Math spé Exercices sur les espaces vectoriels normés

10/17/2019 Math spé : Exercices sur les espaces vectoriels normés
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Math spé : Exercices sur les espaces vectoriels normés
Exercice 1 - Vrai/faux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dites si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :

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1. Si est un espace vectoriel normé, , et est la boule de centre et de
rayon , alors pour tout , .
2. est une norme sur .
3. Soit un espace vectoriel normé, et deux vecteurs de tels que
. Alors .
4. Soit . Alors est une norme sur .
5. Si et sont deux normes équivalentes sur , et si on note et
, alors il existe tels que .
6. Soit une suite de l'espace vectoriel normé et soit . Alors converge
vers si et seulement si tend vers 0.
7. Une suite de l'espace vectoriel normé converge si et seulement si toute suite
extraite de converge.
Indication
1.
2. A-t-on .
3. Trouver un contre-exemple avec une des normes usuelles de .
4.
5.
Corrigé
1. Non! et la formule proposée ne fonctionne que si .
2. Posons et . Alors , d'où sans que ne soit le
vecteur nul. n'est pas une norme!
3. On va donner un contre exemple avec . Prenons en effet et .
Alors et alors que est libre.
4. Oui. La seule difficulté est de montrer que . Mais si est un polynôme
de degré un (donc une fonction affine) qui s'annule en 0 et en 1, alors est identiquement nul.
5. C'est vrai! Si et sont équivalentes, il existe tels que . Prenons
. Alors . D'où la première inclusion avec .
L'autre inclusion se montre de façon similaire.
6. C'est vrai, et c'est une conséquence facile de la définition de la convergence d'une suite.
7. Le sens direct est du cours. Pour la réciproque, il suffit de remarquer que est une suite
extraite d'elle-même.
Boules et normes
Exercice 2 - Translatée d'une boule [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit un espace vectoriel normé, . Démontrer que .
Indication
Procéder par double inclusion et utiliser l'inégalité triangulaire!
Corrigé
Prenons d'abord . Alors il existe tel que . Mais alors,
et donc .
Réciproquement, supposons que et posons . Alors on a et
On a donc ce qui prouve que .

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Exercice 3 - Inégalités sur les normes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit un espace vectoriel normé.
1. Démontrer que, pour tous , on a
En déduire que
La constante peut elle être améliorée?
2. On suppose désormais que la norme est issue d'un produit scalaire. Démontrer que, pour tous
, on a
En déduire que
La constante peut elle être améliorée?
Indication
1. Décomposer et fonction de et de . Trouver un contre exemple pour muni de
.
2. Développer et .
Corrigé
1. On écrit
de sorte que, par l'inégalité triangulaire,
De même, on a
et en sommant les deux inégalités, on a l'inégalité demandé. Puisque
et que , on a finalement
aussi
La constante ne peut pas être améliorée, car elle est parfois atteinte avec et .
C'est le cas en effet par exemple pour lorsque et .
2. Soit le produit scalaire dont est issu la norme. Alors
d'où

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Puisque , on obtient bien la deuxième
inégalité demandée. Enfin, la constante ne peut pas être améliorée. Elle est atteinte sur
muni du produit scalaire canonique lorsque et .
Exercice 4 - Boules égales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que si deux boules et d'un espace vectoriel normé , , sont
égales, alors et .
Indication
Démontrer d'abord que si , on a forcément . Traiter ensuite le cas . Un dessin est
nécessaire!
Corrigé
On va procéder par contraposée en prouvant que si , alors les boules sont différentes.
Supposons d'abord que et que par exemple . Alors considérons un vecteur unitaire de
et . Alors . Ainsi, et et donc ces deux
boules ne sont pas égales.
Supposons ensuite que et que, par exemple, (on aura ainsi bien abordé tous les cas où
). Alors on va considérer un élément qui est sur la droite passant par et , mais de
l'autre côté de par rapport à (là aussi, un dessin pourra aider). Précisément, posons le vecteur
unitaire suivant :
On pose ensuite . Comme précédemment, on a et donc . Mais
d'autre part, on a
d'où
et donc .
Exercice 5 - Oh les boules! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit un espace vectoriel normé. Pour et , on note la boule fermée de centre et
de rayon . On fixe et .
1. On suppose que . Démontrer que .
2. On suppose que . Montrer que .
Indication
Faire un dessin. Pour le 1., considérer le point de le plus éloigné de . Pour le 2., considérer le
point de le plus proche de .
Corrigé

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Pour comprendre ce type d'exercice, il faut impérativement commencer par réaliser un dessin.
1. La contrainte la plus forte exprimée par l'inclusion est obtenue pour le point
de le plus éloigné de possible. On considère ce point qui est donné par
. est dans , donc dans . Or
Puisque , on en déduit le résultat recherché.
2. Cette fois, on considère "le" point de le plus proche de . On a donc
. Puisque , on a . Mais on a aussi
Ceci donne le résultat voulu.
Exercice 6 - Norme invariante par conjugaison [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille
d'exos]
Enoncé
1. Donner un exemple de matrice non-nulle de qui soit semblable à .
2. Existe-t-il sur une norme telle que, pour tout et pour tout
, on a ?
Indication
Pour la première question, recherche une matrice nilpotente...
Corrigé
Remarquons que si deux matrices sont semblables, elles ont les mêmes valeurs propres. Mais ici, si on
veut que et aient les mêmes valeurs propres, il faut que n'admette que la valeur propre nulle.
Puisque n'est pas la matrice nulle, ceci oriente nos recherches d'une telle matrice vers une matrice
nilpotente. Considérons la plus simple d'entre elles :
Alors et semblable à : en effet, on a où est la matrice
Ainsi, il ne peut pas avoir de norme sur invariante par similitude, puisqu'on n'a pas
. Le raisonnement est identique pour , on considère cette fois la matrice dont le
seul coefficient non nul est celui le plus à droite sur la première gauche, ce coefficient étant égal à 1.
Exemples de normes
Exercice 7 - CNS pour avoir une norme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient des réels et définie par
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les pour que soit une norme sur .
Indication