E.S.GE – SA 2022 M.Chaambane Mohamed CHAPITRE 1 : [email protected] Résistance des matériaux I BTS : Électromécanique Chapitre 1 : Généralités sur la RdM GENEARALITE SUR LA RESISTANCE DES MATERIAUX (RdM) 1|8Page E.S.GE – SA 2022 M.Chaambane Mohamed Résistance des matériaux I BTS : Électromécanique Chapitre 1 : Généralités sur la RdM La résistance des matériaux, désignée souvent par la RDM, est la science du dimensionnement. C’est une discipline importante de la mécanique, qui permet de concevoir une pièce ou tout un objet utilitaire, en outre vérifier ça tenu contre les sollicitations et contraintes d’usage. Ce dimensionnement fait appel à des calculs qui prévoient le comportement de l’objet dont la conception doit réunir les meilleures conditions de sécurité, d’économie et d’esthétique. 1.1 Définitions et objectifs Définitions La résistance des matériaux est un modèle d’étude permettant de dimensionner les pièces afin : D’adapter le volume et la masse des mécanismes à leur résistance (par exemple un avion mal dimensionné en résistance pourra se casser en vol, ou être trop lourd au contraire) ; D’adapter la déformation des pièces à l’application voulue (barre de torsion sur la direction assistée de voiture) ; D’avoir des pièces fusibles dans les mécanismes dont la limite de déformation élastique est parfaitement maîtrisée. La résistance des matériaux doit nous permettre de comprendre les causes de défaillance des pièces et les anticiper. D’autres modèles d’étude existent, permettant de dimensionner plus précisément les pièces comme la théorie de l’élasticité des matériaux et des éléments finis. Cependant, la résistance des matériaux est un modèle très précis si certaines conditions sont réunies. Ces conditions sont appelées les hypothèses de la résistance des matériaux. Objectif La résistance des matériaux (RdM) étudie le comportement du solide déformable. Elle s’intéresse particulièrement au calcul des dimensions des systèmes mécaniques pour qu’ils soient en mesure de supporter les efforts qui leur sont appliqués pendant leur service dans les conditions de sécurité requise. Elle permet d’évaluer les efforts internes, les contraintes ainsi que les déplacements et les rotations des structures. 1.2 Hypothèses générales Ces hypothèses concernent essentiellement les matériaux utilisés, la forme des solides étudiés et le type d’action mécanique exercée. Hypothèses sur le matériau: L’homogénéité, l’isotropie et la continuité du matériau : On suppose que le matériau a les mêmes propriétés élastiques en tous les points du corps, dans toutes les directions et que le matériau est assimilé à un milieu continu (pas de défaut macroscopique tels que fissures, criques) L’élasticité et la linéarité du matériau : On suppose qu’en chaque point contraintes et déformation sont proportionnelles et qu’près déformation, l’élément revient à son état initial. Hypothèses sur les poutres Définition Nous appelons poutre un solide dont une des dimensions est grande vis-à-vis de deux autres et qui est soumis à un système de sollicitation qui le fait fléchir ou le déformer. Une poutre est en général un solide engendré par une aire plane (S) dont le centre de gravité (G) décrit une courbe (C). Géométrie Les notions abordées dans ce chapitre ne sont valables que pour des solides ayant une forme de poutre (figure 1.1.), c’est-à-dire un solide pour lequel : - Il existe une ligne moyenne lm, continue, passant par les centres de gravité des sections du solide ; - La longueur L est supérieure ou égale à 5 fois le diamètre D ; - Le solide admet un seul et même plan de symétrie pour le chargement et la géométrie. Remarques : - L’aire de la section (S) est appelée section droite ou section normale de la poutre [email protected] 2|8Page E.S.GE – SA 2022 M.Chaambane Mohamed Résistance des matériaux I BTS : Électromécanique Chapitre 1 : Généralités sur la RdM - La courbe (C) est appelée fibre moyenne de la poutre, si la fibre moyenne est une droite, la poutre est dite droite. - Le rayon de courbure de la fibre moyenne est suffisamment grand par rapport à la dimension transversale de la poutre. Plan de symétrie de la poutre d D (S) Ligne moyenne Lm A G B ሺ𝑪ሻ Section droite L Figure 1.1 : Elément d’une poutre Hypothèses sur les efforts extérieurs : Toute action mécanique est représentée par un torseur en un point. Ces actions peuvent être concentrées ou réparties, exercées à distance ou en contact. Les efforts extérieurs sont situés dans le plan de symétrie de la poutre ou disposés symétriquement par rapport à ce plan. Domaine de validité de la résistance des matériaux : Hypothèse des petites déformations : Les déformations dues aux charges sont négligeables par rapport aux dimensions des composants étudiés. Hypothèse de Navier-Bernoulli (hypothèse des sections planes) : les sections droites restent planes et normales à la fibre moyenne au cours de la déformation. Hypothèse de Saint Venant : Les contraintes (et par suite les déformations qui leur sont liées par la loi de Hooke), dans une région éloignée des points d’application d’un système de forces, ne dépendent que de la résultante générale et du moment résultant de ce système de forces. Ces hypothèses simplificatrices conduisent à des solutions approchées qui permettent en général une bonne approximation du comportement des structures soumises à différents types de charges. 1.3 Les réactions d’appuis Un appui est un élément extérieur en contact avec la structure étudiée et la réaction d’appui dépend de la nature de la liaison appui-structure. Une structure est reliée au monde extérieur par un certain nombre de liaisons. Ces liaisons dans le plan sont de 3 sortes : Liaison appui-simple (ou sphère cylindre) Cette liaison est fréquente puisqu'elle est réalisée par exemple à partir d'un roulement à une rangée de billes non bloqué axialement. Un appui simple sert alors à bloquer un seul déplacement qui se trouve en direction perpendiculaire à la [email protected] 3|8Page E.S.GE – SA 2022 M.Chaambane Mohamed Résistance des matériaux I BTS : Électromécanique Chapitre 1 : Généralités sur la RdM droite joignant les points de contact. L’appui simple introduit une seule inconnue dans l’étude de la poutre. 𝑦Ԧ ሬ𝑹 ሬԦ Le torseur des actions transmissibles au niveau d’un appui simple s’écrit : 𝑅 𝑦Ԧ ൛𝑇𝐴𝑝𝑝𝑢𝑖 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 ሺ𝐸𝑥𝑡 → 𝑃𝑜𝑢𝑡𝑟𝑒ൟ = ൜ 𝐴 ൠ ሬԦ 𝐴 0 𝑥Ԧ A Le torseur des petits déplacements au niveau du point A, maintient trois paramètres non nuls, 𝑢, 𝜃 𝑒𝑡 𝜔, cependant l’action 𝑅𝐴 impose un déplacement v nul en A : vሺ𝐴ሻ = 0, appui simple. Figure 1.2 : Liaison appui – simple Liaison rotule (appui ou articulation) Il s’agit d’une liaison rotule considérée dans un plan qui est le plan moyen de la poutre. Elle peut correspondre à la liaison de la poutre avec un roulement à une rangée de billes muni de ses arrêts axiaux (éventuellement elle est susceptible de représenter aussi un appui simple). L’articulation introduit deux inconnues, par projection sur deux directions du plan moyen. Le torseur des actions transmissibles au niveau d’un appui simple s’écrit : 𝑦Ԧ 𝑅𝐴𝑦 𝑅𝐴𝑥 A 𝑅 𝑥Ԧ + 𝑅𝐴𝑦 𝑦Ԧ ሼ𝑇Articulation ሺ𝐸𝑥𝑡 → 𝑃𝑜𝑢𝑡𝑟𝑒ሽ = ቊ 𝐴𝑥 ቋ ሬ Ԧ 0 𝐴 𝑥Ԧ Le torseur des petits déplacements au niveau du point A, maintient deux paramètres non nuls, 𝜃 𝑒𝑡 𝜔, cependant les actions 𝑅𝐴𝑥 et 𝑅𝐴𝑦 imposent des déplacement u et v nul en A : 𝑣ሺ𝐴ሻ = 𝑢ሺ𝐴ሻ = 0, articulation Figure 1.3 : Caractéristiques d’une liaison rotule dans le plan Liaison d’encastrement Il s’agit d’une liaison complète considérée dans un plan qui est le plan moyen de la poutre. Cette liaison reliant la poutre à une pièce considérée comme fixe, on représente une liaison encastrement par le symbole de la masse. Ce type d’appui introduit donc 3 inconnues, les deux projections de R sur deux axes du plan moyen et l’intensité du Moment M perpendiculaire au plan moyen. 𝑅𝐴𝑦 Le torseur des actions transmissibles au niveau d’un appui simple s’écrit : 𝑦Ԧ ሬሬሬԦ 𝑴 ሼ𝑇Encatrement ሺ𝐸𝑥𝑡 → 𝑃𝑜𝑢𝑡𝑟𝑒ሽ = ൜ 𝑥Ԧ A 𝐴 𝑅𝐴𝑥 𝑅𝐴𝑥 𝑥Ԧ + 𝑅𝐴𝑦 𝑦Ԧ ൠ 𝑀𝑧Ԧ L’ensemble des trois actions de ce torseur imposent des déplacements 𝑢, 𝑣, 𝜃 𝑒𝑡 𝜔nuls en A : 𝑣ሺ𝐴ሻ = 𝑢ሺ𝐴ሻ = 𝜃ሺ𝐴ሻ = 𝜔ሺ𝐴ሻ = 0 Figure 1.4 : Caractéristiques d’une liaison d’encastrement dans le plan Remarques : En théorie des poutres, on distingue en général deux types de charges : Les charges concentrées qui s'appliquent en un point de la poutre et définie par un torseur en ce point d'application. Si ce torseur se réduit à une résultante, on l'appelle force concentrée. Si ce torseur se réduit à un couple (ou un moment) on l'appelle moment concentré. Les charges réparties qui sont distribuées continûment le long d'un segment de la poutre et sont représentées par un champs de vecteurs uniforme ou non. [email protected] 4|8Page E.S.GE – SA 2022 M.Chaambane Mohamed Résistance des matériaux I BTS : Électromécanique Chapitre 1 : Généralités sur la RdM 1.4 Torseur de cohésion Les efforts intérieurs ou de cohésion sont les efforts qui agissent à l’intérieur des poutres et qui assurent l’équilibre ou la cohésion de la structure sous l’action des charges extérieures exercées. La connaissance de ces efforts de cohésion nous renseignera sur l’état de sollicitation de la poutre étudiée, et permettra d’évaluer sa résistance aux efforts qui lui sont appliqués. Expression du torseur des efforts intérieurs Soit une poutre (E) équilibre sous l'effet d'actions mécaniques extérieures. Pour me en évidence les efforts transmis au niveau d'une section, nous effectuons une coupure imaginaire dans le plan P contenant S. Il la sépare en deux tronçons 𝐸1 (Partie gauche) et 𝐸2 (Partie droite) (voir Figure 1.3). (S) ሬԦ𝟐 𝑭 ሬ𝑭Ԧ𝟏 ሬ𝑭Ԧ𝟔 ሬ𝑭Ԧ𝟕 ሬԦ 𝒚 E1 A E2 ሬԦ 𝒙 ሬԦ 𝒛 B G x ሬ𝑭Ԧ𝟒 ሬ𝑭Ԧ𝟑 ሬ𝑭Ԧ𝟓 Tronçons AG : ሬ𝑭Ԧ𝟐 ሬԦ𝟏 𝑭 ሬԦ 𝒚 (S) ሬ𝑹 ሬԦ𝑬 →𝑬 𝟐 𝟏 E1 A ሬԦ 𝒙 ሬԦ 𝒛 G ሬሬሬԦ𝑮 (𝑹 ሬሬԦ𝟐/𝟏 ) 𝑴 x ሬ𝑭Ԧ𝟑 Figure 1.5 : Coupe fictive sur une poutre On isole le tronçons E1 : Les actions mécaniques que le tronçon E2 exerce sur le tronçon E1 à travers la section S sont des actions mécaniques intérieures à la poutre E. Nous ignorons à priori la nature, cependant la liaison entre E1 et E2 peut être modélisée par une liaison complète. On peut donc modéliser l’action mécanique E2 sur E1 par un torseur appelé torseur de cohésion et noté ሼ𝒯𝐶𝑜ℎ ሽ dont les éléments de réductions en G seront 𝑅ሺ𝑥ሻ et 𝑀𝐺 ሺ𝑥ሻ. 𝑅ሬԦ𝐸2/𝐸1 ൛𝒯𝐸2/𝐸1 ൟ = ሼ𝒯𝐶𝑜ℎ ሽ = { } ሬሬԦ𝐺 (𝑅ሬԦ𝐸2/𝐸1 ) 𝑀 𝐺 𝑅 ሬԦൟ L’équilibre du tronçon 1 ou de la partie gauche se traduit par : ሼ𝒯𝐸𝑥𝑡 → 𝐸1 ሽ𝐺 + ሼ𝒯𝐶𝑜ℎ ሽ𝐺 = ൛0 Avec ሼ𝒯𝐸𝑥𝑡 → 𝐸1 ሽ𝐺 = {𝒯𝐹Ԧ1 → 𝐸1 } + {𝒯𝐹Ԧ2 → 𝐸1 } + {𝒯𝐹Ԧ3 → 𝐸1 } 𝐺 [email protected] 𝐺 𝐺 ⟹ ሼ𝒯𝐶𝑜ℎ ሽ𝐺 = −൛𝒯𝐴𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑚é𝑐𝑎𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒𝑠 à 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒 ൟ 𝐺 5|8Page E.S.GE – SA 2022 M.Chaambane Mohamed Résistance des matériaux I BTS : Électromécanique Chapitre 1 : Généralités sur la RdM ሬԦൟ L’équilibre de la poutre (E) se traduit par : ൛𝒯𝐴𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑚é𝑐𝑎𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒𝑠 à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 ൟ𝐺 + ൛𝒯𝐴𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑚é𝑐𝑎𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒𝑠 à 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒 ൟ = ൛0 𝐺 On trouve alors : ሼ𝓣𝑪𝒐𝒉 ሽ𝑮 = ൛𝓣𝑨𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆𝒔 à 𝒅𝒓𝒐𝒊𝒕𝒆 ൟ = −൛𝓣𝑨𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆𝒔 à 𝒈𝒂𝒖𝒄𝒉𝒆 ൟ 𝑮 𝑮 Finalement, le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se défini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant soit à gauche de la section droite, somme précédée du signe : « - », soit à droite de la section droite, somme précédée du signe « + ». Cette relation permet de simplifier le calcul du torseur de cohésion dans le cas où le torseur des actions mécaniques à droite est plus simple à déterminer. Chaque tronçon est en équilibre et l'application du PFS, à l'un ou à l'autre, permet de faire apparaître et de calculer le torseur de cohésion au niveau de la coupure. Remarque : Le torseur de cohésion est modifié lorsque l’on déplace la coupure le long de la poutre : Si une discontinuité d’ordre géométrique (changement de direction de la ligne moyenne) apparait. Si une discontinuité liée à une résultante nouvelle (un nouveau mouvement) apparait. Composantes du torseur de cohésion Le torseur de cohésion exprimé dans le repère 𝑅ሺ𝐺, 𝑥Ԧ, 𝑦Ԧ, 𝑧Ԧሻ s’écrit : 𝑵 ሬሬԦ 𝑹 𝑻 ሼ𝓣𝑪𝒐𝒉 ሽ = ቊ ቋ = { 𝒚 ሬ𝑴 ሬሬԦ𝑮 𝑹 𝑻𝒛 𝑮 𝑮 𝑴𝒕 𝑴𝒇𝒚 } 𝑴𝑭𝒁 𝑹 N : Effort normal sur l’axe (G, x) 𝑴𝒕 : Moment (couple) de torsion sur (G, x) 𝑻𝒚 : Effort tranchant sur l’axe (G, y) 𝑀𝑓𝑦 : Moment fléchissant sur l’axe (G, y) 𝑻𝒛 : Effort tranchant sur l’axe (G, z) 𝑀𝑓𝑧 : Moment fléchissant sur l’axe (G, z) La figure ci-dessous illustres les composantes du torseur de cohésion. ሬԦ 𝒚 ሬ𝑻Ԧ𝒚 ሬ𝑴 ሬሬԦ𝒇𝒚 A E1 ሬԦ 𝒛 ሬሬሬԦ𝒕 𝑴 G ሬ𝑴 ሬሬԦ ሬ𝑻Ԧ𝒛 𝒇𝒛 ሬ𝑵 ሬԦ ሬԦ 𝒙 (S) Figure 1.6 : Représentation des composantes du torseur de cohésion Contraintes 1.4.3.1 Vecteur contrainte Le torseur de cohésion permet de modéliser les efforts intérieurs au point G centre de la section droite mais ce torseur ne représente qu’une vision globale de toutes les actions mécaniques qui s’appliquent localement en chaque point de la section droite. Pour représenter ces actions mécaniques, on considère un point M de la surface S. Autour de ce point M, on considère un élément de surface 𝑑𝑆 de normale 𝑛ሬԦ. Soit l’effort élémentaire transmis par dS exercé par la matière de la partie droite sur la partie gauche de la poutre. On appelle vecteur contrainte au point M pour la coupure de normale le vecteur : [email protected] 6|8Page E.S.GE – SA 2022 M.Chaambane Mohamed Résistance des matériaux I 𝐶Ԧሺ𝑀, 𝑛ሬԦሻ = BTS : Électromécanique Chapitre 1 : Généralités sur la RdM 𝑑𝐹Ԧ 𝑑𝑆 Unité : 𝑀𝑃𝑎 ou 𝑁⁄𝑚𝑚2 (la contrainte est homogène à une pression). ሬԦ 𝒚 dS A E1 M (S) M dS ሬሬԦ 𝒏 ሬԦ 𝝉 ሬԦ 𝒙 G ሬԦ 𝝈 ሬ𝑪Ԧሺ𝑴, 𝒏 ሬԦ ሻ ሬԦ 𝒅𝑭 ሬԦ 𝒛 Figure 1.7 : Représentation du vecteur contrainte 1.4.3.2 Contrainte normale et contrainte tangentielle On définit les contraintes normales et tangentielles respectivement la projection de 𝐶Ԧሺ𝑀, 𝑛ሬԦ ሻ sur la normale 𝑛ሬԦ et la projection de 𝐶Ԧሺ𝑀, 𝑛ሬԦ ሻ sur le plan de l’élément de surface dS (voir figure 1.10). ሬԦሺ𝑴, 𝒏 ሬԦ ሻ = 𝝈𝒏 ሬԦ + 𝝉𝒕Ԧ 𝑪 Avec 𝜎 : Contrainte normale ; 𝜏 : Contrainte tangentielle ; 𝑛ሬԦ : Vecteur normal à l’élément de surface dS ; 𝑡Ԧ : Vecteur tangente à l’élément de surface dS. 1.5 Sollicitations simples et composées Sollicitations simples Si une seule composante N, T, 𝑀𝑡 ou 𝑀𝑓 existe, alors que toutes les autres sont nulles, on dit que l’on a une sollicitation simple. Tableau 1.1 : Torseurs de Sollicitations simples Sollicitation Traction / Compression Cisaillement (selon G, y)) Torseur de cohésion 𝑁 0 ሼ𝜏𝑐𝑜ℎ ሽ𝐺 = { 0 0} 𝐺 0 0 𝑅 0 0 ሼ𝜏𝑐𝑜ℎ ሽ𝐺 = {𝑇𝑦 0} 0𝑅 𝐺 0 Ou 0 0 ሼ𝜏𝑐𝑜ℎ ሽ𝐺 = { 0 0} 𝐺 𝑇𝑧 0 𝑅 Sollicitation Torsion Flexion Pure Torseur de cohésion 0 𝑀𝑡 ሼ𝜏𝑐𝑜ℎ ሽ𝐺 = {0 0 } 0 𝑅 𝐺 0 0 0 ሼ𝜏𝑐𝑜ℎ ሽ𝐺 = {0 𝑀𝑓𝑦 } 0 𝑅 𝐺 0 Ou 0 0 0 } ሼ𝜏𝑐𝑜ℎ ሽ𝐺 = {0 0 𝑀 𝑓𝑧 𝐺 𝑅 Sollicitations composées Si deux composantes au moins sont non nulles, on dit que l’on a une sollicitation composée. [email protected] 7|8Page E.S.GE – SA 2022 M.Chaambane Mohamed Résistance des matériaux I BTS : Électromécanique Chapitre 1 : Généralités sur la RdM Tableau 1.2 : Torseurs des sollicitations composées Sollicitation Torseur de cohésion 0 𝑇 ሼ𝜏𝑐𝑜ℎ ሽ𝐺 = { 𝑦 0 Flexion Plane Simple 𝐺 𝑁 ሼ𝜏𝑐𝑜ℎ ሽ𝐺 = {𝑇𝑦 0 𝐺 Flexion + Traction Ou 𝑁 ሼ𝜏𝑐𝑜ℎ ሽ𝐺 = { 0 𝑇𝑧 𝐺 0 0 } 𝑀𝑓𝑧 0 0 } 𝑀𝑓𝑧 Sollicitation Flexion + Torsion 𝑅 𝑅 Flambage 0 𝑀𝑓𝑦 } 0 Torseur de cohésion 0 𝑀𝑡 ሼ𝜏𝑐𝑜ℎ ሽ𝐺 = { 0 𝑀𝑓𝑦 } 𝑇 0 𝐺 𝑧 𝑅 Ou 0 ሼ𝜏𝑐𝑜ℎ ሽ𝐺 = {𝑇𝑦 0 𝐺 𝑀𝑡 0 } 𝑀𝐹𝑍 𝑅 𝑁 ሼ𝜏𝑐𝑜ℎ ሽ𝐺 = { 0 0 𝐺 0 0 } 𝑀𝑓𝑦 𝑅 𝑅 1.6 Application On considère la poutre (1) représentée par sa ligne moyenne AD, de section constante. Les liaisons (supposées parfaites) de la poutre avec le bâti (0) sont : une liaison pivot d’axe ሺ𝐴, 𝑧Ԧሻ et une liaison ponctuelle de normale ሺ𝐵, 𝑧Ԧሻ. La poutre est soumise en outre à deux actions mécaniques extérieures modélisées par : - −200 0 ሼ𝜏 ሽ Au point D par le torseur : 50} , les forces s’expriment en N et les moment en Nm. 𝐷 = { 100 0 0 𝑅 𝐷 - Une charge uniformément répartie sur le tronçon AC, représentée par une densité linéique 𝑝 = 500𝑁. 𝑚−1 . ሬԦ 𝒚 𝑧Ԧ ሬԦሺ𝒙ሻ = 𝒒𝒚 ሬԦ 𝒒 ሬԦ 𝒙 A B 0 a 1. 2. 3. 4. (1) D C a a=1m Déterminer les torseurs des liaisons aux points A et B. Déterminer le torseur des efforts de cohésion le long de la poutre. Tracer les diagrammes des sollicitations le long de la poutre. Déterminer la nature de la sollicitation soumise par la poutre (1). [email protected] 8|8Page
