Exercices d'électrostatique : Champ électrique et charges

2. Champ électrostatique
Exercice 5
∗
― Champ électrique créé par deux charges
ponctuelles
On considère deux charges ponctuelles q' et –q' placées sur l'axe des x,
respectivement à l'origine O(0,0) et au point A de cordonnées (4,0) m (voir
la figure E5).
1. Déterminer le champ électrique au point M de coordonnées (0,3) m.
2. Déterminer la force électrostatique exercée sur une charge q placée en
M.
On suppose q > 0, q' > 0 et q >> q' de façon à négliger l'interaction entre les
charges q'.
Applications numériques : q' = 10
-8
C; q = 10
-6
C.
y
M(0,3)
+ q'
j
− q'
O(0,0)
i
A(4,0) x
Fig. E5
Réponses :
1.
(
)
1
2,88 7,84
M
E i j V m
−
= + ⋅ ; on en déduit que le champ électrique
M
E
a :
a. une grandeur
( ) ( )
2 2
1
2,88 7,84 8,35 .
M
E V m
−
= + =
b. et fait un angle 7,84
69,83
2,88
arctg φ
= = °
  avec la partie positive de l'axe des x.
2.
(
)
[
]
2,88 7,84
M M
F q E i j N
µ = = + dans la même direction que
E
.

2. Champ électrostatique 19
Exercice 6
∗
― Champ électrique créé par un système de charges
quadratiques
On dispose des charges ponctuelles Q
1
= Q
2
= Q, et Q
3
= Q
4
= −2Q, aux
sommets d'un carré de côté a.
Déterminer le champ électrique au centre O du carré.
Application numérique : Q = 1,6.10
-9
C;
2
4
=
a
m.
Solution :
La figure E6 montre les vecteurs champs électrostatiques créés par chacune des quatre
charges.
y
Q
3
= −2Q Q
2
= Q
3
u
2
u
3
E
E
1
E j
a
2
E
i
x
4
E
4
u
1
u
Q
4
= − 2Q Q
1
= Q
Fig. E6
On applique le principe de superposition pour le champ électrostatique:
∑
=
=
4
1i
i
EE
Les champs électrostatiques s'écrivent respectivement:
( ) jsinicos
a
Q
u
a
Q
E θθ
πεπε
+−==
2
0
1
2
0
1
2
4
12
4
1
( ) jsinicos
a
Q
u
a
Q
E θθ
πεπε
−−==
2
0
2
2
0
2
2
4
12
4
1
( )
jsinicos
a
Q
u
a
Q
E
θθ
πεπε
−−=−= 2
0
3
2
0
3
4
4
14
4
1
( ) jsinicos
a
Q
u
a
Q
E
θθ
πεπε
+−=−=
2
0
4
2
0
4
4
4
14
4
1
Le champ électrostatique total au centre O est donc:
( ) icos
a
Q
EEEEOE θ
πε
2
0
4321
12
4
1
−=+++=
Où
2
cos cos
4 4 2
π π
θ θ
=⇒= =

Exercices d'électrostatique 20
Finalement, on obtient:
( ) i
a
Q
E
2
0
23
2
1
O
πε
−=
Application numérique : Q = +1,6 . 10
-9
C ;
2
4
=
a
m.
( ) i
,
OE
32
106123
2
1
9
0
−
⋅⋅
−=
πε
⇒
(
)
1
3,82E O i V m
−
= − ⋅
L'analyse des symétries permet de trouver l'orientation du champ électrique. En effet, l'axe
Oy étant un axe d'antisymétrie, le champ électrique total est perpendiculaire à l'axe Oy.
Exercice 7
∗∗∗
― Champ électrique créé par une tige chargée
uniformément
Une tige métallique de longueur l porte une charge Q répartie
uniformément avec la densité de charges λ.
1. Déterminer le champ électrostatique en un point O situé sur l'axe de la
tige à une distance r d'une des extrémités (Fig. E7).
y
λ
O x
r l
Fig. E7
2. Un électron se déplaçant d'une distance d le long d'une ligne de champ
d'un point A à un point B verra sa vitesse changer de v
A
à v
B
. On
considèrera que le point O se trouve loin du fil.
Déterminer la densité linéique de charges du fil.
Application numérique :
l = 10 cm ; r
A
= 100 cm ; r
B
= 104 cm ;
v
A
= 2.10
5
m.s
-1
; v
B
= 3.10
6
m.s
-1
; e = 1,6.10
-19
C; m
p
= 9,1.10
-31
kg .
Solution :
1. On divise la tige de longueur l et de charge Q, en éléments de longueur dl et de charge dQ
(Fig. E7.1). Chaque élément dl de la tige porte une charge dQ =
λ dl = λ dx.
y
dE
j
x dx λ
O
i
P x
r l
Fig. E7.1

2. Champ électrostatique 21
Le champ électrostatique
dE
créé par la charge élémentaire dQ = λ dx s’exprime:
( )
( )
idx
x
i
OP
dx
dE
2
0
2
0
4
1
4
1
λ
πε
λ
πε
−=−=
Pour déterminer le champ électrique total créé par la tige chargée, on applique le principe de
superposition qui consiste à faire la sommation (intégration de x = r à x =r+l) de tous les
champs électriques élémentaires créés par les charges élémentaires dQ réparties sur la
longueur l de la tige.
Le champ électrique résultant créé par tous les éléments de la tige qui sont à des distances
différentes de O, s’obtient par intégration de x = r à x = r+l de l'expression:
( )
2
0 0
1 1 1
4 4
l r
l r
r
r
dx
E i i
x
x
λ λ
π ε π ε
+
+
= − = − −
∫
⇒
0
1 1 1
4
E i
r l r
λ
π ε
= − −
+
Donc:
( )
i
rlr
l
E
+
−=
λ
επ
0
4
1
2. Lorsque la tige est loin du point O (r >> l), le champ électrique qu'elle crée au point O est
donné par:
i
r
Q
i
r
l
E
2
0
2
0
4
1
4
1
επ
λ
επ
−=−=
Quand r est très grand devant l, la tige électrisée est équivalente à une charge ponctuelle
Q =
λ l.
Si l'électron se trouve en A où règne le champ électrique
E , il va être soumis à la force
électrostatique :
i
r
le
EeF
2
0
4
1
λ
επ
=−=
Au cours d'un déplacement élémentaire
dr
du proton, la force électrostatique effectue un
travail élémentaire dW donné par:
( )
2
0
2
0
4
.
4
1
.. r
drle
idri
r
le
drEedrFdW
επ
λ
λ
επ
+==−==
Au cours du déplacement du proton de A vers B, le travail effectué est donné par:
−=
−=+==
∫∫
→
BA
r
r
r
r
B
A
BA
rr
le
r
le
r
drle
dWW
B
A
B
A
11
4
1
44
00
2
0
επ
λ
επ
λ
επ
λ
On trouve : 
−
=
→
BA
AB
BA
rr
rr
le
W
0
4 επ
λ
D'après le théorème de l'énergie cinétique, on a:
Travail de la force électrostatique = variation de l'énergie cinétique
Donc:
( )
22
0
2
1
4
ABe
BA
AB
BA
vvm
rr
rr
le
W−=
−
=
→
επ
λ
On en déduit la densité linéique de charges λ :

Exercices d'électrostatique 22
(
)
−
−
=
AB
BA
ABe
rr
rr
le
vvm
22
0
2 πε
λ
Application numérique : l = 10 cm; rA = 100 cm; rB = 104 cm; vA = 2.105 m.s-1;
vB = 3.106 m.s-1; e=1,6.10-19 C; me=9,1.10-31 kg.
(
)
(
)
(
)
2 2
31 6 5
9 19
2 9,1 10 3 10 2 10
1 1,04
9 10 1,6 10 0,1 1,04 1
λ
−
−
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
Finalement, on trouve :
6 1 1
2, 44 10 . 3 .C m C m λ µ
− − −
= ⋅ ≅
Exercice 8
∗∗
― Champ électrique créé par un fil uniformément
chargé infiniment long
Un fil métallique infiniment long est chargé uniformément avec la densité
de charges
λ
.
1. Déterminer le champ électrostatique en un point A situé sur la
médiatrice du fil à une distance r de son milieu O (Fig. E8).
2. Une charge électrique positive q se trouve au point A. Sous l'action du
champ électrique créé par le fil métallique chargé, elle se déplace d'une
distance d = AB (Fig. E8); un travail W s'effectue au cours de ce
déplacement.
Déterminer la densité linéique de charges du fil.
Application numérique : q = 3.10
-9
C; OA= r
A
= 2 cm; OB = r
B
= 6 cm ;
W = 10
-5
J.
y
+
∞ + ∞
λ q
O A B x
d
- ∞ - ∞
Fig. E8
Solution :
1. On se propose de trouver le champ électrostatique créé en un point M par un filament
rectiligne infiniment long, portant une charge λ par unité de longueur (Fig. E8.1).