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TS Annales 2011-2015 : fonctions
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Annales 2011-2015 : fonctions
E 1 .. correction Antilles 2011
Commun à tous les candidats
1. Soit fla fonction définie sur [0 ; +∞[par
f(x)=xex−1.
(a) Déterminer la limite de la fonction fen +∞ et étudier le sens de variation de f.
(b) Démontrer que l'équation f(x)=0admet une unique solution αsur l'intervalle [0 ; +∞[.
Déterminer une valeur approchée de αà10−2près.
(c) Déterminer le signe de f(x)suivant les valeurs de x.
2. On note Cla courbe représentative de la fonction exponentielle et Γcelle de la fonction loga-
rithme népérien dans le plan muni d'un repère orthonormé O;⃗ ı,⃗ ȷ.
Les courbes Cet Γsont donnée en annexe .
Soit xun nombre réel strictement positif. On note Mle point de Cd'abscisse xet Nle point
de Γd'abscisse x.
On rappelle que pour tout réel xstrictement positif, ex>ln(x).
(a) Montrer que la longueur MN est minimale lorsque x=α. Donner une valeur approchée de
cette longueur minimale à 10−2près.
(b) En utilisant la question 1., montrer que eα=1
α. En déduire que la tangente à Cau point
d'abscisse αet la tangente à Γau point d'abscisse αsont parallèles.
3. (a) Soit hla fonction définie sur ]0 ; +∞[par h(x)=xln(x)−x. Montrer que la fonction
hest une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0 ; +∞[.
(b) Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10−2près, de l'aire (exprimée en unités
d'aire) de la surface hachurée sur la figure jointe en annexe .
Annexe
1
2
3
4
5
6
7
−1
1 2 3 4 5−1
C
Γ
×
M
×
N
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E 2 .. correction Asie 2011
Commun à tous les candidats
Le plan est rapporté à un repère orthonormal O;⃗ ı,⃗ ȷ.
1. Étude d'une fonction fOn considère la fonction fdéfinie sur l'intervalle ]0 ; +∞[par :
f(x)=ln x
x.
On note f′la fonction dérivée de la fonction fsur l'intervalle ]0 ; +∞[.
On note Cfla courbe représentative de la fonction fdans le repère O;⃗ ı,⃗ ȷ. La courbe Cfest
représentée en annexe (à rendre avec la copie).
(a) Déterminer les limites de la fonction fen 0et en +∞.
(b) Calculer la dérivée f′de la fonction f.
(c) En déduire les variations de la fonction f.
2. Étude d'une fonction g
On considère la fonction gdéfinie sur l'intervalle ]0 ; +∞[par :
g(x)=(ln x)2
x.
On note Cgla courbe représentative de la fonction gdans le repère O;⃗ ı,⃗ ȷ.
(a) Déterminer la limite de gen 0, puis en +∞.
Après l'avoir justifiée, on utilisera la relation :(ln x)2
x=4lnpx
px2
.
(b) Calculer la dérivée g′de la fonction g.
(c) Dresser le tableau de variation de la fonction g.
3. (a) Démontrer que les courbes Cfet Cgpossèdent deux points communs dont on précisera
les coordonnées.
(b) Étudier la position relative des courbes Cfet Cg.
(c) Tracer sur le graphique de l'annexe (à rendre avec la copie) la courbe Cg.
4. On désigne par Al'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan délimitée, d'une part par
les courbes Cfet Cg, et d'autre part par les droites d'équations respectives x=1et x=e .
En exprimant l'aire Acomme différence de deux aires que l'on précisera, calculer l'aire A.
Annexe
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
−0,1
−0,2
−0,3
−0,4
5 10 15 20
Cf
O
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E 3 .. correction La Réunion 2011
Commun à tous les candidats
Soit fla fonction définie sur par
f(x)=1−4ex
e2x+1.
On note Csa courbe représentative dans un repère orthogonal O;⃗ ı,⃗ ȷ.
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe C. Elle coupe l'axe des abscisses aux points A et
B.
−→
ı
−→
ȷ
A
BO
C
Partie A
L'objet de cette partie est de démontrer certaines propriétés de la fonction fque l'on peut conjec-
turer à partir du graphique.
1. La fonction fsemble croissante sur l'intervalle [0 ; +∞[.
(a) Vérifier que pour tout réel x,f′(x)=4exe2x−1
e2x+12.
(b) En déduire le sens de variation de la fonction fsur l'intervalle [0 ; +∞[.
2. La droite d'équation x=0semble être un axe de symétrie de la courbe C.
Démontrer que cette conjecture est vraie.
3. On désigne par al'abscisse du point A et on pose c=ea.
(a) Démontrer que le réel cest une solution de l'équation x2−4x+1=0.
En déduire la valeur exacte de a.
(b) Donner le signe de f(x)selon les valeurs de x.
Partie B
L'objet de cette partie est d'étudier quelques propriétés de la fonction Fdéfinie sur par :
F(x)=x
0
f(t)dt.
1. Déterminer les variations de la fonction Fsur .
2. Interpréter géométriquement le réel F(a). En déduire que −a⩽F(a)⩽0.
3. On cherche la limite éventuelle de Fen +∞.
(a) Démontrer que pour tout réel positif t,f(t)⩾1−4e−t.
(b) En déduire que pour tout réel positif x, F(x)⩾x−4et déterminer la limite de F(x)lorsque
xtend vers +∞.
4. Dans cette question. toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte
dans l'évaluation.
Déterminer la limite de F(x)lorsque xtend vers −∞.
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E 4 .. correction Pondichéry 2011
Commun à tous les candidats
Partie I
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes C1et C2
représentatives de deux fonctions f1et f2définies sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
1
2
3
−1
1 2 3 4
C1
C2
O
On sait que :
□
□
□l'axe des ordonnées est asymptote aux courbes C1et C2
□
□
□l'axe des abscisses est asymptote à la courbe C2
□
□
□la fonction f2est continue et strictement décroissante sur l'intervalle ]0 ; +∞[
□
□
□la fonction f1est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +∞[
□
□
□la limite quand xtend vers +∞ de f1(x)est +∞.
Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le can-
didat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse
juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée.
1. La limite quand xtend vers 0de f2(x)est :
•0• +∞ • On ne peut pas conclure
2. La limite quand xtend vers +∞ de f2(x)est :
•0•0,2 •On ne peut pas conclure
3. En +∞,C1admet une asymptote oblique :
•Oui •Non •On ne peut pas conclure
4. Le tableau de signes de f2(x)−f1(x)est :
•
x0+∞
f2(x)−f1(x)+•
x0+∞
f2(x)−f1(x)−•
x0+∞
f2(x)−f1(x)+0−
Partie II
On considère la fonction fdéfinie sur l'intervalle ]0 ; +∞[par
f(x)=ln(x)+1−1
x.
1. Déterminer les limites de la fonction faux bornes de son ensemble de définition.
2. Étudier les variations de la fonction fsur l'intervalle ]0 ; +∞[.
3. En déduire le signe de f(x)lorsque xdécrit l'intervalle ]0 ; +∞[.
4. Montrer que la fonction Fdéfinie sur l'intervalle ]0 ; +∞[par
F(x)=xln x−ln xest une primitive de la fonction fsur cet intervalle.
5. Démontrer que la fonction Fest strictement croissante sur l'intervalle ]1 ; +∞[.
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6. Montrer que l'équation F(x)=1−1
eadmet une unique solution dans l'intervalle ]1 ; +∞[qu'on
note α.
7. Donner un encadrement de αd'amplitude 10−1.
Partie III
Soit get hles fonctions définies sur l'intervalle ]0 ; +∞[par :
g(x)=1
xet h(x)=ln(x)+1.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes Cget Ch
représentatives des fonctions get h.
1
2
3
−1
1 2 3 4
O
A
P
t
Ch
Cg
1. A est le point d'intersection de la courbe Chet de l'axe des abscisses. Déterminer les coordon-
nées du point A.
2. P est le point d'intersection des courbes Cget Ch. Justifier que les coordonnées du point P sont
(1 ; 1).
3. On note Al'aire du domaine délimité par les courbes Cg,Chet les droites d'équations res-
pectives x=1
eet x=1(domaine grisé sur le graphique).
(a) Exprimer l'aire Aà l'aide de la fonction fdéfinie dans la partie II.
(b) Montrer que A=1−1
e.
4. Soit tun nombre réel de l'intervalle ]1 ; +∞[. On note Btl'aire du domaine délimité par
les droites d'équations respectives x=1, x=tet les courbes Cget Ch(domaine hachuré sur le
graphique).
On souhaite déterminer une valeur de ttelle que A=Bt.
(a) Montrer que Bt=tln(t)−ln(t).
(b) Conclure.
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