electromagnetisme electrostatique

MPSI - Électromagnétisme - Électrostatique
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1
Électrostatique
La charge électrique
1.1
Table des matières
1 La charge électrique
1.1 Propriétés . . . . . . . . . . . .
1.2 Distributions de charges . . . .
1.2.1 Distribution volumique
1.2.2 Distribution surfacique .
1.2.3 Distribution linéı̈que . .
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1
1
1
1
2
2
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2
2
2
2
2
3
3 Invariances et symétries
3.1 Invariances des distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Plan de symétrie et plan d’antisymétrie . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Conséquences pour le champ électrostatique . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
3
4 Potentiel électrostatique
4.1 Circulation de E . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Potentiel créé par une distribution de charges
4.4 Surfaces équipotentielles . . . . . . . . . . . .
4.5 Énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
4
4
5
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Propriétés
On appelle charge d’une particule une grandeur qui caractérise les interactions
électromagnétiques qu’elle exerce ainsi que celles qu’elle subit (voir masse et
interaction gravitationnelle).
La charge est une grandeur scalaire pouvant prendre des valeurs positives ou
négatives.
La charge est quantifiée
q = Ze
2 Champ électrostatique
2.1 Loi de Coulomb . . . . . . . . .
2.2 Champ d’une charge ponctuelle
2.3 Principe de superposition . . .
2.4 Champ d’une distribution . . .
2.5 Lignes de champ . . . . . . . .
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5 Théorème de Gauss
5
6 Analogie gravitationnelle
5
7 Le dipôle électrostatique
7.1 Actions exercées par un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Actions subies par un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Damien DECOUT - Dernière modification : avril 2007
5
5
6
où Z est un entier relatif et
e = 1, 6.10−19 C
le coulomb étant l’unité de la charge.
La charge est une grandeur conservative : la charge totale d’un système
fermé est constante au cours du temps.
La charge totale d’un système ne dépend pas du référentiel dans lequel on
la mesure (principe d’invariance de la charge).
1.2
1.2.1
Distributions de charges
Distribution volumique
L’approximation des milieux continus permet de définir une densité volumique
de charge ou charge volumique
ρ=
dq
dτ
P
où dq =
qi est la charge contenue dans le volume dτ petit à l’échelle macro et
grand à l’échelle micro
dq = ρdτ
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1.2.2
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2.3
Distribution surfacique
Si une des 3 dimensions est négligeable par rapport aux deux autres, on peut
définir une densité surfacique de charge ou charge surfacique
Principe de superposition
Soit q1 en O1 , q2 en O2 , q3 en O3 ... De l’addition vectorielle des forces découle le
principe de superposition des champs
dq = ρ hdS = σdS
E(M ) =
X
Ei (M ) =
i
1.2.3
Distribution linéı̈que
Si deux des 3 dimensions sont négligeables par rapport à la troisième, on peut
définir une densité linéı̈que de charge ou charge linéı̈que
2
i
En particulier, la force avec laquelle interagissent deux charges n’est pas modifiée
par la présence d’une troisième charge.
2.4
dq = λdl
Champ d’une distribution
On découpe la distribution en morceaux assez petits pour pouvoir considérer que
la charge dq du morceau est localisée au point P ; cette charge crée alors un champ
Champ électrostatique
E(M ) =
2.1
Loi de Coulomb
Soit q1 en M1 et q2 en M2
F1→2 =
avec
1
q1 q2 M1 M2
4πǫ0 M1 M2 2 M1 M2
pour une distribution volumique
1
= 9.109 SI
4πǫ0
Champ d’une charge ponctuelle
Soit q en O et q ′ en M
Fq→q′
dq PM
4πǫ0 P M 3
Le champ créé par la distribution est alors la somme des champs créés par les
morceaux ; la distribution étant continue, on remplace la somme par une intégrale
Z
dq PM
E(M ) =
4πǫ0 P M 3
E(M ) =
2.2
X qi Oi M
4πǫ0 Oi M 3
Z
ρ(P )dτ PM
4πǫ0 P M 3
Z
σ(P )dS PM
4πǫ0 P M 3
Z
λ(P )dl PM
4πǫ0 P M 3
pour une distribution surfacique
1 qq ′ OM
q OM
=
= q′
= q ′ Eq (M )
2
4πǫ0 OM OM
4πǫ0 OM 3
où
q OM
Eq (M ) =
4πǫ0 OM 3
est le champ créé par la charge q en M .
Damien DECOUT - Dernière modification : avril 2007
E(M ) =
pour une distribution linéı̈que
E(M ) =
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2.5
Lignes de champ
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Une distribution à symétrie sphérique est telle que
Une ligne de champ est tangente en chacun de ses points M au champ E(M )
Elle vérifie les propriétés suivantes :
1. Les lignes de champ électrostatique divergent à partir des charges positives et
convergent vers les charges négatives.
2. Lorsqu’il est défini, le champ électrostatique est nul au point d’intersection de
deux lignes de champ (deux lignes de champ ne peuvent donc se couper que si
E(M ) = 0 ou E(M ) non défini).
3. Les lignes de champ électrostatique d’une distribution
– partent à l’infini si la distribution est globalement positive
– proviennent de l’infini si la distribution est globalement négative
– n’aboutissent ni ne proviennent de l’infini si la distribution est globalement
neutre
3
3.1
ρ(r, θ, ϕ) = ρ(r)
(invariance par rotation autour de eϕ et invariance par rotation autour de Oz)
3.2
Plan de symétrie et plan d’antisymétrie
Une distribution est symétrique par rapport à un plan Π si, pour tout point M il
existe un symétrique M’, et si sa densité de charge vérifie
ρ(M ) = ρ(M ′ )
Une distribution est antisymétrique par rapport à un plan Π∗ si, pour tout point
M il existe un symétrique M’, et si sa densité de charge vérifie
ρ(M ) = −ρ(M ′ )
Invariances et symétries
Invariances des distributions de charges
Une distribution, illimitée dans la direction de l’axe ∆, est invariante par translation suivant ∆ si, pour tout point M et son translaté M’, sa densité de charge
vérifie ρ(M ) = ρ(M ′ ).
exemple : distribution invariante par translation suivant Oz
3.3
Conséquences pour le champ électrostatique
Nous généralisons les observations des cartes de champ :
E est transformé en son symétrique par un plan Π
E(M ′ ) = sym E(M )
ρ(r, θ, z) = ρ(r, θ)
Une distribution, est invariante par rotation autour d’un axe ∆ si, pour tout
point M et M’ obtenu après rotation, sa densité de charge vérifie ρ(M ) = ρ(M ′ ).
exemple : distribution invariante par rotation autour d’un axe Oz
ρ(r, θ, z) = ρ(r, z)
Une distribution à symétrie cylindrique est telle que
d’autre part
E(M ∈ Π) ∈ Π
E est transformé en son antisymétrique par un plan Π∗
E(M ′ ) = −sym E(M )
ρ(r, θ, z) = ρ(r)
E(M ∈ Π∗ )⊥Π∗
(invariance par rotation autour de Oz et invariance par translation suivant Oz)
D’autre part, le champ électrostatique (effet) possède au moins les invariances des
distributions de charges (cause).
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4
4.1
Potentiel électrostatique
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4.3
Potentiel créé par une distribution de charges
Pour une distribution de charges discontinues
Circulation de E
Rappelons l’expression de la force exercée par la charge q en O sur la charge q ′
en M
F = q ′ E(M )
Calculons le travail de F encore appelé circulation de F
Z
Z
′
W = F.dOM = q
E(M).dOM
Intéressons nous à la circulation de E
Z B
Z
Z
1 q
1
q dr
q
1
E(M).dOM =
er .dr er =
=
−
4πǫ0 r2
4πǫ0 r2
4πǫ0 rA rB
A
V (M ) =
Pour une distribution volumique
V (M ) =
La circulation de E est conservative, elle ne dépend pas du chemin suivi.
4.2
1 ρ(P )dτ
4πǫ0 P M
Z
1 σ(P )dS
4πǫ0 P M
Z
1 λ(P )dl
4πǫ0 P M
Pour une distribution linéı̈que
V (M ) =
Potentiel
La circulation de E peut donc s’écrire
Z B
E(M).dOM = V (A) − V (B)
Z
Pour une distribution surfacique
V (M ) =
Le principe de superposition permet de généraliser ce résultat à une distribution
de charge quelconque.
X 1
qi
4πǫ0 Pi M
4.4
Surfaces équipotentielles
A
où V est une fonction appelée potentiel électrostatique.
Dans le cas particulier de la charge ponctuelle
V (r) =
1 q
4πǫ0 r
Le champ est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles
dV = 0 ⇒ E.dOM = 0
Le potentiel est défini à une constante près.
Connaissant le potentiel, on peut en déduire le champ par
Les lignes de champ sont orientées dans le sens des potentiels décroissants
E = −grad V
Un champ de vecteur E à circulation conservative est un champ de gradient.
Damien DECOUT - Dernière modification : avril 2007
dV < 0 ⇒ E.dOM > 0
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4.5
page 5/6
L’énergie potentielle gravitationnelle
Énergie potentielle
Reprenons l’expression du travail
Ep = m′ V
W = q ′ (V (A) − V (B)) = Ep (A) − Ep (B)
avec V = −G
m
r
Le théorème de Gauss
′
Ep (M ) = q V (M )
Φ=
est l’énergie potentielle que possède la charge q ′ du fait de sa position M dans
le champ scalaire V .
L’énergie potentielle d’interaction entre deux charges q1 et q2 est égale à
Ep12 = q1 V2 (M1 ) = q2 V1 (M2 ) =
5
1 q1 q2
1
(q1 V2 (M1 ) + q2 V1 (M2 )) =
2
4πǫ0 M1 M2
Vérifions en calculant le flux sortant d’une surface sphérique de rayon r enfermant
une charge ponctuelle q en O :
I
I
I
1 q
1 q
q
1 q
E.next dS =
Φ=
e
.e
dS
=
4πr2 =
dS =
2 r r
2
2
4πǫ
r
4πǫ
r
4πǫ
r
ǫ
0
0
0
0
S
S
Un dipôle électrostatique est un système constitué de deux charges ponctuelles
opposées dont les dimensions sont petites par rapport à la distance d’observation.
Tous les résultats précédents ont leur analogue pour la gravitation en remplaçant
1
la charge q par la masse m et
par −G constante de gravitation.
4πǫ0
Soit les charge −q en A(z = − d2 ) et +q en B(z = + d2 ) observées à une distance
r = OM ≫ d . On notera θ l’angle (ez , OM).
q
V (M ) =
4πǫ0
BM 2
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= (OM −
OB)2
1
1
=
BM
r
=
r2
m
er
r2
1
1
−
BM
AM
d cos θ
d2
d2
2
=r 1−
+ 2
− rd cos θ +
4
r
4r
−1/2
1
d cos θ
d cos θ
d2
≃
1−
1+
+ 2
r
4r
r
2r
1
1
≃
AM
r
d cos θ
1−
2r
finalement
V (M ) =
Le champ de gravitation
avec G = −G
Actions exercées par un dipôle
de même
Analogie gravitationnelle
F = m′ G
G.next dS = −4πGMint
S
Le dipôle électrostatique
7.1
Théorème de Gauss
Le flux du champ électrostatique sortant d’une surface fermée S est égal à la
charge totale Qint enfermée dans cette surface divisée par ǫ0
I
Qint
Φ=
E.next dS =
ǫ0
S
6
7
I
1 p.er
q d cos θ
=
4πǫ0 r2
4πǫ0 r2
avec
p = qdez = qAB
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moment dipolaire
On calcule le champ électrostatique grâce à
E = −gradV
ou encore
Er = −
∂V
∂r
Eθ = −
1 ∂V
r ∂θ
Eϕ = −
1 ∂V
r sin θ ∂ϕ
ce qui donne
Er =
1 2p cos θ
4πǫ0 r3
Eθ =
1 p sin θ
4πǫ0 r3
Eϕ = 0
On pourra vérifier
E=
7.2
1
4πǫ0 r3
3p.r
r
−
p
r2
Actions subies par un dipôle
Dans ce qui suit, E ne désigne plus le champ créé par le dipôle mais un champ
extérieur dans lequel est plongé le dipôle.
Le dipôle subit alors les actions
F = qE − qE = 0
MO = OB ∧ qE + OA ∧ −qE = qAB ∧ E = p ∧ E
Nous admettrons l’expression de l’énergie potentielle du dipôle plongé dans le
champ extérieur E
Ep = −p.E
qui est minimale lorsque le dipôle s’aligne sur le champ.
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