Telechargé par awaloumagagi

2.Champlectrostatique

publicité
2 Champ électrostatique
.
Exercice 5
ponctuelles
∗
Champ électrique créé par deux charges
―
On considère deux charges ponctuelles q' et –q' placées sur l'axe des x,
respectivement à l'origine O(0,0) et au point A de cordonnées (4,0) m (voir
la figure E5).
1. Déterminer le champ électrique au point M de coordonnées (0,3) m.
2. Déterminer la force électrostatique exercée sur une charge q placée en
M.
On suppose q > 0, q' > 0 et q >> q' de façon à négliger l'interaction entre les
charges q'.
Applications numériques : q' = 10-8 C; q = 10-6 C.
y
M(0,3)
+ q'
j
− q'
O(0,0)
i
A(4,0)
x
Fig. E5
Réponses :
(
1. E M = 2,88 i + 7,84 j
)
a. une grandeur E M =
V ⋅ m −1  ; on en déduit que le champ électrique E M a :
2
( 2,88 ) + ( 7,84 )
2
= 8,35 V .m −1 
 7,84 
b. et fait un angle φ = arctg 
 = 69,83° avec la partie positive de l'axe des x.
 2,88 
(
2. FM = q E M = 2,88 i + 7,84 j
)
[ µ N ] dans la même direction que E .
2. Champ électrostatique
19
Exercice 6 ∗ ― Champ électrique créé par un système de charges
quadratiques
On dispose des charges ponctuelles Q1 = Q2 = Q, et Q3 = Q4 = −2Q, aux
sommets d'un carré de côté a.
Déterminer le champ électrique au centre O du carré.
Application numérique : Q = 1,6.10-9 C; a = 4 2 m.
Solution :
La figure E6 montre les vecteurs champs électrostatiques créés par chacune des quatre
charges.
y
Q3 = −2Q
Q2 = Q
u3
u2
E3
E
E1
E2
a
j
i
x
E4
u4
u1
Q4 = −2Q
Q1 = Q
Fig. E6
On applique le principe de superposition pour le champ électrostatique:
4
E = ∑ Ei
i =1
Les champs électrostatiques s'écrivent respectivement:
1 2Q
1 2Q
E1 =
u1 =
(− cosθ i + sinθ j )
2
4πε 0 a
4πε 0 a 2
1 2Q
1 2Q
E2 =
u2 =
(− cosθ i − sinθ j )
2
4πε 0 a
4πε 0 a 2
1 4Q
1 4Q
(cosθ i − sinθ j )
E3 = −
u3 = −
2
4πε 0 a
4πε 0 a 2
1 4Q
1 4Q
E4 = −
u4 = −
(cosθ i + sinθ j )
2
4πε 0 a
4πε 0 a 2
Le champ électrostatique total au centre O est donc:
E (O ) = E1 + E2 + E3 + E 4 = −
Où
θ=
π
4
1 12Q
cosθ i
4πε 0 a 2
2
π 
⇒ cos θ = cos   =
4 2
20
Exercices d'électrostatique
Finalement, on obtient: E (O ) = − 1 3 2 Q i
2πε 0 a 2
Application numérique : Q = +1,6 . 10-9 C ; a = 4 2 m.
E (O ) = −
1 3 2 ⋅1,6 ⋅10 −9
i ⇒
2πε 0
32
V ⋅ m −1 
E (O ) = −3,82 i
L'analyse des symétries permet de trouver l'orientation du champ électrique. En effet, l'axe
Oy étant un axe d'antisymétrie, le champ électrique total est perpendiculaire à l'axe Oy.
Exercice 7 ∗∗∗ ― Champ électrique créé par une tige chargée
uniformément
Une tige métallique de longueur l porte une charge Q répartie
uniformément avec la densité de charges λ.
1. Déterminer le champ électrostatique en un point O situé sur l'axe de la
tige à une distance r d'une des extrémités (Fig. E7).
y
λ
O
x
r
l
Fig. E7
2. Un électron se déplaçant d'une distance d le long d'une ligne de champ
d'un point A à un point B verra sa vitesse changer de vA à vB. On
considèrera que le point O se trouve loin du fil.
Déterminer la densité linéique de charges du fil.
Application numérique : l = 10 cm ; rA = 100 cm ; rB = 104 cm ;
vA = 2.105 m.s-1; vB = 3.106 m.s-1; e = 1,6.10-19 C; mp = 9,1.10-31 kg.
Solution :
1. On divise la tige de longueur l et de charge Q, en éléments de longueur dl et de charge dQ
(Fig. E7.1). Chaque élément dl de la tige porte une charge dQ = λ dl = λ dx.
y
dE
j
x
O i
dx
P
r
x
l
Fig. E7.1
λ
2. Champ électrostatique
21
Le champ électrostatique dE créé par la charge élémentaire dQ = λ dx s’exprime:
dE = −
1
λ dx
i =−
4πε 0 (P O )
2
1
λ
4πε 0 ( x )
2
dx i
Pour déterminer le champ électrique total créé par la tige chargée, on applique le principe de
superposition qui consiste à faire la sommation (intégration de x = r à x =r+l) de tous les
champs électriques élémentaires créés par les charges élémentaires dQ réparties sur la
longueur l de la tige.
Le champ électrique résultant créé par tous les éléments de la tige qui sont à des distances
différentes de O, s’obtient par intégration de x = r à x = r+l de l'expression:
E =−
Donc:
E=−
1
4π ε0
l +r
λ
∫
r
l +r
1
1 
 1
1
i =−
λ −  i ⇒ E = −
λ −
i
2
4π ε 0  x r
4 π ε 0  r l + r 
(x )
dx
1
λl
i
4 π ε 0 r (l + r )
1
2. Lorsque la tige est loin du point O (r >> l), le champ électrique qu'elle crée au point O est
donné par:
1 λl
1 Q
E=−
i =−
i
2
4π ε 0 r
4π ε 0 r 2
Quand r est très grand devant l, la tige électrisée est équivalente à une charge ponctuelle
Q = λ l.
Si l'électron se trouve en A où règne le champ électrique E , il va être soumis à la force
électrostatique :
1 eλ l
F = −eE =
i
4π ε 0 r 2
Au cours d'un déplacement élémentaire dr du proton, la force électrostatique effectue un
travail élémentaire dW donné par:
1 eλ l
eλ l dr
dW = F .dr = −eE.dr =
i .(dr i ) = +
2
4π ε 0 r
4π ε 0 r 2
Au cours du déplacement du proton de A vers B, le travail effectué est donné par:
B
W A→ B
rB
eλ l dr eλ l
= dW = +
=
4π ε 0 r 2 4π ε 0
∫
∫
A
rA
rB
eλ l
 1
− r  = 4π ε
r
0
A
1 1
r − r 
 A
B 
 rB − rA 


 rA rB 
D'après le théorème de l'énergie cinétique, on a:
On trouve : W A→ B = eλ l
4π ε 0
Travail de la force électrostatique = variation de l'énergie cinétique
 rB − rA  1

 = me (v B2 − v A2 )
r
r
 A B  2
On en déduit la densité linéique de charges λ :
Donc:
W A→ B =
eλ l
4π ε 0
22
Exercices d'électrostatique
λ=
2πε 0 me (v B2 − v A2 )  rA rB 


el
 rB − rA 
Application numérique: l = 10 cm; rA = 100 cm; rB = 104 cm; vA = 2.105 m.s-1;
vB = 3.106 m.s-1; e=1,6.10-19 C; me=9,1.10-31 kg.
λ=
(
2
9
−19
2 ⋅ 9,1⋅10−31 ( 3 ⋅106 ) − ( 2 ⋅105 )
9 ⋅10 ⋅1, 6 ⋅10
)  1⋅1, 04 
 1, 04 − 1 


⋅ 0,1
Finalement, on trouve : λ = 2, 44 ⋅ 10−6
2
C .m −1 
≅ 3
 µ C .m −1 
Exercice 8 ∗∗ ― Champ électrique créé par un fil uniformément
chargé infiniment long
Un fil métallique infiniment long est chargé uniformément avec la densité
de charges λ.
1. Déterminer le champ électrostatique en un point A situé sur la
médiatrice du fil à une distance r de son milieu O (Fig. E8).
2. Une charge électrique positive q se trouve au point A. Sous l'action du
champ électrique créé par le fil métallique chargé, elle se déplace d'une
distance d = AB (Fig. E8); un travail W s'effectue au cours de ce
déplacement.
Déterminer la densité linéique de charges du fil.
Application numérique : q = 3.10-9 C; OA= rA = 2 cm; OB = rB = 6 cm ;
W = 10-5 J.
y
+∞
+∞
λ
q
O
A
B
x
d
-∞
-∞
Fig. E8
Solution :
1. On se propose de trouver le champ électrostatique créé en un point M par un filament
rectiligne infiniment long, portant une charge λ par unité de longueur (Fig. E8.1).
2. Champ électrostatique
23
Pour cela, on divise le filament en petits segments de longueur dz portant chacun une charge
dq = λ dz .
On exprime le champ électrostatique dE 1 créé par la charge élémentaire dq1 = λ dz , située
en P1, en un point M tel que OM = r ,
1
λ dz
1
λ dz
dE 1 =
u =
cos θ u r + sin θ k
2
2 1
4πε 0 r + z
4πε 0 r 2 + z 2
(
)
Le champ électrostatique dE 2 créé en M par la charge élémentaire dq 2 = λ dz , située en P2
(symétrique de P1 par rapport à O), s’obtient de la même façon:
dE2 =
λ dz
λ dz
1
u2 =
cosθ u r − sin θ k
2
2
4πε 0 r + z
4πε 0 r + z 2
1
(
2
)
Le champ électrostatique dE créé en M par la paire de charges élémentaires (dq1, dq2) a pour
expression:
1 2λ dz
(cos θ u r ) = dE r u r
dE = dE 1 + dE 2 =
4πε 0 r 2 + z 2
z
+∞
+∞
P2
u2
dE1
k
z
dE
θ
ur
O
q
r
P1
A
B
x
dE2
u1
-∞
-∞
Fig. E8.1
avec:
dE r =
λ
dz
cosθ
2
2πε 0 r + z 2
En appliquant le principe de superposition, le champ électrostatique résultant au point M,
s’obtient en intégrant cette expression de θ = 0 à θ = π/2.
π
Er =
Comme:
λ 2 dz
cosθ
2πε 0 ∫0 r 2 + z 2
cos θ =
r2
r2 +z 2
24
alors:
Exercices d'électrostatique
r2 + z2 =
r2
cos 2 θ
Par ailleurs:
z
r dθ
tgθ = , et dz =
r
cos 2 θ
En substituant r 2 + z 2 et dz par leurs expressions respectives dans celle de Er, on obtient:
π
D’où:
π
λ 2
λ
[sin θ ] 02 = λ
Er =
cosθ dθ =
∫
2πε 0 r 0
2πε 0 r
2πε 0 r
λ
E = E r ur =
ur
2π ε 0 r
2. La charge électrique q placée en A où règne le champ électrique E , va être soumise à la
force électrostatique:
λq
F = qE =
ur
2π ε 0 r
Au cours d'un déplacement élémentaire dr de la charge électrique q, la force électrostatique
effectue un travail élémentaire dW donné par:
dW = F .dr = qE.dr =
λq
λ q dr
u r . dr u r =
2π ε 0 r
2π ε 0 r
Au cours du déplacement de la charge q de A vers B, le travail effectué est donné par:
B
rB
W A→ B = ∫ dW = ∫
A
rA
λ q dr
λq
[ln r ]rr = λ q ln rB
=
2π ε 0 r 2π ε 0
2π ε 0 rA
B
A
On en déduit la densité linéique de charges λ:
λ=
2πε 0 W
r
q ln B
rA
Application numérique : q = 3.10-9 C; OA = rA = 2 cm; OB = rB = 6 cm; W = 10-5 J.
2
1
λ=
⋅
⋅10 −5
9
−9
9 ⋅10 ⋅ 3 ⋅10 ln 3
λ = 6, 74 ⋅10−7 C ⋅ m −1 
Exercice 9 ∗∗∗ ― Champ électrique créé par des distributions
surfaciques de charges non uniformes
A. On électrise par frottement un disque circulaire en ébonite qui tourne à
une vitesse constante dans un plan horizontal. De cette façon, la densité
surfacique de charges devient proportionnelle à la distance r du centre du
disque ( σ = A r , où A est une constante négative).
2. Champ électrostatique
25
1. Exprimer la charge totale Q de la couronne en fonction de A, R1 et R2.
Donner les dimensions de la constante A.
2. Utiliser les symétries pour déterminer l’orientation du champ
électrostatique au centre O.
3. Exprimer le champ électrostatique E en un point M situé sur l’axe de
la couronne à une distance z de O.
B. Une couronne découpée dans un carreau de verre (rayons intérieur R1
et extérieur R2) porte une charge Q distribuée avec la densité surfacique de
charges σ = σ 0 sin 2 ϕ (σ0 est une constante positive) (Fig. E9).
1. Exprimer la charge totale Q de la couronne en fonction de σ0, R1 et R2.
2. Utiliser les symétries pour déterminer l’orientation du champ
électrostatique au centre O.
3. Exprimer le champ électrostatique E en un point M situé sur l’axe de
la couronne à une distance z de O.
z
•
M
k
R1
σ
y
R2
ϕ
⋅P
x
Fig. E9
Solution :
A.1. On divise le disque de rayon R, en anneaux élémentaires de rayon intérieur r et
d’épaisseur dr. Chaque anneau porte une charge élémentaire :
dq = σ dS = σ 2π r dr
Pour déterminer la charge totale Q portée par le disque, on fait la sommation (intégration de
r = 0 à r = R) de toutes les charges élémentaires réparties sur la surface du disque.
La charge totale Q portée par le disque en ébonite s’obtient par intégration de r = 0 à r = R
de l'expression suivante, avec la valeur appropriée de σ.
26
Exercices d'électrostatique
R 2π
Q = ∫∫ σ dS = ∫ ∫ σ r dr d ϕ
0 0
S
avec:
σ =Ar
Donc:
Q = ∫∫ σ dS = ∫ Ar 2 dr ∫ d ϕ
S
R
2π
0
0
Par conséquent :
R
2π
R
Q = ∫∫ σ dS = ∫ Ar dr ∫ d ϕ ⇒
2
0
S
Finalement, on obtient: Q =
0
r3 
2π
= A   [ϕ ]0
 3 0
2
Aπ R 3
3
En utilisant l'équation aux dimensions, on obtient: [ A ] =
[Q ]
=
[Charge ]
3
3
3
Longueur
[
]
 2 π R 
Dans le Système International, les dimensions de la constante A sont:
[A ] =
Coulomb C
= 3.
mètre 3
m
A.2. La distribution est invariante dans toute rotation θ autour de l’axe z (Fig. E9.1): c’est
une symétrie axiale.
•
En tout point de l’axe Oz, le champ électrostatique E est porté par l’axe; il ne dépend
que de z.
Les plans (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie; de même, tout plan contenant l’axe Oz
est un plan de symétrie; le plan (xOy) est également un plan de symétrie. Le point O
appartient à des plans de symétries orthogonaux: c’est un centre de symétrie.
•
Le champ électrostatique E est nul au point O.
A.3. On calcule le champ électrostatique élémentaire créé par un élément de surface
uniformément chargé dS.
Cet élément de surface porte une charge élémentaire:
dQ = σ r dr d ϕ
La charge élémentaire dQ crée un champ électrostatique élémentaire dE (Fig. E9.2):
dE =
=
dQ
1 A r 2 dr d ϕ
u
=
u
4πε 0 r 2 + z 2
4πε 0 r 2 + z 2
1
Ar 2 dr d ϕ
cos θ k − sin θ v
4πε 0 r 2 + z 2
1
(
)
Finalement, on obtient:
A r 2 dr d ϕ
dE =
4πε 0 r 2 + z 2
1

z
r

k −
v
2
2
2
 r +z
r +z 2





2. Champ électrostatique
avec
et
u = cos θ k − sin θ v ;
27
z
cos θ =
; sin θ =
r2 +z 2
r
r2 +z 2
.
v = cos ϕ i + sin ϕ j
Par conséquent:
dE =

Ar 2 dr d ϕ 
z
r
k −
cos ϕ i + sin ϕ j 
 2
2
2
2
4πε 0 r + z
r2 + z 2
 r +z

1
(
)
z
×
M
θ
k
j
y
i
ϕ
dϕ
r
dr
dS
dq
x
Fig. E9.1
Les composantes radiales Ex et Ey s’annulent à cause de la symétrie de révolution autour de
l’axe des z. Le champ électrostatique résultant E a pour direction Oz.
Donc, la composante utile du champ électrostatique résultant est donnée par :
R

2π
A  2
z

2
E =
r dr ∫ d ϕ  k
3
∫

4π ε 0 R1 2
0
 (r + z 2 )2



Posons u = r2 + z2 , alors du = 2r dr. L’expression du champ électrostatique peut alors
s’écrire:
R

2π
A z  2 r 2 dr

E =
dϕ  k
3 ∫
∫

4πε 0 R1 2
 (r + z 2 )2 0



R


A z  
r
2π 
2
2
ϕ
ln
=
r
+
r
+
z
−

 [ ]0  k
2
2
4πε 0  
r
+
z
 01


(
)
)
2
2

A z  R + R +z
R
E =
ln
−
2ε 0 
z
R2 +z 2

(

k


28
Exercices d'électrostatique
2
Aπ R 3
3 Q
2
Q 3
Sachant que : σ = =
= A R , la constante A s'exprime: A =
2
S
3
2 πR3
πR
Le champ électrostatique créé par le disque se met sous la forme:
)
2
2

3Q z  R + R + z
R
E ==
−
ln
3 
4πε 0 R
z
R2 +z 2

(

k


B. Le champ électrostatique créé par une couronne découpée dans un carreau de verre (voir
Fig. E9.2) portant une charge Q distribuée avec la densité surfacique de charges σ = σ0 sin2ϕ
(σ0 est une constante positive) se calcule de la même manière que pour le disque.
Les réponses sont les suivantes:
1
B.1. Q = σ 0 π ( R 22 − R12 )
2
B.2.
voir A.2.
B.3.
E =
σ0 
z
z

−
2
2
2
4ε 0  z + R1
z + R 22


k


2Q
z
z

−
2
2
2
2
2
4πε 0 ( R 2 − R1 )  z + R1
z + R 22
=
z
• M
θ
R2
r
O k
R1
i
ϕ
j
y
v
u
dq
x
Fig. E9.2

k

Téléchargement
Explore flashcards