chap2

27
Chapitre 2
Équations de conservation et classification
des équations aux dérivées partielles (EDP)
2.1 Forme générale des équations modèles (EDP)
2.1.1 Principes de conservation
Les équations modèles résultent toutes d’un principe de conservation des quantités
spécifiques (massiques
Φ
ou volumiques
Φ
ρ
). La quantité spécifique ),,,( tzyx
Φ
=
Φ
est
une caractéristique physique du fluide appelée “variable dépendante” où ),,,( tzyx sont les
coordonnées spatiales et temporelles appelées “variables indépendantes” . La variable
dépendante
Φ
peut être l’une de grandeurs physiques présentées au tableau 2.1 selon les
équations de conservation.
Tableau 2.1 Les quantités massiques et volumiques pour différents équations de conservation
Equation de conservation Quantité massique
)(
Φ
Quantité volumique )(
Φ
ρ
Masse (équation de continuité) 1
ρ
(masse volumique)
Quantité de mouvement
u (vitesse)
u
ρ
(q.d.m. volumique)
Énergie
h (l’enthalpie massique)
e
(l’énergie totale massique)
T
(la température)
h
ρ
e
ρ
T
ρ
Espèces chimiques
j
m (la fraction massique de
l’espéce
j
)
j
x (la fraction molaire de
l’espèce
j
)
j
m ρ
j
x
ρ
2.1.2 Définitions
Si la dimension de )(
Φ
ρ
est
3
]/[][ LΦ , on a :
- J , densité surfacique de flux de la variable
Φ
par unité de temps : ][]/[][
2
TL Φ;
-
i
J
, composante de
J
dans la direction
i
;
- S , source de
Φ
par l’unité de volume : ][]/[][
2
TLΦ .
Soit “
D
” le domaine de fluide de volume V et de surface
Σ
(fig.2.1), où J est le flux
qui influence la variable dépendante
Φ
. On considère un volume de contrôle de dimensions
dx , dy , dz montrées à la figure 2.2. Le flux
x
J
qui est la composante de J dans la direction
x
entre par l’interface ayant l’aire dzdy
⋅
alors que le flux sortant par l’interface opposée est

MODÉLISATION NUMÉRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUE • Méthode des volumes finis
28
(
)
dxxJJ
xx
∂
∂
+
/ . Le flux net par l’interface de l’aire dzdy
⋅
est
(
)
dzdydxxJ
x
∂
∂
/ . Si l’on
considère également les contributions dans les directions
y
et
z
le flux net par l’unité de
volume est :
Jdiv
z
J
y
J
x
J
z
y
x
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2.1.3
2.1.3 2.1.3
2.1.3 Forme intégrale ou globale de la loi de conservation
Les termes qui interviennent dans le bilan, pour
Φ
de la loi de conservation sont les
suivants :
• le taux de variation de
Φ
dans V :
Φρ
∂
∂
V
dV
t
; (2.1)
Fig. 2.1 Volume élémentaire dans le domaine du fluide.
Fig. 2.2 Bilan du flux dans le volume de contrôle.

Chapitre 2 : Équations de conservation et classification des équations aux dérivées partielles
29
• le flux de
Φ
à travers la surface
Σ
:
Σ
=Σ
V
dVJdivdnJ
; (2.2)
•
la production (source) de
Φ
dans V :
V
dVS ; (2.3)
L’équation de la loi de conservation devient :
=+Φρ
∂
∂
V V V
dVSJdivdV
t
)( ; (2.4)
2.1.4 Forme locale de la loi de conservation
• le taux de variation de
Φ
dans
V
:
t
∂
Φ
∂
)(
ρ
; (2.5)
• la variation volumique nette du flux à travers toutes les faces de dV :
Jdiv
z
J
y
J
x
J
dV
dydxJdz
z
J
JdzdxJdy
y
J
JdzdyJdx
x
J
J
z
y
x
z
z
zy
y
yx
x
x
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
−
∂
∂
++
−
∂
∂
++
−
∂
∂
+
1
(2.6)
• la production de
Φ
dans dV est S .
Finalement l’équation de la loi de conservation est la suivante :
SJdiv
t
=+
∂
Φ
∂
)(
ρ
. (2.7)
Parce que
J
est généré par la convection et par la diffusion, on peut écrire :
ΦΓ−Φρ=+= graduJJJ
diffusifconvectif
, (2.8)
où
Γ
est le coefficient de diffusion. La forme générale de la loi de conservation devient :
Sgraddivudiv
t
+ΦΓ=Φ+
∂
Φ
∂
)()(
)( 
ρ
ρ
, (2.9)

MODÉLISATION NUMÉRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUE • Méthode des volumes finis
30
Dans la direction “
i
” l’équation s’écrit ainsi :
S
xx
u
xt
ii
i
i
+
∂
Φ
∂
Γ
∂
∂
=Φρ
∂
∂
+
∂
Φ
ρ
∂
)()(
)( . (2.10)
Dans le tableau 2.2 on présente les variables
Φ
,
Γ
et S pour les différentes équations de
conservation.
Tableau 2.2 Les variables
Φ
,
Γ
et S pour différentes équations de conservation.
Equation
de conservation
Φ
Γ
S
Masse 1 -
Q.d.m.
i
u
µ
i
g
ρ
(forces de volume)
i
pgrad )(
−
(gradient de pression)
i
udivgradS ))()(()(
,
µ+γ=
µγ
(complément des
forces visqueuses pour un fluid newtonien avec les
coficients de viscosité
.
,
cste
=
γ
µ
)
Energie
h
T
p
c
λ
r
(puissance calorifique dissipé par les sources de
chaleur volumique)
ugrad :
τ
(dissipation visqueuse)
dt
dp
(puissance volumique liée aux variations de
pression)
β+τ+
dt
dp
Tugradr
c
p
:
1
Espèces chimiques
j
m
j
D
j
R
(vitesse d’apparition de l’espèces
j
par
réaction chimique)
µ
– coefficient de viscosité de cisaillement pur (viscosité dynamique) ;
γ
– coefficient de viscosité d’expansion volumique ;
λ
– conductivité thermique (coeficient de diffusion thermique) ;
p
c – chaleur massique à pression constante ;
j
D – coefficient de diffusion massique (loi de Fick) ;
τ
– tenseur des contraintes de viscosité ;
g – gravité ;
β
– coefficient de dilatation thermique ;
h – l’enthalpie massique ;
j
m – fraction massique de l’espèce
j
.

Chapitre 2 : Équations de conservation et classification des équations aux dérivées partielles
31
2.1.5 Forme conservative et non conservative des équations modèles
L’équation (2.9) qui est la forme conservative générale des équations modèles peut
être explicitée ainsi :
( )
Sgraddivudivgradu
t
t
+ΦΓ=Φ+Φ+
∂
∂
Φ+
∂
Φ
∂
)(  ρρ
ρ
ρ . (2.11)
En regroupant les termes on obtient :
( )
Sgraddivudiv
t
gradu
t
+ΦΓ= +
∂
∂
Φ+ Φ+
∂
Φ∂ )(
ρ
ρ
ρ , (2.12)
où le terme ci-dessous représente la dérivée particulière :
dt
d
gradu
t
Φ
= Φ+
∂
Φ∂
, (2.13)
et le terme
( )
0=+
∂
∂
udiv
t
ρ
ρ
, (2.14)
représente l’équation de continuité.
Finalement l’équation (2.12) s’écrit sous la forme non conservative ainsi :
( ) Sgraddiv
dt
d
+ΦΓ=
Φ
ρ
(2.15)
Remarque: Par la méthode des volumes finis on part uniquement de la forme conservative
des équations modèles.
2. 2 Classification des équations différentielles aux dérivées partielles de
deuxième ordre
En général les équations aux dérivées partielles sont classifiées en trois catégories,
appelées elliptiques, paraboliques, et hyperboliques. Pour illustrer cette classification on
considère la plus générale équation différentielle de deuxième ordre en deux variables
indépendante
x
et
y
:
0),(
2
22
2
2
=+Φ+
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
+
∂∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
yxGF
y
E
x
D
y
C
yx
B
x
A . (2.16)
On suppose que l’équation (2.16) est linéaire (cette restriction n’est pas essentielle),
c’est-à-dire les coefficients
A
,
B
, C ,
D
et
F
sont fonctions de deux variables
indépendantes et ces coefficients ne dépendent pas de la variable dépendante
Φ
.
La classification est faite sur la base des coefficients
A
,
B
et C des dérivées de
deuxième ordre en fonction de la valeur du déterminant :