Telechargé par Mohamed Lmezouari

cours de statistique mr chikhi

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Cours de Probabilité et Statistique pour la
deuxième année des conseillers en planification et
en orientation
C.O.P.E.
CHIKHI EL MOKHTAR
24 septembre 2019
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. Statistique
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Cours de Probabilité
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CHIKHI EL MOKHTAR
Première partie : Probabilités et Variables aléatoires
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Cours de Probabilité
et
CHIKHI EL MOKHTAR
Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
I. Terminologies de probabilités :
I.1 Expérience aléatoire :
On dit qu’une expérience est aléatoire si elle vérifie les deux
conditions suivantes :
On peut déterminer parfaitement, avant l’expérience, tous les
résultats (toutes les issues) possibles.
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Cours de Probabilité
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CHIKHI EL MOKHTAR
Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
I. Terminologies de probabilités :
I.1 Expérience aléatoire :
On dit qu’une expérience est aléatoire si elle vérifie les deux
conditions suivantes :
On peut déterminer parfaitement, avant l’expérience, tous les
résultats (toutes les issues) possibles.
On ne peut pas prévoir avec certitude le résultat obtenu.
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
I. Terminologies de probabilités :
I.2 Modélisation d’une expérience aléatoire :
En théories de probabilités ; le terme modéliser désigne l’opération
qui consiste à associer à une expérience aléatoire trois objets
mathématiques, notés et appelés généralement : l’univers Ω ;
l’ensemble des événements P(Ω) et la probabilité p.
Remarque : le couple (Ω; P(Ω)) s’appelle un espace probabilisable,
et le triplet (Ω; P(Ω); p) s’appelle un espace probabilisé.
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
I. Terminologies de probabilités :
I.3 Univers et Événement :
On appelle univers Ω (ensemble fondamental) de l’expérience
aléatoire l’ensemble formé de tous les résultats possibles de
cette expérience.
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
I. Terminologies de probabilités :
I.3 Univers et Événement :
On appelle univers Ω (ensemble fondamental) de l’expérience
aléatoire l’ensemble formé de tous les résultats possibles de
cette expérience.
Un événement est une partie de l’univers, formée d’un ou de
plusieurs résultats possibles.
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
I. Terminologies de probabilités :
I.3 Univers et Événement :
On appelle univers Ω (ensemble fondamental) de l’expérience
aléatoire l’ensemble formé de tous les résultats possibles de
cette expérience.
Un événement est une partie de l’univers, formée d’un ou de
plusieurs résultats possibles.
Un événement élémentaire est une partie de l’univers, formée
d’un seul résultat possible (événement indécomposable).
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
I. Terminologies de probabilités :
I.4 Exemple :
On lance une fois un dé cubique dont les six faces sont numérotées
de 1 à 6.
⇒ Lunivers de cette expérience est :Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Soient les événements suivants :
A : " avoir un chiffre pair "
B : " avoir un chiffre impair "
C : " avoir un chiffre divisible par 3 "
E : " avoir un chiffre divisible par 5 "
F : " avoir un chiffre inférieur ou égal à 6"
G : " avoir un chiffre supérieur à 7 ".
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
I. Terminologies de probabilités :
I.4 Exemple :
On peut écrire ces événements explicitement :
A = {2; 4; 6}, B = {1; 3; 5}, C = {3; 6}, E = {5}, F = Ω, G = ∅.
E est un événement élémentaire.
F = Ω est un événement certain.
G = ∅ est un événement impossible (n’est jamais réalisé).
Remarque : On dit par exemple A est réalisé si le résultat de
l’expérience (appartient à A) sera égal à 2 ou 4 ou 6 (le chiffre
inscrit dans la face supérieure du dé).
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
II. Logigues des événements :
II.1 Union d’événements :
Dans une expérience aléatoire,on considère deux événementsAetB.
On appelle Union des deux événements A et B et on note A ∪ B,
l’événement ”A ouB” qui est réalisé si l’un des deux événements A
ou Best réalisé.A ∪ B est réalisé si et seulement si (ssi)A est réalisé
ou B est réalisé (ou tous les deux sont réalisés).
II.2 Intersection d’événements :
On appelle intersection des deux événements A et B et on note
A ∩ B,l’événement ”A et B” qui est réalisé si les deux événements
A et B sont réalisés simultanément.A ∩ B est réalisé ssi A est
réalisé et B est réalisé.
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
II. Logigues des événements :
II.3 Complémentarité d’un événement :
Le complémentaire d’un événement A est l’événement, noté A (ou
c
c
A ) qui se produit si A n’est pas réalisé. A ) est réalisé ssi A n’est
pas réalisé. A = {x ∈ Ω/x ∈
/ A} = Ω\A
II.4 Incompatibilité de deux événements :
On dit que A et B sont deux événements incompatibles lorsque les
deux événements A et B ne se réalisent pas simultanément. i.e. A
et B sont incompatible si et seulement si A ∩ B = ∅ (on dit encore
que A et B sont disjoints)
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
II. Logigues des événements :
II.5 Partition d’un ensemble Ω (événements exhaustifs) :
Soient A1 ; A2 ; A3 ; ...An ; n événements (Ai ⊂ Ω; i = 1; 2; ...; n)
vérifient les propriétés suivantes :
1
2
3
Ai 6= Φ; i = 1; 2; ...; n.
Ai ∩ Aj = ∅; ∀i 6= j.
n
∪
Ai = Ω
i=1
Alors on dit que la suite des événements (Ai )(1≤i≤n) forme une
partition de Ω.
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
II. Logigues des événements :
II.6 Loi de Morgan :
Soient deux événements A et B :
A∪B =A∩B
A∩B =A∪B
Plus généralement :
Soit (Ai )i∈I une famille d’événements (I ⊂ IN)
∪
∩
Ai = Ai
i∈I
∩
i∈I
i∈I
Ai =
∪
Ai
i∈I
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
II. Logigues des événements :
II.7 Exemple :
Reprenons l’exemple précédent (le jet d’un dé)
A = {2; 4; 6} ⇒ A = {1; 3; 5}
A ∪ A = Ω etA ∩ A = ∅ ⇒ A et A forment une partition de Ω
G : "avoir un chiffre impair ou un chiffre divisible par 5".
alors :
G : "avoir un chiffre pair et un chiffre n’est pas divisible par
5".
i.e. G = {1; 3; 5} ∪ {5} alors :
G
= {1; 3; 5} ∪ {5}
= {1; 3; 5} ∩ {5}
= {2; 4; 6} ∩ {1; 2; 3; 4; 6}
= {2; 4; 6}
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
III. Probabilités :
III.1 Définition axiomatique :
Soit Ω un univers associé à une expérience aléatoire et F
l’ensemble d’événements (F = P (Ω)) ou (F ⊂ P (Ω) : une tribu),
la probabilité notée P est une application de F dans [0; 1] telle
que :
p : F → [0; 1]
A 7→ p (A)
Axiome 1 :0 ≤ p (A) ≤ 1; ∀A ∈ F
Axiome 2 :p (Ω) = 1
Axiome 3 :si A et B sont deux événements incompatibles
(A ∩ B = ϕ) alors p (A ∪ B) = p (A) + p (B)
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
III. Probabilités :
III.2 Conséquences :
Conséquences des axiomes 2 et 3 :
On a Ω ∪ ∅ = Ω et Ω ∩ ∅ = ∅ et p (Ω) = 1
⇒ p (Ω ∩ ∅) = p (Ω) + p (∅) ⇒ p (∅) = 0
Soit A un événement quelconque : on a A ∪ A = Ω et
A∩A=∅
(
)
( )
⇒ p A ∪ A = p (A) + p A = 1 donc on a :
( )
p A = 1 − p (A)
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
III. Probabilités :
III.3 Remarque et Généralisation :
Les probabilités introduites ici sont dites a priori, car elles sont
calculées sans apporter dinformation sur les réalisations (ou
non réalisation) préalable d’autres événements.
Si A1 ; A2 ; ...; An sont des événements incompatibles deux à
deux, alors on a :
p (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = p (A1 ) + p (A2 ) + ... + p (An )
i.e
(
p
n
∪
)
Ai
i=1
=
n
∑
p (Ai )
i=1
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
III. Probabilités :
III.4 Équiprobabilité :
Définition : Dans une expérience aléatoire, si tous les événements
élémentaires ont la même probabilité d’être réalisés, alors on dit
qu’on est dans une situation d’équiprobabilité ou que l’expérience
aléatoire est équiprobable.
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
III. Probabilités :
III.5 Calcul de probabilité dans le cas d’équiprobabilité :
Soit Ω un univers de cardinal n associé a une expérience aléatoire
équiprobable et A un événement quelconque
{ de cardinal}k. On
peut écrire Ω = {ω1 ; ω2 ; ...; ωn } et A = ωi1 ; ωi2 ; ...; ωik , d’autre
part on a :
Ω = {ω1 } ∪ {ω2 } ∪ ... ∪ {ωn } ; {ωi } ∩ {ωj } = ∅; ∀i 6= j,alors :
n
∑
p (Ω) =
p (ωi ) = 1, l’équiprobabilité nous donne :
i=1
p ({ωi }) = p ({ωj }) ; ∀i, j = 1; ...n. On déduit donc que :
p ({ωi }) = n1 ; ∀i = 1; ...n de plus pn a :

k
( )
∑


p ωij

 p (A) =
j=1
p
(A)
=
k
× n1



 p (A) = k = card(A)
n
cad(Ω)
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
III. Probabilités :
III.6 Exemple 1 :
Une urne contient 9 boules identiques numérotées de 1 à 9, on tire
une boule de cette urne. Soient :
A l’événement : "la boule tirée porte un chiffre multiple de 3",
B l’événement : "la boule tirée porte un numéro divisible par 4".
Calculer p(A) et p(B).
Réponse 1 : Ici le mot identique signifie que l’expérience aléatoire
"tirage d’une boule est équiprobable" i.e. toutes les boules ont la
même chance d’être tirées.
Card(Ω) = 9, A = {3; 6;(9}) et B = {4;(8}.) On a alors
p(A) = 93 ; p(B) = 29 ; p A = 69 ; et p B = 79
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
III. Probabilités :
III.6 Exemple 2 :
On jette une pièce de monnaie équilibrée deux fois dans l’air.
A l’événement : "obtenir une face exacte",
B l’événement : "avoir au moins une face".
C l’événement : "avoir au plus une face".
Calculer p(A); p(B) et p(C ).
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
III. Probabilités :
III.7 Théorème des probabilités totales :
Le théorème des probabilités totales exprime la probabilité de
réaliser A ou B (i.e. le calcul de p (A ∪ B) dans le cas général).
Théorm̀e : Soient A et B deux événements quelconques (disjoints
ou non), alors :
p (A ∪ B) = p (A) + p (B) − p (A ∩ B)
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
III. Probabilités :
III.8 Exercice :
Une étude sur les élèves d’un lycée a fait apparaitre que pendant
un mois :
35% des élèves sont allés au cinéma,
12% des élèves sont allés au musée,
6% des élèves sont allés aux deux.
Calculer la probabilité que pendant ce mois, un élève ait fait les
choix suivants :
1
Aller au cinéma ou au musée.
2
Ne pas aller au cinéma.
3
N’aller ni au cinéma, ni au musée.
4
Aller au cinéma mais pas au musée.
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
IV. Probabilités conditionnelles :
IV.1 Définition et Proposition :
Considérons deux événements A et B dans une expérience
aléatoire. Il arrive parfois que la réalisation de B influence celle de
A. alors la probabilité de réaliser A sachant que B a été réalisé,
s’appelle probabilité conditionnelle de A sachant B, et s’écrit
p (A/B) . Elle représente le calcul de la probabilité de A sur le
sous-ensemble réduit B de Ω. On l’appelle aussi la probabilité a
posteriori. Si p(B) 6= 0 , alors on a :
p (A/B) =
p (A ∩ B)
p (B)
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
IV Probabilités conditionnelles :
IV.2 Exemple :
La composition d’un amphithéâtre de 200 étudiants dans une
université est la suivante :
130 étudiants sont des filles
100 étudiants habitent dans leur famille.
Parmi ces 100 étudiants qui habitent dans leur famille, 80
sont des filles. On choisit un étudiant au hasard, et on
s’intéresse aux 2 événements :
A : "l’étudiant habite dans sa famille".
B : "l’étudiant choisi est une fille".
1
Calculer : p(A) et p(B).
2
Définir l’événement A ∩ B, et calculer p(A ∩ B).
3
Calculer p(A/B), interpréter.
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
IV Probabilités conditionnelles :
IV.3 Remarque :
On a :
(
)
p A/B = 1 − p (A/B) .
IV.4 Théorème de probabilités composées :
Il permet de calculer la probabilité de réaliser ”A et B” (A ∩ B)
Théorème :
p (A ∩ B) = p (B) p (A/B) = p (A) p (B/A)
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
IV Probabilités conditionnelles :
IV.5 ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS :
Il arrive parfois que la réalisation ou la non réalisation de B ne
modifie pas la probabilité de réalisation de A soit :
p (A/B) = p (A) . On dit que A et B sont indépendants, et alors :
p (A ∩ B) = p (A) p (B) .
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IV Probabilités conditionnelles :
IV.6 Exemple : compatibles et indépendants
Ne pas confondre entre indépendance et incompatibilités.
Considérons les deux événements dans une expérience aléatoire :
A : "aimer la musique"
B : "vivre à la compagne"
⇒ A et B sont compatibles (on peut à la fois aimer la musique
et vivre à la compagne)
⇒ A et B sont indépendants (l’apport d’information sur la
réalisation de A (ou B) ne modifie pas la probabilité de
réalisation de B (ou A)
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
IV Probabilités conditionnelles :
IV.7 THÉORÈME DE BAYES (théorème de la probabilité
des causes) :
Soient A1 ; A2 ; ; An une partition de Ω, et B un événement
quelconque de Ω alors :
p (Ai /B) =
p (Ai ) × p (B/Ai )
n
∑
p (Aj ) × p (B/Aj )
j=1
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
IV Probabilités conditionnelles :
IV.8 Arbre probabiliste :
Dans de nombreux exercices mettant en jeu les probabilités conditionnelles, il peut être
simple de construire un arbre de probabilités résumant les données du problème.
A partir de la racine de l’arborescence partent autant de branche que d’événements dans
l’univers, les branches sont pondérées par les probabilités à priori des événements qu’elles
représentent, ensuite les branches mère se divisent et à chaque nœud s’introduit la probabilité
conditionnelle liée à la réalisation de la branche parente.
Exemple : considérons un arbre dont il part deux branches de la racine
𝐴
P(A/B)
𝐵
P( 𝐴̅ /B)
P(B)
𝐴̅
Racine
P(A/ 𝐵̅ )
P(𝐵̅ )
𝐴
𝐵̅
P( 𝐴̅/ 𝐵̅ )
𝐴̅
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Chapitre 1 : Notions fondamentales de probabilités
IV Probabilités conditionnelles :
IV.8 Arbre probabiliste :
Avec{
( )
p (B) + p B ( = 1 )
p (A/B) + p A/B = 1
Règle 1 : la somme des probabilités associées aux branches
issues d’un même nud vaut 1.
Règle 2 :la probabilité d’un chemin est égale au produit des
probabilités des branches de ce chemin.
Règle 3 : la probabilité d’un événement et la somme des
produits
des chemins correspond
(
))
(
( à) cet événement
p (A) = p (B) × p (A/B) + p B × p A/B
.
.
.
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
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. .
. Statistique
. . . . . . pour
. . .la. deuxième
. . .
. année
. . des
. co
Cours de Probabilité
et
CHIKHI EL MOKHTAR
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