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Service Commun de Formation Continue
Année Universitaire 2006-2007
Fonctions de plusieurs variables
et applications pour l’ingénieur
Polycopié de cours
Rédigé par Yannick Privat
Bureau 321 - Institut Élie Cartan Nancy (Mathématiques) - Université Henri Poincaré Nancy 1
B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex.
e-mail : [email protected]
ii
Avant-Propos
Ce cours présente les concepts fondamentaux de l’Analyse des fonctions de plusieurs variables.
Les premiers chapitres généralisent les notions de limite, dérivabilité et dévelopement limité, bien
connus dans le cas des fonctions d’une variable. Nous ne rechercherons pas dans ce cours une formalisation mathématique théorique de ces concepts, mais nous intéresserons au contraire à leurs
nombreuses applications dans le domaine de la Physique. Nous ciblerons trois axes principaux
de développement :
• l’optimisation (recherche d’extremums, minimisaton d’une énergie, etc.) ;
• les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des cordes vibrantes, des
ondes, etc.) ;
• l’intégration (calculs de moments d’inertie, de flux, etc.).
Travail personnel de préparation : le premier chapitre présente des pré-requis utiles
pour bien aborder ce cours. Je vous demande donc de l’étudier sérieusement pour la
première séance et de noter toutes les questions que vous vous posez afin que nous en
discutions en cours.
Yannick Privat
iii
iv
Table des matières
1 Introduction à l’étude des fonctions de plusieurs variables
1.1
1.2
1.3
1.4
Fonctions de deux variables à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Exemple mathématique et définition . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.3
Représentation graphique d’une fonction à deux variables . . . . . .
3
Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.1
Rappel : dérivation d’une fonction de R dans R . . . . . . . . . . .
4
1.2.2
Calcul de dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.3
Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Fonction de n variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.1
Fonction de trois variables à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.2
Fonctions à valeurs vectorielles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.3
Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2 Calculs de limites et continuité
2.1
2.2
1
11
Technique de recherche de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1
Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2
Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3
Techniques pour lever les indéterminations . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3.1
Fonctions polynôme ou rationnelle . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3.2
Technique du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3.3
Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3.4
Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Contiuité des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1
Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2
Cas des fonctions de R2 dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
v
TABLE DES MATIÈRES
vi
2.2.3
2.3
Techniques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Notion de différentiabilité
23
3.1
Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2
Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1
Dérivée selon un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2
Fonctions f : Rn −→ Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.3
3.3
3.4
Application différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.4
Développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.5
Expression explicite de la différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.6
Méthode générale de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Conséquences de la différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1
Notion de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.2
Schéma récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Déterminant, Matrice jacobienne, Jacobien
4.1
4.2
4.3
Matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1
Différentiabilité des fonctions de Rn dans Rp . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2
Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.3
Le Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Notion de C 1 -difféomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2
Caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Recherche d’extrema
5.1
5.2
5.3
35
43
Problèmes liés à la recherche d’extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1
Développement limité à l’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.2
Points critiques et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Caractérisation des points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.1
Hessienne d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.2
Quelques notions d’Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Cas de la dimension 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
TABLE DES MATIÈRES
5.4
vii
Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6 Introduction aux EDP
6.1
6.2
6.3
6.4
Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.1
Quelques rappels sur les équations différentielles linéaires . . . . . . 51
6.1.2
Un exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.3
Équation différentielles linéaires à coefficients constants . . . . . . . 52
6.1.3.1
Équations différentielles homogènes du premier ordre à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.3.2
Théorème de structure des solutions . . . . . . . . . . . . 53
6.1.3.3
Équations différentielles homogène du second ordre à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Compléments de calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2.1
Composition des différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2.2
Exemple détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2.3
Quelques opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Changement de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3.1
Repère polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.2
Changement de variables quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.3
Trois méthodes de résolution explicite d’EDP . . . . . . . . . . . . 60
6.3.3.1
Changement de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.3.2
Méthode de séparation des variables . . . . . . . . . . . . 61
Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7 Transformée de Fourier
7.1
51
69
La transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.1.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.1.2
Propriétés de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.1.3
Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2
Application à la résolution d’EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3
Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8 Calcul d’intégrales doubles et triples
8.1
79
Calcul intégral dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.1.1
Quelques méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.1.2
L’intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
TABLE DES MATIÈRES
viii
8.2
8.3
8.4
8.1.3
Introduction aux intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.1.4
Visualisation graphique de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.2.1
Intégrale double sur un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.2.2
Intégrale double sur une partie bornée . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.2.3
Propriétés de l’intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.2.4
Changement de variable dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2.5
Changement de variable dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Exemples d’intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.3.1
Intégration par piles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.3.2
Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.3.3
Un exemple d’application en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A Formulaire de trigonométrie
93
B Limites
95
B.1 Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B.2 Limite d’un produit d’une fonction par une constante λ non nulle . . . . . 95
B.3 Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B.4 Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
C Dérivées usuelles
97
D Primitives usuelles
99
E Applications linéaires, matrices et déterminant : rappels
101
E.1 Calcul matriciel dans R2 , R3 et Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
E.2 Lien avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
E.3 Calculs de déterminants en dimensions 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Chapitre 1
Introduction intuitive à l’étude des
fonctions de plusieurs variables
Ce chapitre a pour vocation d’initier la lecteur débutant aux objets que nous manipulerons dans les chapitres qui vont suivre. Les définitions et principes seront présentés ici
d’un point de vue qualitatif ; ils seront revus, améliorés et rigoureusement introduits par
la suite. Je ne prétends donc pas à un grand formalisme ni une grande rigueur. Je redonne également quelques notions sur la dérivation des fonctions d’une variable car il est
nécessaire de bien maîtriser ce concept si l’on souhaite comprendre la notion de dérivée
partielle.
1.1
1.1.1
Fonctions de deux variables à valeurs réelles
Exemple mathématique et définition
Considérons un rectangle ABCD. On appelle x la longueur AB et y, la longueur BC. On
suppose x > 0 et y > 0.
A
x
B
y
D
C
On appelle p(x, y), le périmètre de ABCD, A(x, y), l’aire de ce rectangle. On a alors :
p(x, y) = 2(x + y) et A(x, y) = xy.
Définition 1.1. Produit cartésien.
• Le produit cartésien de deux ensembles E et F , noté E ×F est l’ensemble des couples
dont le premier élément appartient à E et le second à F .
1
2CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L’ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
• Si E = F , on note E 2 = E × E.
• Cette définition se généralise aisément. Si E1 , ..., En désignent n ensembles. On note
E = E1 × ... × En le produit cartésien défini par :
E = {(e1 , ..., en ), tel que e1 ∈ E1 , ..., en ∈ En } .
Exemple : on définit par exemple l’ensemble N×R+ . L’élément (2, π) appartient à N×R+ .
Remarque : si on considère des ensembles finis (i.e. dont le nombre d’éléments de l’ensemble est fini), on appelle cardinal de l’ensemble, le nombre d’éléments de l’ensemble.
Et, si E et F sont finis, on a :
card (E × F ) = card E × card F.
Problème courant en Optimisation : on peut être amené à chercher x pour que le
périmètre de ABCD soit minimal sachant que son aire vaut 1. (problème d’Optimisation)
Vocabulaire : A et p sont des fonctions de deux variables à valeurs réelles. x et y sont
les deux variables. Il est important de noter que x et y sont indépendantes, autrement
dit, il n’existe pas d’application f : R2 −→ R telle que f (x, y) = 0. On note :
p : R2 := R × R −→ R
et A : R2 := R × R −→ R
.
(x, y) 7−→ p(x, y) = 2(x + y)
(x, y) 7−→ A(x, y) = xy
Ici, cet exemple prend tout son sens si x > 0 et y > 0. On écrira plutôt :
2
.
p : R∗+ := R∗+ × R∗+ −→ R∗+
(x, y) 7−→ 2(x + y)
1.1.2
Exemple en Physique
Il est bien rare que le modèle mathématique choisi par le physicien ne dépende que d’un
paramètre. En Thermodynamique, par exemple, lorsque l’on considère une énergie (énergie interne U, cinétique Ec , etc.), on est souvent amené à étudier l’influence des paramètres
T (température), P (pression) et V (volume).
Exemple 1 : loi de Boyle-Mariotte ou loi des gaz parfaits. (1670)
P V = nRT.
n désigne la quantité de matière contenue dans le volume V , tandis que R désigne la
constante des gaz parfaits.
Si le volume du système physique varie en même temps que la température, notre étude
est justifiée. En général, on recherche l’équation d’état d’un système. (Relation entre les
paramètres d’état d’un système en équilibre macroscopique.)
Elle s’écrit f (P, V, T ) = 0, où f est une fonction des trois variables P , V et T . Dans notre
cas, on a : f (P, V, T ) = P V − nRT .
Exemple 2 : équation d’état de Van der Waals (Prix nobel de Physique, 1910).
1.1. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES À VALEURS RÉELLES
3
a Pour une mole de gaz, on a la relation P + 2 (V − b) = RT . Cette relation traV
duit l’existence de forces d’interaction entre les molécules de gaz, à la différence de
l’équation
d’état des gaz parfaits. La fonction d’état s’écrit dans ce cas : f (P, V, T ) =
a P + 2 (V − b) − RT .
V
Définition 1.2. Soit D, une partie de R2 , c’est à dire un ensemble de couples de réels
(x, y).
On appelle fonction de deux variables définie sur D, le procédé qui consiste à associer
à chaque couple (x, y) de D un réel unique. On note généralement : f (x, y) = z.
On peut se représenter z comme une « altitude » définie en chaque point du plan de base.
1.1.3
Représentation graphique d’une fonction à deux variables
Définition 1.3. Soit f , une fonction de deux variables définie sur un domaine D. L’ensemble des points de coordonnées (x, y, z) avec z = f (x, y), pour (x, y) parcourant D est
appelé « surface d’équation z = f (x, y) ».
Traduction : pour représenter une fonction de R dans R, on représente les points de
coordonnées M(x, f (x)).
y 6
f (x)
M
C
-
O
x
x
Fig. 1.1 – Représentation d’une fonction de R dans R
Pour représenter une fonction de R2 dans R,
M(x, y, f (x, y)).
Remarque : il arrive souvent que l’on note X
On écrira par exemple :
f:
R2
X = (x, y)
on représente les points de coordonnées
= (x, y) pour désigner un élément de R2 .
−→ R .
7−→ xy
Exemple : représentation de la surface d’équation z = x2 + y 2 .
On constate pour la construction graphique que l’intersection de la surface
√ d’équation
2
2
z = x + y et du plan d’équation z = k, pour k > 0 est un cercle de rayon k. En effet,
dans le plan xOy, le cercle de centre Ω(x0 , y0) et de rayon R, décrit par l’ensemble des
points M de coordonnées (x, y) a pour équation :
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 .
4CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L’ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
6z
z = f (x, y)
M
y
y
-
O
x
x
+
Fig. 1.2 – Représentation d’une fonction de R2 dans R
Le plan d’équation z = k, pour k réel, est parallèle au plan xOy.
1.2
1.2.1
Dérivées partielles
Rappel : dérivation d’une fonction de R dans R
Définition 1.4. On dit que f est dérivable en x0 de nombre dérivé L en x0 si, et seulement
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
si l’un ou l’autre des quotients
ou
admet une limite finie
x − x0
h
respectivement quand x → x0 et h → 0. Dans ce cas, on notera f 0 (x0 ) cette limite et on
a:
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
.
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
h→0
x − x0
h
Interprétation graphique :
Remarque : nous avons préféré ne faire aucun rappel sur la notion de limite dans ce
chapitre pour nous concentrer exclusivement sur la notion de nombre dérivé. Dans le
chapitre suivant, nous étendrons la notion de limite d’une fonction d’une variable au cas
multidimensionnel. Nous procèderons alors aux rappels nécessaires théoriques. Cependant,
pour bien aborder les calculs simples mis en œuvre dans ce chapitre, le lecteur pourra se
reporter aux annexes : théorèmes sur les limites et dérivées usuelles.
1.2.2
Calcul de dérivées partielles
La dérivation d’une fonction d’une variable peut être généralisée. Les dérivées partielles
d’une fonction de deux variables x et y se calculent de la façon suivante :
• par rapport à x : on considère que y est constant et on dérive la fonction comme fonction
d’une variable x.
1.2. DÉRIVÉES PARTIELLES
5
200
150
100
50
0
–10
–10
–5
–5
y
0
0
x
5
5
10
10
Fig. 1.3 – Représentation de la surface d’équation z = x2 + y 2
f (x0 + h)
6y
f (x0 )
C
-
x0 x0 + h x
pente de cette droite :
f (x0 + h) − f (x0 )
x − x0
Fig. 1.4 – Visualisation graphique du nombre dérivé
• par rapport à y : on considère que x est constant et on dérive par rapport à y.
Remarque et notations : la dérivée partielle de f par rapport à x est encore une fonc∂f
tion de deux variables. On la note
. De même, la dérivée partielle d’une fonction f
∂x
∂f
.
par rapport à y se note
∂y
Remarque : on entend souvent parler en Physique de la différentielle d’une fonction
f . On la note df . Nous donnerons ultérieurement un sens à cette notion. On a :
df =
∂f
∂f
dx +
dy.
∂x
∂y
6CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L’ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
1.2.3
Dérivées partielles d’ordre supérieur
Soit f : R −→ R. Nous savons définir (à la condition qu’elles existent...) f 0 , f 00 , f 000 , f (4) ,
etc. Il s’agit des dérivées première, seconde, troisième et quatrième de f .
Exactement de
même façon, il est aisé de définir :
la 2
∂ f
∂ ∂f
•
: on dérive deux fois par rapport à x ;
=
2
∂x
∂x ∂x ∂ ∂f
∂2f
=
•
: on dérive deux fois par rapport à y ;
2
∂y
∂y ∂y ∂2f
∂ ∂f
•
: on dérive une fois par rapport à y, puis une fois par rapport à x ;
=
∂x∂y
∂x ∂y ∂ ∂f
∂2f
=
: on dérive une fois par rapport à x, puis une fois par rapport à y ;
•
∂y∂x
∂y ∂x
Exemple : g est la fonction définie sur R2 par : g(x, y) = x3 ey .
Si x est fixé, y 7−→ g(x, y) est bien infiniment dérivable sur R par rapport à x (fonction
usuelle classique) et si y est fixé, x 7−→ g(x, y) est encore infiniment dérivable sur R par
∂g
∂2g
∂g
(x, y) = 3x2 ey ,
(x, y) = x3 ey ,
(x, y) = 6xey ,
rapport à x. On a clairement :
2
∂x
∂y
∂x
∂2g
∂2g
∂2g
3 y
2 y
(x, y) = x e et
(x, y) =
(x, y) = 3x e .
∂y 2
∂x∂y
∂y∂x
Remarque : si f désigne une fonction d’une variable réelle x supposée dérivable sur
son ensemble de définition D, on fait la différence entre la fonction f 0 , appelée fonction
dérivée de f , qui à un réel x ∈ D, associe le nombre dérivé de f en x, et f 0 (x), qui est un
nombre réel (nombre dérivé de f en x). Exactement de la même façon, si f désigne une
fonction de deux variables dérivable par rapport à chacune de ses variables x et y sur un
∂f
, fonction dérivée partielle de f , qui, à
ensemble D ⊂ R2 , on fera la différence entre
∂x
∂f
(x, y), appelé nombre dérivé de f en (x, y) par rapport à
(x, y) ∈ D, associe le nombre
∂x
∂f
la première variable, et
(x, y), le nombre dérivé lui-même.
∂x
1.3
1.3.1
Fonction de n variables
Fonction de trois variables à valeurs réelles
Ce sont les fonctions f : R3 := R × R × R −→ R
.
(x, y, z) 7−→ f (x, y, z)
Exemple : loi de Boyle-Mariotte.
f (P, V, T ) = P V − RT (pour une mole). P , V et T sont bien sûr considérées indépen∂f
∂f ∂f
,
et
.
dantes. On définit de même que précédemment :
∂P ∂V
∂T
Si (pour l’instant), on ne se pose pas la question de la dérivabilité, et si f est une fonction
définie sur un ensembleD ⊂R3 , on définit par exemple :
∂
∂ ∂f
∂3f
(x, y, z) =
(x, y, z) : on dérive d’abord f deux fois par rapport
•
∂x∂y 2
∂x ∂y ∂y
1.3. FONCTION DE N VARIABLES
7
à y, puis une fois par
à x.
rapport
3
∂
∂ ∂f
∂ f
(x, y, z) =
•
(x, y, z) : on dérive f trois fois par rapport à z.
3
∂z
∂z ∂z ∂z
Remarque : si f est une fonction de n variables, on généralise très simplement la méthode de dérivation précédente.
Exercice 1 : calculer les dérivées partielles ci-dessus.
Exercice 2 : on définit la fonction f par : f (x, y, z) = x3 y 4 + y −1z 5 .
∂2f
∂2f
∂f
(x, y, z),
(x,
y,
z),
(x, y, z)
Donner l’ensemble de définition de f , puis calculer
∂x
∂x2
∂x∂z
∂3f
et
(x, y, z).
∂x∂y∂z
1.3.2
Fonctions à valeurs vectorielles
x+y
Exemple : considérons la fonction f définie par : f (x, y, z) =
. On peut encore
xyz
2
écrire : f :
R3 −→ R
, avec f1 (x, y, z) = x + y et f2 (x, y, z) = xyz.
f1 (x, y, z)
(x, y, z) 7−→
f2 (x, y, z)
Ainsi, on a en quelque sorte décomposé une fonction de plusieurs variables à valeurs vectorielles en plusieurs fonctions de plusieurs variables à valeurs réelles.
Mise en œuvre pratique du calcul de dérivées partielles :
∂f1
∂f
(x, y, z)
∂x
.
(x, y, z) =
•
∂f2
(x, y, z)
∂x
∂x
!
∂ 2 f1
2
(x,
y,
z)
∂ f
∂x∂y
(x, y, z) =
•
.
∂ 2 f2
∂x∂y
(x, y, z)
∂x∂y
• etc.
Exercice : Donner l’ensemble de définition et de dérivabilité, puis calculer des dérivées
partielles premières et secondes des applications φ et ψ respectivement définies sur R3 et
R2 par :

√ 
x+ y
2
x
φ(x, y, z) =
et ψ(x, y) =  x − y  .
zx + y
x
y
1.3.3
Généralisation
Soient n et p, deux entiers naturels non nuls. On définit l’espace Rn par l’ensemble des
éléments s’écrivant sous la forme (x1 , x2 , ..., xn ), avec x1 ∈ R, x2 ∈ R, ..., xn ∈ R. Rp se
définit exactement de la même façon. Si l’on souhaite généraliser la notion de fonction
de plusieurs variables, on peut noter par f une fonction de U ⊂ Rn dans Rp . U est un
ensemble contenu dans Rn . Dans ce cas, il existe p fonctions de U ⊂ Rn à valeurs dans R
8CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L’ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
que nous noterons f1 , f2 , ..., fp et telles que pour X = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ U, on ait :


f1 (x1 , x2 , ..., xn )
 f2 (x1 , x2 , ..., xn ) 
.
f (X) = f (x1 , x2 , ..., xn ) = 
..


.
fp (x1 , x2 , ..., xn )
Notations. Les différentes variables se notent traditionnellement de la façon suivante :
• Dans R : x.
• Dans R2 : (x, y).
• Dans R3 : (x, y, z).
• Dans R4 : (x1 , x2 , x3 , x4 ).
• Dans Rn , pour n ≥ 4 : (x1 , ..., xn ).
Remarque : soit f , une fonction de plusieurs variables : f : O ⊂ Rn −→ Rp , où O
désigne un ensemble inclus dans Rn .
• Si p = 1, f s’appelle fonction numérique de n variables réelles.
• Si p > 1, f s’appelle fonction vectorielle de n variables réelles.
1.4. EXERCICES DU CHAPITRE
1.4
9
Exercices du chapitre
Exercice 1.1 : On rappelle la loi de Boyle Mariotte, valable pour une mole de gaz parfait :
P V = RT , où P désigne la pression du gaz, V son volume, R la constante des gaz parfaits
et T la température du milieu.
∂P
∂P
et
.
1. Calculer
∂T
∂V
2. Même question si l’on considère à présent la relation de Van der Waals, avec les
mêmes conventions que précédemment, et avec a et b réels :
a P + 2 (V − b) = RT.
V
Exercice 1.2 : On considère la fonction définie pour tous (x, y) ∈ R2 par :
f (x, y) = x2 + 2x + y 2 + 4y + 5.
1. Montrer que : ∀(x, y) ≥ 0, f (x, y) ≥ 0.
Démontrer qu’il existe un point qui minimise f (x, y).
∂f
∂f
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
2. Calculer
(x, y),
(x, y),
(x,
y),
(x,
y)
(x,
y)
et
(x, y).
∂x
∂y
∂x2
∂y 2
∂x∂y
∂y∂x
x+y
√ .
x+ y
1. Déterminer l’ensemble de définition D de f .
√
√
2. Montrer que ∀(x, y) ∈ D, |f (x, y)| ≤ x + y.
Exercice 1.3 : On pose : f (x, y) = √
3. En déduire
4. Calculer
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y).
∂f
∂f
(x, y) et
(x, y).
∂x
∂y
Exercice 1.4 : On considère la fonction f définie sur R2 par :

x6 + y 5

f (x, y) = 4
si (x, y) 6= (0, 0)
x + y4

f (0, 0) = 0
En utilisant le même type de raisonnement que dans l’exercice précédent, prouver que
lim f (x, y) = 0, i.e. que f est continue sur R2 .
(x,y)→0
Exercice 1.5 : En se souvenant de la méthode utilisée pour tracer un paraboloïde de
révolution, esquisser dans un repère (O;~i, ~j, ~k) la surface d’équation : z = x2 +2x+y 2 −2y.
Exercice 1.6 : On considère la fonction f définie par :
f (x, y) = x2 + 5y 2 − 4xy + 6y + 10.
∂f
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
∂f
(x, y),
(x, y),
(x, y) et
(x, y).
(x, y),
(x, y),
1. Calculer
∂x
∂y
∂x2
∂y 2
∂x∂y
∂y∂x
10CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L’ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
2. Montrer que : ∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) − 1 ≥ 0.
Démontrer qu’il existe un point qui minimise f (x, y).
3. On désigne par ∇f (x, y) le vecteur de coordonnées respectives
pour (x, y) ∈ R2 .
Résoudre l’équation ∇f = 0.
∂f
∂f
(x, y) et
(x, y),
∂x
∂y
Exercice 1.7 : On appelle f la fonction définie par :
3
x + zy 3 + 1
f (x, y, z) =
.
y 2 + xz
∂2f
∂2f
∂3f
∂f
(x, y),
(x,
y),
(x,
y),
(x, y).
∂x
∂z 2
∂y∂z
∂z∂y 2
2. Calculer lim f (x, y, z).
1. Calculer
(x,y,z)→O
Exercice 1.8 : On appelle f , la fonction définie sur R2 par :
9
9
f (x, y) = − y 2 + 4y + xy − x2 + 4x − 4.
2
2
1. Démontrer que, pour tous (x, y) ∈ R2 , on a l’inégalité : xy ≤ 21 (x2 + y 2 ).
2. Démontrer que, pour tous (x, y) ∈ R2 , on a l’inégalité : f (x, y) ≤ 0.
En déduire une conséquence graphique pour la surface d’équation z = f (x, y).
3. Déterminer un plan de symétrie pour la surface d’équation z = f (x, y).
∂2f
∂2f
(x, y) et
(x, y).
4. Calculer pour tous (x, y) ∈ R2 ,
∂x∂y
∂y∂x
Que remarque-t-on ?
Chapitre 2
Calculs de limites et continuité des
fonctions de plusieurs variables
2.1
2.1.1
Technique de recherche de limites
Cas réel
Dire que lim f (x) = b, avec a et b réels, revient à dire que lim |f (x) − b| = 0. Graphiquex→a
x→a
ment, cela signifie que lorsque l’on s’approche de a (x → a), la courbe de f se rapproche
de la droite d’équation y = b.
x=α
6y
y=β
C
O
a
-
x
f (a)
Fig. 2.1 – Exemple à méditer
On a : lim f (x) = β, lim f (x) = f (a), lim− f (x) = −∞ , lim+ f (x) = +∞, lim f (x) =
x→+∞
0.
x→a
x→α
x→α
11
x→−∞
CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ
12
Vraie définition de la limite : on suppose a et b réels.
lim f (x) = b ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃η > 0 /|x − a| ≤ η =⇒ |f (x) − b| ≤ ε).
x→a
En pratique, on utilise peu cette définition.
2.1.2
Formes indéterminées
Il est bien important de connaître les formes indéterminées. En effet, il s’agit de cas un peu
litigieux pour lesquels on ne peut rien affirmer a priori. On est donc contraint d’utiliser
d’autres techniques.
∞
0
Formes indéterminées :
, 0 × ∞, (−∞) + (+∞), .
∞
0
Pour les autres cas, on se reportera au tableau fourni en annexe.
Quelques exemples très simples : on écrira à chaque fois les limites sous réserve
que celles-ci existent...
x
π x
x
. x 7−→ tan
est définie sur [0, 2π[ et tan
= 1, donc lim tan
=
1. lim tan
x→π
x→π
4
4
4
4
1. (Nous y reviendrons plus tard.)
0
sin x
. On a une forme indéterminée du type .
2. lim
x→0 x
0
2
3. lim (x − x). On a une forme indéterminée du type (+∞) + (−∞).
x→+∞
2.1.3
2.1.3.1
Techniques pour lever les indéterminations
Fonctions polynôme ou rationnelle
Théorème 2.1. La limite d’une fonction polynôme en ±∞ est la limite du terme de plus
haut degré.
Exemple : lim (x2 − x) = lim x2 = +∞.
x→+∞
x→+∞
Rappelons de plus qu’une fonction rationnelle se définit comme un quotient de fonctions
polynômes.
Théorème 2.2. La limite d’une fonction rationnelle en ±∞ est la limite du quotient des
termes de plus haut degré.
x2
1
x2 + 3x − 4
=
lim
= .
2
2
x→+∞ 2x
x→+∞ 2x + 4x + 4
2
Par exemple lim
En pratique, on étudie rarement la limite en ±∞ d’une fonction de plusieurs variables,
mais nous étudierons ultérieurement des applications de ces théorèmes dans le cas multidimensionnel.
2.1. TECHNIQUE DE RECHERCHE DE LIMITES
2.1.3.2
13
Technique du nombre dérivé
f (x) − f (a)
.
x→a
x−a
f (x) − f (0)
sin x
sin x
Exemple : posons f (x) = sin x. Alors :
=
, puis
−−→ (sin)0 (0) =
x−0
x
x x→0
cos 0 = 1.
On rappelle que si f est une fonction dérivable en a, alors f 0 (a) = lim
tan x
.
x→0
x
Exercice : calculer lim
Application importante : on définit sur R2 \{(x, −x), x ∈ R} la fonction f par :
sin(x + y)
.
f (x, y) =
x+y
Posons u = x + y. u −−−−−−→ 0, et d’après le calcul précédent f (x, y) −−−−−−→ 1.
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
Cette technique peut être étendue et généralisée. C’est le principe des développements
limités.
2.1.3.3
Développements limités
Il existe une autre caractérisation de la dérivabilité.
Théorème 2.3. f est dérivable en a de nombre dérivé f 0 (a) si, et seulement s’il existe
une fonction ε telle que pour tout h tel que a + h soit élément de l’ensemble de définition
de f , on ait :
f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) + hε(h), avec lim ε(h) = 0.
h→0
C’est ce que l’on appelle une approximation du premier ordre de f en a. La condition
(nécessaire et suffisante) pour que l’on puisse trouver une approximation du premier ordre
d’une fonction f en un point a est que la fonction f soit dérivable en a. Cela traduit le
fait que l’on peut approximer localement, c’est à dire dans un voisinage de a, f (a + h)
par f (a) + hf 0 (a) avec une imprécision de hε(h).
Remarque 1 : si l’on procède à un changement de variable, en posant x = a + h,
on a que f est dérivable en a si, et seulement s’il existe une fonction ε telle que :
f (x) = f (a) + (x − a)f 0 (a) + (x − a)ε(x − a), avec lim ε(x − a) = 0.
x→a
On reconnaît bien sûr l’équation de la tangente à la courbe de f en a : y = f (a) + (x −
a)f 0 (a), dans les premiers termes du développement.
Remarque 2 : voisinage d’un point ou égalité locale.
Le développement d’une fonction au premier ordre est une égalité locale. C’est-à dire
que l’on peut considérer (définition de limite) que si l’on est suffisamment proche de a,
l’approximation : f (a + h) ' f (a) + hf 0 (a) a lieu. Mathématiquement, cela s’écrit : si
> 0 est fixé, on peut trouver η > 0 tel que : |h| < η, (c’est-à dire a + h ∈]a − η, a + η[)
implique : |f (a + h) − f (a) − hf 0 (a)| < .
Exemples :
CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ
14
• ln(1 + x) = x + xε(x), où lim ε(x) = 0 et (ln(1 + x))0 =
x→0
• ex = 1 + x + xε(x), où lim ε(x) = 0.
x→0
1
•
= 1 + x + xε(x), où lim ε(x) = 0.
x→0
1−x
1
.
1+x
Remarque : notations de Landau.
f (x)
On écrit f = o (g) lorsque lim
= 0. Lorsque nous écrirons les développements
x→a
x→a g(x)
limités d’une fonction f en x0 nous écrirons régulièrement o (xn ) où n sera un entier.
x→a
Cette notation correspond à précisément à xn ε(x) où lim ε(x) = 0.
x→a
Pour nous fixer les idées, réécrivons les identités précédentes à l’aide des notations de
Landau :
• ln(1 + x) = x + o (x).
x→0
• ex = 1 + x + o (x).
x→0
1
= 1 + x + o (x).
•
x→0
1−x
Remarque : dans le cas d’une approximation quand x → 0, on verra souvent o(x) au
lieu de o (x).
x→0
Définition 2.1. L’écriture, lorsque f est dérivable en a :
f (x) = f (a) + (x − a)f 0 (a) + o (x − a),
x→a
s’appelle développement limité de f en a à l’ordre 1.
Parfois, on a besoin d’une précision supplémentaire. On utilise les théorèmes suivants qui
nécessitent la notion de continuité. Pour le moment, on se contentera d’admettre que la
fonction est continue. Par la suite, on définira précisément la notion de continuité.
Théorème 2.4. Si f est une fonction deux fois dérivable en a telle que f 00 est continue
en a, alors :
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + f 00 (a)
(x − a)2
+ o (x − a).
x→a
2
Plus généralement, on peut utiliser la formule de Taylor-Young :
Théorème 2.5. Si f est une fonction n fois dérivable en a telle que f (n) est continue en
a, alors :
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + f 00 (a)
=
n
X
k=0
f (k) (a)
(x − a)2
(x − a)3
(x − a)n
+ f 000 (a)
+ ... + f (n) (a)
+ o (x − a)n
x→a
2!
3!
n!
(x − a)k
+ o (x − a)n .
x→a
k!
Remarque : on rappelle que n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1 et 0! = 1.
On peut former les développements limités à l’ordre 2 des fonctions usuelles que l’on
sait deux fois dérivables, à dérivée seconde continue :
2.1. TECHNIQUE DE RECHERCHE DE LIMITES
•
•
•
•
•
•
•
•
•
15
2
ex = 1 + x + x2 + o(x2 ) ;
2
cos x = − x2 + o(x2 ) ;
sin x = x + o(x2 ) ;
1
= 1 − x + x2 + o(x2 ) ;
1+x
1
= 1 + x + x2 + o(x2 ) ;
1−x
tan x = x + o(x2 ) ;
x2 + o(x2 ) ;
(1 + x)α = 1 + αx + α(α−1)
2
√
2
1 + x = 1 + x2 − x8 + o(x2 ) ;
2
ln(1 + x) = x − x2 + o(x2 ) ;
Remarque : une fonction f peut ne pas être dérivable ou plusieurs fois dérivable et
admettre cependant un développement limité.
2.1.3.4
Formule de Taylor-Lagrange
Bien que nos études concernent des fonctions de plusieurs variables, il nous sera souvent
utile de recourir à des résultats d’Analyse à une variable. Les exercices traités en témoigneront. Les théorèmes suivants explicitent les formules de Taylor-Lagrange à différents
ordres. Ils permettent d’encadrer l’erreur d’approximation des fonctions d’une variable
par leur développement limité. Le premier théorème a probablement déjà été étudié sous
le nom d’inégalité des accroissements finis :
Théorème 2.6. Soit f , une fonction une fois dérivable sur un intervalle I ⊂ R. Alors,
pour toux a et b réels de I, et si la dérivée de f est bornée par un réel M (c’est à dire si
pour tout x de I on a |f 0 (x)| ≤ M, on a l’inégalité :
|f (b) − f (a)| ≤ M|b − a|.
2
Exemple : la fonction
π x 7−→ tan x a pour dérivée la fonction x 7−→ 1 + tan x, qui est
minorée si x ∈ 0, 2 par le réel 1. En utilisant l’inégalité des accroissements finis, on en
déduit que :
h πh
π
∀x ∈ [0, [, tan x − tan 0 ≥ x − 0 ⇐⇒ ∀x ∈ 0,
, tan x ≥ x.
2
2
Théorème 2.7. Soit f , une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I ⊂ R. Alors,
pour tous a et b réels de I, et si la dérivée seconde de f est bornée par un réel M (c’est-à
dire si pour tout x de I on a |f 00 (x)| ≤ M), on a l’inégalité :


2


0
f (b) − (f (a) + (b − a)f (a))  ≤ M|b − a| .


2
Théorème 2.8. Soit f , une fonction trois fois dérivable sur un intervalle I ⊂ R. Alors,
pour tous a et b réels de I, et si la dérivée troisième de f est bornée par un réel M (c’est
à dire si pour tout x de I on a |f 000 (x)| ≤ M), on a l’inégalité :


3
2


f (b) − f (a) + (b − a)f 0 (a) + (b − a) f 00 (a)  ≤ M|b − a| .


2
6
CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ
16
Exemple : on appelle I l’intervalle [0, π2 ]. Posons f (x) = sin x. La fonction sinus est
infiniment dérivable sur I et toutes ses dérivées sont continues (fonction usuelle). On en
déduit (les dérivées premières et secondes étant majorées en valeur absolue par 1) que,
puisque (sin)0 (0) = cos 0 = 1 et (cos x)0 (x) = − sin x ⇒ sup | − sin x| = 1, on a :
x∈I
∀x ∈ I, |f (x) − (f (0) + xf 0 (0))| ≤
2.2
2.2.1
(x − 0)2
x2
sup |f 00 (x)| ⇐⇒ ∀x ∈ I, | sin x − x| ≤ .
2!
2
x∈I
Continuité des fonctions de plusieurs variables
Cas réel
6y
C
-
a
x
Fig. 2.2 – Exemple de fonction discontinue en a
Par définition, f est continue en a si, et seulement si lim f (x) = f (a).
x→a
Dans l’exemple ci-dessus, f n’est pas continue en a. En revanche, f semble continue
partout ailleurs.
2.2.2
Cas des fonctions de R2 dans R
Définition 2.2. Soit f , une fonction définie sur une partie A ⊂ R2 et A = (a1 , a2 ), un
point de A. Alors, f est dite continue en A si lim f (X) = f (A).
x→A
x∈A
Remarque : X = (x, y). X → a signifie x → a1 et y → a2 .
Définition 2.3. f est dite continue sur A si, et seulement si f est continue en tout point
de A.
En pratique, pour démontrer qu’une fonction est continue, on sera amené à utiliser une
des méthodes décrites précédemment. Nous ferons à la fin du chapitre un récapitulatif des
méthodes à utiliser si l’on souhaite démontrer qu’une fonction est continue.
Le théorème qui suit porte le nom de théorème d’encadrement ou théorème des gendarmes.
Vous en avez déjà probablement étudié une version pour des fonctions d’une variable. Ce
théorème permet de généraliser ce résultat aux fonctions de plusieurs variables.
2.2. CONTIUITÉ DES FONCTIONS
17
Théorème 2.9. Soit f , une fonction de R2 à valeurs dans R et α ∈ R2 . On pose X =
(x1 , x2 ) et A = (a1 , a2 ).
S’il existe une fonction g telle que lim g(X) = 0 et |f (X) − α| ≤ g(X), alors :
X→A
lim (f (X) − α) = 0, c’est-à dire : lim f (X) = α.
X→A
X→A
Exemple : soit f définie sur D := R2 \{(0, 0)} par : f (x, y) =
x3 + y 3
.
x+y
y3
x3
y3
x3
+
≤
+
≤ |x| + |y| −−−−−−→ 0 (limite
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
x2 + y 2
x
y
d’une somme continue ...). Par conséquent, on en déduit que lim f (x, y) = 0.
∀(x, y) ∈ D, |f (x, y)| ≤
(x,y)→(0,0)
Cette étude nous fournit des informations sur la continuité de f .
D’après les règles élémentaires sur les limites, il est clair que pour tout couple (x0 , y0 ) de
R2 tel que (x0 , y0) 6= (0, 0), on a : f (x, y) −−−−−−−−→ f (x0 , y0). Le cas le plus probléma(x,y)→(x0 ,y0 )
tique est celui du voisinage de (0, 0). En effet, souvenons-nous par exemple de la fonction
sin x
sin x
, non définie en 0 à priori, mais telle que : lim
= 1. C’est le principe
g : x 7−→
x→0 x
x
du prolongement par continuité. Il suffit de définir une fonction que nous nommerons g̃
par g̃(x) := g(x) si x 6= 0 et g̃(0) = 1. Alors g̃ est une fonction continue. Ce principe
s’applique encore pour f . Ainsi, appelons f˜ la fonction définie par :
f (x, y) si (x, y) 6= (0, 0)
˜
f (x, y) =
0
si (x, y) = (0, 0).
f˜ est une fonction continue sur R2 . Plus précisément f˜ est le prolongement par continuité
de la fonction f .
Ce résultat peut être généralisé. C’est l’objet du théorème qui suit :
b = Ω\{X0 }
Théorème 2.10. Soit f une fonction de deux variables définie sur une partie Ω
b et que
de R2 , où X0 = (x0 , y0) est un élément de Ω. Supposons que f soit continue sur Ω
l’on ait : lim f (x, y) = ` ∈ R.
(x,y)→X0
Alors la fonction f˜ définie par :
f (x, y)
f˜(x, y) =
`
b
si (x, y) ∈ Ω
si (x, y) = X0 = (x0 , y0 )
est une fonction continue. C’est le prolongement par continuité de la fonction f en X0 .
Remarque : tous les résultats que nous venons d’obtenir peuvent être généralisés très
facilement aux fonctions de Rn dans R, puis aux fonctions de Rn dans Rp . Nous étudierons
de nombreux exemples en exercices.
2.2.3
Techniques générales
Ce paragraphe a pour objet de répondre à la question suivante : comment étudier la
limite d’une fonction de plusieurs variables ? Nous donnerons une méthode globale en fin
CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ
18
de paragraphe, mais avant, étudions le cas particulier d’une fonction n’admettant pas de
limite en un point. Comment ce comportement va-t-il se caractériser ?
On se souvient qu’une fonction de R dans R peut présenter des points de discontinuité.
C’est l’exemple du graphe proposé en début de section. Pour une fonction de R2 dans
R, il est possible qu’elle admette une discontinuité, uniquement selon une direction. En
clair, il est beaucoup plus difficile de converger dans R2 que dans R. Comparons les cas
de discontinuité :
• Si f est une fonction de R dans R, on dira que f n’est pas continue en x0 lorsque
lim f (x) 6= f (x0 ) ou lorsque x→x
lim f (x) 6= f (x0 ) ou encore si cette limite n’existe même
x→x
0
x<x0
0
x>x0
pas.
Autrement dit, il existe deux cas de figure pour une fonction de R dans R discontinue
en un point.
• En revanche si f est une fonction de R2 dans R discontinue en x0 ∈ R2 , il existe une
infinité de façons de parvenir en x0 . Si x0 = (0, 0) par exemple, on peut arriver en
(0, 0) selon les axes (0x) et (Oy) (4 façons d’arriver), selon la première bissectrice (2
autres façons), selon la droite d’équation y = −x (2 autres façons) ou plus généralement
selon n’importe quelle courbe continue de R2 passant par l’origine. Cette situation est
illustrée par le schéma qui suit.
6y
W
?
R
=
6
I
Y
x
Fig. 2.3 – Différentes façons de converger vers (0, 0) dans R2
Pour démontrer qu’une fonction f de deux variables est discontinue en x0 ∈ R2 , il faut
exhiber deux directions particulières afin de trouver deux limites différentes selon ces directions, ou encore, de parvenir à faire diverger la fonction selon une direction.
Remarque : lorsque l’on fait converger une fonction selon une direction particulière,
on ne peut avoir aucune garantie que la valeur trouvée en passant à la limite est la limite
de la fonction. En effet, il faut d’abord savoir si la fonction converge.
Notion d’arc paramétré : un arc paramétré permet de représenter des courbes dans le
plan ou l’espace. On utilise un paramètre t. La courbe est donnée par les points M(t) de
coordonnées (x(t), y(t)), où x et y sont deux fonctions de t et par un intervalle I, tel que
t ∈ I.
En général, dans le cadre de ce cours x(t) et y(t) désigneront souvent des fonctions polynômes. L’idée est que l’on doit pouvoir faire converger (x(t), y(t)) vers le point de discontinuité lorsque t tend vers une certaine valeur, en général 0.
2.2. CONTIUITÉ DES FONCTIONS
19
De nombreux exemples seront fournis en exercice.
x + y2
Exemple : on définit sur R \{(0, 0)} par f (x, y) =
. On peut montrer que f
|y| + x2
est discontinue en (0, 0).
x1 (t) = 0
x2 (t) = t
∗
On utilise les arcs paramétrés :
, avec t ∈ R et
, avec t ∈ R+ .
y1 (t) = t
y2 (t) = t
t + t2
= 1 −−−→
1, car t > 0.
On a : f (x1 (t), y1 (t)) = |t| −−→ 0 et f (x2 (t), y2 (t)) =
t→0
t→0+
|t| + t2
On obtient deux limites différentes. Par conséquent, f est discontinue en (0, 0).
2
Recapitulons : si f est une fonction de deux variables et si l’on souhaite étudier l’éventuelle limite de f (x, y) quand (x, y) → (x0 , y0 ), plusieurs cas peuvent se présenter :
• si f est discontiue en (x0 , y0 ) : il s’agit de trouver les bons arcs paramétrés qui permettront, comme expliqué ci-dessus de prouver que selon deux directions différentes, f
admet deux limites différentes.
• si f est continue en (x0 , y0) : on prouve qu’il y a convergence à l’aide d’un développement
limité ou d’un encadrement.
On donne un dernier exemple d’utilisation des développements limités.
x(sin y − y)
.
x2 + y 2
On sait que sin y −y = o (y 2 ), donc il existe une fonction ε telle que : ∀y ∈ R, sin y −y =
Exemple : on définit la fonction f sur R2 \{(0, 0)} par : f (x, y) =
y→0
xy 2 ε(y)
et puisque ∀(x, y) ∈ R2 , |xy| ≤ 21 (x2 +y 2 ),
y→0
x2 + y 2
|y||ε(y)|
on a : ∀(x, y) ∈ R2 \{(0, 0)}, |f (x, y)| ≤
−−−−−−→ 0, donc f est prolon(x,y)→(0,0)
2
geable par continuité en (0, 0), et f est clairement continue partout ailleurs. En effet :
a(sin b − b)
= f (a, b), pour (a, b) 6= (0, 0).
lim f (x, y) =
(x,y)→(a,b)
a2 + b2
y 2 ε(y), avec ε(y) −−→ 0, donc f (x, y) =
CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ
20
2.3
Exercices du chapitre
Exercice 2.1 : Déterminer un développement limité en 0, à l’ordre 2 des fonctions suivantes :
1. f : x 7−→ 12 (ex + e−x ) ;
2. g : x 7−→ 21 (ex − e−x ) ;
1
;
3. h : x 7−→
1−x
Exercice 2.2 :
1. Soit f , une fonction dérivable en un point a.
Calculer, en utilisant deux méthodes différentes :
f (a + h) − f (a − h)
.
h→0
h
lim
2. Soit f , une fonction deux fois dérivable en un point a. Calculer :
f (a + h) + f (a − h) − 2f (a)
.
h→0
h2
lim
Exercice 2.3 : On considère la fonction f définie par : f (x) =
1. Déterminer l’ensemble de définition D de f .
x3 − y 3
.
x−y
2. Montrer que f est prolongeable par continuité.
Exercice 2.4 :
1. Démontrer que pour tous x et y réels, on a l’inégalité : |xy| ≤
2. On pose pour tous (x, y) ∈ R∗2 : f (x, y) = |xy| −
x2 y 2
+ .
2
2
x2 y 2
− .
2
2
(a) Déduire de la question 1. une conséquence graphique pour la surface d’équation
z = f (x, y).
(b) Démontrer que la surface d’équation z = f (x, y) admet un plan de symétrie que
l’on précisera.
∂f
∂f
3. Calculer
(x, y) pour x > 0 et x < 0, puis montrer que la fonction
est discon∂x
∂x
tinue.
Exercice 2.5 : On considère la fonction f définie par : f (x, y) =
1. Déterminer l’ensemble de définition de f noté Df .
1 − cos(x − y)
.
x−y
2. Déterminer les expressions des dérivées partielles de f , ainsi que leurs intervalles de
définitions..
3. On va chercher
lim
(x,y)→(1,1)
f (x, y) par plusieurs méthodes.
2.3. EXERCICES DU CHAPITRE
21
(a) En utilisant un développement limité.
(b) En utilisant un encadrement.
(c) En utilisant la définition du nombre dérivé.
4. f est-elle prolongeable par continuité au point (1, 1) ?
Exercice 2.6 : On souhaite montrer que la fonction f définie par f (x, y) =
|xy|
n’adx+y
met pas de limite en O, de coordonnées (0, 0).
Utiliser deux arcs paramétrés que l’on représentera pour faire converger f vers deux
nombres différents, puis conclure.
Exercice 2.7 : Étudier la continuité de la fonction f définie sur R2 par :

 x2 y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =
x4 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0)
x3 yz
a-t-elle une limite en 0 ?
x+y+z
ln(1 + x)(sin y − y)
Exercice 2.9 : La fonction f définie sur R2 − {(0, 0)} par : f (x, y) =
x2 + y 2
peut-elle être prolongée par continuité en (0, 0) ?
Exercice 2.8 : La fonction f : (x, y, z) 7−→
Exercice 2.10 : On appelle f , la fonction définie par :
f : R2 \{(0, 0)} −→ R
x4 + y 2
.
(x, y) 7−→ 2
x + y2
En utilisant des arcs paramétrés que l’on prendra soin de représenter, montrer que f n’admet pas de limite en (0, 0).
Exercice 2.11 : On définit la fonction f par :
f (x, y) =
x2
+
y2
|x|
.
+ 2x − 4y + 4
On appelle Υ sa surface représentative dans l’espace.
Les questions de ce problème peuvent être traitées de façon complètement indépendante.
1. Quel est l’ensemble de définition de f ? On le notera Df .
Représenter graphiquement cet ensemble dans le plan.
2. Résoudre l’équation f (x, y) = 0 et donner une interprétation graphique du résultat.
3. Exprimer f (x, y) sans utiliser la notation valeur absolue.
∂f
4. Calculer, pour tous (x, y) de Df ,
(x, y).
∂x
5. Soit t, un nombre réel différent de 2.
∂f
au point de coordonnées (0, t).
Étudier la continuité de
∂x
CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ
22
6. On s’intéresse dans cette question à la courbe Γ située à l’intersection de la surface
représentative de f et du plan d’équation y = 3.
On appelle g la fonction de courbe représentative Γ.
(a) Quel est l’ensemble de définition de g ? On le note Dg .
(b) Déterminer l’expression de g(x) en fonction de x.
(c) Étudier rapidement les variations de g.
|x|
?
(d) Pour quels x de Dg , a-t-on : |g(x)| ≤
4
|x|
7. On appelle h, la fonction de R sur R2 définie par h(x, y) =
de surface représen4
tative Π.
Montrer que Π est la réunion de deux demi-plans, et sans prétendre à la précision,
représenter l’allure de Π dans un repère orthonormé de l’espace.
|x|
8. Pour quels (x, y), éléments de Df , a-t-on : f (x, y) ≤
?
4
En déduire une conséquence graphique.
Exercice 2.12 :
x2 y 5
.
(x,y)→(0,0) x4 + x2 y 2 + y 4
ln x
ln(x + y)
2. Calculer lim 2
. En déduire : lim
.
2
x→1 x − 1
(x,y)→(1,0) x + 2xy + y 2 − 1
1. Calculer la limite suivante :
lim
Chapitre 3
Notion de différentiabilité
Ce chapitre est important car il généralise la notion de dérivation dans le cas multidimensionnel.
3.1
Applications linéaires
Soit E, un R-espace vectoriel.
Définition 3.1. Soient E et F , deux espaces vectoriels.
Une application f de E dans F est dite linéaire si :
(i) ∀(x, y) ∈ E 2 , f (x + y) = f (x) + f (y) ;
(ii) ∀a ∈ R, ∀x ∈ E, f (ax) = af (x).
Remarque : les deux égalités précédentes équivalent à l’unique égalité :
∀(α, β) ∈ R2 , ∀(x, y) ∈ E 2 , f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).
Exemple : f :
R2 −→ R
est linéaire. En effet, f (αX + βY ) = αf (X) + βf (Y )
(x, y) 7−→ x + y
où X = (x1 , x2 ) et Y = (y1 , y2). (à vérifier en exercice)
Vocabulaire : une application linéaire de E dans E bijective s’appelle un automorphisme.
Remarque : on note L(E, F ) l’ensemble des applications linéaires de E dans F .
3.2
3.2.1
Calcul différentiel
Dérivée selon un vecteur
Définition 3.2. Soit f : R2 −→ R. On dit que f admet une dérivée première en a ∈ R2
suivant le vecteur ~v = (v1 , v2 ) si, et seulement si ϕ~v : t 7−→ f (a + t~v ) est dérivable en 0.
Si c’est le cas, on appelle dérivée de f en a suivant ~v et on note D~v f (a) l’élément ϕ~v0 (0)
23
CHAPITRE 3. NOTION DE DIFFÉRENTIABILITÉ
24
et on a :
D~v f (a) = lim
t→0
f (a + t~v ) − f (a)
t
.
Exemple : on appelle f la fonction définie par : f (x, y) = xy.
Calculons la dérivée de f en (0, 0) suivant le vecteur ~v = (1, 1). On a : ϕ~v (t) = f (a + t~v) =
t2
t2 , donc D~v f (a) = lim = 0.
t→0 t
Propriété 3.1. Les dérivées d’une fonction f : R2 −→ R suivant les vecteurs ~i = (1, 0)
et ~j = (0, 1), si elles existent, correspondent aux dérivées partielles de f respectivement
par rapport à x et y.
∂f
∂f
On a ainsi : D~i f (x, y) =
(x, y) et D~j f (x, y) =
(x, y).
∂x
∂y
Remarque importante : l’existence de dérivées partielles d’une fonction f en un point
n’implique pas la continuité de f en ce point.
xy
.
x2 + y 2
f (x, 0) − f (0, 0)
• Existence de dérivée partielle selon x : calculons pour x 6= 0
=
x−0
0
= 0 −−→ 0. Par conséquent, f admet en (0, 0) une dérivée partielle selon x.
x→0
x
f (0, y) − f (0, 0)
=
• Existence de dérivée partielle selon y : calculons pour y 6= 0
y−0
0
= 0 −−→ 0. Par conséquent, f admet en (0, 0) une dérivée partielle selon y.
x→0
y
• Discontinuité de f : on va utiliser des chemins paramétrés. Calculons pour t 6= 0,
1
1
t3
t
f (t, t) =
−−→
et f (t, t2 ) = 2
=
−−→ 0, ce qui prouve que f est
4
t→0
2
2
t +t
1 + t2 t→0
discontinue en (0, 0).
Exemple : on appelle f la fonction définie sur D = R2 \{(0, 0)} par : f (x, y) =
3.2.2
Fonctions f : Rn −→ Rp
Si f est par exemple une fonction de R2 dans R3 , on peut écrire :
f:
R2 −→ R3
(x, y) 7−→ (f1 (x, y), f2(x, y), f3 (x, y))
, où f1 , f2 et f3 sont des fonctions de R2 dans R.
On a alors, si a ∈ R2 et ~v = (v1 , v2 ) est un vecteur de R2 :
D~v f (a) = (D~v f1 (a), D~v f2 (a), D~v f3 (a)).
Exemple : on définit la fonction f sur R2 à valeurs dans R par :
2 xy
f (x, y) =
yex
On appelle ~u le vecteur de coordonnées (1, 0) et a le point de coordonnées (x, y). On
montre aisément que :
2xy
.
Du~ f (a) =
yex
3.2. CALCUL DIFFÉRENTIEL
3.2.3
25
Application différentielle
Définition 3.3. Classes C 0 et C 1 .
(i) On dit qu’une fonction f : U ⊂ R2 −→ R est de classe C 0 sur son ensemble de
définition U, ou encore que f ∈ C 0 (U) si, et seulement si f est continue sur U.
(ii) On dit qu’une fonction f : U ⊂ R2 −→ R est de classe C 1 sur son ensemble de
définition U, ou encore que f ∈ C 1 (U) si, et seulement si les deux conditions suivantes
sont vérifiées :
1. f admet des dérivées partielles premières en tout point de U.
∂f
∂f
et
sont continues sur U.
2.
∂x
∂y
∂f
Exemple : f définie par f (x, y) = xy est clairement de classe C 1 (R2 ). En effet,
(x, y) =
∂x
∂f
∂f
∂f
y et
(x, y) = x. Par conséquent,
et
sont continues.
∂y
∂x
∂y
Remarque : généralisation assez simple.
Si n ∈ N∗ et f : Rn → R, on dit que f est de classe C 1 si, et seulement si f admet des
∂f
∂f ∂f
,
, ...,
continues sur U.
dérivées partielles
∂x1 ∂x2
∂xn
Propriété 3.2. Soit U, un ensemble inclus dans R2 .
C 1 (U) ⊂ C 0 (U).
Traduction : si f ∈ C 1 (U), alors f est continue sur U. cette propriété est vérifiée pour
tout n ∈ N∗ , sur U ⊂ Rn .
On peut encore aisément définir la notion de classe C k , avec k ≥ 1.
Définition 3.4. On dit qu’une fonction f : U ⊂ Rn −→ R est de classe C k sur son
ensemble de définition U, ou encore que f ∈ C k (U) si, et seulement si les deux conditions
suivantes sont vérifiées :
1. f admet des dérivées partielles successives sur U jusqu’à l’ordre k inclus.
2. Les dérivées partielles successives de f sont continues sur U.
Remarque : classe C ∞ . On dit que f est de classe C ∞ sur U si, et seulement si f admet
des dérivées partielles successives sur U à tout ordre et si ces dérivées successives sont
continues sur U.
Propriété 3.3. Soit U, un ensemble inclus dans Rn et soir k ≥ 1.
C k (U) ⊂ C k−1 (U) ⊂ ... ⊂ C 1 (U) ⊂ C 0 (U).
Le théorème suivant est célèbre. Il permet d’intervertir, sous certaines conditions, d’intervertir les symboles de dérivation.
Théorème 3.1. Théorème de Schwarz.
Si f est une fonction de R2 dans R, de classe C 2 sur un ouvert U, en tout point de U, on
a:
∂2f
∂2f
=
.
∂x∂y
∂y∂x
CHAPITRE 3. NOTION DE DIFFÉRENTIABILITÉ
26
Un exemple célèbre : lorsque les dérivées partielles secondes ne sont pas continues.
On appelle f la fonction définie sur R2 par :

xy(x2 − y 2 )

, si (x, y) 6= (0, 0).
f (x, y) =
x2 + y 2

f (0, 0) = 0
f (x, y) − f (0, y)
y(x2 − y 2)
∂f
= lim
= −y, donc
(0, y) = −y ;
2
2
x→0
x→0
x
x +y
∂x
∂f
f (x, 0) − f (0, 0)
= 0, donc
(0, 0) = 0.
lim
x→0
x
∂x
∂f
(0, y) − ∂f
(0, 0)
∂2f
∂x
(0, 0) = lim ∂x
= −1.
D’où
y→0
∂y∂x
y
1. Si y 6= 0, lim
∂f
f (x, y) − f (x, 0)
x(x2 − y 2)
= lim
= x, donc
(x, 0) = x ;
2
2
y→0
y→0 x + y
y
∂x
∂f
f (0, y) − f (0, 0)
= 0, donc
(0, 0) = 0.
lim
y→0
y
∂y
∂f
(x, 0) − ∂f
(0, 0)
∂2f
∂y
∂y
D’où
(0, 0) = lim
= 1.
x→0
∂x∂y
x
2. Si x 6= 0, lim
∂2f
∂2f
et
ne prennent pas la même valeur en (0, 0). Par conséquent, ces deux
∂y∂x
∂x∂y
fonctions ne sont pas continues en ce point. (On peut encore le vérifier en calculant explicitement ces dérivées.)
Ainsi,
Nous avons défini tous les outils nécessaires pour introduire la notion de différentiabilité d’une fonction de plusieurs variables.
−
→
Définition 3.5. Soit f : U ⊂ R2 −→ R et U , l’ensemble des vecteurs de U.
−
→
On dit que f est différentiable en a s’il existe une application linéaire da f définie sur U ,
telle que :
f (a + h) − f (a) − da f (h)
= 0.
lim
khk→0
khk
−
→
da f s’appelle la différentielle de f en a et on a : da f ∈ L( U , E), avec E ⊂ R2 .
3.2.4
Développement limité
Théorème 3.2. f est différentiable en a si, et seulement si il existe r > 0 tel que si
khk < r, alors
f (a + h) = f (a) + da f (h) + o (khk)
khk→0
, où
o (khk) = khkε(h), où ε(h) −−−−→ 0.
khk→0
khk→0
On dit alors que f admet un développement limité à l’ordre 1 en a.
Propriété 3.4. Si f est de classe C 1 (U) et si a ∈ U, alors f admet un développement
limité à l’ordre 1 en a, autrement dit, f est différentiable en a.
3.2. CALCUL DIFFÉRENTIEL
27
Remarque importante : lorsque l’on écrit : f (a + h) = f (a) + da f (h) +
o (khk), il
khk→0
faut bien garder à l’esprit que da f , lorsque a ∈ U est donné, est une application linéaire
−
→
de la variable h ∈ U (ensemble des vecteurs de U).
Une question d’ordre pratique se pose : comment calculer la différentielle d’une fonction
en un point ? Il faut utiliser une propriété de la différentielle.
Propriété 3.5. Soit f , une aplication différentiable en un point a de R2 .
On appelle ϕa , la fonction définie pour ~u vecteur de R2 fixé par :
ϕa : R −→ R
f (a + t~u) − f (a)
t 7−→
.
t
On a alors : lim ϕa (t) = dfa (~u).
t→0
Démonstration : elle sera faite en travaux dirigés.
Remarque : la fonction ϕa introduite dans la propriété précédente, sous réserve d’existence, bien-sûr, porte le nom de différentielle de Gâteaux au point a.
Attention ! Une fonction différentiable est bien différentiable au sens de Gâteaux, mais la
réciproque est ARCHI fausse.
Exemple : on appelle f la fonction définie sur R2 par : f (x, y) = xy. f est de classe
C 1 sur R2 comme produit de fonctions d’une variable de classe C 1 , donc f est différentiable en tout point de R2 .
On va calculer da f (~u), où a = (1, 1) et on pose ~u = (x, y).
f (a + t~u) − f (a)
(1 + tx)(1 + ty) − 1
Ainsi,
=
= ... = x + y + txy −−→ x + y.
t→0
t
t
Par conséquent, da f (x, y) = x + y.
Exercice : vérifier que da f définie par :
da f :
R2 −→ R
(x, y) 7−→ x + y
est une fonction linéaire.
3.2.5
Expression explicite de la différentielle
Théorème 3.3. Soit f : U ⊂ R2 −→ R.
Si f est différentiable en un point a ∈ U, on a :
da f :
R2 −→ R
∂f
∂f
(x, y) 7−→ x (x, y) + y (x, y).
∂x
∂y
Exercice : s’amuser à retrouver la différentielle de (x, y) 7−→ xy en a = (1, 1).
CHAPITRE 3. NOTION DE DIFFÉRENTIABILITÉ
28
Avant de continuer, récapitulons les différentes propriétés énoncées sur la différentielle : on
peut écrire que si f : U ⊂ R2 −→ R est différentiable en a, alors, on a : ∀a = (a1 , a2 ) ∈ U
et quel que soit h, vecteur de R2 , h = (h1 , h2 ), on a :
f (a + h) = f (a) + h1
∂f
∂f
(a) + h2 (a) + o (khk).
khk→0
∂x
∂y
Vocabulaire : da f s’appelle également application linéaire tangente de f en a.
Définition 3.6. E désignant un espace vectoriel, on appelle forme linéaire toute application linéaire de E à valeurs dans R.
Appelons dx et dy les formes linéaires « projection sur les axes » définies de la façon
suivante :
dx :
R2 −→ R , et dy :
R2 −→ R
(x, y) 7−→ x
(x, y) 7−→ y.
(dx, dy) s’appelle la base duale de E. On peut ainsi écrire que, ∀h = (x, y) ∈ E :
da f (h) =
∂f
∂f
(a)dx(h) +
dy(h).
∂x
∂y
On détaillera la notion de base duale dans le chapitre ?? consacré à l’étude des formes
différentielles.
3.2.6
Méthode générale de calcul
Pour conclure, proposons deux exemples d’étude de différentiabilité et régularité. On note
F et G les deux fonctions définies toutes deux pour X = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn par :
F (X) = N2 (X) et G(X) = N22 (X).
2
2
n
N2 désigne bien
p sûr la norme euclidienne, c’est à dire que, si X ∈ R , G(X) = x1 + ... + xn
et F (X) = G(X).
• Si X ∈ (R∗ )n , on a trivialement :
|G(X)|
= N2 (X) −−−−→ 0.
kXk→0
N2 (X)
Il est bien évident ici que k.k = N2 (.). D’après la définition énoncée dans ce chapitre,
G est différentiable en O = (0, ..., 0). Il suffit pour s’en apercevoir, de vérifier que la
définition 3.5 est vérifiée, pour a = O et X = h.
Il s’ensuit que da G est l’application linéaire identiquement nulle.
• Intuitivement, il y a peu de chance que la norme euclidienne de Rn (fonction F ) soit
différentiable en O, en raison de la présence de la racine carrée. Mais, encore faut-il le
vérifier...
3.3. CONSÉQUENCES DE LA DIFFÉRENTIABILITÉ
29
L’idée est d’utiliser une propriété très utile en pratique. Il s’agit de la propriété 3.5. En
posant encore a = O et h = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , on a, pour t 6= 0 :
|t|N2 (h)
F (a + th) − F (a)
= ... =
= ±N2 (h).
t
t
Non seulement, la fonction de h obtenue n’est pas linéaire, car la norme euclidienne
n’est pas linéaire, mais en plus, on obtient deux limites a priori différentes selon que
t > 0 ou t < 0. Chacun de ces deux arguments contredit la différentiabilité de F .
Conclusion : On a bien-sûr F 2 = G. G est différentiable en O, et même de classe C 1 (Rn )
en tant que fonction polynômiale, tandis que F est non-différentiable en O.
3.3
3.3.1
Conséquences de la différentiabilité
Notion de gradient
Soit f : Rn −→ Rp , avec n et p, deux nombres entiers non nuls. On se ramène
aisément


f1 (a)
au cas : f : Rn −→ R en considérant que si a ∈ Rn , alors : f (a) =  ... , où
fp (a)
n
fi : R −→ R, avec i ∈ {1, ..., p}.
Ainsi, on considère f : Rn −→ R, avec n ∈ N∗ . La différentielle de f en a a pour
expression :
da f :
Rn −→ R
, avec da f (h) =
h = (h1 , h2 , ..., hn ) 7−→ da f (h)
n
X
i=1
hi
∂f
(a).
∂xi
Définition 3.7. Soit f : U ⊂ R2 −→ R et a ∈ R2 .
−−→
On appelle gradf (a) (gradient de f en a) ou ∇f (a) (nabla de f (a)), le vecteur :
∂f
∂f
∇f (a) =
(a),
(a) .
∂x
∂y
Si f : U ⊂ Rn −→ R et a ∈ R2 , on définit ∇f (a) par :
∂f
∂f
∂f
∇f (a) =
(a),
(a), · · · ,
(a) .
∂x1
∂x2
∂xn
3.3.2
Schéma récapitulatif
On retiendra ce schéma, très utile pour traiter les exercices :
f ∈ C 1 (U) =⇒ f admet un DL1 (a), ∀a ∈ U =⇒ f ∈ C 0 (U)
⇓
f admet des DP en x ∈ U
CHAPITRE 3. NOTION DE DIFFÉRENTIABILITÉ
30
3.4
Exercices du chapitre
Exercice 3.1 :
1. Démontrer que la somme de deux applications linéaires est encore une application
linéaire.
2. Plus généralement, démontrer que toute combinaison linéaire d’applications linéaires
est encore linéaire.
Exercice 3.2 : Les applications suivantes sont-elles linéaires :
1. f :
2
R3 −→ R
.
1
(x, y, z) 7−→
2x − y, y − z .
2
2. g :
R2 −→ R
(x, y) 7−→ xy.
3. h : C −→ R+
z 7−→ |z|.
4. h : C −→ R
z 7−→ <e(z) + =m(z).
5. On appelle F , l’ensemble des fonctions de R dans R admettant une limite en 0.
k : F −→ R
f 7−→ lim f (x).
x→0
Exercice 3.3 : Vérifier que l’expression de la différentielle à l’aide du gradient et du
produit scalaire d’une fonction f définie sur un ouvert U, en a ∈ U, et à valeurs réelles,
définit une application linéaire.
On pourra commencer par vérifier cette propriété dans R2 , puis dans Rn , avec n, un entier
naturel quelconque.
Exercice 3.4 : Soit f , une aplication différentiable en un point a de R2 .
On appelle ϕa , la fonction définie pour ~u vecteur de R2 fixé par :
ϕa : R −→ R
f (a + t~u) − f (a)
.
t 7−→
t
Prouver que : lim ϕa (t) = dfa (~u).
t→0
Exercice 3.5 : On considère la fonction f définie sur R2 par la relation : f (x, y) =
ex
.
1 + y2
1. Expliquer brièvement pourquoi f est différentiable en tout point de R2 .
2. Calculer le gradient de f .
3. Donner un développement limité à l’ordre 1 de f au voisinage du point de coordonnées (0, 0).
Exercice 3.6 : Calculer la différentielle à l’origine des applications suivantes :
3.4. EXERCICES DU CHAPITRE
31
R2 −→ R
p
(x, y) 7−→ f (x, y) = x3 + 1 + x2 + y 2
(ii) g :
R3 −→ R
(x, y, z) 7−→ g(x, y, z) = xyz sin (xy) + 2x + 5.
(i) f :
Exercice 3.7 : On appelle C ∞ (R2 ), l’ensemble des fonctions définies et infiniment dérivables sur R2 . On définit alors les fonctions 4 et Φ par :
et Φ : C ∞ (R2 ) −→ C ∞ (R2 )
4 : C ∞ (R2 ) −→ C ∞ (R2 )
∂ϕ ∂ϕ
∂2ϕ ∂2ϕ
ϕ 7−→
·
.
ϕ 7−→
+ 2.
2
∂x ∂y
∂x
∂y
4 et Φ sont-elles linéaires ?
Exercice 3.8 : Soit f , la fonction définie par :
R2 −→ 
R
si (x, y) = (0, 0)
 0
3
2
(x, y) 7−→
|x| y
 2
si (x, y) 6= (0, 0)
x + y2
f est-elle continue ?
Calculer les dérivées partielles de f . Sont-elles continues ?
Calculer la différentielle de f au sens de Gâteaux au point de coordonnées (0, 0).
L’application f est-elle différentiable en (0, 0) ?
Conclure sous forme d’un schéma.
f:
1.
2.
3.
4.
Exercice 3.9 : On définit l’application f de la façon suivante :
1.
2.
3.
4.
5.
f : R2 \{(0, 0)} −→ R
xy
(x, y) 7−→ p
.
x2 + y 2
e ce prolongement.
Montrer que l’on peut prolonger f par continuité. On appelle f,
Étudier la différentiabilité de fe.
fe admet-elle des dérivées partielles ?
f est-elle C 1 sur son ensemble de définition ?
Conclure sous forme d’un schéma.
Exercice 3.10 : Reprendre les questions de l’exercice précédent avec la fonction :
g : R2 \{(0, 0)} −→ R
(x, y) 7−→ (x4 + y 4 ) sin
p
1
x4 + y 4
!
.
Exercice 3.11 : La fonction suivante est-elle différentiable ?
f : R2 \{(0, 0)} −→ R
 2
 y −x
si
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) −
7 → f (x, y) =
x2 + y 2

0
sinon
CHAPITRE 3. NOTION DE DIFFÉRENTIABILITÉ
32
Exercice 3.12 : Soit f , la fonction de R2 dans R définie par :
y
2
f (x, y) = x y sin
.
x
1. Montrer que l’on peut définir un prolongement par continuité de la fonction f .
2. f admet-elle des dérivées partielles sur R2 ?
3. f est-elle de classe C 1 sur R2 ?
∂2f
∂2f
4. Calculer
(0, 0) et
(0, 0).
∂x∂y
∂y∂x
Remarque : attention à donner un sens convenable aux deux expressions ci-dessus,
avant de les calculer. Rien ne certifie que f est de classe C 2 au voisinage de (0, 0).
Exercice 3.13 : Soit f , la fonction définie par :
f : R2 \{(0, 0)} −→ R


x2 − y 2
si
(x, y) 6= (0, 0)
xy 2
(x, y) −
7 → f (x, y) =
x + y2

0
sinon
Prouver que f ∈ C 1 (R2 ), et que f admet des dérivées secondes croisées distinctes en (0, 0).
Que peut-on en déduire pour la fonction f ? Faire un schéma.
Exercice 3.14 : Le but de ce problème est d’étudier, suivant les valeurs de α > 0,
la différentiabilité au point (0, 0) de la fonction de deux variables définie par :
f (x, y) =
|x|α |y|α
.
x2 + y 2 − xy
On rappelle que le nombre aα est défini pour tout α ∈ R et a > 0 par la relation :
aα = eα ln a .
1. Recherche de l’ensemble de définition de f .
Posons ψ(x, y) := x2 + y 2 − xy. En écrivant ψ(x, y) sous la forme de deux carrés,
démontrer la propriété suivante :
ψ(x, y) = 0 ⇐⇒ (x, y) = (0, 0).
En déduire l’ensemble de définition de f , noté Df .
2. Rappels sur la norme euclidienne.
p
1
On appelle φ, la fonction définie sur R2 par : φ(x, y) := (x2 + y 2 ) 2 = x2 + y 2 .
(a) Montrer que la fonction φ définit une norme sur R2 . (Rappeler les trois propriétés de la norme et s’assurer qu’elles sont vérifiées.)
(b) Démontrer rapidement l’inégalité vérifiée pour tous (x, y) ∈ R2 : |xy| ≤
1 2
φ (x, y).
2
f (x, y)
(c) En déduire un encadrement pour tous (x, y) non nuls du nombre
.
|x|α |y|α
3. Étude de la continuité de f en (0, 0)
3.4. EXERCICES DU CHAPITRE
33
(a) Cas α > 1.
En utilisant la question précédente, démontrer que pour tous (x, y) non nuls,
on a :
1
|f (x, y)| ≤ α−1 φ2(α−1) (x, y).
2
Conclure.
(b) Cas 0 < α ≤ 1.
x = 2t
On considère l’arc paramétré défini pour t ∈ R par :
.
y=t
Représenter rapidement l’arc paramétré ci-dessus, puis l’utiliser pour prouver
que f est discontinue en 0 si α ∈]0; 1].
(c) Conclure.
4. Étude de la différentiabilité de f en (0, 0)
(a) Donner la définition de différentiabilité d’une fonction f en un point a de son
ensemble de définition.
(b) Soit f , une aplication différentiable en un point a de R2 .
On appelle ϕa , la fonction définie pour ~u vecteur de R2 fixé par :
ϕa : R −→ R
f (a + t~u) − f (a)
.
t 7−→
t
Prouver que : lim ϕa (t) = dfa (~u).
t→0


 f (x, y) 

.
(c) Donner un encadrement, pour (x, y) ∈ R \{(0, 0)} du nombre : 
φ(x, y) 
(d) Prouver que si α > 23 , la fonction f est différentiable en (0, 0).
(e) En utilisant des arcs paramétrés, démontrer que la fonction f est différentiable
en (0, 0) si, et seulement si α > 32 .
2
5. Application : α = 45 . f est-elle de classe C 1 sur R2 ?
Exercice 3.15 : Soit F , l’ensemble des fonctions de R dans R. On considère l’application : ϕ : F −→ R2
.
f 7−→ (f (0), f (1))
Rappeler la définition d’une fonction linéaire. f est-elle linéaire ?
Exercice 3.16 : Soit ~u, le vecteur de R2 de coordonnées (1, 1). On considère l’application P définie pour tout ~x, vecteur de R2 par :
P (~x) =<
~x
, ~u >,
k~xk
où < ., . > désigne le produit scalaire de R2 et k.k la norme euclidienne de R2 .
√
1. Démontrer que pour tout ~x 6= ~0, on a : |P (~x)| ≤ 2.
2. Démontrer, sans se lancer dans des calculs compliqués que P est différentiable en
tout point ~x de R2 différent de ~0.
3. Démontrer rigoureusement que P n’est pas différentiable en ~0.
34
CHAPITRE 3. NOTION DE DIFFÉRENTIABILITÉ
Exercice 3.17 : On définit la fonction f sur R2 par : f (x, y) = max(x, y).
1. Par un système de coloriage dans le plan, trouver un moyen de représenter f (x, y)
en fonction de x et y.
x + y + |x − y|
.
2. Démontrer que : ∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) =
2
3. Étudier la différentiabilité de f sur R2 .
Exercice 3.18 : On considère l’application f définie par :
 3
 x − y3
, pour (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =
x2 + y 2

f (0, 0) = 0.
1. Montrer que f est continue sur R2 .
2. Montrer que f admet des dérivées partielles selon x et y en (0, 0).
3. Montrer que f n’est pas différentiable en (0, 0). Conclure.
Chapitre 4
Déterminant, Matrice jacobienne,
Jacobien
4.1
4.1.1
Matrice jacobienne
Différentiabilité des fonctions de Rn dans Rp
On considère une fonction f :
Rn −→ Rp


f1 (X)
..

X = (x1 , ..., xn ) −
7 → f (X) = 
.
fp (X)
, avec fi :
Rn −→ R.
Procédons au préalable à quelques rappels sur la différentiabilité.
Si g est différentiable en a, on a, pour g : Rn −→ R :
g(a + h) = g(a) + da g(h) +
o (khk), pour tout h ∈ Rn .
khk→0
On a de plus : da g est une application linéaire appelée application différentielle de g en a
ou application linéaire tangente de g en a.
n
X
∂g
n
p
da g est définie par la relation : ∀h ∈ R , da g(h) =< ∇g(a), h >R =
hi
(a), où l’on
∂xi
i=1
∂g
∂g
(a), ...,
(a) .
a noté ∇g(a) =
∂x1
∂xn
Résultat : dans le cas de f (fonction à valeurs vectorielles), on a :


da f1 (h)
..
.
da f (h) = 
.
da fp (h)
Exemple : calcul de la différentielle de la fonction f définie par :
f:
2
R2 −→ R
.
f1 (x, y)
xy
(x, y) 7−→
=
f2 (x, y)
x+y
35
36
CHAPITRE 4. DÉTERMINANT, MATRICE JACOBIENNE, JACOBIEN
On va calculer la différentielle de f en a = (2, 1).
Remarque préalable : comme produit et somme de fonctions d’une variable de classe
C 1 sur R, f1 et f2 sont clairement de classe C 1 sur R2 . Elles sont donc différentiables.
Posons h = (h1 , h2 ).
∂f1
∂f1
(a) + h2
(a) = h1 + 2h2 ;
∂x
∂y
∂f2
∂f2
(a) + h2
(a) = h1 + h2 ;
• f2 (x, y) = x + y, donc da f2 (h1 , h2 ) = h1
∂y
∂x h1 + 2h2
1 2
h1
Par conséquent : da f (h) =
=
. La matrice Ja (f ) :=
h1 + h2
1 1
h2
1 2
est la matrice de l’application linéaire da f . On l’appelle matrice jacobienne de
1 1
f en a.
• f1 (x, y) = xy, donc da f1 (h1 , h2 ) = h1
4.1.2
Généralisation
Le théorème qui suit est la conséquence directe des calculs précédents, généralisés à une
dimension supérieure et quelconque.
Définition 4.1. Soit f : Rn −→ Rp . On suppose f différentiable en a ∈ Rn . La matrice
de l’application différentielle de f est :
Ja (f ) =
∂fi
∂xj

1≤i≤p
1≤j≤n




=




∂f1
(a)
∂x1
∂f1
(a)
∂x2
..
.
∂fp
(a)
∂x1

∂f1
∂f1
(a) . . .
(a) 
∂x2
∂xn

∂f2
∂f2

(a) . . .
(a) 
.
∂x2
∂xn

..

.


∂fp
∂fp
(a) . . .
(a)
∂x2
∂xn
x ln y
.
Exemple : matrice jacobienne de f : (x, y, z) 7−→
ex+y+z
Posons : f1 (x, y, z) = x ln y et f2 (x, y, z) = ex+y+z . En posant a = (x, y, z), on trouve,
après calculs, que :
x
ln y
0
y
Fa (f ) =
.
ex+y+z ex+y+z ex+y+z
4.1.3
Le Jacobien
Définition 4.2. Jacobien.
Le Jacobien pris en a d’une application f : Rn −→ Rn est le déterminant de la matrice
jacobienne Ja (f ).
On le note det Ja (f ).
4.2. NOTION DE C 1 -DIFFÉOMORPHISME
4.2
4.2.1
37
Notion de C 1-difféomorphisme
Généralités
E et F désignenet des espaces vectoriels de dimension finie.
Définition 4.3. Si U ⊂ E et V ⊂ F , où U et V sont des parties ouvertes, f est un
C 1 -difféomorphisme entre U et V si f réalise une bijection entre U et V , avec f et f −1
de classe C 1 sur U et V .
Remarque :
• Si f est un C 1 -difféomorphisme, pour tout a élément de U, da f est un isomorphisme
(bijection) d’espaces vectoriels entre E et F .
• De plus : Jf (a) (f −1 ) = Ja (f )−1 .
4.2.2
Caractérisation
Propriété 4.1. Si ϕ ∈ L(E, E), et Φ désigne la matrice de ϕ dans la base canonique de
E, alors les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) ϕ réalise une bijection.
(ii) det Φ 6= 0.
Exemple 1 : on considère l’application f :
R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (x + y, x − y).
1
Il est clair que l’application f est de classe C car les fonctions coordonnées sont des fonctions linéaires. Montrons à présent que f définit une bijection. Soient α, β) ∈ R2 .
α−β
α+β
et y =
. On en déduit que U = R2 et f (U) = R2 .
f (x, y) = (α, β) ⇐⇒ x =
2
2
f est donc un C 1 -difféomorphisme de R2 dans R2 .
Exemple 2 : coordonnées polaires.
Les changements de variables en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques, sont
très souvent utilisés. Nous détaillons le premier, qui consiste à remplacer les coordonnées
cartésiennes (x, y) d’un point du plan, par le module ρ et l’argument θ du point dans le
plan complexe.
φ : D = R2 \{(0, 0)} −→ ∆ = R∗+ × [0, 2π[
(x, y) 7−→ (ρ, θ)
p
Le module ρ s’écrit ρ = x2 + y 2 . Par contre, il n’est pas facile de donner une expression
explicite de θ en fonction de x et y, à cause des problèmes de signe. On va plutôt utiliser
l’expression de φ−1 . On a :
φ−1 : ∆ = R∗+ × [0, 2π[ −→ D = R2 \{(0, 0)}
(ρ, θ) 7−→ (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ).
La matrice jacobienne de φ−1 au point (ρ, θ) est :
cos θ −ρ sin θ
−1
J(ρ,θ) φ =
.
sin θ ρ cos θ
38
CHAPITRE 4. DÉTERMINANT, MATRICE JACOBIENNE, JACOBIEN
6
y
ρ
θ
-
x
O
Fig. 4.1 – Coordonnées polaires
On a de plus : det J(ρ,θ) φ−1 = ρ 6= 0, donc φ−1 est injective.
À titre indicatif, on donne les expressions de ρ et θ en fonction de x et y, dans un cas
simple, où x > 0 et y > 0 :
y
θ = arctan .
x
Le schéma ci-dessous récapitule les formules de bijection à utiliser, si l’on souhaite exprimer l’angle θ en fonction des coordonnées x et y :
y
6
3
θ = π − arctan
y x
x < 0 et y > 0
θ=
π
2
θ = arctan
y
x
x > 0 et y > 0
- x
θ = π + arctan
y x < 0 et y < 0
x
θ = 2π + arctan
x > 0 et y < 0
R
3π
θ=
2
Fig. 4.2 – Coordonnées polaires
y x
4.3. EXERCICES DU CHAPITRE
4.3
39
Exercices du chapitre
Exercice 4.1 : Soit M, la matrice :

3 2 −4
M = 1 1 1 
0 0 −3

1. Calculer M 2 et M 3 .
2. Résoudre l’équation : M + X = I, où I désigne l’identité.


1
3. Résoudre l’équation : MX = A, où X est une matrice de type 3 × 1, et A =  0 .
3
4. Calculer (det M)2 et det(M 2 ). Que remarque t-on ?
Exercice 4.2 : Soient A et B, les matrices 2 × 2 définies par :
3 2
2 −5
A=
et B =
−4 10
3 −1
1. Calculer AB et BA. Que constate t-on et comment nomme t-on cette propriété ?
2. Calculer det(AB) et det(BA). Commenter.
Exercice 4.3 : Déterminer la matrice jacobienne en X = (x, y) de la fonction f : R2 −→
R définie par la relation f (x, y) = x2 y + ln(1 + y 2 ).
Quel est l’autre nom de cette matrice ?
Donner l’expression matricielle, puis analytique de l’application différentielle de f au point
X en H = (h1 , h2 ).
Exercice 4.4 : On définit l’application f par :
R3 −→ R2
f:
(x, y, z) 7−→
x2 y 3 z 4
xy
2
z + x2 + 1
!
Calculer Ja (f ) en a = (1, 2, 0).
Exercice 4.5 : Soit f , une fonction de R2 dans R2 .
1. Résoudre l’équation en f : Ja (f ) = 0. (On recherche les fonctions f telles que pour
tout a, on ait Ja (f ) = 0)
2. Compléter la résolution si l’on impose det Ja (f ) = 1.
3. Résoudre l’équation en f : Ja (f ) = I, où I désigne l’identité.
Indication : on admettra que si ∀(x, y), on a une relation du type a(x) = b(y),
alors, a et b sont constantes.
4. Compléter la résolution si on impose f (0) = 0.
5. Que vaut det Ja (f ), pour a = (a1 , a2 ) ?
40
CHAPITRE 4. DÉTERMINANT, MATRICE JACOBIENNE, JACOBIEN
Exercice
2 4.6 : On appelle matrice hessienne de f en a et on note Hessa (f ), la matrice
∂ f
.
∂xi ∂xj i,j
Donner une condition suffisante pour que la matrice hessienne d’une fonction f : Rn −→
Rn au point a est-elle symétrique ? Expliquer.
Exercice 4.7 : On appelle f l’application :
f:
2
R2 −→ R
3
x + 3xey
(x, y) 7−→
y − x2
Montrer que pour tout a = (x, y), le déterminant de la matrice jacobienne de f est strictement positif.
Exercice 4.8 : Soient a et b, deux fonctions de R dans R. On appelle f l’application :
f:
2
R2 −→ R
a(x)
(x, y) 7−→
b(y)
Quelle est la forme de la matrice jacobienne de f au point a = (x, y) ?
À quelle condition sur a et b le déterminant de cette matrice est-il strictement positif pour
tous (x, y) ∈ R2 ?
Application : soit n ∈ Z. Pour tout x de R, a(x) = b(x) = xn .
Exercice 4.9 : On considère la matrice :
1 3
A=
2 −2
1. Calculer la matrice A2 + A − 8I2 , où I2 désigne la matrice identité d’ordre 2.
2. En déduire que A est inversible et calculer A−1 .
Remarque : une matrice A est dite inversible si, et seulement s’il existe une matrice
A−1 telle que : AA−1 = A−1 A = I2 .
3. Soit n, un entier supérieur ou égal à 2.
Déterminer le reste dans la division euclidienne du polynôme X n par X 2 + X − 8.
Indication : on se moque du quotient de la division. On rappelle que le reste R est
tel que : X n = Q(X) × (X 2 − 3X + 2) + R(X), avec d˚(R) ≤ 1, donc la question
revient à déterminer a et b tels que : X n = Q(X) × (X 2 − 3X + 2) + aX + b. On
pourra faire prendre des valeurs particulières à X pour aboutir.
4. En déduire la matrice An .
5. Calculer det A et det An . Que remarque t-on ?
Exercice 4.10 : On définit la fonction f sur l’ensemble D par :
xy
f (x, y) =
.
x
y
4.3. EXERCICES DU CHAPITRE
41
1. Déterminer D pour que f soit un C 1 -difféomorphisme.
2. Calculer la matrice jacobienne de f au point X = (x, y) ∈ D.
3. Calculer le jacobien de f en ce point et étudier son signe.
Exercice 4.11 : Calculer le déterminant, avec a, b et c réels, et exprimer sous la forme
la plus simple possible :


 1
1
1 



cos
a
cos
b
cos
c
D=


 sin a sin b sin c 
Exercice 4.12 : On appelle M l’ensemble des matrices de type 3 × 3.
L’application γ définie par : γ :
M −→ R
.
P3
M = (aij ) 7−→ γ(M) = i=1 aii
Calculer γ(I), où I désigne la matrice identité et répondre à la question : γ est-elle linéaire ?
42
CHAPITRE 4. DÉTERMINANT, MATRICE JACOBIENNE, JACOBIEN
Chapitre 5
Recherche d’extrema
5.1
5.1.1
Problèmes liés à la recherche d’extrema
Développement limité à l’ordre 2
Définition 5.1. Soit f , une fonction définie sur une partie D de Rn et à valeur dans R.
(i) On dit que la fonction f admet un maximum relatif en un point x0 de D lorsqu’il
existe un ouvert O ⊂ D telle que : f (x) ≤ f (x0 ), ∀x ∈ O\{x0 }.
(ii) On dit que la fonction f admet un minimum relatif en un point x0 de D lorsqu’il
existe un ouvert O ⊂ D telle que : f (x) ≥ f (x0 ), ∀x ∈ O\{x0 }.
(iii) On dit que la fonction f admet un maximum absolu en un point x0 de D lorsque :
∀x ∈ D, f (x) ≤ f (x0 ).
(iv) On dit que la fonction f admet un minimum absolu en un point x0 de D lorsque :
∀x ∈ D, f (x) ≥ f (x0 ).
Exemple : on définit la fonction f sur R2 par : f (x, y) = x2 + 4xy + 4y 2.
On a : ∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = (x + 2y)2 ≥ 0 = f (−2x0 , x0 ), pour tout réel x0 . On en
déduit qu’en tout point du plan de coordonnées (−2x0 , x0 ), f admet un minimum absolu.
On a le théorème suivant :
Théorème 5.1. x0 = (x01 , ..., x0n ) est un élément de Rn , V, un voisinage de x0 , Bz (x0 ),
une boule ouverte incluse dans V. Soit f , une fonction définie sur V à valeur dans R.
Lorsque la fonction f est de classe C 2 dans V, on peut aussi écrire son développement
limité à l’ordre 2 : ∀x ∈ Bz (x0 ), x 6= x0 ,
f (x0 + h) = f (x0 ) +
n
X
i=1
n
n
∂f
∂2f
1 XX
hi
hi hj
(x0 ) +
(x0 ) + khk2 (h)
∂xi
2 i=1 j=1
∂xi ∂xj
, où , lim (h) = 0.
khk→0
5.1.2
Points critiques et extrema
Définition 5.2. Point critique.
Soit f , une fonction de classe C 1 dans un voisinage de a.
43
CHAPITRE 5. RECHERCHE D’EXTREMA
44
a est appelé point critique de la fonction f si, en ce point, on a :
∂f
∂f
(a) = ... =
(a) = 0.
∂x1
∂xn
Théorème 5.2. Théorème fondamental.
Soit f , une fonction qui admet un maximum ou un minimum relatif en un point a de son
domaine de définition D. Si f est de classe C 1 dans un voisinage de a, alors ses dérivées
partielles du premier ordre sont nulles en ce point :
∂f
∂f
(a) = ... =
(a) = 0.
∂x1
∂xn
Conséquence : la différentielle de f en a est la fonction linéaire identiquement nulle sur
Rn .
Démonstration : on se place dans le cas : f : Rn −→ R, où n est un entier donné.
Soit alors j ∈ {1, ..., n}.
L’idée est de se ramener aux fonctions d’une variable que l’on sait bien caractériser. Appelons (e1 , e2 , ..., en ), la base canonique de Rn . Souvenons-nous que, sous réserve d’existence,
on a, pour tout X ∈ Rn :
∂f
f (X + tej ) − f (X)
(X) = lim
.
t→0
∂xj
t
Appelons donc ϕj , la fonction d’une variable définie par :
ϕj : t 7−→ f (a + tej ).
ϕj est dérivable en a (car f est de classe C 1 dans un voisinage de a), et puisque a est un
extremum local pour la fonction f , il en est un aussi pour la fonction ϕj et on en déduit
∂f
que ϕ0j (a) = 0, autrement dit :
(a) = 0.
∂xj
5.2
5.2.1
Caractérisation des points critiques
Hessienne d’une fonction
Attention : on rappelle au préalable que toute la théorie qui va suivre n’est valable que
lorsque les domaines considérés sont des ouverts. On prendra donc à chaque fois les précautions nécessaires pour se placer sur des ouverts.
Définition à présent la matrice hessienne en un point a d’une application de classe C 2 dans
un voisinage de a :
Définition 5.3. Matrice hessienne.
Soit f , une fonction de classe C 2 sur U, ouvert de Rn à valeurs dans R, et soit a, un point
de U.
5.2. CARACTÉRISATION DES POINTS CRITIQUES
45
On appelle Ha , la matrice hessienne de f au point a définie par :


∂2f
∂2f
∂2f
...
 ∂x21
∂x1 ∂x2
∂x1 ∂xn 


∂2f 
∂2f
 ∂2f
2


...
∂ f
2
 (a)
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
(a)
=
Ha =
2
1
2
n
2


1≤i≤n
∂xi ∂xj
..
..


1≤j≤n
.
.


 ∂2f
∂2f 
∂2f
...
∂xn ∂x1 ∂xn ∂x2
∂x2n
On appelle qa , la forme quadratique (c’est à dire polynômiale dont tous les termes sont
au maximum de degré 2) qui apparaît dans le développement en série de Taylor d’une
fonction f de classe C 2 dans un voisinage de a. On a alors :
∀h ∈ Rn , qa (h) =
n X
n
X
hi hj
i=1 j=1
∂2f
(a).
∂xi ∂xj
Ainsi, dans un voisinage de a, avec des conditions de régularité appropriées dans un
voisinage de a, on a :
1
f (a + h) = f (a) + (∇f (a), h)Rn + qa (h) + o(khk2 ).
2
Propriété 5.1. Ha est une matrice symétrique.
On dit que Ha est la matrice associée à la forme quadratique qa .
Preuve : le lecteur pourra aisément s’en convaincre. La proposition résulte directement
du théorème de Schwarz.
5.2.2
Quelques notions d’Analyse spectrale
Avant de poursuivre, nous allons introduire la notion de valeur propre, essentielle, en
Algèbre. In désignera par la suite la matrice identité de taille n.
Définition 5.4. Polynôme caractéristique et valeurs propres.
Soit M, un matrice symétrique carrée de type n × n.
(i) On appelle polynôme caractéristique de M, le polynôme χM défini par la relation :
χM (X) = det(M − XIn )
(ii) On appelle valeurs propres réelles de M les nombres réels λ racines du polynôme
caractéristique de M, autrement dit les solutions de l’équation polynômiale de degré n :
det(M − λIn ) = 0.
Exercice : déterminer le polynôme caractéristique ainsi que les valeurs propres de la
matrice :


1 −2 4
A =  −2 0 −1  .
4 −1 3
CHAPITRE 5. RECHERCHE D’EXTREMA
46
Remarque : on notera que le degré de χA est toujours la dimension de la matrice A.
Le théorème qui suit nous donne une méthode simple permettant de déterminer la nature
des points critiques d’une fonction :
Théorème 5.3. Soit f , une fonction de classe C 2 dans un voisinage de a. On appelle
Ha , la matrice hessienne de f en a. Ha est alors une matrice symétrique réelle dont les
valeurs propres, nécessairement réelles sont ordonnées comme suit : λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λn .
On alors :
(i) Si λi > 0 pour tout i ∈ {1, ..., n}, f admet un minimum relatif en a.
(ii) Si λi < 0 pour tout i ∈ {1, ..., n}, f admet un maximum relatif en a.
(iii) Si λ1 < 0 et λn > 0, alors f n’admet pas d’extremum relatif en a.
(iv) S’il existe i ∈ {1, ..., n} tel que λi = 0, et si ∀j 6= i, λj ≥ 0 ou λj ≤ 0, on ne peut
rien conclure.
5.3
Cas de la dimension 2
Nous allons réécrire dans ce paragraphe tous les résultats établis précédemment appliqués
au cas de la dimension 2. f désigne donc une fonction définie et de classe C 2 sur un ouvert
U ⊂ R2 et a désigne un point de U. On pose a = (a1 , a2 ).
Théorème 5.4. Formule de Taylor-Young à l’ordre 2.
Soit X = (x1 , x2 ) ∈ U. Alors, il existe η > 0 tel que, pour tous (h, k) ∈ R2 vérifiant
k(h, k)k2 < η, on a :
∂f
∂f
f (x1 + h, x2 + k) = f (x1 , x2 ) +
(x1 , x2 )h +
(x1 , x2 )k
∂x
∂y
∂2f
∂2f
1 ∂2f
2
2
(x1 , x2 )hk + 2 (x1 , x2 )k + o(k(h, k)k22).
+
(x1 , x2 )h + 2
2 ∂x2
∂x∂y
∂y
Rappel : si a est un point critique, da f (h) = 0, ∀h ∈ Rn .
Le cas de la dimension est si simple qu’il n’est pas utile de parler de matrice hessienne.
Les notations de Monge définissent trois coefficients intervenant dans la matrice hessienne
de f . Le théorème qui suit simplifie la caractérisation des points critiques d’une fonction
de R2 dans R.
Définition 5.5. Notations de Monge.
a étant un point critique de f , on définit les coefficients r, s et t par :
r=
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
(a)
=
(a)
et
t
=
(a)
,
s
=
(a).
∂x2
∂x∂y
∂y∂x
∂y 2
Théorème 5.5. Soit a, un point critique de f .
(i) Si rt − s2 > 0 et r > 0, f admet un minimum local en a.
(ii) Si rt − s2 > 0 et r < 0, f admet un maximum local en a.
(iii) Si rt − s2 < 0, f n’admet pas d’extremum en a. On dit alors que a est un point selle
ou point col.
5.3. CAS DE LA DIMENSION 2
47
(iv) Si rt − s2 = 0, on ne peut rien affirmer.
Remarque : dans le cas où rt − s2 = 0, il faut revenir à la définition d’extremum. Si a est
un point col, il s’agit d’exhiber des arcs paramétrés qui démontrent que f prend des valeurs
positives et négatives dans un voisinage de a. Sinon, si a est un extremum local, il faut
raisonner à l’aide d’inégalités locales. Nous étudierons ce cas (assez complexe) en exercice.
Exemple : on considère la fonction f : R2 −→ R définie par la relation :
f (x, y) = x2 + y 4 .
f est de classe C 2 sur R2 comme somme de fonctions polynômiales et pour tous (x, y) ∈ R2 :
∇f (x, y) = (2x, 4y 3).
f n’admet donc qu’une seul point critique : (0, 0).
De plus : r = 2, t = 0 et s = 0. Donc rt − s2 = 0. On ne peut rien affirmer avec la forme
quadratique.
Cependant, on a clairement : pour tous (x, y) ∈ R2 , f (x, y) ≥ 0 = f (0, 0) donc f admet
en (0, 0) un minimum global.
CHAPITRE 5. RECHERCHE D’EXTREMA
48
5.4
Exercices du chapitre
Exercice 5.1 : Déterminer les extrema locaux des applications suivantes et donner le
maximum de précisions possibles sur ces extrema :
1. f :
R2 −→ R
(x, y) 7−→ x4 + x2 + y 2 + y 4
2. g : (R∗+ )2 −→ R
(x, y) 7−→ x3 + 2xy − 5x + 5y
3. h :
4. i :
5. j :
R2 −→ R
2
2
(x, y) 7−→ (3x + 7)e−((x+1) +y )
R2 −→ R
(x, y) 7−→ 6x2 y 3 − 2x3 y 3 − 3x2 y 4
R2 −→ R
(x, y) 7−→ cos xesin y
6. k : R∗+ × R −→ R
(x, y) 7−→ x ln2 x + xy 2
Exercice 5.2 : On définit la fonction f pour tous (x, y) ∈ R2 par :
f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy.
1. Déterminer le gradient de f au point X = (x, y).
2. Calculer pour tous (x, y) ∈ R2 , f (−x, −y), et en déduire une conséquence graphique
pour la surface représentative de f .
3. Déterminer tous les points critiques de f .
4. Caractériser chacun de ces points critiques. Préciser si ce sont des extrema locaux,
globaux, ou autres.
5. En utilisant une inégalité sur le réel xy, majorer et minorer le nombre f (x, y) par
un nombre du type X 2 (x) + Y 2 (y) + α, où X est une fonction de x, Y une fonction
de y et α, un nombre réel. Que peut-on en déduire ?
Exercice 5.3 : Soit α, un paramètre réel.
On considère la fonction fα définie par : fα (x, y) = 1 + x + αxy + 2y 2 + αx3 .
1. Déterminer le gradient de fα au point de coordonnées (x, y).
2. Montrer que si (x, y) est un extremum local, alors il vérifie le système :

2
 3αx2 − α x + 1 = 0;
4
(S)
 y = − αx .
4
√
3. Montrer que (S) admet des solutions si, et seulement si α ∈] − ∞; 0[∪[ 3 192; +∞[.
4. Donner les couples solutions dans ce cas.
5. Trouver un chemin paramétré (x(t); y(t))t≥0 tel que x(t) −−−−→ +∞ , y(t) −−−−→
t→+∞
t→+∞
+∞ et fα (x, y) diverge vers +∞. On pourra séparer les cas α ≥ 0 et α < 0.
En réitérant ce raisonnement, trouver un chemin paramétré tel que fα divere vers
−∞. Que peut-on en déduire quant-aux éventuels extrema de fα ?
5.4. EXERCICES DU CHAPITRE
49
6. Cas particulier : α = 6.
Caractériser les points critiques de f6 .
Exercice 5.4 : On appelle f et g, les fonctions respectivement définies sur R2 par :
g(x, y) = x2 + xy + y 2 et f (x, y) = (2x2 − 4)2 + (2x2 − 4)(y 2 − 1) + (y 2 − 1)2 .
La question 4. est indépendante du reste de l’exercice.
1. Déterminer les points critiques de g, puis caractériser ces points critiques.
2. Démontrer la propriété : ∀(x, y) ∈ R2 , g(x, y) ≥ 0.
Compléter alors la réponse à la question précédente.
3. Déduire des questions précédentes que f admet quatre minima globaux que l’on
précisera.
4. Le but de cette question est de déterminer le maximum de la fonction g sur le cercle
unité de R2 , c’est à dire le cercle C de centre O(0, 0) et de rayon R > 0 (à ne pas
confondre avec le disque de centre O et de rayon 1).
(a) Soit θ, un nombre réel élément de ]−π, π]. Simplifier le nombre g(R cos θ, R sin θ).
(b) En déduire la valeur du maximum de la fonction g sur le cercle C.
(c) En procédant de même, trouver la valeur du minimum de g sur le cercle C.
(d) Conclure à l’aide d’un schéma.
50
CHAPITRE 5. RECHERCHE D’EXTREMA
Chapitre 6
Introduction aux équations aux
dérivées partielles
6.1
6.1.1
Équations différentielles
Quelques rappels sur les équations différentielles linéaires
Définition 6.1. Une équation différentielle scalaire d’ordre n est une équation reliant une
fonction y et ses dérivées y 0 , y 00 , ..., y (n) de la forme :
an (t)y (n) + a(n−1) (t)y (n−1) + ... + a0 (t)y = b(t) (E)
, où a0 , ..., an et b sont des fonctions définies sur un même intervalle I et à valeurs dans
R.
Remarque : par souci de clarté, on écrit y plutôt que y(t). On peut même écrire (E)
sous la forme :
an y (n) + ... + a0 y = b.
Notations :
• b s’appelle le second membre de (E).
• On appelle équation différentielle homogène associée à (E) et on note (H) l’équation :
an (t)y (n) + a(n−1) y (n−1) + ... + a0 (t)y = 0.
• Si a0 , ..., an sont des fonctions constantes, (E) est dite à coefficients constants.
• (E) est appelée équation linéaire car si y et z sont deux solutions de (E), on vérifie
aisément que pour tous λ et µ réels, la fonction λy + µz est encore une solution de (E).
Vocabulaire : résoudre (E), c’est déterminer une fonction y et un intervalle I ⊂ R tel
que y : I −→ R soit solution de (E).
On parle tout simplement de solution maximale lorsque I est le plus grand possible.
51
CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP
52
6.1.2
Un exemple en Physique
Considérons l’exemple d’un mobile glissant sur un plan incliné avec frottements. Il s’agit
d’appliquer le principe fondamental de la Dynamique. Voici le schéma
à
Xcorrespondant
−
→
−
→
cette situation : On peut écrire, d’après la deuxième loi de Newton :
F ext = m a =
−
→
R
−
→
f
i
−
→
?P
α
x
q
Fig. 6.1 – Exemple Physique
→
−
→
−
→
d−
v
m
. Les forces mises en jeu sont P , le poids du mobile, R , la réaction au support , et
−
→ dt
−
→
→
f , la force de frottement telle que f = −β −
v , avec β ∈ R∗+ .
Projetons sur l’axe du mouvement, on obtient :
mg sin α − βv = m
dv
dv
β
⇐⇒
+ v = g sin α.
dt
dt m
On obtient une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants. La plupart des situations en Physique peuvent se modéliser à l’aide d’équations différentielles.
Évidemment, plus le modèle est sophistiqué, plus les équations différentielles seront compliquées à résoudre.
6.1.3
6.1.3.1
Équation différentielles linéaires à coefficients constants
Équations différentielles homogènes du premier ordre à coefficients constants
Propriété 6.1. On appelle équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à
coefficients constants toute équation du type :
(H) y 0 = ay
, où a désigne une constante réelle.
Les solutions de (H) sont les fonctions fk : R −→ R définies par : fk (x) = k exp(ax), où
k ∈ R.
Démonstration : on appelle y0 la fonction définie sur R par : y0 (x) = exp(ax). On va
utiliser un changement de fonction pour résoudre (H). Posons : y = y0 z, où z est une fonction définie sur R et dérivable. On a : y 0 − ay = 0 ⇐⇒ y00 z + z 0 y0 − ay = 0 ⇐⇒ z 0 y0 = 0.
Or, on a clairement ∀x ∈ R, y0 (x) > 0. On en déduit que : ∀x ∈ R, z 0 (x) = 0, autrement
dit, z est une fonction constante sur R et le résultat souhaité s’ensuit.
Conséquence : l’ensemble des solutions de (H) est un espace vectoriel de dimension
6.1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
1.
Ainsi, l’équation différentielle :
53
y 0 = ay
y(0) = yb0
, avec yb0 réel possède une unique solution qui est définie sur R.
Exemple : résolvons l’équation différentielle :
0
y = −y
y(0) = 1
La solution est de la forme : y(x) = ke−x , et puisque y(0) = 1, on en déduit que ∀x ∈
R, y(x) = e−x .
6.1.3.2
Théorème de structure des solutions
Ce principe peut s’appliquer à des équations différentielles de tout ordre. Énonçons-le
d’abord pour les équations différentielles du premier ordre.
Théorème 6.1. Considérons l’équation différentielle :
(E) y 0 = ay + f (x)
, où f est une fonction donnée définie sur un intervalle I. On appelle (H) l’équation
homogène associée à (E) : y 0 = ay, et ϕ, une solution particulière de l’équation (E). Les
propositions suivantes sont équivalentes :
(i) y est solution de (E).
(ii) y − ϕ est solution de (H).
Preuve : ϕ est une solution particulière de (E). Par conséquent, ϕ vérifie : ϕ0 = aϕ+f (x).
Puis, y − ϕ est solution de (H) ⇐⇒ (y − ϕ)0 = a(y − ϕ) ⇐⇒ a = ay + f (x).
Remarque : le théorème de structure des solutions peut s’écrire de façon symbolique :
Solution générale
= Solution particulière
+ Solution de l’équation homogène
Il est important de savoir redémontrer ce théorème.
Exemple : on veut résoudre l’équation diffréntielle y 0 + y = x + 1. Il est évident que
la fonction u définie sur R par u(x) = x est une solution particulière de cette équation différentielle. L’équation différentielle homogène associée est : y 0 = −y. D’après le théorème
de structure des solutions, la solution générale de cette équation différentielle est définie
pour x ∈ R par :
y(x) = ke−x + x, où k ∈ R.
Exercice : démontrer le théorème suivant :
Théorème 6.2. On consière l’équation différentielle d’ordre n (E) : an y (n) +a(n−1) y (n−1) +
... + a0 y = b(t), où a0 , ..., an désignent des constantes et b, une fonction définie sur un
intervalle I donné. On appelle (H) l’équation homogène associée à (E). On suppose que
la fonction ϕ est une solution particulière de (E). Alors les propositions suivantes sont
équivalentes :
CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP
54
(i) y est solution de (E).
(ii) y − ϕ est solution de (H).
6.1.3.3
Équations différentielles homogène du second ordre à coefficients constants
Théorème 6.3. On considère l’équation différentielle :
(H) : ay 00 + by 0 + cy = 0
, où a, b et c sont trois constantes réelles. On appelle (EC) l’équation caractéristique
associée à (H) , c’est à dire l’équation polynômiale du degré 2 : aX 2 + bX + c = 0, et
∆ := b2 − 4ac, son discriminant. Alors :
(i) Si ∆ > 0, (EC) admet deux solutions réelles r1 et r2 . La solution de (H) est de la
forme :
∀x ∈ R, y(x) = c1 er1 x + c2 er2 x , où (c1 , c2 ) ∈ R2 .
(ii) Si ∆ = 0, (EC) admet une solution double r0 . La solution de (H) est de la forme :
∀x ∈ R, y(x) = (c1 + c2 x)er0 x , où (c1 , c2 ) ∈ R2 .
(iii) Si ∆ < 0, (EC) admet deux solutions complexes conjuguées α ± iβ. La solution de
(H) est de la forme :
∀x ∈ R, y(x) = eαx (c1 eβx + c2 e−βx ), où (c1 , c2 ) ∈ R2 .
Exemple 1 : on veut résoudre l’équation différentielle : y 00 + ω02 y = x, avec ω0 ∈ R∗+ .
On va utiliser le théorème de structure des solutions. L’équation caractéristique associée
est (EC) : X 2 + ω02 = 0. On en déduit immédiatement que les solutions de l’équation
homogène associée sont les fonctions :
x 7−→ c1 cos(ω0 x) + c2 sin(ω0 x).
Ainsi, en remarquant que la fonction x 7−→ ωx2 est une solution particulière, on en déduit
0
que l’ensemble des solutions de l’équation différentielle ci-dessus sont les fonctions :
x 7−→ c1 cos(ω0 x) + c2 sin(ω0 x) +
x
, avec (c1 , c2 ) ∈ R2 .
2
ω0
Exemple 2 : on considère l’équation différentielle que l’on cherche à résoudre sur l’intervalle [0, T ] :
00
y + ky = 0, avec k ∈ R.
y(0) = y(T ) = 0
1. Expliciter, suivant les valeurs de k, les différentes possibilités de solutions pour (E).
2. Montrer qu’une seule des possibilités précédentes ne fournit pas la solution identiquement nulle.
Solution :
1. C’est une application directe du cours :
√
• Si k √< 0 : la solution y de (E) s’écrit sous la forme : ∀x ∈ R, y(x) = Ae −kx +
Be− −kx , où A et B sont deux constantes réelles.
6.2. COMPLÉMENTS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL
55
• Si k = 0 : la solution y de (E) s’écrit sous la forme : ∀x ∈ R, y(x) = A + Bx, où
A et B sont deux constantes réelles.
√ kx +
• Si k > 0 : la solution y de (E) s’écrit sous la forme : ∀x ∈ R, y(x) = A cos
√ B sin
kx , où A et B sont deux constantes réelles.
2. On utilise les conditions de l’équation :
√
√
• Si k < 0 : y(0) = 0√=⇒ A + B = 0, puis y(T ) = 0 =⇒ A(e −kT − e− −kT ) = 0,
c’est à dire A sinh ( −kT ) = 0, puis il suffit de conclure en utilisant une propriété
de la fonction sinh et on trouve que A = B = 0(à finir ...)
• Si k = 0 : y(0) = 0 =⇒ A = 0, puis y(T ) = 0 =⇒ BT = 0 =⇒ B = 0. √
• Si k > 0 : y(0) = 0 =⇒ A = 0, puis y(T ) = 0 =⇒ B sin
kT = 0 =⇒
√
kT = nπ, avec n ∈ N (car la solution B = 0 n’est pas intéressante, elle fournit
la solution identiquement
nulle...). Ainsi, dans ce cas, on a pour tout x ∈ R :
nπx y(x) = B sin
, avec n, un entier naturel.
T
6.2
6.2.1
Compléments de calcul différentiel
Composition des différentielles
Au préalable, rappelons la définition de l’image d’une partie d’un ensemble par une application. Soit U ⊂ Df , où Df désigne l’ensemble de définition d’une fonction f donnée.
On a :
f (U) = {f (x), x ∈ U}.
Remarque : x dans la définition peut désigner un vecteur, pas nécessairement un réel.
f (U) s’appelle « l’image de U par f ».
On a le résultat suivant :
Théorème 6.4. Soit f ∈ C 1 (U, F ) et g ∈ C 1 (V, G), où f (U) ⊂ V .
Alors, g ◦ f ∈ C 1 (U, G) et :
∀a ∈ U, ∀h ∈ U, da (g ◦ f )(h) = df (a) g ◦ da f (h).
Matriciellement, avec les notations usuelles, la relation précédente s’écrit :
Ja (g ◦ f ) = Jf (a) g × Ja f.
Remarque : bien-sûr, × désigne ici la multiplication matricielle.
Traduction analytique des écritures précédentes : posons h = g ◦ f : U −→ G.
On va supposer que U ⊂ Rn , G ⊂ Rp et f (U) ⊂ V ⊂ Rq . Soit a ∈ U et h = (h1 , h2 , ..., hp ).
Supposons que i ∈ {1, 2, ..., p} et j ∈ {1, 2, ..., n}. On a :
q
X ∂gi
∂fk
∂hi
=
[f (a)]
(a).
∂xj
∂x
∂x
k
j
k=1
CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP
56
6.2.2
Exemple détaillé
Soit g, une fonction de R2 dans R et f , la fonction définie par :
f:
R2 −→ R2
(x1 , x2 ) 7−→ (x1 + x2 , x1 − x2 ) = (f1 (x1 , x2 ), f2 (x1 , x2 )).
Si h := g ◦ f , on souhaite exprimer les dérivées partielles de h en fonction de celles de g.
Cet exemple est essentiel. Nous comprendrons mieux son utilité dans le chapitre suivant.
On a :


∂f1 ∂f1
∂g
∂g
1 1
 ∂x1 ∂x2 
Jf (a) g = ∇g (f (a)) =
et Ja f =  ∂f
(f (a)),
(f (a))
∂f2  (a) = 1 −1 .
2
∂x1
∂x2
∂x1 ∂x2
Par conséquent, en appliquant la formule ci-dessus, on trouve :
∂g
∂g
∂h
∂h
1 1
×
Ja h =
(f (a)),
(f (a)) =
(a),
(a) .
1 −1
∂x1
∂x2
∂x1
∂x2
Par conséquent :
6.2.3

∂h


(a) =
∂x1
∂h


(a) =
∂x2
∂g
[f (a)] +
∂x1
∂g
[f (a)] −
∂x1
∂g
[f (a)] ;
∂x2
∂g
[f (a)].
∂x2
Quelques opérateurs différentiels
Dans ce paragraphe, nous considérons une fonction f : U ⊂ Rn −→ R, suffisamment
régulière pour pouvoir définir les opérateurs ci-dessous, c’est à dire de classe C 1 (U) ou
C 2 (U).
Définition 6.2. On définit respectivement le gradient, la divergence et le laplacien de f
suffisamment régulière, en un point a de U par :
−−→
∂f
∂f
gradf (a) = ∇f (a) =
(a), ...,
(a)
∂x1
∂xn
n
X
∂f
∂f
∂f
divf (a) =
(a) + ... +
(a) =
(a)
∂x1
∂xn
∂x
k
k=1
n
X ∂2f
∂2f
∂2f
(a)
+
...
+
4f (a) =
(a)
=
(a)
2
∂x21
∂x2n
∂x
k
k=1
Nous retrouverons ces opérateurs, car ils interviennent régulièrement dans les équations
aux dérivées partielles.
Définition 6.3. On dit que f : Rn −→ R est harmonique sur U, ouvert de Rn si, et
seulement si : 4u = 0 sur U.
Une équation aux dérivées partielles peut être vue comme une équation différentielle
généralisée.
6.3. CHANGEMENT DE COORDONNÉES
57
Définition 6.4. Une équation aux dérivées partielles ou EDP est une équation reliant une
fonction à ses dérivées partielles ou une équation reliant entre elles les dérivées partielles
d’une fonction.
Remarque 1 : la solution d’une EDP est une fonction de plusieurs variables. Par conséquent, le domaine sur lequel on résout l’EDP joue un rôle essentiel et il est important
de le connaître dès le début. En général, il existe des conditions au bord (c’est à dire
des conditions sur la fonction en tout point du bord du domaine), des conditions initiales
(lorsque l’une des variables représente le temps par exemple, on possède des informations
sur la fonction à t = 0) , etc.
Remarque 2 : Si le domaine de résolution de l’EDP est noté U et si U est un domaine
fermé borné, on note ∂U le bord du domaine. Donnons immédiatement une exemple
d’EDP en dimension 2.
Exemple : ` et L désignent deux nombres réels strictement positifs. Cette EDP peut
y
6
L
u=y
C
u=L
B
u=y
4u = 0
A O
u=0
`
x
Fig. 6.2 – Un exemple d’EDP
encore s’écrire formellement, en notant R le rectangle ci-dessus, de la façon suivante :

4u(x, y) = 0



u(0, y) = u(`, y) = y
u(x, 0) = 0


 u(x, L) = L
∀(x, y) ∈ R ⊂ R2
∀y ∈ [0, L]
∀x ∈ [0, `]
∀x ∈ [0, `].
Remarque 1 : ∂R = [OA] ∪ [AB] ∪ [BC] ∪ [CO].
Remarque 2 : le lecteur vérifiera aisément que la continuité des conditions aux bord
pour cette EDP.
6.3
Changement de coordonnées
Dans ce paragraphe, nous ne considérerons que des fonctions de R2 et à valeurs dans R.
CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP
58
6.3.1
Repère polaire
Appelons ~u(θ), le vecteur défini pour tout réel θ par : ~u(θ) = cos θ~i + sin θ~j.
6y
q
M
~j
~u(θ)
6
>
-
θ
~i
-
x
(D)
Fig. 6.3 – Repère polaire
Remarque 1 : k~u(θ)k2 =
√
cos2 θ + sin2 θ = 1.
Remarque 2 : tout point M de la droite (D) passant par O et de vecteur directeur
−−→
~u(θ) peut être repéré par le réel ρ tel que : OM = ρ~u(θ).
On peut supposer que ρ > 0 en remarquant que ~u(θ + π) = −~u(θ). En effet, si ρ < 0,
−−→
OM = ρ~u(θ) = −ρ~u(θ + π).
Définition 6.5. Le couple (ρ, θ) est appelé système de coordonnées polaires du point M.
Remarque : pour tout couple (x, y) ∈ R2 \{(0, 0)}, on a (ρ, θ) ∈ R∗+ × [0, 2π[.
Propriété 6.2. À partir d’un système de coordonnées polaires (ρ, θ) du point M, on
retrouve les coordonnées cartésiennes de M par les relations : x = ρ cos θ et y = ρ sin θ
π
. Le repère (O; ~u, ~v ) est orthonormal. On l’apDéfinition 6.6. Posons ~v(θ) = ~u θ +
2
pelle repère polaire attaché au point M.
Ce repère est l’image du repère (O;~i, ~j) par la rotation d’angle θ et de centre O.
6.3.2
Changement de variables quelconque
On note ϕ la fonction « changement de coordonnées en polaires », définie par :
ϕ:
R2 −→ R2
(ρ, θ) 7−→ (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ).
Si f est une fonction de R2 dans R, on peut avoir envie d’exprimer f (x, y) à l’aide des
coordonnées polaires ρ et θ. Cette technique peut être notamment utilisée pour calculer
des limites de fonctions à deux variables.
Théorème 6.5. (x, y) −→ (0, 0) ⇐⇒ ρ −→ 0.
6.3. CHANGEMENT DE COORDONNÉES
59
Démonstration : ρ −→ 0 est équivalent à ρ2 −→ 0. Or, ρ2 = x2 + y 2 ≥ 0.
Donc ρ −→ 0 est équivalent à x2 −→ 0 et y 2 −→ 0. D’où le résultat souhaité.
Exemple : on définit la fonction f sur D = R2 \{(0, 0)} par :
f (x, y) =
x2 y
.
x4 + y 4
On pose pour tous (x, y) ∈ D, f (x, y) := F (ρ, θ) = f (ρ cos θ, ρ sin θ). On a donc :
ρ3 cos2 θ sin θ
1
(cos2 θ sin θ).
F (ρ, θ) = 4
=
2
ρ
ρ (cos2 θ + sin θ)
De plus, |F (ρ, θ)| = |f (x, y)| −−→ +∞. Par conséquent, f n’est pas continue en O.
ρ→0
Exercice : la fonction f définie par f (x, y) =
nuité en O ?
x4
est-elle prolongeable par contix2 + y 2
On peut également avoir envie d’exprimer les dérivées partielles d’une fonction de x et y
∂F
∂F
quelconque f en fonction des dérivées partielles de F :
et
.
∂ρ
∂θ
On va s’intéresser à la fonction ϕ. Nous avons déjà prouvé dans un précédent chapitre que
ϕ est un C 1 -difféomorphisme. C’est une condition nécessaire pour la fonction « changement
de coordonnées ». La matrice jacobienne de ϕ en a = (ρ, θ) est donnée par :


∂x ∂x
 ∂ρ ∂θ 
Ja (ϕ) =  ∂y
∂y  .
∂ρ ∂θ
On rappelle également un résultat d’un chapitre précédent. En supposant que f et g
vérifient les conditions de régularité nécessaires, on peut écrire que :
Ja (g ◦ f ) = Jf (a) (g) × Ja (f ).
Si f ∈ C 1 (U), U ouvert de R2 , en se souvenant que ϕ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ), on a
F = f ◦ ϕ. En effet, ∀(ρ, θ) ∈ R∗+ × [0, 2π[, F (ρ, θ) = f (ρ cos θ, ρ sin θ) = f ◦ ϕ(ρ, θ). Il
s’ensuit que si a = (ρ, θ) ∈ U, ϕ(a) = (x, y) (écriture cartésienne de a), et on a :


∂x ∂x
∂f ∂f
∂F ∂F
 ∂ρ ∂θ 
,
=
,
×  ∂y
∂y  .
∂ρ ∂θ
∂x ∂y
∂ρ ∂θ
On en déduit immédiatement que :


∂F
∂f
∂f
∂f
∂F
sin θ ∂F




=
cos θ +
sin θ
=
cos θ −
∂ρ
∂x
∂y
∂x
∂ρ
ρ ∂θ
⇐⇒
∂f
∂f
∂F
cos θ ∂F
∂F
∂f




= − ρ sin θ +
ρ cos θ
=
sin θ +
∂θ
∂x
∂y
∂y
∂ρ
ρ ∂θ
Conclusion générale : lorsque l’on souhaite calculer les dérivées d’une fonction après
un changement de variable, la méthode précédente se généralise aisément. On appelle en
CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP
60
général ϕ la fonction « changement de variable » (comme dans l’exemple précédent). Il
est nécessaire de vérifier de prime abord que ϕ définit un C 1 -difféomorphisme. On utilise
ensuite la formule Ja (g ◦ f ) = Jf (a) (g) × Ja (f ).
Dans le paragraphe qui suit, nous allons étudier une application de la méthode de changement de variable.
6.3.3
Trois méthodes de résolution explicite d’EDP
Dans ce paragraphe, nous travaillerons beaucoup à l’aide d’exemples, car la théorie qui se
cache derrière est sopuvent un peu ardue. De nombreux exercices portant sur ces notions
seront proposés en TD.
6.3.3.1
Changement de coordonnées
On veut résoudre l’EDP :
(E)
∂f
∂f
−
= a, avec a ∈ R.
∂x ∂y
On va utiliser le changement de coordonnées :
On choisit donc de poser :

 x = u+v
u = x+y
2
⇐⇒
v = x−y
 y = u−v
2
2
∀(x, y) ∈ R , f (x, y) = F (u, v) = f
u+v u−v
,
2
2
.
L’idée est de se ramener à une équation réécrite en variables u et v que l’on sait facilement
résoudre, puis d’utiliser les relations reliant F et f pour en déduire l’expression de f (x, y)
en fonction de x et y.
∂f
∂f
∂F
∂F
On va donc exprimer
et
en fonction de
et
.
∂x
∂y
∂u
∂v
On appelle ϕ, la fonction de R2 dans R2 définie par : ϕ(x, y) = (u, v) = (x + y, x − y). ϕ
est une fonction de classe C 1 (R2 ) et on a :


∂u ∂u
1 1
 ∂x ∂y 
 ∂v ∂v  = 1 −1 .
∂x ∂y
∂f ∂f
∂F ∂F
1 1
2
Puisque : Ja (F ◦ϕ) = Jϕ(a) F ×Ja ϕ, a ∈ R , alors
=
×
,
,
:
1 −1
∂x ∂y
∂u ∂v

∂F
∂F
∂f


=
+
∂x
∂u
∂v
∂f
∂F
∂F .


=
−
∂y
∂u
∂v
6.3. CHANGEMENT DE COORDONNÉES
61
∂F
a
∂F
= a, autrement dit
= . Par intégration directe,
∂v
∂v
2
a
on en déduit qu’il existe une fonction g, de classe C 1 sur R par : F (u, v) = v + g(u).
2
Cette relation devient donc : ∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = F (x + y, x − y), qui devient :
a
∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = (x − y) + g(x + y).
2
Par conséquent, (E) devient 2
6.3.3.2
Méthode de séparation des variables
On souhaite résoudre l’équation aux dérivées partielles suivante :
(E)
∂f
∂f
=
.
∂x
∂y
L’idée est de séparer les variables, c’est à dire que l’on suppose que la solution de l’équation
s’écrit sous la forme : ∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = F (x)G(y), où F et G sont deux fonctions
de classe C 1 sur R.
On peut alors écrire que : ∀(x, y) ∈ R2 , on a :

∂F
∂f


(x, y) = G(y)
(x)
∂x
∂x
∂f
∂G


(x, y) = F (x)
(y).
∂y
∂y
L’équation (E) se réécrit donc sous la forme :
F (x)
∂G
∂F
(y) = G(y)
(x).
∂y
∂x
Si l’on suppose de plus que F et G ne s’annulent pas sur leur domaine de définition, on
a:
1 ∂G
1 ∂F
∀(x, y) ∈ R2 ,
(y) =
(x).
G(y) ∂y
F (x) ∂x
1 ∂F
1 ∂G
(y) et x 7−→
(x) sont respectivement des fonctions de y et x.
Or, y 7−→
G(y) ∂y
F (x) ∂x
On en déduit l’existence d’une constante c ∈ R telle que :
0
F = cF
G0 = cG.
On reconnaît deux équations différentielles linéaires et homogènes du premier ordre que
l’on résout sans difficulté. Ainsi, pour tous x et y réels, on a : f (x, y) = γec(x+y) , avec γ ∈ R.
Remarque : remarquons que la solution par séparation de variables ne fournit qu’une solution particulière ou un ensemble de solutions particulières mais en aucun cas l’ensemble
des solutions d’une EDP. Pour s’en convaincre, il faut constater que l’équation résolue par
la méthode de séparation des variables est l’équation résolue par changement de variable
dans le cas a = 0.
De nombreux exemples seront traités en exercices.
L’équation de la chaleur peut être résolue à l’aide de la méthode de séparation des variables. Ce sera vu dans les travaux dirigés de ce chapitre.
CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP
62
6.4
Exercices du chapitre
Exercice 6.1 : En utilisant le théorème de structure des solutions, résoudre complètement
l’équation différentielle :
(E) y 0 = ay + b
, où a et b sont deux constantes réelles.
Exercice 6.2 : Résoudre les équations différentielles suivantes (on pourra chercher dans
chaque cas une solution particulière) :
1. y 0 + y = ex ;
2. y 00 + ω02 y = 0 ;
3. y 0 − 3y = x2 + 2x − 4 ;
4. 2y 00 + 4y 0 − 6y = 4 ;
5. y 0 − xy = 0 ;
6. (1 + x2 )y 0 − y = 0 ;
7. y 0 − xy = 2x − x3 ;
8. y 00 − y = x2 .
Exercice 6.3 : Un exemple d’équation différentielle en Physique. Établir l’équation différentielle de la charge d’un condensateur C à travers une résistance R par une
tension constante E et la résoudre. On supposera que la charge initiale du condensateur
est nulle. On introduit τ = RC. Quelle est la charge du condensateur au bout d’un temps
τ ? Exercice 6.4 : On considère l’équation différentielle régissant le comportement d’un
pendule pesant :

 θ00 + g` sin θ = 0;
θ(0) = π
 θ0 (0) = 20.
g désigne la constante de gravitation, et `, la longueur du pendule.
1. Démontrer la relation suivante :
2
∀t ≥ 0, cos (θ(t)) =
` dθ
(t) .
2g dt
2. Démontrer que θ, la solution de l’équation différentielle ci-dessus est une fonction
lipschitzienne.
Rappel : on dit qu’une fonction f définie sur D ⊂ R est lipschitzienne si :
∃C > 0 : ∀(x, y) ∈ D 2 , |f (x) − f (y)| < C|x − y|.
3. Rechercher toutes les fonctions constantes solutions de l’équation différentielle cidessus.
Ces solutions vous paraissent-elles réalistes ? Comment les interprétez-vous physiquement ?
6.4. EXERCICES DU CHAPITRE
63
Exercice 6.5 : Soit f , une fonction de deux variables x et y définie sur R2 . On pose
F (r, θ) = f (r cos θ, r sin θ).
1. Déterminer l’expression du gradient de f en coordonnées polaires.
2. On définit le Laplacien d’une fonction f de deux variables x et y par :
4f =
∂2f
∂2f
+
.
∂x2
∂y 2
Déterminer l’expression du Laplacien en coordonnées polaires, c’est à dire l’expression de 4f en fonction de r et θ, et des dérivées partielles de F .
On montrera que :
1 ∂F
1 ∂2F
∂2F
+
+
.
4f =
∂r 2
r ∂r
r 2 ∂θ2
Remarque : ce calcul est très fastidieux... Courage ! !
3. Application : vérifier les formules établies précédemment à partir de la fonction f
2
2
définie par : f (x, y) = e−x −y .
Exercice 6.6 : En utilisant par exemple les coordonnées polaires, étudier la continuité
des fonctions suivantes :
xy
1. f (x, y) = 2
;
x + y2
xy
2. f (x, y) =
;
x+y
xy
3. f (x, y) =
;
|x| + |y|
x2 + y
;
x3 + y 2
x4 + y 3
5. f (x, y) = 2
.
x + y2
4. f (x, y) =
Exercice 6.7 : Le but de cet exercice est de résoudre l’équation aux dérivées partielles :
(E)
x
p
∂f
∂f
+y
= x2 + y 2.
∂x
∂y
1. Passage en coordonnées polaires.
On se place dans le repère orthonormé du plan (O;~i, ~j). Soit f , une fonction de
classe C 1 sur son ensemble de définition U. Posons x = r cos θ et y = r sin θ, avec
e θ) := f (x, y) =
r > 0 et θ ∈ [0; 2π[. On appelle fe la fonction définie par : f(r,
f (r cos θ, r sin θ).
r cos θ
∗
On appelle g, la fonction définie sur R+ × [0; 2π[ par : g(r, θ) =
.
r sin θ
On pose a = (r, θ), et pour tout réel θ de l’intervalle [0; 2π[ :
~u(θ) = cos θ~i + sin θ~j ;
~v(θ) = − sin θ~i + cos θ~j.
CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP
64
(a) Déterminer Ja g, la matrice jacobienne de g en a, et Jg(a) f , la matrice jacobienne
de f en g(a). Quel est l’autre nom de cette matrice pour le cas de f ?
∂ fe
∂f
∂f
∂ fe
et
en fonction de
et
.
(b) En déduire les expressions de
∂r
∂θ
∂x
∂y
∂f
∂ fe
∂ fe
∂f
et
en fonction de
et
.
(c) Exprimer
∂x
∂y
∂r
∂θ
(d) Démontrer que pour tous (x, y) ∈ U et (r, θ) ∈ R∗+ × [0; 2π[, on a :
∂ fe
1 ∂ fe
(r, θ)~u(θ) + . (r, θ)~v (θ).
∂r
r ∂θ
∇f (x, y) =
2. Déduire de la question précédente que l’équation (E) est équivalente à l’équation :
(E 0 )
∂ fe
= 1.
∂r
3. Résoudre l’équation (E 0 ), et démontrer que la fonction f est de la forme :
y
p
2
2
f (x, y) = x + y + ψ
,
x
où ψ est une fonction de classe C 1 sur R.
Exercice 6.8 : En utilisant un changement de variables en coordonnées polaires, trouver
toutes les applications f : (R∗+ )2 −→ R, de classe C 1 telles que :
∀(x, y) ∈ (R∗+ )2 , x
∂f
∂f
y
(x, y) + y (x, y) = .
∂x
∂y
x
Exercice 6.9 : On souhaite résoudre l’équation aux dérivées partielles :
(E)
y ∂f
∂f
+
= 2y.
∂x x ∂y
1. Déterminer un ensemble D ⊂ R2 \ {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0} tel que le changement de
y
variables u = xy et v = définisse un C 1 -difféomorphisme.
x
2. En utilisant ce changement de variables, résoudre l’équation aux dérivées partielles
ci-dessus.
3. Commentez le résultat obtenu. Avez-vous, à votre avis trouvé toutes les solutions de
cette équation ? Pourquoi ?
Exercice 6.10 : On souhaite résoudre l’équation aux dérivées partielles :
(E)
∂2f
∂2f
= 2(x − y).
−
∂x2 ∂y∂x
f désigne bien-sûr une fonction de classe C 2 sur R2 .
1. Démontrer que le changement de variable u = x + y et v = x − y définit un C 1 difféomorphisme sur R2 .
6.4. EXERCICES DU CHAPITRE
65
2. En utilisant ce changement de variables, résoudre l’équation aux dérivées partielles
ci-dessus.
Exercice 6.11 : On va tenter de résoudre l’EDP suivante :
∂f
∂f
=
, avec k ∈ R.
k
∂x
∂y
1. Traiter le cas k = 0.
2. Poser f (x, y) = g(x)h(y), où g et h sont deux fonctions de classe C 1 sur leur ensemble
de définition. Conclure.
3. Résoudre l’EDP en utilisant le changement de variable u = x + y et v = x + ky.
On montrera bien-sûr que ce changement de variables définit un C 1 -difféomorphisme
sur R2 tout entier.
4. Conclure l’exercice.
Exercice 6.12 :
1. On veut résoudre l’équation différentielle suivante :

 r 2 v 00 + rv 0 = cv, r ∈ [0, 1];
v(1) = 0;
(E)
 0
v (1) = 0.
c désigne une constante strictement positive.
(a) On choisit de poser v(r) = r q f (r), où q est un nombre réel strictement positif.
Montrer que l’équation (E) est équivalente à l’équation :

 r 2 f 00 + (2q + 1)rf 0 = (c − q 2 )f, r ∈ [0, 1];
f (1) = 0;
(F )
 0
f (1) = 0.
√
(b) On choisit alors q = c, et on pose g = f 0 .
Déterminer la nouvelle équation vérifiée par g et la résoudre.
(c) En déduire f , puis v.
2. On appelle D, le disque de centre O et de rayon 1, et C, le cercle de centre O et
de rayon 1. Résoudre l’EDP suivante en utilisant un changement de coordonnées
polaires puis une séparation de variables :
4u = 0 dans D
u = 0 sur C.
On pourra utiliser au cours de la résolution la question précédente.
3. Conclure.
Exercice 6.13 : On souhaite résoudre l’équation des cordes vibrantes :
 2
2
∂ u

2∂ u

−
c
= 0;



∂t2
∂x2

 u(x, 0) = u0 (x);
(E0 )
∂u

(x, 0) = u1 (x);



∂t


 |u(x, t)| −−−−−→ 0.
|x|→+∞
66
CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP
c désigne la célérité ou vitesse de l’onde, t, le temps, x, la position de la corde vibrante. u0
est une fonction continue qui représente la position initiale de la corde, u1 , une fonction
continue qui représente la vitesse initiale de l’onde.
Utiliser le changement de variable y = x − ct et z = x + ct pour résoudre complètement
l’EDP ci-dessus. Interpréter la solution à l’aide d’un dessin.
Exercice 6.14 : La loi de Fourier est l’équation aux dérivées partielles qui décrit la
propagation de la chaleur dans un milieu. On considère le flux dénergie thermique J(r, t)
qui traverse une surface unitaire par unité de temps. La loi de Fourier s’écrit : J = −κ∇u,
où κ est le coefficient de conductivité thermique et u, la température du milieu, qui est
fonction de x (la position) et de t (le temps).
Cette loi stipule qu’une différence de températures engendre un flux d’énergie dans la direction des températures décroissantes. Considérons le cas unidimensionnel, par exemple,
le cas d’une poutre de longueur L, infiniment plus longue qu’épaisse. Un bilan en puissance et la loi de Fourier permettent de démontrer que la température u du milieu vérifie
l’équation de la chaleur :
2
∂u
2∂ u
=c
∂t
∂x2
κ
, avec σ, la chaleur spécifique du corps et ρ, sa densité volumique.
, où c2 =
σρ
On se donne les conditions suivantes :
(i) Les deux extrémités de la poutre sont à une température de 0˚C. On a par conséquent :
u(0, t) = u(L, t) = 0, ∀t ∈ R+ .
(ii) Condition initiale. On suppose que ∀x ∈ [0, L], u(x, 0) = f (x), où f est une fonction
de classe C 1 sur [0, L] donnée.
Le but de cet exercice est de résoudre par une méthode de variables séparables l’équation
de la chaleur en dimension 1 :

∂u
∂2u


= c2 2 ,
∀(x, t) ∈ [0, L] × R+ (1.1)
∂t
∂x
(1)
(1.2)

 u(0, t) = u(L, t) = 0, ∀t ∈ R+
u(x, 0) = f (x)
∀x ∈ [0, L]
(1.3)
Rappel d’Analyse : la fonction « sinus hyperbolique » est définie par la relation :
ex − e−x
. La fonction sinh réalise une bijection de R dans R.
∀x ∈ R, sinh x =
2
1. On pose ∀(x, t) ∈ [0, L] × R+ , u(x, t) = v(x)w(t).
Démontrer que résoudre (1) revient alors à résoudre deux équations différentielles
d’inconnues respectives v et w. Préciser l’ordre de ces équations.
2. On appelle (2) l’équation en v, (3) l’équation en w.
Dans cette question, on ne prendra pas en compte la condition (1.3) de
l’équation (1) , faisant intervenir la fonction f . Seules les conditions aux
limites (1.2) interviendront.
(a) On suppose v non identiquement nulle (c’est à dire, v n’est pas la fonction
constante égale à 0 sur [0, L]).
Démontrer dans un premier temps que selon le signe des paramètres intervenant dans l’équation (2), il y a trois expressions possibles pour v(x), que l’on
précisera.
6.4. EXERCICES DU CHAPITRE
67
(b) En s’intéressant aux conditions aux limites (1.2), démontrer qu’un seul des cas
précédents ne fournit pas la solution identiquement nulle pour v(x).
Démontrer que les seules solutions acceptables pour (2) sont les fonctions vn ,
définies pour tout n entier naturel quelconque et x ∈ R par :
nπ vn (x) = Kn sin
x
L
, où les Kn sont des nombres donnés dépendant de n.
(c) Résoudre également l’équation (3). On pourra utiliser certaines informations
démontrées dans la qestion précédente.
(d) En déduire, ∀(x, t) ∈ [0, L] × R+ , l’expression de un (x, t), solution de l’équation
(1), pour n fixé.
3. Montrer que si f et g sont solutions de (1.1), si α et β sont deux réels quelconques
fixés, alors αf + βg est également une solution de (1.1).
4. En déduire que la fonction UN définie pour tout N, entier supérieur à 1 par UN (x, t) =
N
X
un (x, t) est encore une solution de (1.1).
n=1
5. On s’intéresse à présent à la condition (1.3). On pose à présent, sous réserve que
cette limite existe :
∀(x, t) ∈ [0, L] × R+ , U(x, t) := lim UN (x, t) =
n→+∞
+∞
X
un (x, t).
n=1
On appelle γ, la fonction définie sur [0, L] par : γ(x) = U(x, 0) =
où (Kn ) est une suite donnée.
+∞
X
Kn sin
n=1
nπ x ,
L
(a) Démontrer que si U est une solution du problème (1), alors, f est nécessairement
une fonction impaire.
(b) Dans le cas où f est une fonction impaire, f se développe en série de Fourier de
la façon suivante :
Z
nπ nπ 1 L
f (x) =
x , où cn =
f (x) sin
x .dx.
cn sin
L
L −L
L
n=1
+∞
X
Donner l’expression précise de la solution de (1) par la méthode des variables
séparables, en fonction des paramètres de l’équation.
6. On s’intéresse enfin à l’état stationnaire de l’équation de la chaleur en dimension
1, c’est à dire l’état, obtenu au bout d’un temps suffisamment grand pour lequel
la température ne varie plus. (Elle est donc constante par rapport au temps.) On
appellera T̃ , la fonction de x correspondante.
Déterminer l’équation différentielle vérifiée par T̃ , puis la résoudre.
Conclure
68
CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP
Chapitre 7
Transformée de Fourier pour les
équations aux dérivées partielles
Ce chapitre est largement inspiré des notes de cours de l’école des Mines de Douai.
7.1
7.1.1
La transformée de Fourier
Définitions
On note L1 (R), l’ensemble des fronctions f définies de R dans R, continues par morceaux
et telles que :
Z +∞
|f (t)|dt existe.
−∞
Exemples :
1. La fonction f : x 7−→
1
1+x2
Z
appartient à L1 (R) car :
+∞
−∞
1
dx = 2 lim arctan x = π.
x→+∞
1 + x2
2. Par contre, la fonction g définie de R dans R par g(t) = t n’appartient pas à L1 (R).
De façon plus générale, sauf dans le cas de la fonction nulle, les fonctions polynômes
n’appartiennent pas à L1 (R).
Définition 7.1. Transformée de Fourier.
Soit f ∈ L1 (R). On appelle transformée de Fourier de f l’application :
Z +∞
F (f ) : R −→ C
, où F (f )(s) =
e−2iπst f (t)dt.
−∞
s 7−→ F (f )(s)
L’application F : f 7−→ F (f ) s’appelle transformation de Fourier. (C’est une application qui, à une fonction, associe une autre fonction).
Remarques :
69
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
70
1. F (f )(s) est défini par une intégrale dépendant du paramètre réel s. On a : ∀s ∈
R, |e−2iπst f (t)| = |f (t)|. Cela montre que la fonction F (f ) est définie et bornée sur
R. On admettra que F (f ) est continue sur R.
2. La courbe d’équation y = |F (f )(s)| est appellée spectre de f . On peut démontrer
que :
lim |F (f )(s)| = 0.
|s|→+∞
3. Cas particulier 1 : si f est paire.
On sait que eiθ = cos θ + i sin θ. Donc, l’intégrale de Fourier s’écrit :
Z +∞
(cos(2πst) − i sin(2πst))f (t)dt.
F (f )(s) =
−∞
Or, les fonctions t 7−→ f (t) cos(2πst) et t −
7 → f (t) sin(2πst) sont respectivement
paire et impaire. Donc :
Z +∞
Z +∞
f (t) cos(2πst)dt
f (t) cos(2πst)dt = 2
0
−∞
Z +∞
f (t) sin(2πst)dt = 0.
et
−∞
Donc, si f est paire, F (f )(s) est un nombre réel et F (f )(s) = 2
Z
+∞
f (t) cos(2πst)dt.
0
4. Cas particulier 2 : si f est impaire.
De la même façon, on montreZque si f est impaire, F (f )(s) est un nombre imaginaire
+∞
pur et on a : F (f )(s) = −2i
7.1.2
f (t) sin(2πst)dt.
0
Propriétés de la transformée de Fourier
On admet les propriétés suivantes :
1. F est linéaire.
En effet, quels que soent f et g, fonctions de L1 (R), λ et µ complexes, on a :
F (λf + µg) = λF (f ) + µF (g).
2. Transformée d’une dérivée.
df
Si f est continue et si dx
appartient à L1 (R), alors on a :
df
F
: s 7−→ 2iπsF (f )(s).
dx
3. Règle de multiplication par t.
Si la fonction t 7−→ tf (t) appartient à L1 (R), alors on a :
d
(F (f )) : s 7−→ −2iπF (tf (t))(s).
ds
La notation abusive F (tf (t)) représente la transformée de Fourier de la fonction
t 7−→ tf (t).
7.1. LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
71
4. Image d’une translatée (formule du retard si a > 0).
Soit a ∈ R. On pose : ∀t ∈ R, g(t) := f (t − a). g est donc la translatée de f ou le
signal f "retardé" de a si a > 0. On a :
F (g) : s 7−→ e−2iπas F (f )(s).
5. Translation de l’inage.
Soit a ∈ R. On a :
F (e2iπat f (t)) : s 7−→ F (f )(s − a).
La notation abusive F (e2iπat f (t)) représente la transformée de Fourier de la fonction
t 7−→ e2iπat f (t).
6. Changement d’échelle.
Soit ω > 0.
s
1
F (f (ωt)) : s 7−→ F (f )
.
ω
ω
7. Produit de convolution.
Définition 7.2. Produit de convolution.
Soient f et g, deux fonctions de L1 (R). On appelle produit de convolution de f
et de g la fonction notée f ∗ g définie par :
Z +∞
(f ∗ g)(t) =
f (u)g(t − u)du.
−∞
On a alors (f ∗ g) ∈ L1 (R).
On peut démontrer que :
F (f ∗ g) = F (f ).F (g).
7.1.3
Transformée de Fourier inverse
Définition 7.3. Transformée de Fourier conjuguée.
Soit f ∈ L1 (R). On appelle transformée de Fourier conjuguée de f la fonction :
Z +∞
F (f ) : s 7−→
e2iπst f (t)dt.
−∞
On a alors le théorème d’inversion suivant :
Théorème 7.1. Formule d’inversion.
Si f et F (f ) sont dans L1 (R), alors :
#
"
1
F (F (f )) (t) =
lim f (x) + lim f (x) .
x→t
2 x→t
x<t
x>t
En particulier, si f est continue en t, alors :
F (F (f )) (t) = f (t).
On peut écrire que :
F (f )(s) =
Z
+∞
−∞
−2iπst
e
f (t)dt ⇐⇒ f (t) =
Z
+∞
−∞
e2iπst F (f )(s)ds.
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
72
Remarque : ces formules nous montrent que la transformation de Fourier peut être
inversée : il existe donc une transformation inverse qui est F que l’on pourrait aussi noter
F −1 .
dans la section suivante, nous verrons comment utiliser la transformée de Fourier pour
résoudre des équations aux dérivées partielles.
Exercice : on choisit f : t 7−→ e−a|t| , avec a > 0. Nous verrons en travaux dirigés
que :
2a
.
F (f )(s) = 2
a + 4π 2 s2
Sachant que F (F (f )) (t) = f (t), déterminer la transformée de Fourier de la fonction
1
h : t 7−→
.
1 + t2
Réponse : après calculs, vous devez trouver que :
F (h)(s) = πe−2πs .
7.2
Application à la résolution d’EDP
Nous allons à présent découvrir une nouvelle technique de résolution des équations aux
dérivées partielles. Je ne souhaite pas entrer dans des condidérations trop techniques.
C’est pour cela que nous évincerons volontairement certains problèmes plus proches des
préoccupations des Mathématiciens que des ingénieurs. Un minimum de rigueur est cependant indispensable si l’on ne veut pas obtenir par exemple des solutions qui n’existent
pas ou des solutions erronées. Avant de nous intéresser à un exemple concret, je commence
par énoncer un théorème fondamental dans la théorie de l’intégration : le théorème de
Lebesgue.
Théorème 7.2. Le théorème de convergence dominée de Lebesgue.
Soit (fn )n∈N , une suite de fonctions intégrables sur Ω telles que :
• fn (x) −−−−→ f (x), pour tout x ∈ Ω ;
n→+∞
• Il existe une fonction g, intégrable sur Ω, ne dépendant pas de n telle que :
|fn (x)| ≤ g(x), pour tout x ∈ Ω et n ∈ N.
Z
Z
Alors, f est intégrable et lim
fn (x)dx =
f (x)dx.
n→+∞
Ω
Ω
Exemple : on cherche à déterminer si elle existe lim
n→+∞
Z
1
e−nx dx.
0
Posons fn (x) = e
et Ω = [0, 1]. Alors, on peut vérifier toutes els conditions du théorème :
• Soit x ∈ [0, 1]. On a : fn (x) −−−−→ 0.
−nx
n→+∞
• Pour tout x ∈ [0, 1] et tout n ∈ N, on a : |fn (x)| = e−nx ≤ 1.
7.2. APPLICATION À LA RÉSOLUTION D’EDP
73
Le théorème de convergence dominée nous affirme donc que :
Z 1
Z 1
−nx
lim
e dx =
lim e−nx dx = 0.
n→+∞
0
0 n→+∞
Attention ! On pourrait être tenté de croire que l’on peut toujours permuter une limite
set une intégrale (ou une limite et une somme par exemple), mais il existe des contreexemples. Il faudra donc toujours vérifier que l’on est dans les conditions d’application de
ce théorème. Vous en comprendrez mieux l’utilité grâce à l’exemple de résolution d’EDP
que nous allons traiter à présent.
À titre d’exemple, considérons de nouveau l’équation de la chaleur mais cette fois dans
une barre infinie :
(
∂2u
∂u
= 2
∂t
∂x
u(x, 0) = ϕ(x) ∀x ∈ R, avec ϕ ∈ L1 (R) donnée.
Dans les calculs qui suivent, nous allons appliquer les formules que nous venons de voir sur
les transformées de Fourier. Nous supposoerons dans nos calculs que si u est une fonction
des deux variables x et t, alors :
Z
Z
d
∂
(x, t)dx.
u(x, t)dx =
dt Ω
Ω ∂t
Ce résultat est bien-sûr faux en général. Nous n’étudierons que des équations dans lesquelles cette égalié est réalisée. Si vous souhaitez vous documenter sur ce thème, il existe
de nombreux ouvrages de Mathématiques qui traitent de la théorie de l’intégration.
Supposons que u est assez régulière pour que l’EDP ait un sens. On pourra par exemple
∂u
∂2u
∂u
supposer que u,
et
(x, t) = 0
sont
intégrables
avec
lim
u(x,
t)
=
0,
lim
x→±∞
x→±∞ ∂x
∂x
∂x2
pour tout t fixé et qu’il existe une fonction g intégrable sur R telle que :
∀t > 0, ∀x ∈ R,
∂u
(x, t) ≤ g(x).
∂t
Exposé de la méthode :
1. 1ère étape : pour t > fixé, on prend la transformée de Fourier en x des
deux membres de l’équation ci-dessus :
2 ∂u
∂ u
F
(s, t) = F
(s, t).
∂t
∂x2
Mais puisque l’on s’est donné l’autorisation d’intervertir l’opérateur de dérivation
en une variable et les intégrales d’une autre variable, on a :
Z +∞
Z
∂u
∂ +∞
∂
∂u
−2iπsx
(x, t)e
dx =
u(x, t)e−2iπsx dx = F (u)(s, t).
F
(s, t) =
∂t
∂t −∞
∂t
−∞ ∂t
Afin d’alléger un peu les notations, on écrira dorénavant u
b pour désigner la transformée de Fourier de u par rapport à la variable x, autrement dit F (u). On peut donc
écrire que :
∂
∂u
b(s, t).
(s, t) = u
F
∂t
∂t
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
74
Par ailleurs, en appliquant les formules énoncées précédemment, on a successivement :
2 ∂u
∂ u
(s, t) = −4π 2 s2 u
b(s, t).
F
(s, t) = 2iπsb
u(s, t), puis F
∂x
∂x2
L’équation aux dérivées partielles devient donc :
∂
u
b(s, t) = −4π 2 s2 u
b(s, t).
∂t
s étant une variable indépendante de t, on est finalement ramené à résoudre une
équation différentielle ordinaire à coefficients constants. La solution est bien connue
(cf. chapitre précédent). On peut ainsi écrire que :
u
b(s, t) = C(x)e−4π
2 s2 t
, où C désigne une fonction de la variable x.
2. 2ème étape :On utilise condition initiale (t = 0) pour résoudre complètement l’EDP après transformation de Fourier.
Nous allons maintenant déterminer l’expression de la fonction C. On a envie de faire
tendre t vers 0 dans l’expression ci-dessus. On a donc :
Z +∞
C(x) = lim u
b(s, t) lim
u(x, t)e−2iπsx dx.
t→0
t>0
t→0
t>0
−∞
On souhaite ici permuter la limite et l’intégrale. On va utiliser le théorème de convergence dominée de Lebesgue. Si ce théorème s’applique, on pourra alors écrire que :
Z +∞
Z +∞
Z +∞
−2iπsx
−2iπsx
ϕ(x)e−2iπsx dx = F (ϕ)(s, t) = ϕ
b
u(x, 0)e
dx =
lim u(x, t)e
dx =
C(x) =
−∞
t→0
t>0
−∞
−∞
Justification de la permutation limite - intégrale : on pose f (x, t) = u(x, t)e−2iπsx .
D’après l’inégalité des accroissements finis et les hypothèses émises sur la fonction
u, on peut écrire que :
|f (x, t) − f (x, 0)| = |f (x, t) − ϕ(x)| ≤ g(x)|t − 0| = tg(x).
Nous sommes donc dans les conditions d’application du théorème de convergence
dominée de Lebesgue ce qui nous permet de permuter limite et intégrale. Finalement,
on obtient :
−4π 2 s2 t
u
b(s, t) = ϕ(x)e
b
.
Or, nous verrons en exercice que si l’on désigne par f , la fonction définie par f (x) =
2
e−αx (α > 0), alors on a :
r
π − π 2 s2
F (f )(s) =
e α .
α
On a donc en prenant α =
1
4t
:
1
b fb(s).
u
b(s, t) = √ ϕ(x)
2 πt
7.2. APPLICATION À LA RÉSOLUTION D’EDP
75
3. 3ème étape : on utilise la transformée de Fourier inverse pour trouver une
expression intégrale de la solution.
D’après la formule du cours, puisque :
1
u
b(s, t) = √ ϕ(x)
b fb(s),
2 πt
on peut exprimer u à l’aide d’un produit de convolution et on a :
Z +∞
(x−u)2
1
1
ϕ(u)e− 4t du.
u(x, t) = √ (ϕ ∗ f )(x) = √
2 πt
2 πt −∞
On a donc une expression explicite (bien que sous forme intégrale) de la solution.
Reste à justifier que les hypothèses initiales sur la fonction u sont valides. Nous ne
vérifierons pas que les dérivées successives de u sont intégrables, en revanche, il est
possible de se convaincre de l’existence d’une fonction g telle que :
∀t > 0, ∀x ∈ R,
∂u
(x, t) ≤ g(x).
∂t
Pour l’établir, il s’agit de dériver l’expression de u(x, t) par rapport à t, en utilisant
la règle donnée en début de paragraphe (on peut dériver sans se préoccuper de
l’intégrale). Ensuite, on utilise le fait que pour tout n, entier supérieur ou égal à 2,
2
il existe une constante κ > 0 telle que on ait : e−x ≤ κ. x1n . Je laisse au lecteur le
soin de s’en convaincre.
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
76
7.3
Exercices du chapitre
Exercice 7.1 : On définit la fonction porte Π par
1 si x ∈ [− 12 ; 12 ],
Π(x) =
0 sinon.
1. représenter la courbe de Π et calculer sa transformée de Fourier.
2. En utilisant le résultat précédent, calculer les transformées de Fourier des fonctions
(a) f définie par
x − 1/2
, pour a > 0,
f (x) = Π
a
(b) g définie par
g(x) = xΠ(x),
(c) h définie par
h(x) = (Π ? Π)(x), pour a > 0.
Exercice 7.2 :
1. Déterminer la transformée de Fourier de la fonction triangle Λ définie par :
1 − |x| si x ∈ [−1; 1],
Λ(x) =
0 sinon.
2. Calculer la dérivée de Λ et exprimer Λ0 (t) à l’aide de la fonction porte Π.
3. Appliquer à la relation obtenue l’opérateur F . En déduire la transformée de Fourier
de Λ.
4. Vérifier que Λ = Π ∗ Π. retrouver alors le résultat de la question précédente.
Exercice 7.3 : On s’intéresse au problème suivant.
2 2
1. On veut calculer la transformée de Fourier de la fonction f telle que : f (x) = e−a x ,
pour a 6= 0. En utilisant le fait que f est solution d’une équation différentielle, en
déduire F (f ).
2. Soit maintenant fa , pour a > 0, la gaussienne définie par
x2
1
fa (x) = √ e− 2a2
a 2π
(a) Calculer sa transformée de Fourier.
(b) Calculer le produit de convolution fa ? fb .
Exercice 7.4 : Résoudre les questions suivantes dans l’ordre.
1. Calculer la transformée de Fourier de la fonction f donnée par
f : x 7→ f (x) = e−|x|
2. En déduire que
∀ν ∈ R, F (
1
)(ν) = πe−2π|ν|
2
1+x
7.3. EXERCICES DU CHAPITRE
77
3. Résoudre l’équation fonctionnelle dans L1
Z
2
e−a|x−t| f (t)dt = e−x
R
où a ∈ R∗+ .
Exercice 7.5 : On se donne une fonction ϕ ∈ L1 (R). Résoudre alors l’équation fonctionnelle suivante : trouver f ∈ L1 satisfaisant l’équation discrète
f (x) − k(f (x + 1) + f (x − 1)) = ϕ(x),
où ∈ R tel que |k| < 21 .
Exercice 7.6 : En s’inspirant de la méthode de résolution de l’EDP de la chaleur dans le
cas d’une barre de longueur infinie, résoudre le problème de Dirichlet dans le demi-plan :
4u(x, y) = 0 (x, y) ∈ Ω
u(x, 0) = ϕ(x)
où Ω est le demi-plan {(x, y) ∈ R2 : y > 0} et ϕ est une fonction donnée intégrable sur R.
78
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
Chapitre 8
Calcul d’intégrales doubles et triples
Nous allons nous intéresser dans ce chapitre au calcul pratique d’intégrales doubles et
triples, très utiles dans de nombreux domaines de la Physique tels que la Mécanique du
solide pour n’en citer qu’un.
Je m’attacherai donc à fournir quelques recettes générales permettant de traiter les cas
usuels. Nous nous placerons systématiquement dans le cas où la fonction à intégrer est
continue, le plus souvent sur un domaine borné. Des résultats plus généraux appartenant
à la théorie développée par Lebesgue au tout début du vingtième siècle , relatifs aux
théorèmes de convergence d’intégrales, ne seront pas développés dans ce chapitre.
8.1
Calcul intégral dans R
Toutes les fonctions considérées dans ce paragraphe seront supposées continues. Quelques
rappels de base en théorie de l’intégration d’une fonction d’une variable sont fournis en
annexe. Le lecteur intéressé pourra s’y reporter. Je redonne ci-dessous quelques principes
généraux.
8.1.1
Quelques méthodes
Que faut-il retenir et comment doit-on procéder si l’on souhaite calculer
Z
b
f (t).dt ?
a
Si a et b sont deux réels donnés (a < b), et f , une fonction continue sur [a, b], alors
f admet une primitive sur [a, b], notée F (i.e., une fonction telle que F 0 = f sur [a, b]) et
Z b
on a :
f (u).du = F (b) − F (a).
a
Pour les calculs effectifs de primitives, le lecteur pourra se reporter au tableau fourni en
annexe.
f étant une fonction continue sur I. Les conditions sont énoncées pour x ∈ I.
79
CHAPITRE 8. CALCUL D’INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES
80
Conditions
n∈N
u0 .un
Fonction f
un+1
n+1
Une primitive F de f sur I
8.1.2
n ≥ 2 et u(x) 6= 0 u(x) > 0
u0
u0
√
un
u
√
−1
2 u
(n − 1)un−1
u(x) ∈ R
u(x) ∈ R
sin u
− cos u
u0 cos u
u0 sin u
L’intégration par parties
Théorème 8.1. Soient u et v, deux fonction dérivables sur un intervalle I, dont les
dérivées sont continues sur I, et a et b, deux réels de I. Alors :
Z b
Z b
0
b
u0(x)v(x).dx.
u(x)v (x).dx = [u(x)v(x)]a −
a
a
Preuve : il suffit d’utiliser l’égalité (uv)0 = u0 v + uv 0 et d’intégrer chaque membre de la
relation.
Exemple
Z x : calcul de la primitive de x 7−→ x sin x qui s’annule en 0. C’est la fonction
φ(x) =
x sin x.dx. x 7−→ x sin x est continue sur R, donc intégrable. Utilisons un calcul
0
par parties :
Posons u(x) = x et v 0 (x) = sin x, alors u0(x) = 1 et v 0 (x) = − cos x. Pour tout réel x, on
a:
Z x
Z x
Z x
0
x
cos t.dx = x cos x+[sin t]x0 = x cos x+sin x.
u(t)v (t).dx = [−t cos t]0 +
t sin tdt =
φ(x) =
0
0
0
Un second exemple intéressant d’intégration par parties est fourni par les intégrales de
Wallis, dont le détail sera donné utltérieurement.
8.1.3
Introduction aux intégrales impropres
Imaginons par exemple que l’on souhaite calculer
la limite existe, on a :
Z
Z
+∞
f (t).dt. On admettra que, lorsque
a
+∞
a
f (t).dt = lim F (x) − F (a).
x→+∞
Les mêmes remarques s’appliquent lorsque une des bornes de l’intégrale est −∞.
Z +∞
dx
Exemple : Calcul de I =
.
x2
1
Essayons de mieux cerner cette notion à l’aide des aires. Appelons f , la fonction définie sur
1
]0; +∞[ par f (x) = 2 . Sur R∗+ , cette fonction a pour représentation graphique ci-dessous.
x
Intéressons-nous alors à l’aire du domaine défini par :
1≤x≤A
0 ≤ y ≤ f (x),
8.1. CALCUL INTÉGRAL DANS R
81
où x et y sont les coordonnées d’un point M du plan et A, un nombre réel supérieur
strictement à 1.
5
4
3
y
2
1
0
2
4
6
8
10
x
Fig. 8.1 – Représentation graphique de la fonction x 7−→
1
x2
Intuitivement, on comprend qu’une condition nécessaire est que f décroisse (suffisament
rapidement) vers 0 quand x → +∞. Autrement, l’intégrale (représentée par l’aire, si
f ≥ 0) divergerait.
Essayons à présent de mieux comprendre ce phénomène par le calcul. L’aire du domaine
décrit ci-dessus, notée A(A) se calcule par la formule :
A
Z A
1
dx
1
A(A) =
=
1
−
=
−
.
2
x 1
A
1 x
Et on remarque immédiatement que lim A(A) = 1.
A→+∞
Cette petite astuce nous permet d’introduire la notation
Z
+∞
f (x).dx, avec a, un nombre
a
réel. Une telle intégrale est appelée intégrale impropre. Nous la définissons de la façon
suivante :
Z A
Z +∞
f (x).dx := lim
f (x).dx .
a
A→+∞
a
Attention cependant ! Il n’est pas du tout certain qu’une telle limite existe pour toutes les
fonctions. Un calcul immédiat permet de montrer que l’on ne peut pas définie une telle
1
intégrale pour la fonction x 7−→ . Donc, prudence !
x
D’autre part, cette définition peut être largement complétée ! La théorie de l’intégration
a été imaginée en grande partie par Lebesgue qui a défini proprement ce type d’intégrales
en introduisant la notion de tribu. Cette théorie sera développée dans le supérieur pour
les futurs mathématiciens.
De la même façon, on pourrait définir, quand la limite existe, pour a réel :
Z a
Z a
f (x).dx .
f (x).dx := lim
−∞
A→−∞
A
CHAPITRE 8. CALCUL D’INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES
82
Z
Notations : si I est un intervalle de type [a; b], avec a et b réels, alors
f (t).dt déI
Z
Z b
f (t).dt, ou si I = [a; +∞[, par exemple, on a :
f (t).dt =
signe tout simplement
a
I
Z +∞
f (t).dt, etc.
a
Si I = R, alors on peut écrire que :
Z
Z
f (t).dt = lim
x→−∞
I
8.1.4
0
f (t).dt + lim
y→+∞
x
Z
y
f (t).dt.
0
Visualisation graphique de l’intégrale
Lorsque f est une fonction continue et positive sur un intevalle [a, b], le nombre
Z
b
f (t).dt
a
s’interprète comme l’aire du domaine délimité par la courbe de f , l’axe des abscisses et
les droites d’équations x = a et x = b.
y
6
Cf
f (b)
f (a)
a
b
- x
Fig. 8.2 – Visualisation de l’intégrale
8.2
8.2.1
Intégrales doubles
Intégrale double sur un rectangle
Théorème 8.2. Théorème de Fubini.
Soit f : R2 −→ R, continue sur le rectangle R = [a, b] × [c, d] (a < b et c < d). Alors :
Z dZ b
Z bZ d
f (x, y).dx.dy.
f (x, y).dx.dy =
a
c
c
Z 1Z
a
5
Exemple : calcul de J =
xy.dx.dy.
0
3
5
Z 5
R1
1 2
= 8y et 0 8y.dy = 4. Par conséquent, J = 4.
xy.dx = y x
2
3
3
8.2. INTÉGRALES DOUBLES
83
Exercice : vérifier le théorème de Fubini pour l’intégrale J.
8.2.2
Intégrale double sur une partie bornée
Soit U, une partie bornée de R2 , et f , une fonction de R2 dans R, définie et continue sur
U. U est incluse dans un rectangle du type R = [a, b] × [c, d]. On souhaite intégrer f sur
U. Posons :
f˜(x, y) = f (x, y) si (x, y) ∈ U
f˜(x, y) = 0 si (x, y) ∈ R\U.
ZZ
ZZ
˜ y).dx.dy.
f(x,
Alors :
f (x, y).dx.dy =
R
U
Souvent, on aura affaire à des domaines de différentes formes :
a≤x≤b
ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x).
Alors, on écrira :
forme :
ZZ
Z bZ
f (x, y).dx.dy =
a
U
ϕ2 (x)
f (x, y).dy.dx. Si le domaine est de la
ϕ1 (x)
a≤y≤b
ϕ1 (y) ≤ x ≤ ϕ2 (y).
ZZ
Z bZ ϕ2 (y)
f (x, y).dx.dy.
Alors, on écrira :
f (x, y).dx.dy =
a
U
ϕ1 (y)
La figure qui suit illustre le principe de calcul général, lorsque le domaine est borné.
Exemple : calcul de I =
Z Z4
3 1
2
dx.dy
.
(x + y)2
CHAPITRE 8. CALCUL D’INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES
84
Remarquons au préalable que cette intégrale n’est pas impropre, puisque (x, y) 7−→
1
est continue sur le rectangle [3, 4] × [1, 2]. On peut donc écrire :
(x + y)2
Z 4
y=2
−1
A =
dx
x + y y=1
3
Z 4
1
1
A =
−
dx
x+1 x+2
3
4
25
x+1
= ln .
A = ln
x+2 3
24
Remarque : fonctions à variables séparées.
Imaginons que l’on souhaite intégrer sur le rectangle R = [a, b] × [c, d], avec a < b et
c < d, la fonction continue f , des deux variables x et y, définie par une relation du type :
f (x, y) := g(x)h(y), où g et h sont deux fonctions continues d’une variable. Alors, on peut
écrire :
Z Zb
a c
8.2.3
d
f (x, y).dx.dy =
Z Zb
d
g(x)h(y).dx.dy =
a c
Z
b
a
Z
g(x).dx
d
h(y).dy .
c
Propriétés de l’intégrale double
On choisit encore f , continue sur un domaine U ⊂ R2 et à valeurs réelles.
Soient D1 et D2 , deux domaines disjoints (D1 ∩ D2 = ∅) inclus dans U. Alors :
ZZ
f=
D1 ∪D2
ZZ
f+
D1
ZZ
f.
D2
De même, on peut écrire de façon formelle :
ZZ
(f + g) =
D
ZZ
f+
D
ZZ
g.
D
Les intégrales doubles permettent également de calculer des surfaces. Le principe est le
même qu’en dimension 1. Si D est un domaine borné de R2 , si nous notons A(D), son
aire, alors on a :
ZZ
A(D) =
dx.dy.
D
Exemple : On appelle D, l’ensemble des points (x, y) tels que :
0 ≤ x ≤ 1√
x2 ≤ y ≤ x
On souhaite calculer l’aire du domaine D, qui correspond à la lunulle représentée ci-dessus.
8.2. INTÉGRALES DOUBLES
85
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Fig. 8.3 – Représentation du domaine d’intégration
On appelle A, cette aire. On a :
ZZ
A =
Z
dx.dy. =
D
1 √
Z 1Z
0
√
x
dy.dx.
x2
( x − x2 dx.dy.
0
1
2 5 1 3
2
x − x
A =
5
3
0
1
A =
.
15
A =
8.2.4
Changement de variable dans R
Rappelons la formule du changement de variable dans R.
Théorème 8.3. Soient I et J, deux intervalles de R. On appelle a et b les extrémités de
J. Soit ϕ, un C 1 -difféomorphisme (bijection) de J dans I. Alors :
Z
b
0
a
Exemple 1 : calcul de J =
ϕ (t)f ◦ ϕ(t).dt =
Z
0
1
√
1 − u2 .du.
Z
ϕ(b)
f (u).du.
ϕ(a)
86
CHAPITRE 8. CALCUL D’INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES
Posons ϕ(t) = cos t. On a ϕ(0) = 1 et ϕ( π2 ) = 0. Puis :
Z ϕ(0) √
1 − u2 .du
J =
ϕ( π2 )
J = −
J =
J =
Exemple 2 : calcul de I =
Z
π
2
Z
Z
π
2
0
π
2
√
sin t 1 − cos2 t.dt
sin t sin t.dt
0
π
.
4
x cos x2 .dx.
0
Il suffit de choisir ϕ(t) = t2 et f (t) = cos t. On a alors :
Z π
Z π
2
1 2
2
I =
x cos x dx =
2x cos x2 dx
2
0
0
Z π2
4
1
cos udu
=
2 0
2
π
1
sin
.
=
2
4
.
8.2.5
Changement de variable dans R2
Théorème 8.4. Soit f , une fonction continue sur un domaine
borné de R2 : U. On peut
ZZ
parfois utiliser un changement de variables pour calculer
f (x, y).dx.dy.
U
Soit ϕ, un C 1 -difféomorphisme sur U, c’est à dire :
• ϕ : (x, y) 7−→ (u, v) bijective de classe C 1 sur U.
• ϕ−1 , bijection réciproque est également de classe C 1 sur U 0 = ϕ(U).
On a alors :
ZZ
ZZ
f (x, y).dx.dy =
g(u, v)| det J|.du.dv
U
U0
, où J désigne la matrice jacobienne de ϕ , c’est à dire :


 ∂x ∂x 



∂v 
det J =  ∂u
.
 ∂y ∂y 


∂u ∂v
−1
Exemple 1 : coordonnées polaires.


 cos θ −ρ sin θ 

Si x = ρ cos θ et y = ρ sin θ, det J = 
 sin θ ρ cos θ  = ρ. Par conséquent, en utilisant
les mêmes notations que dans le théorème ci-dessus, on a :
ZZ
ZZ
f (x, y).dx.dy =
g(ρ, θ)ρdρdθ.
U
U0
8.3. EXEMPLES D’INTÉGRALES TRIPLES
Exemple 2 : calcul de I =
0, a2 ≤ x2 + y 2 ≤ b2 }.
ZZ
U
p
xy
x2
+
y2
87
.dx.dy, où U = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥
Un passage en coordonnées polaires fournit immédiatement : I =
où U 0 = [a, b] × 0, π2 . (Faire un dessin) Puis :
I=
8.3
Z
b
2
ρ dρ
Z
π
2
cos θ sin θdθ =
0
a
ZZ
ρ cos θ sin θdρdθ,
U0
b3 − a3
.
6
Exemples d’intégrales triples
La définition que nous avons donnée s’étend sans difficulté supplémentaire aux intégrales
triples. Nous allons illustrer les différentes méthodes en calculant de deux façons le volume
d’une sphère. Ilm s’agit en réalité du volume de la boule limitée par la sphère. Soit B, la
boule fermée de R3 de centre O et rayon R.
B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 }.
ZZZ
Le volume de B est : V =
dx.dy.dz.
B
8.3.1
Intégration par piles
On se ramène à une intégrale double :
ZZ Z √ 2 2 2 !
V=
R −x −y
D
−
√
dz
R2 −x2 −y 2
.dx.dy = 2
ZZ p
D
R2 − x2 − y 2.dx.dy
, où D désigne le disque de R2 de centre O et rayon R. Passons alors en coordonnées
polaires :
ZZ p
i
3 R
4πR3
4π h 2
.
V=
R2 − ρ2 ρdρdθ = −
(R − ρ2 ) 2 =
3
3
0
D0
8.3.2
Coordonnées sphériques
Calculons l’intégrale triple par un changement de variables, ici les coordonnées sphériques :

 x = ρ cos ϕ cos θ
y = ρ cos ϕ sin θ .

z = ρ sin ϕ
h π πi
On choisit ρ, ϕ et θ tels que : ρ ∈ [0, r] ; θ ∈ [0, 2π] ; ϕ ∈ − , . Ce choix se justifie
2 2
aisément d’après la figure suivante : La matrice jacobienne de cette transformation est :
CHAPITRE 8. CALCUL D’INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES
88
6z
M
r
ϕ
y
-
O
θ
M0
x
=




J =


∂x
∂ρ
∂y
∂ρ
∂z
∂ρ
Fig. 8.4 – Coordonnées sphériques
∂x
∂θ
∂y
∂θ
∂z
∂θ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
∂ϕ


 
cos ϕ cos θ −ρ sin θ cos ϕ −ρ sin ϕ cos θ

 
cos ϕ sin θ ρ cos θ cos ϕ −ρ sin ϕ sin θ  .
=

sin ϕ
0
ρ cos ϕ

Le déterminant de J est : det J = ρ2 cos ϕ (règle de Sarrus). On en déduit :
Z 2π
ZZZ
Z R
Z π
2
2
2
cos ϕdϕ
dθ.
V=
ρ cos ϕdρdϕdθ =
ρ dρ
B0
− π2
0
Il s’ensuit immédiatement que V =
0
4πR3
.
3
Plus généralement, énonçons le théorème de changement de coordonnées en dimension
3, dont le meilleur exemple d’application est le calcul du volume de la sphère de centre O
et rayon R effectué ci-dessus :
Théorème 8.5. Changement de variable.
Soit ψ : U ⊂ R3 −→ V ⊂ R3 , un C 1 -difféomorphisme tel que :
ψ(u, v, w) = (P (u, v, w), Q(u, v, w), R(u, v, w)) .
Si D ⊂ U, on note D 0 = ψ(D). On peut encore écrire D = ψ −1 (D 0 ), et si f est une
fonction continue de U dans R, alors :
ZZZ
ZZZ
f (x, y, z).dx.dy.dz =
f (ψ(u, v, w)) |Jψ (u, v, w)|.du.dv.dw
D0
, où l’on aura noté Jψ , le déterminant :



Jψ := det 


D
∂P
∂u
∂P
∂u
∂P
∂u
∂P
∂v
∂Q
∂v
∂R
∂v
∂P
∂w
∂Q
∂w
∂R
∂w



.


8.3. EXEMPLES D’INTÉGRALES TRIPLES
8.3.3
89
Un exemple d’application en Physique
En Mécanique par exemple, on peut être amené à chercher le centre de gravité d’une
demi-boule homogène :
B := (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 0, x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 .
On appelle m, la masse de la demi-boule. On appelle µ, la masse volumique de la boule.
Si O est le centre du repère, le centre de gravité G du solide est défini par la relation :
ZZZ
−→
−−→
mOG =
µOM.dx.dy.dz
B
, où M désigne un point de B de coordonnées (x, y, z).
En utilisant des propriétés de symétrie de B, on montre sans difficulté que xG = yG = 0.
Reste à calculer zG . On a :
ZZZ
mzg = µ
z.dx.dy.dz.
B
Un passage en coordonnées sphériques fournit :
ZZZ
mzg = µ
(ρ sin ϕ)(ρ2 cos ϕdρdθdϕ).
(ρ,θ,ϕ)∈Ω
h πi
, avec Ω = [0, R] × [0, 2π] × 0, . Le calcul est immédiat puisque la fonction à intégrer
2
est à variables séparées :
!
Z R
Z 2π Z π
2
µ
zG =
ρ3 .dρ
sin ϕ cos ϕ.dϕ .
dθ
m
0
0
0
2
Finalement, en considérant que m = µπR3 (calcul d’une masse volumique), on trouve :
3
3
zG = R.
8
CHAPITRE 8. CALCUL D’INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES
90
8.4
Exercices du chapitre
Remarque préalable : il est vivement conseillé, avant de se lancer dans quelque calcul d’intégrale que ce soit, de représenter lorsque c’est possible, le domaine d’intégration...
Exercice 8.1 : Calculer les intégrales suivantes :
ZZ
1.
xy.dx.dy, sur U = {(x, y) ∈ R2 , x ≥ 1, y ≥ −1, x + y ≤ 2}.
ZZU
2
2
2.
|x|y.dx.dy, sur U = {(x, y) ∈ R2 , x2 + y3 ≤ 1}.
ZZU
3.
(x + y).dx.dy, sur U, l’intérieur du triangle de sommets A(−2, 0), B(0, 4) et
U
C(1, 0).
ZZ
dx.dy
, sur U = {(x, y) ∈ R2 , x ≥ 2, y ≥ 0, x + y ≤ 3}.
4.
2
U (y − x)
Exercice 8.2 :
1. Calculer le volume de la région de R3 limitée par la paraboloïde d’équation z = x2 +y 2
et le plan d’équation z = 3.
2. Calculer le volume de la région de R3 limitée par la surface d’équation z = x2 + (2y)2
et le plan d’équation z = 1.
Exercice 8.3 : L’objectif de cet exercice est de montrer que le choix d’une méthode de
calcul d’intégrale double ou triple ne dépend pas seulement de la forme de la fonction. Il
dépend également de la forme du domaine sur lequel on intègre la fonction.
Calculer les intégrales I et J :
ZZ
Z Z4 1
1
1
.dx.dy et J :=
.dx.dy
I :=
2
2
2
2
D 1+x +y
0 0 1+x +y
, où D := {(x, y) ∈ R2 : x2 − 4x + y 2 + 2y ≤ −3}.
Exercice 8.4 : Calculer l’aire de la surface délimitée par l’ellipse d’équation :
x2 y 2
+ 2 = 1, avec a > 0 et b > 0.
a2
b
Exercice 8.5 : On donne l’expression du changement de variable en coordonnées sphériques (dimension 3) pour calculer le volume d’un tore :

 x = (R + ρ cos ϕ) cos θ
y = (R + ρ cos ϕ) sin θ , avec (ρ, θ, ϕ) ∈ [0, r] × [0, 2π] × [0, 2π].

z = ρ sin ϕ
En utilisant le changement de variable en coordonnées sphériques suggéré ci-dessus, caluler
le volume du tore Γ engendré par la rotation autour de l’axe (Oz) du disque d’équations
y = 0 et (x − R)2 + z 2 = r 2 .
8.4. EXERCICES DU CHAPITRE
91
Exercice 8.6 : On souhaite déterminer la position du centre de gravité du demi-disque
homogène :
n
o
√
D := (x, y) ∈ R2 : −R ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤ R2 − x2 .
ZZ
On montre aisément que xG = 0, et myG =
σy.dx.dy, avec m = 21 σπR2 .
D
Calculer yG .
Exercice 8.7 : Calculer le volume d’une sphère de rayon R. On pourra utiliser le changement de variable suivant :

 x = ρ sin ϕ cos θ
y = ρ sin ϕ sin θ , avec (ρ, θ, ϕ) ∈ [0, R] × [0, 2π] × [0, π].

z = ρ cos ϕ
Exercice 8.8 :
1. En utilisant l’intégrale double K =
variable, calculer :
I=
Z
Z
Z +∞
+∞
e−
x2 +y 2
2
.dx.dy et un changement de
−∞ −∞
+∞
x2
e− 2 .dx
−∞
x2
1
On appelle f , la fonction d’une variable définie pour x ∈ R par : f (x) = √ e− 2 .
R2π
On dit qu’une fonction f est une densité de probabilité gaussienne si on a : R f = 1.
Vérifier que f est effectivement une densité de probabilité.
2. On admet que l’espérance et la variance d’une variable aléatoire continue X sont
respectivement définies, lorsque ϕ est la densité de probabilité de la variable aléatoire
par :
Z
Z
E(X) =
xf (x)dx et V ar(X) =
x2 f (x).dx.
R
R
Calculer E(X) et V ar(X).
3. Reprendre les questions précédentes lorsque f est définie, pour m ∈ R et σ > 0 par :
f (x) = √
1 x−m 2
1
e− 2 ( σ ) .
2πσ
Exercice 8.9 : Soit r, un nombre réel appartenant à l’intervalle ouvert ]0, 1[ et Cr , la
couronne de R2 définie par :
Cr = {(x, y) ∈ R2 : r 2 ≤ x2 + y 2 ≤ 1}.
On appelle fα , la fonction définie sur R2 \{(0, 0)} par : fα (x, y) =
1. Démontrer que l’intégrale A :=
Z
0
x2 − y 2
.
(x2 + y 2 )α
2π
| cos(2θ)|.dθ vaut 4.
2. Démontrer très rapidement que la fonction fα est continue sur Cr , et dessiner le
domaine d’intégration Cr pour r = 21 .
92
CHAPITRE 8. CALCUL D’INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES
On appelle Ir et Jr les intégrales respectivement définies par :
ZZ
ZZ
|fα (x, y)|.dx.dy.
fα (x, y).dx.dy et Jr =
Ir =
Cr
Cr
Ir et Jr sont bien définies puisque fα est continue sur Cr .
(a) En utilisant un changement de variables, calculer Ir .
(b) De même, démontrer que Jr vérifie :
(
4
(1 − r 4−2α ) , si α 6= 2
Jr =
4 − 2α
−4 ln r
, si α = 2
3. Déterminer les valeurs de α telles que Ir et Jr aient une limite finie quand r tend
vers 0.
Annexe A
Formulaire de trigonométrie
cos (−x) = cos x
cos (π + x) = − cos x
cos π2 − x = sin x
cos π2 + x = − sin x
tan (x + π) = tan x
tan (x + π2 ) = −cotan x
sin (−x) = − sin x
sin (x + π) = − sin x
sin π2 − x = cos x
sin π2 + x = cos x
tan (−x) = − tan x
tan (x − π2 ) = cotan x
FORMULES D’ADDITION
cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a
cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a
tan a+tan b
tan a−tan b
tan (a + b) = 1−tan a tan b
tan (a − b) = 1+tan
a tan b
sin 2a = 2 sin a cos a
cos2 a = 21 (1 + cos 2a)
cos2 a + sin2 a = 1
sin2 a = 12 (1 − cos 2a)
2
2
2
cos 2a = cos a − sin a = 2 cos a − 1 = 1 − 2 sin2 a
FORMULES D’EULER
cos θ = 12 (eiθ + e−iθ )
sin θ =
1
(eiθ
2i
− e−iθ )
FORMULE DE MOIVRE
(eiθ )n = einθ = (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
93
94
ANNEXE A. FORMULAIRE DE TRIGONOMÉTRIE
FORMULES DE TRANSFORMATION
cos a cos b = 21 (cos (a + b) + cos (a − b))
sin a cos b = 12 (sin (a + b) − sin (a − b))
) cos ( p−q
)
cos p + cos q = 2 cos ( p+q
2
2
p+q
p−q
sin p + sin q = 2 sin ( 2 ) cos ( 2 )
sin a sin b = 21 (cos (a − b) − cos (a + b))
cos p − cos q = −2 sin ( p+q
) sin ( p−q
)
2
2
p−q
p+q
sin p − sin q = 2 sin ( 2 ) cos ( 2 )
Annexe B
Opérations sur les limites
B.1
Limite d’une somme
Si f a pour limite en x0
L
L ou +∞
L ou −∞
+∞
B.2
Si g a pour limite en x0
L0
+∞
−∞
−∞
Limite d’un produit d’une fonction par une constante λ non
nulle
Si f a pour limite en x0
L
+∞
−∞
B.3
Alors λf a pour limite en x0
λL
+∞ si λ > 0 et −∞ si λ < 0
−∞ si λ > 0 et +∞ si λ < 0
Limite d’un produit
Si f a pour limite en x0
L
L, L 6= 0
∞
0
1
Alors f + g a pour limite en x0
L + L0
+∞
−∞
Cas d’indétermination
Si g a pour limite en x0
L0
∞
∞
∞
Le signe se détermine d’après une simple règle des signes
95
Alors f × g a pour limite en x0
L × L0
∞1
∞1
Cas d’indétermination
ANNEXE B. LIMITES
96
B.4
Limite d’un quotient
Si f a pour limite en x0
L
L
∞
0
∞
Si g a pour limite en x0
L0 6= 0
∞
0
L 6= 0
0
∞
Alors
f
g
a pour limite en x0
L
L0
0
∞1
Cas d’indétermination
Cas d’indétermination
97
ANNEXE C. DÉRIVÉES USUELLES
98
Annexe C
Dérivées usuelles
Fonction
xn
1
xnq
x
ex
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tan(x)
cotan(x)
sinh(x)
cosh(x)
tanh(x)
cotanh(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctan(x)
arccotan(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtanh(x)
argcotanh(x)
Dérivée
nxn−1
1
−n n+1
x
qxq−1
ex
1
x
cos(x)
− sin(x)
1
cos2 (x)
1
− 2
sin (x)
cosh(x)
sinh(x)
1
cosh2 (x)
1
sinh2 (x)
1
√
1 − x2
1
−√
1 − x2
1
1 + x2
1
−
1 + x2
1
√
1 + x2
1
√
x2 − 1
1
1 − x2
1
1 − x2
Intervalle
R
R∗+ ou R∗−
R∗+
R
Remarques
n∈N
n∈N
q ∈ R∗
R∗+
R
R
i π
h
π
− + kπ; + kπ
2
2
]kπ; (k + 1)π[
k∈Z
k∈Z
R
R
R
R∗+ ou R∗−
] − 1, 1[
] − 1, 1[
R
R
√
x2 + 1)
√
[1; +∞[
argcosh(x) = ln(x + x2 − 1)
1+x
1
] − 1; 1[
argtanh(x) = ln
2
1 − x 1
x+1
] − ∞; −1[ ou ]1; +∞[ argcotanh(x) = ln
2
x−1
R
argsinh(x) = ln(x +
Annexe D
Primitives usuelles
99
ANNEXE D. PRIMITIVES USUELLES
100
Fonction
xα
eax
1
x
ln(x)
sin(ax)
cos(ax)
1
cos2 x
tan(x)
1
sin2 x
cotan(x)
1
sin x
1
cos x
sinh(x)
cosh(x)
tanh(x)
cotanh(x)
1
√
1 − x2
1
−√
1 − x2
1
1 + x2
1
−
1 + x2
1
√
1 + x2
1
√
x2 − 1
1
1 − x2
1
1 − x2
Primitive
xα+1
α+1
1 x
e
a
ln |x|
x(ln x − 1)
1
cos(ax)
a
1
− sin(x)
a
tan(x)
− ln | cos x|
−cotan(x)
ln | sin x|
x
ln tan
x 2 π ln tan
+
2 4
cosh(x)
sinh(x)
ln(cosh x)
ln(sinh(x))
Intervalle
Remarques
R∗+
α ∈ R\{−1}
R
a ∈ C∗
R∗
R∗+
R
a ∈ R∗
R
a ∈ R∗
i π
h
π
− + kπ; + kπ
2
2
h
i π
π
− + kπ; + kπ
2
2
]kπ; (k + 1)π[
]kπ; (k + 1)π[
]kπ; (k + 1)π[
i π
h
π
− + kπ; + kπ
2
2
R
R
R
∗
R+ ou R∗−
arcsin(x)
] − 1, 1[
arccos(x)
] − 1, 1[
arctan(x)
R
arccotan(x)
R
argsinh(x)
argcosh(x)
argtanh(x)
argcotanh(x)
k∈Z
k∈Z
k∈Z
k∈Z
k∈Z
k∈Z
√
x2 + 1)
√
[1; +∞[
argcosh(x) = ln(x + x2 − 1)
1+x
1
] − 1; 1[
argtanh(x) = ln
2
1 − x 1
x+1
] − ∞; −1[ ou ]1; +∞[ argcotanh(x) = ln
2
x−1
R
argsinh(x) = ln(x +
Annexe E
Applications linéaires, matrices et
déterminant : rappels
E.1
Calcul matriciel dans R2 , R3 et Rn
• Une matrice est un tableau de valeurs.
• Une matrice n × p est un tableau de valeurs à n lignes et p colonnes.
1 10 7
Exemple : matrice 2 × 3. M =
.
0 8 15
• Remarque : une matrice A se notera souvent (ai,j )i∈{1,...,n}, où n désigne le nombre de
j∈{1,...,p}
lignes et p le nombre de colonnes ou plus généralement (ai,j ), avec la convention que la
lettre i représente une ligne de la matrice et la lettre j une colonne.
• Pour additionner deux matrices (il est impératif que ces matrices soient de même type),
on se ramène à une addition de vecteurs. On additionne chaque colonne d’une matrice
avec chaque colonne correspondante de la matrice à ajouter.
1 2
1 1
2 3
Exemple :
+
=
.
−3 4
1 0
−2 4
• On peut multiplier une matrice par un nombre réel λ. Ainsi, toutes les composantes de
la matrice sont multipliées par λ.
2 0
4 0
Exemple : 2 ×
=
.
1 −1
2 −2
Règle : de façon plus générale, si A = (ai,j ) est une matrice et B = (bi,j ) est une
matrice de même type que A, alors on peut définir A + B = (ai,j + bi,j ), ainsi que
λA = (λai,j ), où λ est un scalaire (réel ou complexe).
• Multiplication de deux matrices A et B.
Règle d’or : pour effectuer le produit matriciel A × B, il faut impérativement que
le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B.
101
102ANNEXE E. APPLICATIONS LINÉAIRES, MATRICES ET DÉTERMINANT : RAPPELS
Exemple : A =
On a :
A×B =
1 1 2
1 0 1
1 1 2
1 0 1


1
et B =  0 . On peut effectuer le produit A × B.
1


1
1
×
1
+
1
×
0
+
2
×
1
3
× 0 =
=
.
1×1+0×0+1×1
2
1
Règle de calcul : soient A = (ai,j ) et B = (bi,j ), deux matrices de types respectifs (n, p)
et (p, q). On appelle matrice produit de A et B pris dans cet ordre la matrice de type
p
X
ai,k bk,j .
(n, q), notée C = (ci,j ) où : ∀(i, j) ∈ {1, ..., n} × {1, ..., q}, ci,j =
On écrira d’ailleurs comme ci-dessus C = AB ou C = A × B.
k=1
Complétons ces notions sur les matrices avec de nouveaux objets dont l’utilité apparaitra lorsque nous expliciterons des techniques de calcul de déterminants, dans la
section qui suit.
• Notion de transposée d’une matrice.
Définition E.1. Soit une matrice A = (ai,j ) à n lignes et p colonnes. Posons, pour i
et j tels que 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ n, on pose bi,j = aj,i et on appelle B la matrice (bi,j ).
B s’appelle la matrice transposée de A et se note : B := t A.
Propriété E.1. Soit deux matrices A = (ai,j ) et C = (ci,j ) à n lignes et p colonnes, et
B, une matrice à p lignes et k colonnes. On a alors :
(i) t (A + C) = t A + t C ;
(ii) t (AB) = t B t A.
Exemple :
Si M =
E.2
1 10 7
0 8 15


1 0
, on a : t M =  10 8 
7 15
Lien avec les applications linéaires
Commencer par rappeler la définition d’une application linéaire.
Définition E.2. Soient E et F , deux espaces vectoriels.
Une application f de E dans F est dite linéaire si :
(i) ∀(x, y) ∈ E 2 , f (x + y) = f (x) + f (y) ;
(ii) ∀a ∈ R, ∀x ∈ E, f (ax) = af (x).
les deux égalités précédentes équivalent à l’unique égalité :
∀(α, β) ∈ R2 , ∀(x, y) ∈ E 2 , f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).
E.2. LIEN AVEC LES APPLICATIONS LINÉAIRES
103
Considérons une application linéaire f : R2 −→ R. On appelle (~i, ~j), une base de R2 . On
a donc (~i = (1, 0) et ~j = (0, 1). Ainsi, tout vecteur ~u de R2 s’exprime de façon unique en
fonction de ~i et ~j par :
u
x
2
.
~u = ux~i + uy~j, où (ux , uy ) ∈ R et on a : ~u =
uy
Remarquons que le fait de connaître f (~i) et f (~j) permet de déterminer complètement
f (~u), pour ~u ∈ R2 . En effet, puisque f est linéaire, on peut écrire : f (~u) = f (ux~i + uy~j) =
ux f (~i) + uy f (~j).
Exemple concret : f (x, y) = 3x + 4y.
Exercice : montrer que f est une application linéaire.
On a :
• f (~i) = f (1, 0) = 3 ;
• f (~j) = f (0, 1) = 4.
Ainsi, si ~u = (4, 2) = 4~i + 2~j, on a :
f (~u) = 4f (~i) + 2f (~j) = 4 × 3 + 2 × 4 = 12 + 8 = 20.
u
x
Posons M = (f (~i), f (~j)) = (3, 4). Pour ~u =
∈ R2 On a : f (~u) = M × ~u =
uy
ux
(3, 4) ×
, en utilisant la multiplication matricielle.
uy
M s’appelle la matrice de l’application f . Elle est définie par la relation suivante :
Si X ∈ R2 , on a : f (X) = MX.
Un autre exemple : on considère cette fois une fonction f : R2 −→ R2 définie par la
relation :
x+y
f1 (x, y)
f : (x, y) 7−→
=
.
2x + 3y
f2 (x, y)
Encore une fois, la connaissance de (f (~i), f (~j)) permet d’expliciter l’image de R2 par f
de façon explicite.
Par exemple, posons : ~u = ux~i + uy~j, avec ux = 1 et uy = 2. On a :
1+2
3
f (~u) = f (1, 2) =
=
.
2+3×2
8
Maintenant, si ~u = ux~i + uy~j, avec ux et uy réels quelconques, on a :
1 1
ux
ux + uy
=
×
.
f (~u) = f (ux , uy ) =
2 3
uy
2ux + 3uy
Pour mieux comprendre d’où cette identité provient, retrouvons ce résultat à l’aide d’un
104ANNEXE E. APPLICATIONS LINÉAIRES, MATRICES ET DÉTERMINANT : RAPPELS
calcul formel. On peut écrire :
f (~u) = f (ux , uy ) = ux f (~i) + uy f (~j)
f1 (~i)
f1 (~j)
= ux
+ uy
f2 (~i)
f2 (~j)
ux f1 (~i) + uy f1 (~j)
=
ux f2 (~i) + uy f2 (~j)
f1 (~i) f1 (~j)
ux
=
uy
f2 (~i) f2 (~j)
1 1
ux
=
×
2 3
uy
De même que précédemment, on pose : M =
1 1
2 3
.
M est la matrice de l’application linéaire f . Elle est encore définie par la relation :
Si X ∈ R2 , on a : f (X) = MX.
À présent, généralisons le résultat que l’on vient de prouver :
n
p
Définition E.3. On considère une fonction f , linéaire, de
R à valeurs
 dans R .
f1 (X)
..
n
, où fi : Rn −→ R.
On suppose que si X = (x1 , ..., xn ) ∈ R , on a : f (X) = 
.
fp (X)
Soit (e1 , e2 , ..., en ), une base de Rn .
Alors, la matrice M de l’application f est définie par la relation : si X ∈ R2 , on a : f (X) =
MX, et :


f1 (e1 ) f1 (e2 ) . . .
f1 (ep )


..
.




.
.


.
.
M = (fi (ej ))i∈{1,...,n} = 
.
.
fi (ej )

j∈{1,...,p}


.
.


.
fn (e1 ) fn (e2 ) . . .
fn (ep )
E.3
Calculs de déterminants en dimensions 2 et 3
Commençons par donner l’expression explicite du déterminant de matrices de type 2 × 2
et 3 × 3.
• Déterminant 2 × 2 :
a11 a12
a21 a22
= a11 a22 − a12 a21 .
E.3. CALCULS DE DÉTERMINANTS EN DIMENSIONS 2 ET 3
105
• Déterminant 3 × 3 :
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
− a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 .
Pour retrouver simplement cette formule, on peut utiliser une disposition pratique appelée règle de Sarrus.
+ + +/− − −
aZ
a12 a13
>
>
>
11 aZ
12 a
13 a
11 Z
Z Z
Z
a21 aZ22 a
21 a22 a23
Z23Za
ZaZ a
a31 a32ZZa
33
Z 31 Z 32 a33
Z
~
~ Z
Z
~
Exemple :
1 2 1
0 1 0
3 1 4
= 1 × 1 × 4 + 2 × 0 × 3 + 1 × 0 × 1 − 3 × 1 × 1 − 1 × 0 × 1 − 4 × 0 × 2 = 1.
Énonçons à présent quelques propriétés caractéristiques des déterminants :
Propriété E.2. Soient A et B, deux matrices à coefficients réels de type n × n et E, un
espace vectoriel. Alors :
(i) det(AB) = det A det B.
(ii) dett A = det A.
(iii) A est inversible si, et seulement si son déterminant est non nul.
(iv) On appelle M1 , la matrice d’une application linéaire f de E dans E, exprimée dans
une base B1 et M2 , la matrice de l’application linéaire f , exprimée dans une base B2 .
Alors, det M1 = det M2 , et c’est pour cela que l’on peut, sans complexe, définir le
déterminant d’une application linéaire de E dans E.
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