R.D.M.
Résistance des Matériaux
1 – BUT DE LA R.d.M.
La résistance des matériaux est la mécanique des solides déformables. Elle permet de :
Caractériser les matériaux ;
Dimensionner une pièce à partir des efforts qu’elle supporte ;
Déterminer la déformation d’une pièce à partir des efforts qu’elle supporte ;
Déterminer les efforts maximums que peut supporter une pièce (ex : pont roulant).
2 - HYPOTHESES DE LA R.d.M.
2 1 - Sur le matériau
Il doit être :
Continu (arrangement de sa structure cristalline continue ) ;
Homogène (structure identique en tout point) ;
Isotrope (mêmes propriétés mécaniques en un point de la structure dans toute les directions).
2 2 - Sur la géométrie des pièces
On étudiera en RdM uniquement des solides ayant la forme d’une poutres :
La ligne moyenne d’une poutre est le lieu des centre de gravité ou centres de surface ou
barycentres A, ...G, ...B des sections successives ;
Les sections droites sont des sections planes et perpendiculaires à la ligne moyenne de
la poutre ;
Les sections droites doivent rester constante ou ne varier que très progressivement entre
A et B.
Section droite plane
Ligne moyenne
B
A
G
2 3 - Sur les charges appliquées sur les pièces
Plan de symétrie
Les charges supportées par la poutre sont contenues dans le plan de symétrie ;
Elles pourront être concentrées ou réparties ;
Les résultats obtenus en RDM ne seront valables qu’a une distance suffisante des points
d’application des forces (hypothèse de Barré de Saint-Venant).
2.4 - Sur les déformations
Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et
perpendiculaires à la ligne moyenne (hypothèse de Navier Bernoulli).
Les déformations restent faibles comparativement aux dimensions de
la poutre.
RDM Cours
1/8
3 - TORSEUR DE COHÉSION DANS UNE SECTION PLANE
Les efforts intérieurs ou de cohésion sont les efforts qui agissent à l’intérieur des poutres et qui assurent
l’équilibre ou la cohésion de la structure sous l’action des charges extérieures exercées.
La connaissance des ces efforts de cohésion nous renseignera sur l’état de sollicitation de la poutre
étudiée, et permettra d’évaluer sa résistance aux efforts qui lui sont appliqués.
3.1 – Principe de calcul
Pour mettre en évidence les efforts transmis par la matière au niveau d’une section droite d’une
poutre, nous effectuons une coupure imaginaire par un plan perpendiculaire à la fibre moyenne. Ce plan
définit une section S de barycentre G qui divise la poutre en deux tronçons fictifs (AG et GB). Chaque
tronçon est en équilibre et l’application du Principe Fondamental de la statique, à l’un ou à l’autre,
permet d’identifier et de calculer les efforts intérieurs exercés entre les deux tronçons au niveau de la
coupure.
y
A
Plan de coupe imaginaire
→
F1
→
F2
→
F1
→
MG 2 /1
B
2
1
y
x
x
1
A
G
G
z
z
→
F3
→
→
F3
→
F4
R2 / 1
→
F2
y
Les actions mécaniques entre les deux tronçons sont
des efforts intérieurs à la poutre que l’on peut modéliser par un
torseur appelé Torseur de Cohésion {T coh} et dont les
éléments de réduction au point G centre de surface sont :
→
une résultante R , et un moment résultant
→
MG
x
→
R1/ 2
→
R
{T coh} = →
M G
G
G
2
B
z
→
MG1 / 2
→
F3
Deux conventions d’écriture sont possibles.
Conventions 1 : le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la partie (2) sur la
partie (1) ;
Conventions 2 : le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la partie (1) sur la
partie (2).
Pour la suite, nous adopterons la CONVENTION 1 tout à fait arbitrairement.
Pour déterminer ce torseur de cohésion il suffit d’effectuer l’équilibre statique du tronçon (1) ou du
tronçon (2).
Etude de l’équilibre du tronçon (1) ou de la partie gauche
→ → →
{T coh} = T F1→1 + T F 3→1 = 0 ⇒
1444
24443
{T ext → 1}
RDM Cours
{T coh} = − {T ext → 1}
2/8
→ →
R = R 2 /1
⇒ →
=
→
M G = M G , 2 / 1
G
→
− R ext → 1
− M G,→
ext → 1
G
Définition1 :
le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se défini
en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à gauche de
la section droite, somme précédée du signe -.
Etude de l’équilibre du tronçon (2) ou de la partie droite
→
→
→
R = R 2 /1 = − R1/ 2
Comme {T coh} =
→
→
→
M G = M G , 2 / 1 = − M G , 1 / 2
G
alors
→
→
→
R = R 2 /1 = − R1/ 2
{T coh} = − {T ext → 2} =
=
→
→
→
M G = M G, 2 / 1 = − M G, 1 / 2
G
→
R ext → 2
M G,→
ext → 2
G
Définition 2 :
le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se défini
en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à droite de
la section droite, somme précédée du signe +.
3.2 - Exemple de calcul de torseur de cohésion
→
Soit une poutre reposant sur 2 appuis et soumise à une force F
y
Modèle de la poutre
→
F
→
y
x
Données
→
F
A
x
→
0
F
− 20000
A
0
14285
→
B
0
5714
C
Détermination du torseur de cohésion
On décompose la poutre en deux zones : [AC] et [CB].
Zone [AC]
Nous allons déterminer le torseur de cohésion au centre de surface G1 d’une section de poutre située
entre A et C, repérée par l’abscisse x.
Le torseur de cohésion au point G1 se détermine en effectuant la somme des A.M. agissant à gauche
de la coupure, somme précédée du signe « - » (voir définition 1 ressource page 3/7).
y
{T coh }
→
A
G1
x
P
C
x
→
−A
=
→
→
− ( GA ∧ A
G1
−x
− 0
0
0
)
0
=
0
∧ YA = 0
0
x YA
0
− YA
0
0
x YA
G1
Ty1 = − YA = − 14285
Mfz1 = x .YA = − 14285 . x
x = 0 Ty 1 = − 14285 ; Mfz1 = 0
x = a Ty1 = − 14285 ; Mfz1 = 17142 Nm
Zone [CB]
Pour la détermination de ce torseur de cohésion, il est préférable d’utiliser l’autre définition
Le torseur de cohésion au point G1 se détermine en effectuant la somme des A.M. agissant à droite de
la coupure, somme précédée du signe « + » (voir définition 2 cours RdM page 3).
RDM Cours
3/8
y
{T coh }
→
P
A
B
G2
=
G2
x
C
x
→
B
→
( GB
(− x + a + b )
G2
→
∧ A )
0
0
∧ YB =
0
0
Ty 2 = YB = 5714
Mfz 2 = (− x + 4,2 ). 5714
0
=
0
5714
0
G2
0
0
0
(− x + 4,2 ). 5714
(− x + a + b ). YB
x = 1,2 Ty 2 = 5714 ; Mfz1 = 17142 Nm
x = 4,2 Ty 2 = 5714 ; Mfz1 = 0
3.3 – Composantes des efforts intérieurs ou du torseur de cohésion
Les composantes du torseur de cohésion se notent conventionnellement comme ci-dessous :
y
(S)
→
→
Ty
MG
→
{T coh.} = R→G
=
M r r r
G G ( x, y, z )
RG
Tz
Mt
G
N
Mfz
x
N
G
Mt
Ty Mfy
Tz Mfz ( xr, yr, zr )
Mfy
z
N : effort normal ;
TY : effort tranchant suivant y ;
TZ : effort tranchant suivant y.
Mt : moment ou couple de torsion ;
MfY : moment fléchissant ou moment de flexion suivant y ;
MfZ : moment fléchissant ou moment de flexion suivant z.
4 – IDENTIFICATION DE LA NATURE DES SOLLICITATIONS
SOLLICITATIONS SIMPLES
Torseur de cohésion
Exemple
→
→
−F
F
x
N 0
0 0
{T coh.} =
G
y ou z
→
0
{T coh.} =
−F
0
0
ou =
→
F
→
− Mt
G
0
0
0 (xr , yr , zr )
CISAILLEMENT
0
0
Tz 0 (xr , yr , zr )
→
Mt
x
RDM Cours
TRACTION
(pour la compression, les
vecteurs forces sont en
sens inverse)
Ty 0
G
x
0 0 (xr , yr , zr )
Sollicitation
0 Mt
{T coh.} = 0 0
0 0 (xr , yr , zr )
G
4/8
TORSION
0 0
{T coh.} = 0 0
0 Mfz (xr , yr , zr )
G
Mfz
− Mfz
x
FLEXION PURE
0
0
= 0 Mfy
0
0 (xr , yr , zr )
G
ou
SOLLICITATIONS COMPOSÉES
Exemple
Torseur de cohésion
→
{T coh.} =
F
x
0
0
Ty
0
G
0
0
ou
=
G
→
→
N
x
→
F
− Mt
Tz
→
−F
x
Ty
0
G
Tz
{T coh.} =
FLEXION
+
TRACTION
Mfz (xr , yr , zr )
Mt
0
Mfz (xr , yr , zr )
FLEXION
+
TORSION
Mt
Mfy
0 (xr , yr , zr )
0
G
0
Mfy
0 (xr , yr , zr )
0
=
ou
0
0
0
{T coh.} =
Mt
→
Mfy
0 (xr , yr , zr )
0
x
−F
0
N
= 0
T
G z
ou
FLEXION PLANE
SIMPLE
Mfz (xr , yr , zr )
N
{T coh.} = Ty
0
G
→
F
−N
Sollicitation
N
0
0
G
0
0
Mfz (xr , yr , zr )
FLAMBAGE
5 – NOTION DE CONTRAINTE
y
(S)
M
ds
x
M
→
→
σ
→
df
G
ds
x
τ
→
r
C(M, n)
→
r
C(M, n) =
→
df → →
=σ+ τ
ds
σ : contrainte normale ;
τ : contrainte tangentielle
L'unité de la contrainte est le
Pascal :
1 Pa = 1 N / m2
z
Le torseur de cohésion schématise les actions de cohésion s’exerçant dans une section droite de la
poutre, il constitue donc une représentation globale. Pour avoir une représentation plus détaillée en
chaque point de la section, nous utiliserons la notion de contrainte.
RDM Cours
5/8
6 – IDENTIFICATION DES SOLLICITATIONS
6.1 – SOLLICITATION DE TRACTION – COMPRESSION
N 0
{T coh.} =
0
0
G
avec N (effort normal en Newton) porté par l'axe parallèle à la
fibre moyenne de la poutre.
0
0
(x , y , z )
r r r
Etat de contrainte
Contrainte normale : (sigma) Condition de résistance : σ max ≤ σ pe : contrainte pratique
N
Re
σ=
avec σ pe =
Re : limite élastique du matériau ;
S
s
N : effort normal en Newton
2
S : section de la poutre en mm
s : coefficient de sécurité (2 pour la construction aéronautique, 4 pour la
mécanique courante, 10 pour le matériel de travaux publics ).
Lorsqu’il y a des variations brusques de section, la répartition des
r
contraintes normales n’est pas uniforme.
→
Il y a CONCENTRATION DE CONTRAINTES.
LA CONTRAINTE MAXIMALE EST DONNEE PAR :
N
D
→
N
d
M
σ max = Kt . σ Maxi
σ Maxi =
N
avec, N : effort normal de traction en Newton ;
S
S : section de la poutre en mm
→
M
Kt : coefficient de concentration de contrainte donnée par des
abaques.
Par exemple pour un filetage ISO, Kt ≈ 2,5.
Etat de déformation
Allongement relatif : ε L =
∆L
L
Contraction latérale : ε d =
(epsilon)
Avec
Loi de Hooke
σ =E.ε
σ max
2
∆d
d
Coefficient de Poisson υ (nu) :
ε
contraction latérale
υ=− d =−
εL
allongemen t relatif
σ : contrainte d’extension en Mpa ;
E : module de Young en Mpa ;
ε : allongement relatif.
6.2 – SOLLICITATION DE CISAILLEMENT
Hypothèse : répartition uniforme des contraintes.
{T
coh.} =
G
0
0
Ty
0
0
0
ou {T coh.} =
(x , y , z )
r r r
G
Etat de contrainte
Contrainte tangentielle moyenne :
(tau) τ moy =
Ty
S
ou
Tz
S
S : section de la poutre en mm
2
0
0
0
0
TZ
0
Ty ou Tz (effort tranchant) ont leurs supports
perpendiculaires à l'axe de la fibre moyenne.
(x , y , z )
r r r
Condition de résistance : τ moy ≤ τ p
τp =
s : coefficient de sécurité (2 pour la construction aéronautique, 4 pour
la mécanique courante, 10 pour le matériel de travaux publics ).
pour les matériaux tendres
τ e = 0,5 Re
pour les matériaux dures
τ e = 0,8 Re
∆L
Etat de déformation
τmoy = G γ
G=
E
2 ( 1+ ν)
RDM Cours
avec
γ : angle de glissement (radian)
G : module d'élasticité transversal (N.mm-2)
(pour les métaux G ≈ 0,4 E)
avec
τe
s
ν (nu) : coefficient de poisson
6/8
→
B2 / 3
→
A1 / 3
γ
6.3 – TORSION DES POUTRES CIRCULAIRES
Une poutre est sollicitée en torsion simple lorsqu’elle est
soumise à deux couples portés par sa ligne moyenne qui
tendent à la tordre.
Hypothèses supplémentaires :
La poutre a une section droite circulaire ;
Son diamètre est constant ;
Son poids est négligé.
Mt
{T coh.} =
x
0 Mt
0
0
G
0
0 (xr , yr , zr )
Mt : moment de torsion en N.m
Etat de déformation
α
(téta) θ =
angle unitaire de torsion en rad/m
x
(alpha) α : angle de déformation en rad ;
x : longueur de la poutre en m.
répartition des contraintes dans une section droite
la contrainte τMaxi en un point M quelconque de la coupure est
τM
proportionnelle à la distance GM = ρ.
M
ρ = GM
τMaxi = G θ ρ
G
τM: contrainte tangentielle en Mpa ;
G : module d’élasticité transversal, ou module de Coulomb en Mpa ;
θ : angle unitaire de torsion en rad/m ;
(rhô) ρ : en mètre.
Relation entre MT et τ
Relation entre MT et θ
À partir de τ = G θ ρ et MT = G θ I0 ; on obtient :
Mt = G θ I 0
I0 : moment quadratique polaire en mm
Pour une section circulaire pleine : I0 =
π d4
32
4
τ=
;
MT
I0
xρ
Pour une section tubulaire : I0 =
(
π D4 − d 4
)
32
Condition théorique de résistance à la torsion
τmaxi =
Mt
I0
Mt
× ρ max i =
I0
×v ≤
τp (contrainte pratique)
avec :
τp =
τe
s
; s : coefficient de sécurité
v = ρ maxi
Condition pratique de résistance à la torsion
τmax i=
Mt
I0
× ρ max i =
Mt
I0
×v ≤
Rpg =
R eg
(résistance pratique au glissement)
s
pour les métaux : Reg ≈
Re
2
6.4 – FLEXION PLANE SIMPLE
En construction mécanique, la flexion des poutres et des arbres est une sollicitation que l’on rencontre
fréquemment.
Forme du torseur de cohésion
0
0
0
0
Ty ou Tz : effort tranchant ;
Mfy ou Mfz : moment fléchissant
{T coh.} =
Ty
0
ou {T coh.} =
0 M fy
suivant
y ou z
r r r
r r r
0 M
T
0
G
RDM Cours
fz
(x , y , z )
G
7/8
Z
(x , y , z )
Etat de contrainte normale
A
Contrainte normale au point M :
y
→
F1
→
y
σ
A
y
G
x
G
z
M
x
σ = MfGy × y
IGz
MfGy
⇒ σ Maxi =
× y maxi
IGz
σMaxi est proportionnelle à
l’éloignement du point M / plan de
la fibre moyenne.
IGz : moment quadratique de la section fléchie
y
y
b h3
IGz =
12
z
∅d
z
h
IGz = IGy =
G
G
h b3
IGy =
12
b
π d4
32
Etat de contrainte tangentielle
Alors que les contraintes normales sont issues des moments fléchissant, les contraintes tangentielles
résultent des efforts tranchants. Moins prépondérantes que les contraintes normales, leur détermination
est nécessaire dans certains cas.
POUR
UNE
POUTRE
DE
SECTION
RECTANGULAIRE ALLURE DES CONTRAINTES DANS CE CAS
y
TANGENTIELLES τ
b
M
h
τ max i
τmaxi
τ
=
2
T h
3T
=
2 S
8 IGz
G
x
z
Condition de résistance
Critère de contrainte normale
K t . σMax =
avec
MfGy
IGz
× y max
≤
Rpe =
Re
(résistance pratique)
s
Re : limite élastique du matériau en Mpa
s : coefficient de sécurité (de 2 à 10).
Kt : coef de concentration de contrainte
Critère de contrainte tangentielle
τe
τ uniforme ≤ τ p avec τ p =
s
Ty
avec : τ uniforme =
s
Nota : le calcul de résistance d’une poutre sollicitée en flexion simple se fait généralement selon le critère de la
contrainte normale.
Condition de déformation
Relation entre moment fléchissant et effort tranchant :
d Mfz
= − Ty ;
dx
Les poutres sollicitées en flexion simple sont souvent dimensionnées en exprimant les conditions limites
de déformation. Une poutre peut résister à une sollicitation de flexion, mais se déformer dans des
proportions inacceptables.
RDM Cours
8/8
