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2. Champ électrostatique
21
Le champ électrostatique
dE
créé par la charge élémentaire dQ =
λ
dx s’exprime:
( )
( )
idx
x
i
OP
dx
dE
2
0
2
0
4
1
4
1
πε
πε
−=−=
Pour déterminer le champ électrique total créé par la tige chargée, on applique le principe de
superposition qui consiste à faire la sommation (intégration de x = r à x =r+l) de tous les
champs électriques élémentaires créés par les charges élémentaires dQ réparties sur la
longueur l de la tige.
Le champ électrique résultant créé par tous les éléments de la tige qui sont à des distances
différentes de O, s’obtient par intégration de x = r à x = r+l de l'expression:
( )
2
0 0
1 1 1
4 4
l r
l r
r
r
dx
x
x
λ λ
π ε π ε
+
+
= − = − −
∫
⇒
0
1 1 1
4
λ
π ε
= − −
+
Donc:
( )
i
rlr
l
E
+
−=
επ
0
4
1
2.
Lorsque la tige est loin du point O (r >> l), le champ électrique qu'elle crée au point O est
donné par:
i
r
Q
i
r
l
E
2
0
2
0
4
1
4
1
επ
επ
−=−=
Quand r est très grand devant l, la tige électrisée est équivalente à une charge ponctuelle
Q =
λ
l.
Si l'électron se trouve en A où règne le champ électrique
E
, il va être soumis à la force
électrostatique :
i
r
le
EeF
2
0
4
1
επ
=−=
Au cours d'un déplacement élémentaire
du proton, la force électrostatique effectue un
travail élémentaire dW donné par:
( )
2
0
2
0
4
.
4
1
.. r
drle
idri
r
le
drEedrFdW
επ
επ
+==−==
Au cours du déplacement du proton de A vers B, le travail effectué est donné par:
−=
−=+==
∫∫
→
BA
r
r
r
r
B
A
BA
rr
le
r
le
r
drle
dWW
B
A
B
A
11
4
1
44
00
2
0
επ
λ
επ
λ
επ
λ
On trouve :
−
=
→
BA
AB
BA
rr
rr
le
W
0
4
επ
λ
D'après le théorème de l'énergie cinétique, on a:
Travail de la force électrostatique = variation de l'énergie cinétique
Donc:
( )
22
0
2
1
4
ABe
BA
AB
BA
vvm
rr
rr
le
W−=
−
=
→
επ
λ
On en déduit la densité linéique de charges
λ
: