Cours de Probabilité et Statistique pour la deuxième année des conseillers en planification et en orientation C.O.P.E. CHIKHI EL MOKHTAR 24 septembre 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Première partie : Probabilités et Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités I. Terminologies de probabilités : I.1 Expérience aléatoire : On dit qu’une expérience est aléatoire si elle vérifie les deux conditions suivantes : On peut déterminer parfaitement, avant l’expérience, tous les résultats (toutes les issues) possibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités I. Terminologies de probabilités : I.1 Expérience aléatoire : On dit qu’une expérience est aléatoire si elle vérifie les deux conditions suivantes : On peut déterminer parfaitement, avant l’expérience, tous les résultats (toutes les issues) possibles. On ne peut pas prévoir avec certitude le résultat obtenu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités I. Terminologies de probabilités : I.2 Modélisation d’une expérience aléatoire : En théories de probabilités ; le terme modéliser désigne l’opération qui consiste à associer à une expérience aléatoire trois objets mathématiques, notés et appelés généralement : l’univers Ω ; l’ensemble des événements P(Ω) et la probabilité p. Remarque : le couple (Ω; P(Ω)) s’appelle un espace probabilisable, et le triplet (Ω; P(Ω); p) s’appelle un espace probabilisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités I. Terminologies de probabilités : I.3 Univers et Événement : On appelle univers Ω (ensemble fondamental) de l’expérience aléatoire l’ensemble formé de tous les résultats possibles de cette expérience. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités I. Terminologies de probabilités : I.3 Univers et Événement : On appelle univers Ω (ensemble fondamental) de l’expérience aléatoire l’ensemble formé de tous les résultats possibles de cette expérience. Un événement est une partie de l’univers, formée d’un ou de plusieurs résultats possibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités I. Terminologies de probabilités : I.3 Univers et Événement : On appelle univers Ω (ensemble fondamental) de l’expérience aléatoire l’ensemble formé de tous les résultats possibles de cette expérience. Un événement est une partie de l’univers, formée d’un ou de plusieurs résultats possibles. Un événement élémentaire est une partie de l’univers, formée d’un seul résultat possible (événement indécomposable). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités I. Terminologies de probabilités : I.4 Exemple : On lance une fois un dé cubique dont les six faces sont numérotées de 1 à 6. ⇒ Lunivers de cette expérience est :Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Soient les événements suivants : A : " avoir un chiffre pair " B : " avoir un chiffre impair " C : " avoir un chiffre divisible par 3 " E : " avoir un chiffre divisible par 5 " F : " avoir un chiffre inférieur ou égal à 6" G : " avoir un chiffre supérieur à 7 ". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités I. Terminologies de probabilités : I.4 Exemple : On peut écrire ces événements explicitement : A = {2; 4; 6}, B = {1; 3; 5}, C = {3; 6}, E = {5}, F = Ω, G = ∅. E est un événement élémentaire. F = Ω est un événement certain. G = ∅ est un événement impossible (n’est jamais réalisé). Remarque : On dit par exemple A est réalisé si le résultat de l’expérience (appartient à A) sera égal à 2 ou 4 ou 6 (le chiffre inscrit dans la face supérieure du dé). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités II. Logigues des événements : II.1 Union d’événements : Dans une expérience aléatoire,on considère deux événementsAetB. On appelle Union des deux événements A et B et on note A ∪ B, l’événement ”A ouB” qui est réalisé si l’un des deux événements A ou Best réalisé.A ∪ B est réalisé si et seulement si (ssi)A est réalisé ou B est réalisé (ou tous les deux sont réalisés). II.2 Intersection d’événements : On appelle intersection des deux événements A et B et on note A ∩ B,l’événement ”A et B” qui est réalisé si les deux événements A et B sont réalisés simultanément.A ∩ B est réalisé ssi A est réalisé et B est réalisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités II. Logigues des événements : II.3 Complémentarité d’un événement : Le complémentaire d’un événement A est l’événement, noté A (ou c c A ) qui se produit si A n’est pas réalisé. A ) est réalisé ssi A n’est pas réalisé. A = {x ∈ Ω/x ∈ / A} = Ω\A II.4 Incompatibilité de deux événements : On dit que A et B sont deux événements incompatibles lorsque les deux événements A et B ne se réalisent pas simultanément. i.e. A et B sont incompatible si et seulement si A ∩ B = ∅ (on dit encore que A et B sont disjoints) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités II. Logigues des événements : II.5 Partition d’un ensemble Ω (événements exhaustifs) : Soient A1 ; A2 ; A3 ; ...An ; n événements (Ai ⊂ Ω; i = 1; 2; ...; n) vérifient les propriétés suivantes : 1 2 3 Ai 6= Φ; i = 1; 2; ...; n. Ai ∩ Aj = ∅; ∀i 6= j. n ∪ Ai = Ω i=1 Alors on dit que la suite des événements (Ai )(1≤i≤n) forme une partition de Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités II. Logigues des événements : II.6 Loi de Morgan : Soient deux événements A et B : A∪B =A∩B A∩B =A∪B Plus généralement : Soit (Ai )i∈I une famille d’événements (I ⊂ IN) ∪ ∩ Ai = Ai i∈I ∩ i∈I i∈I Ai = ∪ Ai i∈I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités II. Logigues des événements : II.7 Exemple : Reprenons l’exemple précédent (le jet d’un dé) A = {2; 4; 6} ⇒ A = {1; 3; 5} A ∪ A = Ω etA ∩ A = ∅ ⇒ A et A forment une partition de Ω G : "avoir un chiffre impair ou un chiffre divisible par 5". alors : G : "avoir un chiffre pair et un chiffre n’est pas divisible par 5". i.e. G = {1; 3; 5} ∪ {5} alors : G = {1; 3; 5} ∪ {5} = {1; 3; 5} ∩ {5} = {2; 4; 6} ∩ {1; 2; 3; 4; 6} = {2; 4; 6} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités III. Probabilités : III.1 Définition axiomatique : Soit Ω un univers associé à une expérience aléatoire et F l’ensemble d’événements (F = P (Ω)) ou (F ⊂ P (Ω) : une tribu), la probabilité notée P est une application de F dans [0; 1] telle que : p : F → [0; 1] A 7→ p (A) Axiome 1 :0 ≤ p (A) ≤ 1; ∀A ∈ F Axiome 2 :p (Ω) = 1 Axiome 3 :si A et B sont deux événements incompatibles (A ∩ B = ϕ) alors p (A ∪ B) = p (A) + p (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités III. Probabilités : III.2 Conséquences : Conséquences des axiomes 2 et 3 : On a Ω ∪ ∅ = Ω et Ω ∩ ∅ = ∅ et p (Ω) = 1 ⇒ p (Ω ∩ ∅) = p (Ω) + p (∅) ⇒ p (∅) = 0 Soit A un événement quelconque : on a A ∪ A = Ω et A∩A=∅ ( ) ( ) ⇒ p A ∪ A = p (A) + p A = 1 donc on a : ( ) p A = 1 − p (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités III. Probabilités : III.3 Remarque et Généralisation : Les probabilités introduites ici sont dites a priori, car elles sont calculées sans apporter dinformation sur les réalisations (ou non réalisation) préalable d’autres événements. Si A1 ; A2 ; ...; An sont des événements incompatibles deux à deux, alors on a : p (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = p (A1 ) + p (A2 ) + ... + p (An ) i.e ( p n ∪ ) Ai i=1 = n ∑ p (Ai ) i=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités III. Probabilités : III.4 Équiprobabilité : Définition : Dans une expérience aléatoire, si tous les événements élémentaires ont la même probabilité d’être réalisés, alors on dit qu’on est dans une situation d’équiprobabilité ou que l’expérience aléatoire est équiprobable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités III. Probabilités : III.5 Calcul de probabilité dans le cas d’équiprobabilité : Soit Ω un univers de cardinal n associé a une expérience aléatoire équiprobable et A un événement quelconque { de cardinal}k. On peut écrire Ω = {ω1 ; ω2 ; ...; ωn } et A = ωi1 ; ωi2 ; ...; ωik , d’autre part on a : Ω = {ω1 } ∪ {ω2 } ∪ ... ∪ {ωn } ; {ωi } ∩ {ωj } = ∅; ∀i 6= j,alors : n ∑ p (Ω) = p (ωi ) = 1, l’équiprobabilité nous donne : i=1 p ({ωi }) = p ({ωj }) ; ∀i, j = 1; ...n. On déduit donc que : p ({ωi }) = n1 ; ∀i = 1; ...n de plus pn a : k ( ) ∑ p ωij p (A) = j=1 p (A) = k × n1 p (A) = k = card(A) n cad(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités III. Probabilités : III.6 Exemple 1 : Une urne contient 9 boules identiques numérotées de 1 à 9, on tire une boule de cette urne. Soient : A l’événement : "la boule tirée porte un chiffre multiple de 3", B l’événement : "la boule tirée porte un numéro divisible par 4". Calculer p(A) et p(B). Réponse 1 : Ici le mot identique signifie que l’expérience aléatoire "tirage d’une boule est équiprobable" i.e. toutes les boules ont la même chance d’être tirées. Card(Ω) = 9, A = {3; 6;(9}) et B = {4;(8}.) On a alors p(A) = 93 ; p(B) = 29 ; p A = 69 ; et p B = 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités III. Probabilités : III.6 Exemple 2 : On jette une pièce de monnaie équilibrée deux fois dans l’air. A l’événement : "obtenir une face exacte", B l’événement : "avoir au moins une face". C l’événement : "avoir au plus une face". Calculer p(A); p(B) et p(C ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités III. Probabilités : III.7 Théorème des probabilités totales : Le théorème des probabilités totales exprime la probabilité de réaliser A ou B (i.e. le calcul de p (A ∪ B) dans le cas général). Théorm̀e : Soient A et B deux événements quelconques (disjoints ou non), alors : p (A ∪ B) = p (A) + p (B) − p (A ∩ B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités III. Probabilités : III.8 Exercice : Une étude sur les élèves d’un lycée a fait apparaitre que pendant un mois : 35% des élèves sont allés au cinéma, 12% des élèves sont allés au musée, 6% des élèves sont allés aux deux. Calculer la probabilité que pendant ce mois, un élève ait fait les choix suivants : 1 Aller au cinéma ou au musée. 2 Ne pas aller au cinéma. 3 N’aller ni au cinéma, ni au musée. 4 Aller au cinéma mais pas au musée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités IV. Probabilités conditionnelles : IV.1 Définition et Proposition : Considérons deux événements A et B dans une expérience aléatoire. Il arrive parfois que la réalisation de B influence celle de A. alors la probabilité de réaliser A sachant que B a été réalisé, s’appelle probabilité conditionnelle de A sachant B, et s’écrit p (A/B) . Elle représente le calcul de la probabilité de A sur le sous-ensemble réduit B de Ω. On l’appelle aussi la probabilité a posteriori. Si p(B) 6= 0 , alors on a : p (A/B) = p (A ∩ B) p (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités IV Probabilités conditionnelles : IV.2 Exemple : La composition d’un amphithéâtre de 200 étudiants dans une université est la suivante : 130 étudiants sont des filles 100 étudiants habitent dans leur famille. Parmi ces 100 étudiants qui habitent dans leur famille, 80 sont des filles. On choisit un étudiant au hasard, et on s’intéresse aux 2 événements : A : "l’étudiant habite dans sa famille". B : "l’étudiant choisi est une fille". 1 Calculer : p(A) et p(B). 2 Définir l’événement A ∩ B, et calculer p(A ∩ B). 3 Calculer p(A/B), interpréter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités IV Probabilités conditionnelles : IV.3 Remarque : On a : ( ) p A/B = 1 − p (A/B) . IV.4 Théorème de probabilités composées : Il permet de calculer la probabilité de réaliser ”A et B” (A ∩ B) Théorème : p (A ∩ B) = p (B) p (A/B) = p (A) p (B/A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités IV Probabilités conditionnelles : IV.5 ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS : Il arrive parfois que la réalisation ou la non réalisation de B ne modifie pas la probabilité de réalisation de A soit : p (A/B) = p (A) . On dit que A et B sont indépendants, et alors : p (A ∩ B) = p (A) p (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités IV Probabilités conditionnelles : IV.6 Exemple : compatibles et indépendants Ne pas confondre entre indépendance et incompatibilités. Considérons les deux événements dans une expérience aléatoire : A : "aimer la musique" B : "vivre à la compagne" ⇒ A et B sont compatibles (on peut à la fois aimer la musique et vivre à la compagne) ⇒ A et B sont indépendants (l’apport d’information sur la réalisation de A (ou B) ne modifie pas la probabilité de réalisation de B (ou A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités IV Probabilités conditionnelles : IV.7 THÉORÈME DE BAYES (théorème de la probabilité des causes) : Soient A1 ; A2 ; ; An une partition de Ω, et B un événement quelconque de Ω alors : p (Ai /B) = p (Ai ) × p (B/Ai ) n ∑ p (Aj ) × p (B/Aj ) j=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités IV Probabilités conditionnelles : IV.8 Arbre probabiliste : Dans de nombreux exercices mettant en jeu les probabilités conditionnelles, il peut être simple de construire un arbre de probabilités résumant les données du problème. A partir de la racine de l’arborescence partent autant de branche que d’événements dans l’univers, les branches sont pondérées par les probabilités à priori des événements qu’elles représentent, ensuite les branches mère se divisent et à chaque nœud s’introduit la probabilité conditionnelle liée à la réalisation de la branche parente. Exemple : considérons un arbre dont il part deux branches de la racine 𝐴 P(A/B) 𝐵 P( 𝐴̅ /B) P(B) 𝐴̅ Racine P(A/ 𝐵̅ ) P(𝐵̅ ) 𝐴 𝐵̅ P( 𝐴̅/ 𝐵̅ ) 𝐴̅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités IV Probabilités conditionnelles : IV.8 Arbre probabiliste : Avec{ ( ) p (B) + p B ( = 1 ) p (A/B) + p A/B = 1 Règle 1 : la somme des probabilités associées aux branches issues d’un même nud vaut 1. Règle 2 :la probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités des branches de ce chemin. Règle 3 : la probabilité d’un événement et la somme des produits des chemins correspond ( )) ( ( à) cet événement p (A) = p (B) × p (A/B) + p B × p A/B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistique . . . . . . pour . . .la. deuxième . . . . année . . des . co Cours de Probabilité et CHIKHI EL MOKHTAR