduire ce qui suit:
o U = 220V : tension efficace;
o ω = 314rd / s , soit f = 50 Hz ;
o Le déphasage à l'origine est nul.
v Déterminons, d'abord, l'impédance équivalente du circuit R-L parallèle:
Représentation de Fresnel:
La tension uR (t) = uL(t), aux bornes du circuit parallèle est prise comme référence pour les courants
dans les deux branches.
Ce qui nous permet de tracer le graphique suivant:
Nous avons donc:
r r
r
I = I R + I L et par conséquent: I 2 = I R2 + I L2
U R2
U L2 U L2
U L2
Soit : 2 = 2 = 2 +
Z RL Z RL R
( Lω ) 2
D'où,
-
module:
 1
1
1 
=  2 +
 = YRL = 0,010346s
2 
Z RL
R
(
L
ω
)


-
et Z RL =
1
= 96,65Ω
YRL
r
r
déphasage de I par rapport à U R :
I 
 R 
ϕ Z ( I /U ) = −arctg L  = − arctg
 = −14,86°
 Lω 
 IR 
Z RL peut s'écrire, alors:
Z RL = 96,65Ω + 14,86°
v Déterminons, ensuite, l'impédance équivalente totale:
Le circuit est composé d'une impédance Z RL en série avec une capacité C . Le courant leur est donc
commun, dans la représentation de Fresnel ce dernier sera pris comme référence.
Nous avons:
r r
r
U = U Z + UC
D'où:
- Module:
(
r r
U 2 = U Z2 + U C2 + 2U Z U C cos U Z , U C
)
Ce qui nous permet d'écrire, en simplifiant par I :
(
r r
2
Z 2 = Z RL
+ Z C2 + 2Z RL Z C cos U Z ,U C
(
)
r r
2
Soit Z = Z RL
+ Z C2 + 2Z RL Z C cos U Z ,U C
)
r r
1
Sachant que (U Z , U C ) = 90 + ϕ Z = 104,86° et Z C = X C =
= 31,85Ω
Cω
Z = 93,7Ω
-
Déphasage de U par rapport à I:
On a:
U sin ϕ = U Z sin ϕ Z − U C
Ou encore:
Z sin ϕ = Z RL sin ϕ Z − Z C
Soit
 Z sin ϕ Z − Z C 
ϕ = arcsin  RL

Z


ϕ = −4,32° : L'impédance totale est de type capacitive, la tension est en retard sur le courant.
Z = 93,7Ω − 4,32°
v Détermination des grandeurs partielles :
v Détermination du l'intensité du courant total:
I=
U 220
=
= 2,35 A
Z 93,7
r r
Le déphasage de entre I et U est ϕ = 4,32° = 0,075rd , le courant est en avance sur la tension.
L'intensité du courant instantané i (t ) s'écrit:
i (t ) = 2,35 2 sin( 314t + 0,075)
v Détermination de la tension aux bornes de Z RL :
U Z = Z RL I = 96,65 × 2,35 = 227,13V
Son déphasage par rapport à I est ϕ Z = −14,86° = −0,26rd
Sachant que le déphasage entre I et U est ϕ , le déphasage de U Z par rapport à U est
− (ϕ + ϕ Z ) = 4,32 + 14,86 = 19,18° = 0,33rd
La tension instantanée u Z (t ) s'écrit:
u Z (t ) = 227,13 2 sin( 314t + 0,33)
v Détermination de l'intensité du courant dans la résistance R :
U Z 227,13
=
= 2,27 A
R
100
r
r
Sachant que le courant I R et la tension U Z sont en phase, l'intensité du courant instantané s'écrit:
IR =
i R ( t ) = 2, 27 2 sin( 314t + 0,33)
v Détermination de l'intensité du courant dans l'inductance L :
IL =
UZ
227,13
=
= 0 ,6 A
Lω
376,8
r
r
r
r
Sachant que le courant I L est en quadrature de phase retard sur U Z et I R , le déphasage de I L par rapport à
r
U est:
− 90° − (ϕ + ϕ Z ) = −90 − ( −14,86 − 4,32) = −90 + 19,18 = −70,82° = −1,24rd
L'intensité du courant instantané i L (t ) s'écrit:
i L (t ) = 0,6 2 sin( 314t − 1,24)
v Détermination de la tension aux bornes de C:
UC =
I
2,35
=
= 74,84V
Cω 100e − 6 × 314
r
r
Sachant que la tension U C est en quadrature de phase arrière sur le courant I , son déphasage par rapport
r
à U est:ϕ − 90° = 4,32 − 90 = −86,68° = −1,5rd
La tension instantanée u C (t ) s'écrit:
u C (t ) = 74,84 2 sin( 314t − 1,5)
2- Méthode complexe:
v Détermination de l'impédance complexe Z RL :
jRL ω
j 37680
37680e j 90
=
=
= 96,66e j (90−75,13) = 96,66e j14,87 = 96,66(cos 14,87 + j sin 14,87 )
j 75,13
R + jLω 100 + j 376,8 389,8e
= 93,42 + j 24,8
Z RL =
v Détermination de l'impédance complexe totale Z :
Z=
1
+ Z RL = − j 31,84 + 93, 42 + j 24,8 = 93,42 − j 7,04 = 93,68e − j 4,3
jCω
Z = 93,7e − j 4, 3°
v Détermination des grandeurs partielles complexes :
Les intensités et les tensions seront déterminées par rapport à la tension totale U .
On a alors:
U = Ue j 0 = 220e j0
o Détermination du courant total:
I =
U
220
j 4 ,3 °
=
= 2,35e
− j 4 , 3°
Z 93,7e
I = 2,35e j 4, 3°
i (t ) = 2,35 2 sin( 314t + 0,075)
o Détermination de la tension u Z (t ) :
U Z = Z RL .I = 96,66e j14,87 .2,35e j4, 3 = 227,15e j19,17°
U Z = 227,15e j19,17°
u Z (t) = 227,15 sin( 314t + 0,33)
o Détermination de l'intensité I L :
UZ
UZ
227,15e j19,17
IL =
=
=
= 0,6e j(19,17−90) = 0,6e − j70, 83°
j 90 °
j 90
jLω Lωe
376,8e
I L = 0,6e − j70, 83
i L (t ) = 0,6 2 sin( 314t − 1,24)
o Détermination de l'intensité I R :
U Z 227,15e j19,17
IR =
=
= 2,27 e j19,17°
R
100
I R = 2,27 e j19,17
i R ( t ) = 2, 27 2 sin( 314t + 0,33)
o Déterminatio n de la tension U C :
UC =
I
2,35e j 4, 3
=
= 74,84e j( 4, 3+90) = 74,84e j94,3°
jCω 0,0314e − j90
U C = 74,84e j 94,3°
u C (t ) = 74,84 2 sin( 314t + 1,65)
B.N: Prière de signaler toute erreur éventuelle.
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