Espaces Topologiques et la Classification des Surfaces

Espaces Topologiques
et
la Classification des Surfaces
Joel Fine
Université Libre de Bruxelles
Cours donné pendant la deuxième année du bachelier en mathématiques,
à l’Université Libre de Bruxelles, 2009.

Table des matières
1 Introduction 4
I Espaces Topologiques 5
2 Espaces métriques 5
2.1 Définition d’un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Fonctions et applications continues . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Sous-ensembles ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Un exemple instructif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Continuité et ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Espaces topologiques 15
3.1 Définition d’un espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Homéomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Espaces connectés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 Espaces produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.7 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Espaces Hausdorff28
5 Espaces compacts 30
5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Definition d’un espace compact . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3 [a, b]est compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4 Sous-espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.5 Propriétés des espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.6 Théorème de Heine–Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
II Surfaces 40
6 Définition et exemples de surfaces 40
6.1 Défintion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.2 Surfaces dans Rn......................... 42
6.3 Quotients de polygones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.4 Cartes et atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7 La classification des surfaces 49
7.1 Surfaces compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.2 Orientabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2

7.3 Le caractéristique d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.4 Couper-et-coudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.5 La classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.6 Sommes connectés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
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1 Introduction
Ce cours a deux parties principales. La première est de vous donner une
introduction aux espaces topologiques. Un espace topologique Test un es-
pace pour lequel il est possible de parler de fonctions continues T→R,
généralisant l’idée de fonction continue R→R, que vous avez déjà rencon-
trée pendant la première année. Quelques exemples d’espaces topologiques
sont Rn, la sphère ou, d’une certaine manière, n’importe quel espace “géo-
métrique”. Il y a aussi beaucoup d’autres exemples ou la géométrie et moins
évidente. Par exemple, l’espace des fonctions bornées f:[a, b]→Rest un
espace topologique et sa topologie nous aide à l’étudier.
Bien que la motivation initiale vienne d’analyse, les techniques et le style
du sujet sont très différents. La définition d’un espace topologique met en
valeur la chose sur laquelle le concept de continuité est basée : le comporte-
ment de sous-ensembles ouverts. Un des avantages de cette approche est que
la définition est suffisamment abstraite pour admettre plusieurs exemples qui
ne ressemblent pas du tout la droite réelle. Il y a beaucoup de situations où
le langage de topologie est essentielle pour bien comprendre les propriétés
d’un espace et certaines de ses fonctions.
La deuxième partie du cours concerntre sur les surfaces. Briévement,
une surface est un espace qui “parait localement” comme R2. Un exemple
est la sphère : du point de vue d’une fourmis rampant sur d’une sphère
enorme, la surface parait comme un plan plat. Une surface est un espace
topologique et en utilisant nos travaux avec tels espaces, on classifiera toutes
les surfaces : elles paraissent toutes dans une liste simple (à condition qu’elles
soient compactes). La deuxième partie du cours vous introduira aux surfaces
et leur classification.
La classification des surfaces n’est pas juste un but soi-même, mais aussi
une introduction à des sujets plus avancés. Les espaces qui “paraissent loca-
lement” comme Rn—variétés — sont beaucoup plus compliquées que les
surfaces et sont toujours à la frontière de la recherche aujourd’hui. Egale-
ment, une des techniques pour distinguer les surfaces — le caractéristique
d’Euler, un nombre associé à chaque surface — peut être généralisé à d’autres
situations topologiques. C’est le début de la topologie algébrique, une autre
branche active de la recherche. Les variétés et la topologie algébrique sont
introduites dans des cours du premier cycle du masters.
Remerciements
La première partie de cet note est basé sur le livre “An Introduction to
Metric and Topological Spaces” par W. Sutherland et aussi sur le cours du
même nom donné à l’Université d’Oxford.
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Première partie
Espaces Topologiques
2 Espaces métriques
2.1 Définition d’un espace métrique
On voudrait généraliser l’idée d’une fonction continue f:R→Raux
autres situations. On commencera en se rappelant la définition.
Définition 2.1. Une fonction f:R→Rest dite continue au point a∈Rsi
pour tout réel !>0, il existe un réel δ>0tel que
|x−a|<δ⇒|f(x)−f(a)|<!.
Une fonction fest dite continue si elle est continue en tout points a∈R.
En utilisants des mots, et pas grec : une fonction fest continue si n’im-
porte quel petit changement de xentraîne un petit changement de f(x).
Afin de généraliser cette définition aux espaces autre que R, il faut d’abord
généraliser l’idée d’un “petit changement” ou, plutôt, l’idée de la distance
entre deux points. La chose qui nous permettra de mesurer la distance entre
points s’appelle une metrique, un ensemble avec une métrique est appelé un
espace métrique. Formellement,
Définition 2.2. Soit Xun ensemble non-vide. Une application
d:X×X→R
est dite une métrique si les conditions suivantes sont satisfaites :
M1 Pour tous points x, y, ∈X,d(x, y)≥0. De plus, d(x, y) = 0 si et
seulement si x=y.
M2 Pour points x, y ∈X,d(x, y)=d(y, x).
M3 Pour points x, y, z ∈X,d(x, z)≤d(x, y)+d(y, z).
Le couple (X, d)est appelé un espace métrique. Quand il n’y a pas de pos-
sibilité de confusion, et que le choix de la métrique dest évident, on dit que
Xest un espace métrique.
La motivation géométrique derrière cette définition n’est pas difficile à
voir. M1 dit que les distances doivent être positives, et null uniquement
quand les points xet ysont les mêmes. M2 dit que la distance de xàydoit
être égale à la distance de yàx.M3 s’appelle l’inégalité triangulaire. Afin
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