Angles 2 2

Pr´eparation `a l’agr´egation externe de math´ematiques Ann´ee 2005-2006
Universit´e de Nice-Sophia-Antipolis
Angles
Dans la suite (E, φ) est un espace euclidien (voire quadratique) de dimension n, avec n= 2 `a
partir de la section 2.
1. Rappel sur les isom´etries de E.
Soit Eun ev de dimension n.
D’apr`es “Endomorphismes Normaux” les automorphismes orthogonaux d’un espace quadratique
(E, φ) (les automorphismes udont l’adjoint u∗est ´egal `a u−1) sont les applications utelles que
∀x, y ∈E,φ(u(x), u(y)) = φ(x, y). Dans le cas o`u (E, φ) est euclidien, il s’agit donc des applications
qui conservent la distance ou le produit scalaire. On les appelle alors les isom´etries. On rappelle
que l’on note O+(E, φ) les isom´etries de (E, φ) dont le d´eterminant vaut 1 et que l’on dit qu’un
automorphisme de O−(E, φ) = O(E, φ)\ O+(E, φ) est une isom´etrie indirecte.
On note O(n) le groupe des matrices orthogonales (ie les matrices Mtelles que M−1=tM)
n×n.
•Une base orthonormale B´etant choisie dans E, on en d´eduit un isomorphisme IBde O(E, φ)
sur O(n) (celui qui `a une isom´etrie associe sa matrice dans B). Cet isomorphisme n’est pas canonique.
•Une orientation de Eest une des deux classes d´equivalence du quotient de l’ensemble des
bases de Emodulo la relation d’´equivalence B ∼ B0ssi la matrice de passage de B`a B0est de
d´eterminant >0. Choisir une orientation sur Eest choisir une de ces deux classes.
•On note O+(n) les matrices orthogonales de d´eterminant 1 et O−(n) = O(n)\ O+(n) celles
de d´eterminant −1. Une bon Bde E´etant choisie, la restriction de IB`a O+(E, φ) donne un
isomorphisme I+
Bde O+(E, φ) sur O+(n) (les matrices orthogonales de d´eterminant 1), puisque uet
sa matrice repr´esentative dans Bont mˆeme d´eterminant.
2. Les isom´etries du plan E.
Dans la suite on suppose Ede dimension 2.
Proposition 1. — Une isom´etrie ude O(E, φ)est repr´esent´ee dans une bon par une matrice
du type :
Sθ=cos(θ)−sin(θ)
sin(θ) cos(θ)si u∈ O+(E, φ), S0
θ=cos(θ) sin(θ)
sin(θ)−cos(θ)si u∈ O−(E, φ),
avec θ∈R/2πZ.2
Proposition 2. — L’application R:θ7→ Sθest un isomorphisme de groupes de (R/2πZ,+)
sur O+(2). On en d´eduit que O+(2) est commutatif.
Preuve. Il suffit de v´erifier que S(θ+θ0) = SθS0
θet que R(θ) = I2ssi θ= 0 mod(2π). 2
Lemme fondamental 3. — Soient Sαet Sα0deux matrices de O+(2),S0
αet S0
α0deux matrices
de O−(2). Si Sθ∈ O+(2), on a :
(Sα)−1SθSα=Sθ,(S0
α)−1SθS0 α=S−θ.
Th´eor`eme 4. — (i)La matrice Sθqui repr´esente une isom´etrie de Edans une bon ne d´epend
pas du choix de cette base, pourvu que ce choix soit fait dans une orientation de E(elle est ´egale `a
S−θdans une base de l’autre orientation).
(ii)Le plan E´etant orient´e, l’isomorphisme I+
Best ind´ependant de la base B, il est not´e I+. La
composition µ=R−1◦ I+d´etermine un isomorphisme canonique (ie ind´ependant de B, pour Bbon
choisie dans l’orientation de E), de O+(E, φ)sur R/2πZ.
1

Preuve. (i) r´esulte du Lemme 3 : si rest une rotation de E, et si Bet B0sont deux bon de
Edans une mˆeme orientation la matrice qui repr´esente rdans Best du type Sθ, celle qui repr´esente
rdans B0est Sθ0et il existe Sα∈ O+(2) telle que (Sα)−1SθSα=Sθ0. Mais d’apr`es le Lemme 3,
Sθ=Sθ0.
(ii) r´esulte de (i). 2
D´efinition. On dit que µ(r) = θest la mesure de r.
3. Angle orient´e de deux demi-droites de E.
Ici (E, φ) est encore un espace euclidien de dimension 2. Rappelons qu’une demi-droite de E
est l’ensemble R+·x, o`u x∈E\ {0}. L’ensemble Ddes demi-droites de Es’identifie ainsi avec S1,
l’ensemble des vecteurs unitaire de E.
Proposition 5 . — O+(E, φ)(resp. O−(E, φ)) op`ere transitivement et fid`element sur D.
Preuve. En effet deux vecteurs unitaires u1et u2´etant donn´es, on peut trouver rune rotation
telle que r(u1) = u2. Il suffit de compl´eter u1en une bon B1de E, de compl´eter u2par v2en une
bon B2de Equi soit dans la mˆeme orientation que B1(quitte `a prendre −v2). L’application lin´eaire
qui envoie B1sur B2est bien dans O+(E, φ).
Maintenant si (u, v) est une bon de E, il existe αet α0uniques dans R/2πZtels que u1=
cos(α)u+ sin(α)vet u2= cos(α0)u+ sin(α0)v. Si r∈ O+(E, φ) est telle que r(u1) = u2et la matrice
de rdans (u, v) est Sθ, on a : Sθ·cos(α)
sin(α)=cos(α0) sin(α0). Mais comme Sθ·cos(α) sin(α)=Sθ+α, on
en d´eduit que θ=α0−α, ce qui d´etermine uniquement r; l’op´eration est fid`ele. 2
On d´eduit de cette proposition :
Th´eor`eme et D´efnition 6 . — Les ´el´ements de l’ensemble quotient A=D2/∼o`u ∼est la
relation d’´equivalence (d1, d2)∼(d3, d4)ssi ∃r∈ O+(E, φ)/(d2=r(d1)∧d4=r(d3)) sont appel´es
angles orient´es de demi-droites. On note la classe de (d, d0)par d d, d0.
L’application A:O+(E, φ)→ A d´efinie par r7→ d d, r(d)est une bijection (d∈ D quelconque).
On d´efinit +Apar a+Aa0=A(A−1(a)◦A−1(a0)), qui fait de Aun groupe et de Aun isomorphisme.
Le groupe Aest ainsi commutatif.
L’angle p=A(−IdE)est appel´e l’angle plat.
Preuve. Le fait que Ane d´epende pas du choix de d∈Dest clair. La surjectivit´e est imm´ediate.
L’injectivit´e de Avient du caract`ere fid`ele de l’action de l’action de O+(E, φ) sur D.2
D´efinition. Si (E, φ) est orient´e, pour a=d d, d0∈ A, on note µ(A−1(a)) par (d, d0) et on
l’appelle la mesure de l’angle orient´e d d, d0.
En r´esum´e :
(A,+) A
←− O+(E, φ)Eorient´e
↓ I+
µ◦ I+◦A−1& O+(2)
↓µ
R/2πZ
Les formules qui suivent permettent de trouver la mesure de l’angle orient´e de deux demi-droites.
Exercice 0. Soit xet ydeux vecteurs non nuls de Eet rl’unique rotation qui envoie
e1=x/kxksur e2=y/kyk. On note, une orientation de E´etant choisie, θla mesure de r. Montrer
que cos(θ) = φ(x, y)/kxk·kyket sin(θ) = det([x],[y])/kxk·kyk, o`u [x] et [y] d´esignent les coordonn´ees
de xet ydans une bon de l’orientation de E.
Solution. Soit (u, v) une bon de l’orientation de E. On ´ecrit e1=αu +βv. Alors la matrice
de rdans (u, v) est Sθ. On en d´eduit que e2= (αcos(θ)−βsin(θ))u+ (αsin(θ) + βcos(θ))vet donc
que φ(e1, e2) = cos(θ), puis que det([e1],[e2]) = sin(θ). 2
2

Exercice 1. Montrer que :
(i)- d d1, d2= 0 ⇐⇒ d1=d2,d d1, d2=p⇐⇒ d1=−d2,
(ii)- d d1, d2=−d d2, d1,
(iii)- d d1, d2+d d2, d3=d d1, d3(relation de Chasles),
(iv)- d d1, d2=d d0
1, d0 2⇐⇒ d
d1, d0
1=d
d2, d0
2,
(v)- ∀r∈ O+(E, φ),d r(d1), r(d2) = d d1, d2,
(vi)- ∀r∈ O−(E, φ),d s(d1), s(d2) = −d d1, d2(Ind. Soit rtelle que d2=r(d1), utiliser
s◦r◦s−1=r−1).
Exercice 2. (i)- Soit n∈N∗,a∈ A. R´esoudre dans Al’´equation nx =a.
(ii)- Soit det d0deux demi-droites de E. Montrer qu’il existe exactement ndemi-droites δde E
v´erifiant n·c δ, d =d d, d0
Solution. On oriente (E, φ). Il est alors ´equivalent de r´esoudre ny =θ, o`u θest la mesure de
a. Si ϕ∈θ, on obtient les nsolutions :
ϕ
n+2kπ nmod(2π), k ∈ {0,···, n −1}.
(ii) r´esulte de (i). 2
D´efinition. Les deux solutions de l’´equation 2 ·x=psont les angles ∂et ∂+p, dont les
mesures sont, lorsque Eest orient´e, π/2mod(2π) et −π/2mod(2π). On dit que ∂et ∂+psont les
angles droits de demi-droites.
Remarque. Dans la d´efinition pr´ec´edente, l’ensemble {π/2mod(2π),−π/2mod(2π)}
des mesures des angles droits de demi-droites, d´efinies seulement lorsque (E, φ) est orient´e, est
ind´ependant du choix de l’orientation. En effet si pour une orientation la mesure de aest π/2mod(2π),
elle est −π2mod(2π) = π/2 + π mod(2π) dans l’autre orientation, puisque SαSθ(Sα)−1=S−θ.
´
Etant donn´ees deux demi-droites det d0formant un angle droit, dire que la mesure de d d, d0est
par exemple π/2mod(2π) (ou −π/2mod(2π) ) est choisir une orientation de (E, φ).
Exercice 3. Soit (E, φ)orient´e et e1, e2∈E. Les propositions suivantes sont ´equivalentes :
(i)−(e1, e2)est une bon dans l’orientation de E(resp. dans l’autre orientation de E),
(ii)- La rotation r(unique par la Proposition 5) telle que r(e1) = e2est A−1(∂)(resp.
A−1(∂+p) = −A−1(∂)).
Solution. Si rest la rotation qui envoie e1sur e2, et si (e1, e2) est dans l’orientation de
E, la matrice Sθde rdans la bon (e1, e2) fournit la mesure θde de1, e2. Or cette matrice a pour
premi`ere colonne 0
1, ce qui donne cos(θ) = 0 et sin(θ) = 1, soit θ=π/2mod(2π). On voit au
passage que n´ecessairement r(e2) = −e1. R´eciproquement si la mesure de rest π/2, par l’exercice 0,
φ(e1, e2) = cos(π/2) = 0, donc la base (e1, e2) est une bon. La matrice de rdans une base quelconque
de l’orientation de Eest, par d´efinition de la mesure de r, la matrice M=0−1
1 0 . Mais si
r(e1) = e2, la matrice Nde rdans la bon (e1, e2) a pour premi`ere colonne la premi`ere colonne de la
matrice M, et donc N=M, ce qui prouve que (e1, e2) est dans l’orientation de E(sinon on aurait
N=0 1
−1 0 ). 2
Exercice 4. Soient d, d0∈ D, les deux solutions de l’´equation 2·d d, δ =d d, d0sont deux demi-
doites oppos´ees. On les appelle les bissectrices de det d0. Leur r´eunion est l’axe de la sym´etrie qui
envoie dsur d0.
Preuve. En effet on a : (d, δ) = ϕ/2 et (d, δ0) = ϕ/2 + π, o`u ϕ∈(d, d0), d’o`u la rotation qui
envoie δsur δ0est de mesure π, il s’agit donc de −IdE.2
4. Angle orient´e de deux droites de E.
On peut construire sur le mˆeme mod`ele une th´eorie des angles des droites.
On note pour cela e Dl’ensemble des droites de E(la droite projective de E). Une droite D
s’´ecrit comme le r´eunion de deux demi-droites d∪ −dde sorte qu’une rotation rtransforme Den
3

D0=d∪ −dssi r(d) = d0ou r(d) = −d0. Il existe donc deux rotations qui transforme Den D0,r
et −r. Leur angle est de la forme aet a+p. On note g O+(E, φ) le quotient de O+(E, φ) par son
sous-groupe {IdE,−IdE}. Alors g O+(E, φ) op`ere fid`element et transitivement sur e D. De cela on tire
la d´efinition des angles orient´es de droites.
D´efinition. Les ´el´ements de l’ensemble quotient e A=e D2/∼o`u ∼est la relation d’´equivalence
(D1, D2)∼(D3, D4) ssi ∃er∈g O+(E, φ)/(D2=r(D1)∧D4=r(D3)) sont appel´es angles orient´es
de droites. On note la classe de (D, D0) par d D, D0.
L’application e A:g O+(E, φ)→e Ad´efinie par er7→ d D, er(D) est une bijection (D∈e Dquelconque).
On d´efinit + e
Apar a+e Aa0=e
A(e A−1(a)◦e A−1(a0)), qui fait de e Aun groupe et de e Aun isomorphisme.
Le groupe e Aest ainsi commutatif.
En r´esum´e, si sest la surjection canonique s:O+(E, φ)−→ g O+(E, φ) :
R/2πZ←− O+(2) Eorient´e ←−
I+O+(E, φ)A
−→ (A,+)
↓ ↓ ↓ s↓
R/πZ←− g O+(2) Eorient´e ←−
e
I+g
O+(E, φ)e
A
−→ (e
A,+)
o`u les fl`eches horizontales sont des isomorphismes de groupes, et les fl`eches verticales des ´epimorphismes.
Remarque (Le cas dim(E)≥3). Dans ce cas on peut donner une d´efinition de l’angle orient´e
de de deux demi-droites ou de deux droites (vectorielles) de vecteurs directeurs xet x0, il suffit de
consid´erer ces deux droites comme contenues dans un mˆeme 2-plan vectoriel, et d’orienter ce plan.
On est alors ramen´e `a l’´etude pr´ec´edente.
5. Pour aller plus loin - Angle ext´erieur d’un poly`edre le long d’une de ses faces.
D´efinition. Si Vest un poly`edre de Rn, on dit qu’un hyperplan qui le borde est une facette de
V. Le vecteur normal `a une facette Fde Vest le vecteur unitaire orthogonal `a Fsitu´e dans le demi-
espace d´efini par Fne contenant pas V. Pour i∈ {0,···, n −1}, une i-face de Vest l’intersection
de n−ifacettes distinctes de Vet de V. On note Fi(V) l’ensemble des i-faces de V. Par convention
Fn(V) = {V}. Si Vest un polytope sph´erique, pour i∈ {0,···, n −1}, une i-face de Vest d´efinie
comme ´etant l’intersection de Sn−1et d’une (i+ 1)-face de b V.
`
A tout point x∈Von peut associer Fx, l’unique face de Vde dimension minimale contenant
x. Si x∈∂V (le bord de V), on d´efinit C(x, V ), le cˆone conormal `a Ven x, de la fa¸con suivante :
C(x, V ) est le cˆone de Rnde sommet l’origine, ne contenant pas Vet engendr´e par les vecteurs
normaux aux facettes de Vqui contiennent x. Par convention, on pose : C(x, V ) = {0}lorsque
x∈V\∂V .
Remarques. Si Vest un poly`edre de Rn,x∈V, et si Fxest de dimension i∈ {0,···, n −1},
C(x, V ) est un cˆone de dimension n−i. De plus quel que soit y∈Fx,C(x, V ) = C(y, V ). On peut
donc d´efinir le cˆone conormal de Vle long d’une face Fde Vpar : C(F, V ) = C(x, V ), o`u x
est quelconque dans F. On pose en outre C(V, V ) = {0}.
Si Vest un poly`edre d´eg´en´er´e de Rn, c’est-`a-dire si le sous-espace vectoriel [V] de Rnengendr´e
par Vest de dimension < n, le cˆone conormal de Ven xdans [V], not´e C[V](x, V ) est l’intersection
du cˆone conormal CRn(x, V ) de Ven xdans Rnavec [V], puisque CRn(x, V ) = C[V](x, V )×[V]⊥. En
ce sens le cˆone conormal est relatif `a l’espace dans lequel il est obtenu. Nous donnons une d´efinition
intrins`eque attach´ee au cˆone conormal; l’angle ext´erieur.
D´efinition. Soit Vun poly`edre Rnet F∈ F i(V). On d´efinit γ(F, V ), l’angle ext´erieur de
Ven Fpar :
γ(F, V ) = 1
αn−i
(V oln−i(C(F, V )∩Bn
(0,1))),
o`u αn−iest le volume de la (n−i)-boule unit´e. Par convention γ(V, V ) = 1.
Remarque. L’angle exterieur de Ven l’une de ses faces ne d´epend pas de l’espace ambiant
dans lequel on le calcule.
4

Th´eor`eme 7. — Soit Kun ensemble convexe et compact de Rnet Tr(K)son voisinage
tubulaire de rayon r, ie Tr(K) = [
x∈K
B(x,r). Alors il existe des r´eels Λ0(K),···,Λn(K)tels que :
V oln(Tr(K)) =
n
X
i=0
αiΛn−i(K)·ri.
La formule dite cin´ematique principale permet de calculer les invariants Λi(V), lorsque Vest un
poly`edre compact, `a l’aide des angles ext´erieurs :
Th´eor`eme 8 (formule cin´ematique principale) [Sch, 4.5.2] . — Soit Vun polytope
(poly`edre compact) de Rn, pour tout i∈ {0,···, n}, on a :
Λi(V) =
n
X
F∈Fi
γ(F, V )·V oli(F),
D´efinition. Soit v:Kc(Rn)→R, o`u Kc(Rn) est l’ensemble des convexes compacts de Rn. On
dit que vest une valuation lorsque
v(∅) = 0,
∀K, L ∈ Kc(Rn),tels que K∪L∈Kc(Rn), v(K∪L) = v(K) + v(L)−v(K∩L).
On dit qu’une valuation est continue si elle est continue relativement `a la m´etrique de Hausdorff.
Remarque. Les invariants Λid´efinissent des valuations sur Kc(Rn), continues et invariantes
sous l’action du groupe des isom´etries.
Les valuations continues et invariantes sous les isom´etries de Rnsont classifi´ees par le Th´eor`eme
d’Hadwiger.
Th´eor`eme 9. — L’ensemble des valuations continues et invariantes sous les isom´etries de Rn
est un espace vectoriel dont une base est (Λ0,···,Λn).
En particulier, si vest une valuation sur Kc(Rn), continue et invariante sous l’action de Ison,v
v´erifie :
∃α1,···, αn∈R,∀Vpolytope de Rn, v =
n
X
i=0
αiX
F∈Fi
γ(F, V )· Hi(F) (∗)
R´ef´erences.
•Cours de math´ematiques sp´eciales, Ramis-Deschamp-Odoux, Tome 2, Masson (1979)
•[Sch] R. Schneider, Convex bodies: The Brunn-Minkowski Theory, Encyclopedia of Mathe-
matics and its Applications 44, Cambridge University Press (1993)
•J. Lafontaine, Mesures de courbure des vari´et´es lisses et des poly`edres, S´eminaire Bourbaki,
1985-1986, Ast´erisque.
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