electromagnetisme electrostatique

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´
Electrostatique
Table des mati`eres
1 La charge ´electrique 1
1.1 Propri´et´es................................ 1
1.2 Distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Distribution volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2 Distribution surfacique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 Distribution lin´e¨ ıque...................... 2
2 Champ ´electrostatique 2
2.1 Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Champ d’une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.4 Champ d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.5 Lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Invariances et sym´etries 3
3.1 Invariances des distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 Plan de sym´etrie et plan d’antisym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 Cons´equences pour le champ ´electrostatique . . . . . . . . . . . . . 3
4 Potentiel ´electrostatique 4
4.1 Circulation de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 Potentiel................................. 4
4.3 Potentiel cr´e´e par une distribution de charges . . . . . . . . . . . . 4
4.4 Surfaces ´equipotentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.5 ´ Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Th´eor`eme de Gauss 5
6 Analogie gravitationnelle 5
7 Le dipˆole ´electrostatique 5
7.1 Actions exerc´ees par un dipˆole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
7.2 Actions subies par un dipˆole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 La charge ´electrique
1.1 Propri´et´es
On appelle charge d’une particule une grandeur qui caract´erise les interactions
´electromagn´etiques qu’elle exerce ainsi que celles qu’elle subit (voir masse et
interaction gravitationnelle).
La charge est une grandeur scalaire pouvant prendre des valeurs positives ou
n´egatives.
La charge est quantifi´ee
q=Ze
o`u Zest un entier relatif et
e= 1,6.10−19 C
le coulomb ´etant l’unit´e de la charge.
La charge est une grandeur conservative : la charge totale d’un syst`eme
ferm´e est constante au cours du temps.
La charge totale d’un syst`eme ne d´epend pas du r´ef´erentiel dans lequel on
la mesure (principe d’invariance de la charge).
1.2 Distributions de charges
1.2.1 Distribution volumique
L’approximation des milieux continus permet de d´efinir une densit´e volumique
de charge ou charge volumique
ρ=dq
dτ
o`u dq =Pqiest la charge contenue dans le volume dτ petit `a l’´echelle macro et
grand `a l’´echelle micro
dq =ρdτ
Damien DECOUT - Derni`ere modification : avril 2007

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1.2.2 Distribution surfacique
Si une des 3 dimensions est n´egligeable par rapport aux deux autres, on peut
d´efinir une densit´e surfacique de charge ou charge surfacique
dq =ρ hdS =σdS
1.2.3 Distribution lin´e
¨
ıque
Si deux des 3 dimensions sont n´egligeables par rapport `a la troisi`eme, on peut
d´efinir une densit´e lin´e
¨
ıque de charge ou charge lin´e
¨
ıque
dq =λdl
2 Champ ´electrostatique
2.1 Loi de Coulomb
Soit q1en M1et q2en M2
F1→2=1
4πǫ0
q1q2
M1M2
2
M1M2
M1M2
avec 1
4πǫ0
= 9.109SI
2.2 Champ d’une charge ponctuelle
Soit qen Oet q′en M
Fq→q′=1
4πǫ0
qq′
OM2
OM
OM =q′q 4πǫ0
OM
OM3=q′Eq(M)
o`u
Eq(M) = q
4πǫ0
OM
OM3
est le champ cr´e´e par la charge qen M.
2.3 Principe de superposition
Soit q1en O1,q2en O2,q3en O3... De l’addition vectorielle des forces d´ecoule le
principe de superposition des champs
E(M) = X
i
Ei(M) = X
i
qi
4πǫ0
OiM
OiM3
En particulier, la force avec laquelle interagissent deux charges n’est pas modifi´ee
par la pr´esence d’une troisi`eme charge.
2.4 Champ d’une distribution
On d´ecoupe la distribution en morceaux assez petits pour pouvoir consid´erer que
la charge dq du morceau est localis´ee au point P ; cette charge cr´ee alors un champ
E(M) = dq
4πǫ0
PM
P M3
Le champ cr´e´e par la distribution est alors la somme des champs cr´e´es par les
morceaux ; la distribution ´etant continue, on remplace la somme par une int´egrale
E(M) = Zdq
4πǫ0
PM
P M3
pour une distribution volumique
E(M) = Zρ(P)dτ
4πǫ0
PM
P M3
pour une distribution surfacique
E(M) = Zσ(P)dS
4πǫ0
PM
P M3
pour une distribution lin´e¨ ıque
E(M) = Zλ(P)dl
4πǫ0
PM
P M3
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2.5 Lignes de champ
Une ligne de champ est tangente en chacun de ses points M au champ E(M)
Elle v´erifie les propri´et´es suivantes :
1. Les lignes de champ ´electrostatique divergent `a partir des charges positives et
convergent vers les charges n´egatives.
2. Lorsqu’il est d´efini, le champ ´electrostatique est nul au point d’intersection de
deux lignes de champ (deux lignes de champ ne peuvent donc se couper que si
E(M) = 0 ou E(M) non d´efini).
3. Les lignes de champ ´electrostatique d’une distribution
– partent `a l’infini si la distribution est globalement positive
– proviennent de l’infini si la distribution est globalement n´egative
– n’aboutissent ni ne proviennent de l’infini si la distribution est globalement
neutre
3 Invariances et sym´etries
3.1 Invariances des distributions de charges
Une distribution, illimit´ee dans la direction de l’axe ∆, est invariante par trans-
lation suivant ∆ si, pour tout point M et son translat´e M’, sa densit´e de charge
v´erifie ρ(M) = ρ(M′).
exemple : distribution invariante par translation suivant Oz
ρ(r, θ, z) = ρ(r, θ)
Une distribution, est invariante par rotation autour d’un axe ∆ si, pour tout
point M et M’ obtenu apr`es rotation, sa densit´e de charge v´erifie ρ(M) = ρ(M′).
exemple : distribution invariante par rotation autour d’un axe Oz
ρ(r, θ, z) = ρ(r, z)
Une distribution `a sym´etrie cylindrique est telle que
ρ(r, θ, z) = ρ(r)
(invariance par rotation autour de Oz et invariance par translation suivant Oz)
Une distribution `a sym´etrie sph´erique est telle que
ρ(r, θ, ϕ) = ρ(r)
(invariance par rotation autour de eϕet invariance par rotation autour de Oz)
3.2 Plan de sym´etrie et plan d’antisym´etrie
Une distribution est sym´etrique par rapport `a un plan Π si, pour tout point M il
existe un sym´etrique M’, et si sa densit´e de charge v´erifie
ρ(M) = ρ(M′)
Une distribution est antisym´etrique par rapport `a un plan Π∗si, pour tout point
M il existe un sym´etrique M’, et si sa densit´e de charge v´erifie
ρ(M) = −ρ(M′)
3.3 Cons´equences pour le champ ´electrostatique
Nous g´en´eralisons les observations des cartes de champ :
Eest transform´e en son sym´etrique par un plan Π
E(M′) = sym E(M)
d’autre part
E(M∈Π) ∈Π
Eest transform´e en son antisym´etrique par un plan Π∗
E(M′) = −sym E(M)
E(M∈Π∗)⊥Π∗
D’autre part, le champ ´electrostatique (effet) poss`ede au moins les invariances des
distributions de charges (cause).
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4 Potentiel ´electrostatique
4.1 Circulation de E
Rappelons l’expression de la force exerc´ee par la charge qen O sur la charge q′
en M
F=q′E(M)
Calculons le travail de Fencore appel´e circulation de F
W=ZF.dOM =q′ZE(M).dOM
Int´eressons nous `a la circulation de E
ZB
A
E(M).dOM =Z1
4πǫ0
q
r2er.dr er=Zq 4πǫ0
dr
r2=q 4πǫ01 rA
−1
rB
La circulation de Eest conservative, elle ne d´epend pas du chemin suivi.
Le principe de superposition permet de g´en´eraliser ce r´esultat `a une distribution
de charge quelconque.
4.2 Potentiel
La circulation de Epeut donc s’´ecrire
ZB
A
E(M).dOM =V(A)−V(B)
o`u Vest une fonction appel´ee potentiel ´electrostatique.
Dans le cas particulier de la charge ponctuelle
V(r) = 1
4πǫ0
q
r
Le potentiel est d´efini `a une constante pr`es.
Connaissant le potentiel, on peut en d´eduire le champ par
E=−grad V
Un champ de vecteur E`a circulation conservative est un champ de gradient.
4.3 Potentiel cr´e´e par une distribution de charges
Pour une distribution de charges discontinues
V(M) = X1
4πǫ0
qi
PiM
Pour une distribution volumique
V(M) = Z1
4πǫ0
ρ(P)dτ
P M
Pour une distribution surfacique
V(M) = Z1
4πǫ0
σ(P)dS
P M
Pour une distribution lin´e¨ ıque
V(M) = Z1
4πǫ0
λ(P)dl
P M
4.4 Surfaces ´equipotentielles
Le champ est perpendiculaire aux surfaces ´equipotentielles
dV = 0 ⇒E.dOM = 0
Les lignes de champ sont orient´ees dans le sens des potentiels d´ecroissants
dV < 0⇒E.dOM >0
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4.5 ´ Energie potentielle
Reprenons l’expression du travail
W=q′(V(A)−V(B)) = Ep(A)−Ep(B)
Ep(M) = q′V(M)
est l’´energie potentielle que poss`ede la charge q′du fait de sa position M dans
le champ scalaire V.
L’´energie potentielle d’interaction entre deux charges q1et q2est ´egale `a
Ep12 =q1V2(M1) = q2V1(M2) = 1
2(q1V2(M1) + q2V1(M2)) = 1 4πǫ0
q1q2
M1M2
5 Th´eor`eme de Gauss
Le flux du champ ´electrostatique sortant d’une surface ferm´ee Sest ´egal `a la
charge totale Qint enferm´ee dans cette surface divis´ee par ǫ0
Φ = IS
E.nextdS =Qint
ǫ0
V´erifions en calculant le flux sortant d’une surface sph´erique de rayon renfermant
une charge ponctuelle qen O :
Φ = IS
E.next dS =IS
1
4πǫ0
q
r2er.erdS =1 4πǫ0
q
r2IdS =1 4πǫ0
q
r24πr2=q ǫ0
6 Analogie gravitationnelle
Tous les r´esultats pr´ec´edents ont leur analogue pour la gravitation en rempla¸cant
la charge qpar la masse met 1
4πǫ0
par −G constante de gravitation.
Le champ de gravitation
F=m′Gavec G=−G m
r2er
L’´energie potentielle gravitationnelle
Ep=m′V avec V =−G m
r
Le th´eor`eme de Gauss
Φ = IS
G.nextdS =−4πGMint
7 Le dipˆole ´electrostatique
Un dipˆole ´electrostatique est un syst`eme constitu´e de deux charges ponctuelles
oppos´ees dont les dimensions sont petites par rapport `a la distance d’observation.
7.1 Actions exerc´ees par un dipˆole
Soit les charge −qen A(z=−d
2) et +qen B(z= +d 2) observ´ees `a une distance
r=OM ≫d. On notera θl’angle (ez,OM).
V(M) = q
4πǫ01 BM −1 AM 
BM2= (OM −OB)2=r2−rd cos θ+d2
4=r21−dcos θ r+d2 4r2
1
BM =1 r1−dcos θ r+d2 4r2−1/2
≃1
r1 + dcos θ 2r
de mˆeme
1
AM ≃1 r1−dcos θ 2r
finalement
V(M) = q
4πǫ0
dcos θ
r2=1 4πǫ0
p.er
r2
avec
p=qdez=qAB
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