Préparation à l’agrégation externe de mathématiques Université de Nice-Sophia-Antipolis Année 2005-2006 Angles Dans la suite (E, φ) est un espace euclidien (voire quadratique) de dimension n, avec n = 2 à partir de la section 2. 1. Rappel sur les isométries de E. Soit E un ev de dimension n. D’après “Endomorphismes Normaux” les automorphismes orthogonaux d’un espace quadratique (E, φ) (les automorphismes u dont l’adjoint u∗ est égal à u−1 ) sont les applications u telles que ∀x, y ∈ E, φ(u(x), u(y)) = φ(x, y). Dans le cas où (E, φ) est euclidien, il s’agit donc des applications qui conservent la distance ou le produit scalaire. On les appelle alors les isométries. On rappelle que l’on note O + (E, φ) les isométries de (E, φ) dont le déterminant vaut 1 et que l’on dit qu’un automorphisme de O − (E, φ) = O(E, φ) \ O + (E, φ) est une isométrie indirecte. On note O(n) le groupe des matrices orthogonales (ie les matrices M telles que M −1 =t M ) n × n. • Une base orthonormale B étant choisie dans E, on en déduit un isomorphisme I B de O(E, φ) sur O(n) (celui qui à une isométrie associe sa matrice dans B). Cet isomorphisme n’est pas canonique. • Une orientation de E est une des deux classes déquivalence du quotient de l’ensemble des bases de E modulo la relation d’équivalence B ∼ B 0 ssi la matrice de passage de B à B 0 est de déterminant > 0. Choisir une orientation sur E est choisir une de ces deux classes. • On note O + (n) les matrices orthogonales de déterminant 1 et O − (n) = O(n) \ O + (n) celles de déterminant −1. Une bon B de E étant choisie, la restriction de I B à O+ (E, φ) donne un + + isomorphisme I + B de O (E, φ) sur O (n) (les matrices orthogonales de déterminant 1), puisque u et sa matrice représentative dans B ont même déterminant. 2. Les isométries du plan E. Dans la suite on suppose E de dimension 2. Proposition 1. — Une isométrie u de O(E, φ) est représentée dans une bon par une matrice du type : Sθ = cos(θ) sin(θ) avec θ ∈ R/2πZ. − sin(θ) cos(θ) si u ∈ O + (E, φ) , Sθ0 = cos(θ) sin(θ) sin(θ) − cos(θ) si u ∈ O − (E, φ), 2 Proposition 2. — L’application R : θ 7→ Sθ est un isomorphisme de groupes de (R/2πZ, +) sur O+ (2). On en déduit que O + (2) est commutatif. Preuve. Il suffit de vérifier que S(θ + θ 0 ) = Sθ Sθ0 et que R(θ) = I2 ssi θ = 0 mod(2π). 2 Lemme fondamental 3. — Soient Sα et Sα0 deux matrices de O + (2), Sα0 et Sα0 0 deux matrices de O− (2). Si Sθ ∈ O+ (2), on a : (Sα )−1 Sθ Sα = Sθ , (Sα0 )−1 Sθ Sα0 = S−θ . Théorème 4. — (i) La matrice Sθ qui représente une isométrie de E dans une bon ne dépend pas du choix de cette base, pourvu que ce choix soit fait dans une orientation de E (elle est égale à S−θ dans une base de l’autre orientation). + (ii) Le plan E étant orienté, l’isomorphisme I + B est indépendant de la base B, il est noté I . La + −1 composition µ = R ◦ I détermine un isomorphisme canonique (ie indépendant de B, pour B bon choisie dans l’orientation de E), de O + (E, φ) sur R/2πZ. 1 Preuve. (i) résulte du Lemme 3 : si r est une rotation de E, et si B et B 0 sont deux bon de E dans une même orientation la matrice qui représente r dans B est du type S θ , celle qui représente r dans B 0 est Sθ0 et il existe Sα ∈ O + (2) telle que (Sα )−1 Sθ Sα = Sθ0 . Mais d’après le Lemme 3, Sθ = S θ 0 . (ii) résulte de (i). 2 Définition. On dit que µ(r) = θ est la mesure de r. 3. Angle orienté de deux demi-droites de E. Ici (E, φ) est encore un espace euclidien de dimension 2. Rappelons qu’une demi-droite de E est l’ensemble R+ · x, où x ∈ E \ {0}. L’ensemble D des demi-droites de E s’identifie ainsi avec S 1 , l’ensemble des vecteurs unitaire de E. Proposition 5 . — O + (E, φ) (resp. O − (E, φ) ) opère transitivement et fidèlement sur D. Preuve. En effet deux vecteurs unitaires u1 et u2 étant donnés, on peut trouver r une rotation telle que r(u1 ) = u2 . Il suffit de compléter u1 en une bon B 1 de E, de compléter u2 par v2 en une bon B 2 de E qui soit dans la même orientation que B 1 (quitte à prendre −v2 ). L’application linéaire qui envoie B 1 sur B2 est bien dans O + (E, φ). Maintenant si (u, v) est une bon de E, il existe α et α0 uniques dans R/2πZ tels que u1 = cos(α)u + sin(α)v et u2 = cos(α0 )u+ sin(α0 )v. Sir ∈ O + (E, φ) est telle que r(u 1 ) = u2et la matrice cos(α) cos(α0 ) cos(α) de r dans (u, v) est Sθ , on a : Sθ · = = Sθ+α , on . Mais comme Sθ · sin(α) sin(α) sin(α0 ) 0 en déduit que θ = α − α, ce qui détermine uniquement r; l’opération est fidèle. 2 On déduit de cette proposition : Théorème et Défnition 6 . — Les éléments de l’ensemble quotient A = D 2 / ∼ où ∼ est la relation d’équivalence (d1 , d2 ) ∼ (d3 , d4 ) ssi ∃r ∈ O + (E, φ)/(d2 = r(d1 ) ∧ d4 = r(d3 )) sont appelés d d0 . angles orientés de demi-droites. On note la classe de (d, d0 ) par d, + d L’application A : O (E, φ) → A définie par r 7→ d, r(d) est une bijection (d ∈ D quelconque). On définit +A par a +A a0 = A(A−1 (a) ◦ A−1 (a0 )), qui fait de A un groupe et de A un isomorphisme. Le groupe A est ainsi commutatif. L’angle p = A(−IdE ) est appelé l’angle plat. Preuve. Le fait que A ne dépende pas du choix de d ∈ D est clair. La surjectivité est immédiate. L’injectivité de A vient du caractère fidèle de l’action de l’action de O + (E, φ) sur D. 2 d Définition. Si (E, φ) est orienté, pour a = d, d0 ∈ A, on note µ(A−1 (a)) par (d, d0 ) et on 0 d l’appelle la mesure de l’angle orienté d, d . En résumé : (A, +) + µ◦I ◦A −1 A ←− O+ (E, φ) E orienté ↓ O (2) ↓ R/2πZ I+ + & µ Les formules qui suivent permettent de trouver la mesure de l’angle orienté de deux demi-droites. Exercice 0. Soit x et y deux vecteurs non nuls de E et r l’unique rotation qui envoie e1 = x/kxk sur e2 = y/kyk. On note, une orientation de E étant choisie, θ la mesure de r. Montrer que cos(θ) = φ(x, y)/kxk · kyk et sin(θ) = det([x], [y])/kxk · kyk, où [x] et [y] désignent les coordonnées de x et y dans une bon de l’orientation de E. Solution. Soit (u, v) une bon de l’orientation de E. On écrit e 1 = αu + βv. Alors la matrice de r dans (u, v) est Sθ . On en déduit que e2 = (α cos(θ) − β sin(θ))u + (α sin(θ) + β cos(θ))v et donc que φ(e1 , e2 ) = cos(θ), puis que det([e1 ], [e2 ]) = sin(θ). 2 2 Exercice 1. Montrer que : d (i)- dd 1 , d2 = 0 ⇐⇒ d1 = d2 , d1 , d2 = p ⇐⇒ d1 = −d2 , d d (ii)- d1 , d2 = −d2 , d1 , d d (iii)- dd 1 , d2 + d2 , d3 = d1 , d3 (relation de Chasles), 0 0 d d0 d0 (iv)- dd 1 , d2 = d1 , d2 ⇐⇒ d1 , d1 = d2 , d2 , + (v)- ∀r ∈ O (E, φ), r(d1d ), r(d2 ) = dd 1 , d2 , − d Soit r telle que d2 = r(d1 ), utiliser (vi)- ∀r ∈ O (E, φ), s(d1 ), s(d2 ) = −dd 1 , d2 (Ind. s ◦ r ◦ s−1 = r−1 ). Exercice 2. (i)- Soit n ∈ N∗ , a ∈ A. Résoudre dans A l’équation nx = a. (ii)- Soit d et d0 deux demi-droites de E. Montrer qu’il existe exactement n demi-droites δ de E cd = d, d vérifiant n · δ, d0 Solution. On oriente (E, φ). Il est alors équivalent de résoudre ny = θ, où θ est la mesure de a. Si ϕ ∈ θ, on obtient les n solutions : ϕ 2kπ + mod(2π), k ∈ {0, · · · , n − 1}. n n (ii) résulte de (i). 2 Définition. Les deux solutions de l’équation 2 · x = p sont les angles ∂ et ∂ + p, dont les mesures sont, lorsque E est orienté, π/2 mod(2π) et −π/2 mod(2π). On dit que ∂ et ∂ + p sont les angles droits de demi-droites. Remarque. Dans la définition précédente, l’ensemble {π/2 mod(2π), −π/2 mod(2π)} des mesures des angles droits de demi-droites, définies seulement lorsque (E, φ) est orienté, est indépendant du choix de l’orientation. En effet si pour une orientation la mesure de a est π/2 mod(2π), elle est −π2 mod(2π) = π/2 + π mod(2π) dans l’autre orientation, puisque S α Sθ (Sα )−1 = S−θ . d d0 est Étant données deux demi-droites d et d0 formant un angle droit, dire que la mesure de d, par exemple π/2 mod(2π) (ou −π/2 mod(2π) ) est choisir une orientation de (E, φ). Exercice 3. Soit (E, φ) orienté et e1 , e2 ∈ E. Les propositions suivantes sont équivalentes : (i)− (e1 , e2 ) est une bon dans l’orientation de E (resp. dans l’autre orientation de E), (ii)- La rotation r (unique par la Proposition 5) telle que r(e 1 ) = e2 est A−1 (∂) (resp. −1 A (∂ + p) = −A−1 (∂)). Solution. Si r est la rotation qui envoie e1 sur e2 , et si (e1 , e2 ) est dans l’orientation de E, la matrice Sθ de r dans la bon (e1 , e2 ) fournit la mesure θ de ed 1 , e2 . Or cette matrice a pour 0 première colonne , ce qui donne cos(θ) = 0 et sin(θ) = 1, soit θ = π/2 mod(2π). On voit au 1 passage que nécessairement r(e2 ) = −e1 . Réciproquement si la mesure de r est π/2, par l’exercice 0, une base quelconque φ(e1 , e2 ) = cos(π/2) = 0, donc la base (e1 , e2 ) est une bon. La matrice de r dans 0 −1 de l’orientation de E est, par définition de la mesure de r, la matrice M = . Mais si 1 0 r(e1 ) = e2 , la matrice N de r dans la bon (e1 , e2 ) a pour première colonne la première colonne de la matrice M , etdonc N = M , ce qui prouve que (e1 , e2 ) est dans l’orientation de E (sinon on aurait 0 1 N= ). 2 −1 0 d Exercice 4. Soient d, d0 ∈ D, les deux solutions de l’équation 2 · d d, δ = d, d0 sont deux demi0 doites opposées. On les appelle les bissectrices de d et d . Leur réunion est l’axe de la symétrie qui envoie d sur d0 . Preuve. En effet on a : (d, δ) = ϕ/2 et (d, δ 0 ) = ϕ/2 + π, où ϕ ∈ (d, d0 ), d’où la rotation qui envoie δ sur δ 0 est de mesure π, il s’agit donc de −IdE . 2 4. Angle orienté de deux droites de E. On peut construire sur le même modèle une théorie des angles des droites. e l’ensemble des droites de E (la droite projective de E). Une droite D On note pour cela D s’écrit comme le réunion de deux demi-droites d ∪ −d de sorte qu’une rotation r transforme D en 3 D0 = d ∪ −d ssi r(d) = d0 ou r(d) = −d0 . Il existe donc deux rotations qui transforme D en D 0 , r et −r. Leur angle est de la forme a et a + p. On note O+g (E, φ) le quotient de O + (E, φ) par son e De cela on tire sous-groupe {IdE , −IdE }. Alors O+g (E, φ) opère fidèlement et transitivement sur D. la définition des angles orientés de droites. e =D e 2 / ∼ où ∼ est la relation d’équivalence Définition. Les éléments de l’ensemble quotient A (D1 , D2 ) ∼ (D3 , D4 ) ssi ∃e r ∈ O+g (E, φ)/(D2 = r(D1 ) ∧ D4 = r(D3 )) sont appelés angles orientés d de droites. On note la classe de (D, D 0 ) par D, D0 . e : O+g e définie par re 7→ D,d e quelconque). L’application A (E, φ) → A re(D) est une bijection (D ∈ D 0 −1 −1 0 e e e e e On définit +Ae par a +Ae a = A(A (a) ◦ A (a )), qui fait de A un groupe et de A un isomorphisme. e est ainsi commutatif. Le groupe A En résumé, si s est la surjection canonique s : O + (E, φ) −→ O +g (E, φ) : R/2πZ ↓ R/πZ ←− O + (2) ↓ g + ←− O (2) E orienté ←− O+ (E, φ) I+ E ↓s orienté +g ←− O (E, φ) Ie+ A −→ e A −→ (A, +) ↓ e (A, +) où les flèches horizontales sont des isomorphismes de groupes, et les flèches verticales des épimorphismes. Remarque (Le cas dim(E) ≥ 3). Dans ce cas on peut donner une définition de l’angle orienté de de deux demi-droites ou de deux droites (vectorielles) de vecteurs directeurs x et x 0 , il suffit de considérer ces deux droites comme contenues dans un même 2-plan vectoriel, et d’orienter ce plan. On est alors ramené à l’étude précédente. 5. Pour aller plus loin - Angle extérieur d’un polyèdre le long d’une de ses faces. Définition. Si V est un polyèdre de Rn , on dit qu’un hyperplan qui le borde est une facette de V . Le vecteur normal à une facette F de V est le vecteur unitaire orthogonal à F situé dans le demiespace défini par F ne contenant pas V . Pour i ∈ {0, · · · , n − 1}, une i-face de V est l’intersection de n − i facettes distinctes de V et de V . On note F i (V ) l’ensemble des i-faces de V . Par convention F n (V ) = {V }. Si V est un polytope sphérique, pour i ∈ {0, · · · , n − 1}, une i-face de V est définie comme étant l’intersection de S n−1 et d’une (i + 1)-face de Vb . À tout point x ∈ V on peut associer Fx , l’unique face de V de dimension minimale contenant x. Si x ∈ ∂V (le bord de V ), on définit C(x, V ), le cône conormal à V en x, de la façon suivante : C(x, V ) est le cône de Rn de sommet l’origine, ne contenant pas V et engendré par les vecteurs normaux aux facettes de V qui contiennent x. Par convention, on pose : C(x, V ) = {0} lorsque x ∈ V \ ∂V . Remarques. Si V est un polyèdre de Rn , x ∈ V , et si Fx est de dimension i ∈ {0, · · · , n − 1}, C(x, V ) est un cône de dimension n − i. De plus quel que soit y ∈ F x , C(x, V ) = C(y, V ). On peut donc définir le cône conormal de V le long d’une face F de V par : C(F, V ) = C(x, V ), où x est quelconque dans F . On pose en outre C(V, V ) = {0}. Si V est un polyèdre dégénéré de Rn , c’est-à-dire si le sous-espace vectoriel [V ] de Rn engendré par V est de dimension < n, le cône conormal de V en x dans [V ], noté C [V ] (x, V ) est l’intersection du cône conormal CRn (x, V ) de V en x dans Rn avec [V ], puisque CRn (x, V ) = C[V ] (x, V ) × [V ]⊥ . En ce sens le cône conormal est relatif à l’espace dans lequel il est obtenu. Nous donnons une définition intrinsèque attachée au cône conormal; l’angle extérieur. Définition. V en F par : Soit V un polyèdre Rn et F ∈ F i (V ). On définit γ(F, V ), l’angle extérieur de γ(F, V ) = 1 n (V oln−i (C(F, V ) ∩ B(0,1) )), αn−i où αn−i est le volume de la (n − i)-boule unité. Par convention γ(V, V ) = 1. Remarque. L’angle exterieur de V en l’une de ses faces ne dépend pas de l’espace ambiant dans lequel on le calcule. 4 Théorème 7. — Soit K [ un ensemble convexe et compact de Rn et Tr (K) son voisinage B(x,r) . Alors il existe des réels Λ0 (K), · · · , Λn (K) tels que : tubulaire de rayon r, ie Tr (K) = x∈K V oln (Tr (K)) = n X αi Λn−i (K) · ri . i=0 La formule dite cinématique principale permet de calculer les invariants Λ i (V ), lorsque V est un polyèdre compact, à l’aide des angles extérieurs : Théorème 8 (formule cinématique principale) [Sch, 4.5.2] . (polyèdre compact) de Rn , pour tout i ∈ {0, · · · , n}, on a : Λi (V ) = n X — Soit V un polytope γ(F, V ) · V oli (F ), F ∈Fi Définition. Soit v : Kc (Rn ) → R, où Kc (Rn ) est l’ensemble des convexes compacts de Rn . On dit que v est une valuation lorsque v(∅) = 0, ∀K, L ∈ Kc (Rn ), tels que K ∪ L ∈ K c (Rn ), v(K ∪ L) = v(K) + v(L) − v(K ∩ L). On dit qu’une valuation est continue si elle est continue relativement à la métrique de Hausdorff. Remarque. Les invariants Λi définissent des valuations sur K c (Rn ), continues et invariantes sous l’action du groupe des isométries. Les valuations continues et invariantes sous les isométries de R n sont classifiées par le Théorème d’Hadwiger. Théorème 9. — L’ensemble des valuations continues et invariantes sous les isométries de Rn est un espace vectoriel dont une base est (Λ0 , · · · , Λn ). En particulier, si v est une valuation sur K c (Rn ), continue et invariante sous l’action de Ison , v vérifie : n X X ∃α1 , · · · , αn ∈ R, ∀V polytope de Rn , v = αi γ(F, V ) · Hi (F ) i=0 F ∈Fi Références. • Cours de mathématiques spéciales, Ramis-Deschamp-Odoux, Tome 2, Masson (1979) • [Sch] R. Schneider, Convex bodies: The Brunn-Minkowski Theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 44, Cambridge University Press (1993) • J. Lafontaine, Mesures de courbure des variétés lisses et des polyèdres, Séminaire Bourbaki, 1985-1986, Astérisque. 5 (∗)