Serie n°2 Fonctions numériques TS2 renf

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Axlou Toth
Pour l’InnovatIon
SérIe D’exercIceS n°2
Cours D’excellence
D’encaDrement
scientifique
Encadreurs :
M. Diagne & M. Diallo & M.
SARR
Niveau : TERMINALE S2
Thème : Fonctions
Numériques
Exercice 1 :
Préciser l’ensemble de dérivation et calculer la dérivée de la fonction 𝑓 dans le cas où 𝑓 est l’une
des fonctions suivantes :
𝑥+3
1) 𝑥 ↦ 4𝑥 2 −
3) 𝑥 ↦
5) 𝑥 ↦
3𝑥 4 −8𝑥
4
2
3
4
+ 3 cos 𝑥 2) 𝑥 ↦ − 𝑥 + 𝑥 2 − 5√𝑥
− 3 sin 𝑥 + 17 4) 𝑥 ↦ (3𝑥 2 − 𝑥 + 2)(3𝑥 − 1)
2𝑥 2 −5
6) 𝑥 ↦
3𝑥+1
1
√𝑥
Exercice 2 :
Préciser l’ensemble de dérivation et calculer la dérivée de la fonction 𝑓 dans le cas où 𝑓 est l’une
des fonctions suivantes :
1) 𝑥 ↦ (3𝑥 2 + 𝑥 − 1)2 2) 𝑥 ↦ 5√𝑥 2 − 1 3) 𝑥 ↦
4(3𝑥 4 +5𝑥)
5
4
4
4) 𝑥 ↦ 3(2𝑥+1)5
2𝑥−1 3
5) 𝑥 ↦ ( 𝑥−5 ) 6) 𝑥 ↦ 𝑥√2 + 3𝑥 2 7) 𝑥 ↦ 4 cos(3𝑥) 8) 𝑥 ↦ 4(cos(𝑥))3
3
2
9) 𝑥 ↦ (sin (𝑥))
Exercice 3 : Utilisation de la méthode de Dichotomie et Balayage
Soit f: x ⟼ x 3 − 12x − 8 définie sur ℝ
1) Déterminer la fonction dérivée et étudier son signe sur ℝ
2) Dresser le tableau de variations de la fonction(préciser les limites
aux bornes)
3) Préciser les extréma et les tangentes horizontales éventuels
Donner l′ équation de la tangente à sa courbe au point d′ abcisse 0
4) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = −21 admet une unique solution 𝛼 sur l’intervalle [−2; 2].
5) Déterminer, sans calculatrice, un encadrement de 𝛼 entre deux entiers consécutifs.
6) Déterminer, avec calculatrice, un encadrement de 𝛼 à 10−3 près.
Exercice 4 :
1) On donne le tableau de variations d’une fonction continue 𝑓 définie sur [−4; 7].
1
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𝑥
−4
−2
0
3
5
7
5
𝑓
-1
0
0
-2
−3
a) Déterminer les extremums de 𝑓 sur les intervalles : [3; 7]; [−4; 3] 𝑒𝑡 [−2; 7]
b) Déterminer le signe de 𝑓(𝑥), 𝑖. 𝑒 préciser pour quelles valeurs de 𝑥, 𝑓(𝑥) est positif où
négatif. Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥).
2) On donne le tableau de variations d’une fonction continue 𝑔 définie sur ℝ.
𝑥
−∞
+∞
−5
−3
2
1
4
+∞
𝑔
4
0
0
−∞
a) Déterminer les extrémums éventuels de 𝑔 sur [−5; 4] 𝑒𝑡 [−5; +∞[
b) Déterminer le signe de 𝑔(𝑥) et dresser son tableau de signes.
Exercice 5 :
Soit 𝑓: [−1; 4] → ℝ une fonction continue. On suppose connu le tableau de variations de 𝑓.
Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 dans [−1; 4] et que 𝛼 𝜖 [1; 4].
Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥) en fonction de 𝛼.
𝑥
−1
0
1
−1
4
3
𝑓
−5
−2
Exercice 6 :
Soit f définie sur ℝ par: f(x) = x 3 − 12x − 8. On donne ci − dessous le
tableau de variations et on admet que l′ équation f(x) = 0 admet trois
solutions sur ℝ: α ≃ −3,1 β ≃ −0,7 et γ ≃ 3,8
2
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1) Déterminer par lecture du tableau le signe de f(x) sur ℝ
x3 + x2
Soit g la fonction définie sur ℝ\{−2; 2} par g(x) = 2
x −4
2) Calculer g ′ (x) et l′ exprimer en fonction de f(x)
3) Déterminer le signe de g(x) et le tableau de variation de g sur
ℝ\{−2; 2}
Exercice 7 :
La courbe 𝐶𝑓 ci-contre est celle d’une fonction 𝑓
définie et continue sur ℝ\{2}.
On sait que les droites d’équations
𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑥 = 2 𝑒𝑡 𝑦 = −1 sont des asymptotes à
la courbe 𝐶𝑓 .
1. Par une lecture graphique, déterminer :
a.
b.
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑚
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) , 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑥→−∞ 𝑓(𝑥)+1
𝑥→−∞
𝑥→+∞
.
𝑥
, 𝑙𝑖𝑚
𝑓(𝑥)
1
𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)−𝑥
2𝑥+1
𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑚
𝑓∘𝑓(𝑥)
𝑥→2 𝑓(𝑥)
c. 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑓( 𝑥−1 ).
𝑥→2
2. Soient 𝑔: 𝑥 →
𝑥→+∞
1
√𝑥
𝑒𝑡 ℎ = 𝑔 ∘ 𝑓.
a. Déterminer l’ensemble de définition de ℎ.
b. Montrer que la fonction ℎ est prolongeable par continuité en 2.
Exercice 8 :
Voici la courbe représentative d’une fonction 𝑓 définie sur ℝ \{−2; 2; 3}.
3
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1) Par lecture graphique, donner les limites de 𝑓 aux bornes de son ensemble de définition.
2) On admet que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 possède une unique solution 𝛼 avec
−2 < 𝛼 < −1,8 sur ℝ \{−2; 2; 3}.
1
a) Déterminer l’ensemble définition de 𝑓
1
b) Déterminer, justifiant, la limite de 𝑓 𝑒𝑛 𝛼, 𝑒𝑛 2, 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑒𝑛 + ∞.
3) Dessiner dans un repère orthonormé la courbe de la fonction définie 𝑔 par
1
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥)−1.
Exercice 9 :
Soit la fonction f définie par f(x) =
2x2 −3x+3
x2 −2x+2
1. Déterminer Df puis déterminer les limites au niveau de ses bornes. Préciser les branches infinies
de Cf .
2. Dresser le tableau de variation de f puis tracer Cf .
Exercice 10 :
Soit la fonction f définie par {
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏
𝒇(𝒙) =
𝟐−𝟐𝒙
𝒙+𝟏
𝒔𝒊
𝒔𝒊
𝒙<𝟏
𝒙≥𝟏
1. Démontrer que f est continue en 1.
2. Etudier la dérivabilité de f en 1
3. Déterminer une équation de la demi-tangente à gauche et une équation de la demi-tangente
à droite à la courbe représentative de f en 1.
4. Etudier les branches infinies de 𝑪𝒇 .
5. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation.
6. Tracer 𝑪𝒇 .
Exercice 11 :
Soit la fonction f définie sur [3, +∞[ par : f(x) = x 2 √x − 3
1) Etudier les variations de f.
4
2) Montrer que l’équation √x − 3 = x2 admet une unique solution réelle α dans ]3, +∞[
3) Montrer 3 < α < 4.
4
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Exercice 11 :
Soit f une fonction définie sur [1, +∞[ par :f(x) = x 2 − 2x + 5
1) Montrer que f établit une bijection de [1, +∞[ vers [4, +∞[.
2) Montrer que f −1 est dérivable sur ]4, +∞[. Préciser (f −1 )′ sur ]4, +∞[
3) Etudier la dérivabilité de f −1 au point 4.
Exercice 12 :
1
Soit f la fonction numérique définie par : f(x) = 2 (x + 4 + √x 2 + 4)
1) Etudier les variations de f.
2) a) Montrer que f est une bijection de IR sur un ensemble J que l’on précisera.
b) Montrer que la bijection réciproque f −1 de f est dérivable sur J.
c) Calculer (f −1 )′ (x) pour tout x de J.
Problème 1 :
Soit f la fonction définie par :
x+1
x. √|
f(x) = {
| si x < 0
.
x3 −x2
si x ≥ 0
x2 +1
1) Montrer que f est définie sur ℝ. Ecrire la fonction sans barres de valeur absolue.
2) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 et – 1.
3) Etudier les branches infinies et la position de la courbe de f par rapport aux éventuelles
asymptotes.
4) Calculer f′ sur les intervalles ou f est dérivable.
5) Soit g(x) = x 3 + 3x – 2.
a) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique a sur ℝ puis donner un
encadrement de a à 10−2 prés.
b) En déduire le signe de g sur ℝ.
xg(x)
6) Montrer que f′(x) = (x2 +1)2 sur ]0 ; + ∞] puis établir le tableau de variations de f sur ℝ.
x
7) Tracer (Cf).
8) Montrer que la restriction f1 de f à ]− ∞ ; −1] admet une bijection réciproque dont on précisera
son ensemble de définition J.
9) f1−1 est-elle dérivable sur J ? Calculer f1(-2) puis (f1−1 )'(- 2 ).
Problème 2 :
Soit la fonction définie par : 𝑓(𝑥) =
2𝑥²−1
√𝑥²−1
Partie A :
1. Déterminer le domaine de définition de 𝑓 . On le notera Df.
2. Montrer que, pour tout 𝑥 ∈ Df on a 𝑓(𝑥) > 0.
3. Etudier la parité de 𝑓. Que peut-on conclure pour la courbe de 𝑓 dans un repère orthonormé.
4. Calculer 𝑓’(𝑥) puis étudier son signe pour 𝑥 > 1. En déduire le tableau de variation de 𝑓
pour 𝑥 > 1. Construire la courbe.
Partie B :
La fonction numérique g est définie par : 𝑔(𝑥) = 𝑥√𝑥² − 1
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Donner le domaine de définition de 𝑔.
1. Etudier la parité de 𝑔.
2. Trouver les coordonnées des points d’’intersections de (𝐷) d’’équation : 𝑦 = 𝑥 et de la
courbe de 𝑔.
3. Calculer 𝑔’(𝑥) et exprimer 𝑔’(𝑥) en fonction de 𝑓 ‘(𝑥) de la partie 𝐴.
4. Soit h la fonction définie sur ]1, + ∞[ par ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥).
a- Donner le tableau de variation de ℎ.
b- Montrer que h est une bijection de ]1, + ∞[ sur un intervalle que l’on déterminera.
c- Tracer la courbe représentative de ℎ.
d- Tracer la courbe représentative de ℎ_1 dans un même repère.
Problème 3 :
Partie A :
Soit g la fonction définie par g(x) = 2x 3 + 3x 2 + 1
1. Etudier les variations de g.
2. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α et que α ∈ [−1,68; −1,67]
3. En déduire le signe de g(x).
Partie B :
Soit f la fonction définie par :
−x + √x 2 + x si x ≥ 0
f(x) = { x3 +x
si x < 0
x+1
1. Déterminer Df puis les limites aux bornes.
2. Etudier les branches infinies de (Cf )
3. a) Etudier la continuité de f en 0.
b) Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter les résultats
4. a) Calculer f′(x) sur ]0; +∞[ puis étudier son signe.
b) Calculer f ′ (x) sur ] − ∞; 0[ puis étudier son signe (on pourra exprimer f′(x) en fonction de
g(x)
c) Dresser le tableau de variation de f
d) Montrer que f(α) = 1 + 3α².
PARTIE C :
Soit h la restruction de f sur I =]0; +∞[
1. Montrer que ℎ réalise une bijection de 𝐼 vers 𝐽 à préciser
2. a) ℎ−1 est elle dérivable sur 𝐽.
b) Calculer ℎ(3) puis calculer (ℎ−1 )′ (−3 + 4√3)
3. Tracer soigneusement (𝐶𝑓 ) 𝑒𝑡(𝐶ℎ−1 ).
Problème 4 :
Partie A.
Soit la fonction 𝑔 définie sur ℝ par : 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 + 8.
1) Déterminer les limites de 𝑔 en +∞ et en −∞.
2) a) Calculer la dérivée 𝑔′ (𝑥). En déduire le tableau de variation de 𝑔.
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b) Montrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 dont on déterminera la
valeur arrondie à 10−1 près. Donner alors le tableau de signe de 𝑔(𝑥).
Partie B.
𝑥 3 −4
Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1 et 𝐶𝑓 sa courbe représentative dans un repère
orthonormal, unité graphique 1 cm.
𝑎𝑥+𝑏
1) a) Déterminer les réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 2 +1 ∙
b) En déduire les limites de 𝑓 en +∞ et en −∞.
c) Montrer que la droite Δ d’équation 𝑦 = 𝑥 est asymptote oblique à la courbe 𝐶𝑓 .
Etudier la position relative de 𝐶𝑓 et Δ. Préciser les coordonnées de leur point d’intersection A.
𝑥𝑔(𝑥)
2) a) Calculer la dérivée 𝑓 ′ (𝑥). Montrer que 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥 2 +1)2 ∙
b) En déduire le tableau de variation complet de 𝑓.
3) a) Déterminer les abscisses des points 𝐵 et 𝐵 ′ où la courbe 𝐶𝑓 admet une tangente parallèle à Δ.
En donner la valeur arrondie au dixième.
3
b) En utilisant la partie A question 2) b), montrer que 𝑓(𝛼) = 2 𝛼. En déduire une valeur
approchée de 𝑓(𝛼).
4) Dans le repère préalablement défini, tracer la courbe 𝐶𝑓 , la droite Δ, placer les points 𝐴, 𝐵 et 𝐵 ′ ,
construire les tangentes connues.
Problème 5 :
Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ − {1} par : {
𝑓(𝑥) = 𝑥 + √|𝑥 2 − 𝑥| 𝑠𝑖 𝑥 > 0
𝑥3
𝑓(𝑥) = −𝑥−1
𝑠𝑖 x ≤ 0
On note (𝐶𝑓 ) sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
Partie A :
1. Justifier que 𝑓 est bien définie sur ℝ − {1}.
2. Ecrire 𝑓 (𝑥) sans le symbole de la valeur absolue.
3. a) Etudier la continuité de 𝑓 en 0.
b) Etudier la dérivabilité de 𝑓 en 0 et en 1. Interpréter ces résultats.
4. Etudier les limites de 𝑓 aux bornes de 𝐷𝑓 .
1
5. a) Montrer que (𝐷) : 𝑦 = 2𝑥 − 2 est asymptote oblique à (𝐶𝑓 ) en +∞.
b) Etudier la nature de la branche infinie en −∞.
6. a) Calculer 𝑓 ′ (𝑥) sur les intervalles où 𝑓 est dérivable.
b) Résoudre sur ]0; 1[ l’inéquation : −2𝑥 + 1 + 2√−𝑥 2 + 𝑥 ≤ 0.
En déduire le signe de 𝑓 ′ (𝑥) sur ]0; 1[.
c) Etablir le tableau de variation de 𝑓 puis construire (𝐶𝑓 ).
Partie B :
Soit 𝑔 la restriction de 𝑓 à 𝐼 = ]1; +∞[.
7
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1. Montrer que 𝑔 réalise une bijection de 𝐼 vers 𝐽 à préciser.
2. Soit 𝑔−1 la réciproque de 𝑔.
3. a) 𝑔−1 est-elle dérivable sur 𝐽.
b) Dresser le tableau de variation de 𝑔−1 .
4. Calculer 𝑔(2) et (𝑔−1 )′ (2 + √2).
Problème 6 :
Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥 + √|4𝑥 2 − 1| et (𝐶) la représentation graphique de 𝑓 dans un le plan muni d’un
repère orthonormé (𝑂, 𝐼, 𝐽) ; unité 4cm.
1. Etudier la continuité de 𝑓.
1
1
2. Etudier la dérivabilité de 𝑓, en − 2 et en 2.
Calculer la dérivée de la fonction 𝑓 sur chaque intervalle où elle est dérivable.
3. Démontrer les équivalences suivantes :
1
a) √4𝑥 2 − 1 + 4𝑥 < 0 ⟺ 𝑥 ∈ ]−∞; − 2[.
1
1
a) √1 − 4𝑥 2 − 4𝑥 > 0 ⟺ 𝑥 ∈ [− 2 ; 2√5[.
b) En déduire le signe de 𝑓 ′ (𝑥).
4. a) Calculer 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) et 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥). En déduire le tableau de variation de 𝑓.
𝑥→−∞
𝑥→+∞
b) Calculer 𝑙𝑖𝑚 [𝑓(𝑥) + 𝑥] et 𝑙𝑖𝑚 [𝑓(𝑥) − 3𝑥]. En déduire que le courbe (𝐶) admet deux
𝑥→−∞
𝑥→+∞
asymptotes d’équations : 𝑦 = −𝑥 et 𝑦 = 3𝑥.
Construire (𝐶).
1
5. a) Soit ℎ la restriction de 𝑓 à ]−∞; − 2]. Démontrer que ℎ admet une fonction réciproque ℎ−1
dont on précisera l’ensemble de définition et les variations.
b) Calculer : 𝑙𝑖𝑚 [𝑥 + ℎ−1 (𝑥)] et en déduire que la représentation (𝛤) de ℎ−1 et (𝐶) ont une
𝑥→+∞
asymptote en commun. Construire (𝛤).
c) Calculer ℎ−1 (0) et déterminer une équation de la tangente à (Γ) au point A (h−10(0)).
Problème 7 :
 x  x 2  4 si x  0

Soit la fonction f définie par f x   
4  x 2 si x  0


1) Déterminer l’ensemble de définition de f
2) Ecrire f(x) sans valeur absolue
3) a) Etudier la continuité de f en 0
b) Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter les résultats.
c) Etudier la dérivabilité de f en 2. Interpréter.
4) Etudier les branches infinies en l’infini
5) Montrer qu’il existe un unique   0;2 solution de l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥. Vérifier que
 3
  1;  . Que représente graphiquement  .
 2
6) Tracer soigneusement Cf dans un repère orthonormé.
8
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7) Soit g la restriction de à 2;
a) Montrer que g admet une bijection réciproque g-1 dont on précisera son ensemble de
définition et ses variations.
b) Etudier la dérivabilité de g-1

c) Calculer g 1 
 5
d) Exprimer g-1(x)
e) Tracer Cg 1 dans le même repère
3 7
 3
8) a) Montrer que  x  1;  f  x  
7
 2
b) En déduire que f  x    
3 7
x 
7
Pensée :
« Soyez un élément de qualité. Certaines personnes ne sont pas habituées à un
environnement où l’on attend l’Excellence » Steve Jobs
9
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